(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Children's Library | Biodiversity Heritage Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "Éléments de géométrie: avec des notes"

Google 



This is a digital copy of a book thaï was prcscrvod for générations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project 

to make the world's bocks discoverablc online. 

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject 

to copyright or whose légal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books 

are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover. 

Marks, notations and other maiginalia présent in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journcy from the 

publisher to a library and finally to you. 

Usage guidelines 

Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the 
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we hâve taken steps to 
prcvcnt abuse by commercial parties, including placing lechnical restrictions on automated querying. 
We also ask that you: 

+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use thèse files for 
Personal, non-commercial purposes. 

+ Refrain fivm automated querying Do nol send automated queries of any sort to Google's System: If you are conducting research on machine 
translation, optical character récognition or other areas where access to a laige amount of text is helpful, please contact us. We encourage the 
use of public domain materials for thèse purposes and may be able to help. 

+ Maintain attributionTht GoogX'S "watermark" you see on each file is essential for informingpcoplcabout this project and helping them find 
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. 

+ Keep it légal Whatever your use, remember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is légal. Do not assume that just 
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other 
countiies. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can'l offer guidance on whether any spécifie use of 
any spécifie book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner 
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe. 

About Google Book Search 

Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps rcaders 
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full icxi of ihis book on the web 

at |http: //books. google .com/l 



Google 



A propos de ce livre 

Ceci est une copie numérique d'un ouvrage conservé depuis des générations dans les rayonnages d'une bibliothèque avant d'être numérisé avec 

précaution par Google dans le cadre d'un projet visant à permettre aux internautes de découvrir l'ensemble du patrimoine littéraire mondial en 

ligne. 

Ce livre étant relativement ancien, il n'est plus protégé par la loi sur les droits d'auteur et appartient à présent au domaine public. L'expression 

"appartenir au domaine public" signifie que le livre en question n'a jamais été soumis aux droits d'auteur ou que ses droits légaux sont arrivés à 

expiration. Les conditions requises pour qu'un livre tombe dans le domaine public peuvent varier d'un pays à l'autre. Les livres libres de droit sont 

autant de liens avec le passé. Ils sont les témoins de la richesse de notre histoire, de notre patrimoine culturel et de la connaissance humaine et sont 

trop souvent difficilement accessibles au public. 

Les notes de bas de page et autres annotations en maige du texte présentes dans le volume original sont reprises dans ce fichier, comme un souvenir 

du long chemin parcouru par l'ouvrage depuis la maison d'édition en passant par la bibliothèque pour finalement se retrouver entre vos mains. 

Consignes d'utilisation 

Google est fier de travailler en partenariat avec des bibliothèques à la numérisation des ouvrages apparienani au domaine public et de les rendre 
ainsi accessibles à tous. Ces livres sont en effet la propriété de tous et de toutes et nous sommes tout simplement les gardiens de ce patrimoine. 
Il s'agit toutefois d'un projet coûteux. Par conséquent et en vue de poursuivre la diffusion de ces ressources inépuisables, nous avons pris les 
dispositions nécessaires afin de prévenir les éventuels abus auxquels pourraient se livrer des sites marchands tiers, notamment en instaurant des 
contraintes techniques relatives aux requêtes automatisées. 
Nous vous demandons également de: 

+ Ne pas utiliser les fichiers à des fins commerciales Nous avons conçu le programme Google Recherche de Livres à l'usage des particuliers. 
Nous vous demandons donc d'utiliser uniquement ces fichiers à des fins personnelles. Ils ne sauraient en effet être employés dans un 
quelconque but commercial. 

+ Ne pas procéder à des requêtes automatisées N'envoyez aucune requête automatisée quelle qu'elle soit au système Google. Si vous effectuez 
des recherches concernant les logiciels de traduction, la reconnaissance optique de caractères ou tout autre domaine nécessitant de disposer 
d'importantes quantités de texte, n'hésitez pas à nous contacter Nous encourageons pour la réalisation de ce type de travaux l'utilisation des 
ouvrages et documents appartenant au domaine public et serions heureux de vous être utile. 

+ Ne pas supprimer l'attribution Le filigrane Google contenu dans chaque fichier est indispensable pour informer les internautes de notre projet 
et leur permettre d'accéder à davantage de documents par l'intermédiaire du Programme Google Recherche de Livres. Ne le supprimez en 
aucun cas. 

+ Rester dans la légalité Quelle que soit l'utilisation que vous comptez faire des fichiers, n'oubliez pas qu'il est de votre responsabilité de 
veiller à respecter la loi. Si un ouvrage appartient au domaine public américain, n'en déduisez pas pour autant qu'il en va de même dans 
les autres pays. La durée légale des droits d'auteur d'un livre varie d'un pays à l'autre. Nous ne sommes donc pas en mesure de répertorier 
les ouvrages dont l'utilisation est autorisée et ceux dont elle ne l'est pas. Ne croyez pas que le simple fait d'afficher un livre sur Google 
Recherche de Livres signifie que celui-ci peut être utilisé de quelque façon que ce soit dans le monde entier. La condamnation à laquelle vous 
vous exposeriez en cas de violation des droits d'auteur peut être sévère. 

A propos du service Google Recherche de Livres 

En favorisant la recherche et l'accès à un nombre croissant de livres disponibles dans de nombreuses langues, dont le français, Google souhaite 
contribuer à promouvoir la diversité culturelle grâce à Google Recherche de Livres. En effet, le Programme Google Recherche de Livres permet 
aux internautes de découvrir le patrimoine littéraire mondial, tout en aidant les auteurs et les éditeurs à élargir leur public. Vous pouvez effectuer 
des recherches en ligne dans le texte intégral de cet ouvrage à l'adresse fhttp: //book s .google . coïrïl 



t 



9A 

.L5// 



i 

1 




ÉLÉMENTS 



DE 



GÉOMÉTRIE. 



.^^jLkti 



'f 



IMPBAllÉaB %E tlBMm hibOt FfiËBlS, 

BOB lACOB, H* 66. 



ÉLÉMENTS 

d;e 

GÉOMÉTRIE, 

AVEC DES KOTES; 

Pak a. m. legendre, 

MBHnRE DE l'iUSTITITT ET DB Ll LiOIOH d'hOBNEUE 
DE L» SOCIÉTÉ BOXALE DE LORDEES, etC. 

QUATORZIÈME ÉDITION. 






/■ 



A PARIS, 

CHEZ riRMHf DIDOT FRÈRES, 

I^IBHAinES, RUE JACOR, n" 56. 
1843. 






AVERTISSEMENT 

POUR LA QUATORZIÈME ÉDITION. 

JLa. démonstration de la théorie des parallèles, 
telle qu'elle avait été présentée dans la 3^ édition 
de cet ouvrage et dans les éditions suivantes 
jusqu'à la 8® inclusivement , n'étant pas à l'abri 
de toute objection, on s'était déterminé dans 
^la 9® édition à rétablir cette théorie à peu près 
j$sur la même base qu'Euclide. Des réflexions 
^ultérieures faites sur le même objet, dont on 
fLdonnera le développement dans la note liront 
7fait découvrir deux nouvelles manières de dé* 
Q montrer le théorème sur les trois angles du tri- 
-*" angle, sans le secours d'aucun postulatum. On 
a en conséquence inséré une de ces démon- 
strations dans le texte de cette édition, en 
choisissant celle qui s'éloigne le moins des idées 
ordinaires,, et qui d'ailleurs ne semble pas plus 
difficile à comprendre que celle qui avait été 
donnée dans les éditionsjprécédentes , depuis 
la 3^ jusqu'à ,ja 8^ 

Un autre changement quitise* fera remarqiier 
dans cette édition , est relatif à la solidité de la 
/ pyramide triangulaire. On a rétabli cette dé- 
monstration à peu près telle qu'elle avait été 
donnée dans la i*"® édition de ces éléments, mais 
en profitant d'une idée heureuse due à M; Querret, 
chef d'institution à Saint-Malo ; elle consiste à 
rendre égales les hauteurs des prismes excédent 



et délicîent que l'on construit dans les deux 
pyramides comparées. Par ce moyen la démon- 
stration de la solidité de la pyramide paraît ré- 
duite au dernier degré de simplicité dont elle 
est susceptible. 

Enfin , comme les tables trigonométriques 
construites suivant la division décimale du qua- 
drant, ne sont pas aussi généralement répandues 
que celles qui se rapportent à Tancienne divi- 
sion de la circonférence, on a cru qu'il ne serait 
pas inutile de joindre aux exemples de calcul 
donnés dans la trigonométrie , les résultats que 
fournirait l'usage des anciennes tables. 



Le lecteur qui voudra se borner , au moins 
dans une première lecture , aux simples élé- 
ments , peut passer sans inconvénient les notes, 
appendices , et généralement tout ce qui est 
imprimé en petits caractères , comme étant 
moins utile ou exigeant une étude plus appro- 
fondie. Il reviendra ensuite sur ces objets , s'il 
le juge à propos , en choisissant ceux qui lui 
conviendront le miaux , d'après l'avis d'un 
professeur éclairé. • • •- 

N* B. Les nombres mis en marge indiquent les propo- 
sitions auxquelles on devra recourir pour rintelligence des 
démonstrations. Un seul nombre , comme 4 i indique la 
proposition it du livre courant : deux nombres , 20 , 3 , 
indiquent la xx^ proposition du livre ui. Dans la Trigo- 
nométrie on a distingue les articles et les renvois par des 
cLinVea romains. 



ELEMENTS 



DE GÉOMÉTRIE. 



LIVRE PREMIER. 



LES PRINCIPES. 



DEFINITIONS. 



L JLj a Géométrie est une science qui a pour objet 
la mesure de Tétendue. 

L'étendue a trois dimensions, longueur, largeur 
et hauteur. 

II. La ligne est une longueur sans largeur. 

Les extrémités d'une ligne sappellent/;{7//z^5;lepoint 
n'a donc pas d'étendue. 

III. La ligne droite est le plus court chemin d'un 
point à un autre. 

IV. Toute ligne qui n'est ni droite ni composée de 
lignes droites est une ligne courbe. 

Ainsi, AB est une ligne droite, ACBD une ligne ^ ^ 
brisée ou composée de lignes droites, et AEB est une 
ligne courbe. 

V. Swface est ce qui a longueur et largeur, sans 
hauteur ou épaisseur. 

"VI. Le plan est une surface , dans laquelle pre* 

t 



/- 



/ 



a GiOMBTEIB. 

nant deux points à volonté, et jol^ant ces deux 
points par une ligne droite, cette ligne est tout en- 
tière dans la surface. 

VIL Toute surface qui n'est ni plane ni composa 
de surfaces planes est une surface courbe. 

VIII. Solide ou corps est ce qui réunit les trois di- 
mensions de rétendue. 

fig. a, IX. Lorsque deux lignes droites AB , AC , se ren- 
contrent, la quantité plus ou moins grande dont elles 
sont écartées Tune de Fautre, quanta leur position 
s'appelle angle; le point de rencontre ou àUntersec^ 
tlon A est le sommet de Tangle; les lignes AB, AG, 
en sont les côtés. 

L'angle se désigne quelquefois par la lettre du 
sommet A seulement, d autres fois par trois lettres 
BAC ou GAB , ayant soin de mettre la lettre du sommet 
au milieu. 

Les angles sont, comme toutes les quantités, sus- 
ceptibles d'addition, de soustraction, de multiplica- 
H' >0' tion , et de division : ainsi l'angle DCË est la somme 
des deux angles DGB, BCE, et Tangle DGB est la dif- 
férence des deux angles DCË, BGE. 

fig. 3. X. Lorsque la ligne droite AB rencontre une autre 
droite CD, de telle sorte que les angles adjacents BAC, 
BAD soient égaux entre eux, chacun de ces angles 
s'appelle un angle droit; et la ligne AB est dile/^^r— 
pendiculaire sur CD. 

fig. 4. XI. Tout angle BAC plus petit qu'un angle droit 
est un angle aigu; tout angle plus grand DEF est un 
angle obtus. 

fig. 5. Xn. Deux lignes sont dites paroLteleSy lorsque, 
étant situées dans le même plan , elles ne peuvent se 
rencontrer à quelque distance qu^on les prolonge Tune 
et l'autre. Telles sont les lignes AB, CD. 



^If^' 



Liy&B I. 3 

XIU. Figure plane est un plan terminé de toutes 
parts par des lignes. 

Si les lignes sont droites , l'espace qu elles renfer- 
ment s'appelle figure rectiligne ou polygone ^ et les fig. 6. 
lignes elles-mêmes prises ensemble forment le contour 
ou perintetre du polygone. 

XIV. Le polygone de trois côtés est le plus simple 
de tous, il s appelle triangle; celui de quatre côtés 
s'appelle quadrilatère; celui de cinci^ pentagone; celui 
de six , hexagone , etc. 

XV. On appelle triangle équUatéral celui qui a se$ % 7« 
trois côtés égaux ; triangle isoscele^ celui dont deux fig. g. 
côtés seulement sont égaux ; triangle scalène y celui fig. 9. 
qui sTses trois côtés inégaux. 

XVI. Le triangle rectangle est celui qui a un angle 
droit. Le côté opposé à l'angle droit s'appelle hypoté' 

nuse : ainsi ABC est un triangle rectangle en A, le côté fig. lo. 
BG est son hypoténuse. 

XVII. Parmi les quadrilatères on distingue : 
Lequarré^ qui a ses côtés égaux et ses angles droits. fi«, xi 

( Voyez la prop. xx , liv. i. ) 

Le rectangle f qui a les angles droits sans avoir les fig. xa, 
côtés égaux. (Voyez la même prop.) 

he parallélogramme ou rhombe^ qui a les côtés op- fi-, x3. 
posés parallèles. 

Le losange y dont les côtés sont égaux sans que les fig. 34. 
angles soient droits. 

Enfin le trapèze, dont deux côtés seulement sont fig. 15. 
parallèles. 

XVIII. On appelle diagonale la ligne qui joint les 
sommets de deux angles non adjacents : telle est AG. fig. 4a« 

XIX. Polygone équUatéral est celui dont tous les 
côtés sont égaux; polygone équiangle , celui dont tous 
les angles sont égaux. 

XX. Deux polygones sont équiUuéraux entre eux 



4 GBOMliTaiB. 

lorsqu'ils ont les côtés égaux chacun à chacun , et 
placés dans le même ordre, c'est-à-dire, lorsquen 
suivant leurs contours dans un même sens, le premier 
côté de lun est égal au premier de l'autre, le second 
de l'un au second de l'autre, le troisième au troisième, 
et ainsi de suite. On entend de même ce que signifient 
deux polygones équiangles entre eux* 

Dans l'un ou l'autre cas, les côtés égaux ou les 
angles égaux s'appellent côtés ou angles homologues. 

N. B, Dans les quatre premiers liyres il ne sera question que de 
figures planes ou tracées sur une surface plane. 

Explication des termes et des signes. ^ 

Axiome est une proposition évidente par elle- 
même. 

Théorème est une vérité qui devient évidente au 
moyen d'un raisonnement appelé demjonstration. 

ProhUme est ime question proposée qui exige une 
olutio n, 

Lemme est une vérité employée subsidiairement 
pour la démonstration dun théorème ou la solution 
d'un problème. 

Le nom commim de proposition s'attribue indiffé- 
remment aux théorèmes, problêmes, et lemmes. 

Corollaire est la conséquence qui découle d'une ou 
de plusieurs propositions. 

Schclie est une remarque sur une ou plusieurs pro- 
positions précédentes, tendant à faire apercevoir leur 
liaison, leur utilité, leur restriction, ou leur exten- 
sion. 

Hypothèse est une supposition faite soit dans 
l'énoncé d'une proposition , soit dans le courant 
d'une démonstratiou. 



LITRB I. 5 

Le signe = est le signe de Tégalité; ainsi l'expres- 
sion Â=:B signifie que A égale B. 

Pour exprimer que A est plus petit que J3, on écrit 
A<B. 

Pour exprimer que A est plus grand que B, on écrit 
A>B. 

Le signe + se prononce plus ; il indique Vaddition. 

Le signe — se prononce moins; il indique la sous- 
traction : ainsi A + B représente la somme des quan- 
tités A et B ; A — B représente leur différence ou ce 
qui reste en ôtant B de A ; de même A — B + C, ou 
A-f-C — B, signifie que A et C doivent être ajoutés 
ensemble, et que B doit être retranché du tout. 

Le signe X indique la multiplication ; ainsi A X B 
représente le produit de A multiplié par B. Au lieu du 
signe X on emploie quelquefois un point; ainsi A. B 
est la même chose que A x B. On indique aussi le 
même produit sans aucun signe intermédiaire parAB; 
mais il ne faut employer cette expression que lors- 
qu'on n a pas en même temps à employer celle de la 
ligne AB distance des points A et B. 

L'expression A x(B + C — D) représente le produit 
de A par la quantité B-f-C — D. S'il fallait multiplier 
Ah- B par A — B + C, on indiquerait le produit ainsi 
(A-f-B) X (A — B + C); tout ce qui est renfermé 
entre parenthèses est considéré comme une seule 
quantité. 

Un nombre mis au-devant dune ligne ou d^une 
quantité, sert de multiplicateur à cette ligne ou à cette 
quantité; ainsi, pour exprimer que la ligne AB est 
prise trois fois , on écrit 3 A B; pour désigner la moitié 
de Tangle A , on écrit 7 A. 

Le quarré de la ligne AB se désigne par AB'; son 



6 GSOMBTRIB. 

— s 

cube par AB. On expliquera en son lieu ce que si- 
gnifient précisément le quarré et le cube d'une ligne. 
Le signe V^ indique une racine à extraire; ainsi 

V^ 2 est la racine quarrée de a ; l/^ A x B est la racine 

du produit A X B, ou la moyenne proportionnelle 
entre A et B. 

▲ X I o M B s. 

I. Deulc quantités égales à une troisième sont égales 
entre elles. 

a. Le tout est plus grand que sa partie. 

3. Le tout est égal à la somme des parties dans 
lesquelles il a été divisé. 

4* D^un point à un autre on ne peut mener qu'une 
seule ligne droite. 

5. Deux grandeurs y ligne, surface ou solide , sont 
égales, lorsqu étant placées Tune sur l'autre elles coin, 
cident dans toute leur étendue. 



PROPOSITION PREMIERE. 

THBOa'ÂMB. 

fig. i6. Les angles droits sont tous égaux entre eux. 

Soit la ligne droite CD perpendiculaire à AB, et 
6H à EF; je dis que les angles AGI), EGH seront 
égaux entre eux. 

Prenez les quatre distances égales C A , CB, GE, 
G F, la distance AB sera égale à la distance EF, et 
on pourra placer la ligne E F sur A B, de manière 
que le point E tombe en A, et le point F en B. Ces 
deux lignes ainsi posées coïncideront entièrement 
Tune avec l'autre; car, sans cela, il y aurait deux 



iiivaB I* 7 

lignes droites de A en B , ce qui est impossible * , ♦ix. 4. 
donc le point G, milieu de EF , tombera sur le point 
C , milieu de A B. Le côté G E étant ainsi appliqué 
sur C A, je dis que le côté G H tombera sur CD ; car 
supposons, s'il est possible, qu'il tombe sur une ligne 
CK différente de CD; puisque, par hypothèse*, *^^-'^ 
l'angle EGH = HGF , il faudrait qu on eût ACK =3 
KGB, Mais langle ACK est plus grand que AGD, . 
l'angle KGB est plus petit que BCD; d ailleurs , par 
hypothèse, ACD = BCD; donc ACK est plus grand 
que KGB ; donc la ligne GH ne peut tomber sur une 
ligne CK différente de CD; donc elle tombe sur CD, 
et langle EGH sur AGD; donc tous les angles droits 
sont -égaux entre eux, 

PROPOSITION II. 



A 



THBOKfiME, 



Toute ligne droite CD, qui en rencontre une fig. ly. 
autre AB^Jait avec celle-ci deux angles adja- 
cents ACD, BCD, dont la sormne est égale à 
deux angles droits. 

Au point C , élevez sur AB la perpendiculaire CE. 
L'angïe ACD est la somme des angles ACE , ECD ; 
donc ACD + BCD sera la somme des trois ACE, 
ECD, BCD. Le premier de ceux-ci est droit, les deux 
autres font ensemble l'angle droit BCE; donc la 
somme des deux angles ACD, BCD est égale à deux 
angles droits. 

Corollaire I. Si l'un des angles ACD , BCD est droit, 
Tautre le sera pareillement. 

Corollaire IL Si la ligne DE est perpendiculaire *«• **< 
à AB, réciproquement AB sera perpendiculaire à DE. 

Car , de ce que DE est perpendiculaire à AB , i} 



8 GiOM^TRIS. 

8*en8uit que langle ÂCD est égal à son adjacent 
DCB, et qu^ils sont tous deux droits. Mais de ce 
que l'angle ACD est un angle droit, il s'ensuit que 
son adjacent ÂGE est aussi un angle droit; donc 
l'angleAG£=ACD , donc AB est perpendiculaire à DE 
% ^4. Corollaire IIL Tous les angles consécutifs BAC. 
CAD, DA]p;, EAF, formés d'un même c6té de la 
droite BF^ pris ensemble, valent deux angles droits; 
car leur somme est égale k celle des deux angles 
adjacents BAC , CAF. 

PROPOSITION III. 



*l)r. 9. 
cor. !• 



THÉORBMB. 



Deux lignes droites qui ont deux points com^ 
muns coïncident Vune avec Vautre dans toute 
leur étendue , et ne forment qu *une seule et même 
ligne droite. 

£g. 19. Soient les deux points communs A et B ; d'abord 
les deux lignes n'en doivent faire qu'une entre A et 
B , car sans cela il y aurait xleux lignes droites de A 

*«x. 4. en B, ce qui est impossible*. Supposons ensuite que 
ces lignes étant prolongées, elles commencent à se 
séparer au point C, l'une devenant CD, l'autre CE. 
Menons au point C la ligne CF , qui fasse avec CA 
l'angle droit ACF. Puisque la ligne ACD est droite, 
l'angle FCD sera un angle droit*; puisque la ligne 
ACE est droite, l'angle FCE sera pareillement un 
angle droit Mais la partie FCE ne peut pas être égale 
au tout FCD ; donc les lignes droites qui ont deux 
points A et B communs^ ne peuvent se séparer en 
aucun point de leur prolongement; donc elles ne 
forment qu'une seule et même ligne droite. 



LITRE I* 

PROPOSITION IV. 



THEOREME. 



Si deux angles adjacents ACD , DCB ,' valent fig- ao. ; ^^ 
ensemble deux angles droits, les deux côtés ex- « • 

térieurs AC, CB, seront en ligne droite. s 

Car si CB n'est pas le prolongement de AC, soit 
CE ce prolongement 5 alors la ligne ACE étant droite, 
la somme des angles ACD, DCE, sera égale à deux 
droits*. Mais, par hypothèse, la somme des angles *pr. «• f^ 
ACD, DCB, est aussi égale à deux droits; donc ACD 
-f- DCB serait égale à ACD + DCE ; retranchant de 
part et d'autre l'angle ACD, il resterait la partie DCB 
égale au tout DCE, ce qui est impossible; donc CB 
est le prolongement de AC. 

PROPOSITION V. 



K 



THEOREME. 



Toutes les fois que deux lignes droites AB, %•*'« 
DE, se coupent^ les angles opposés au sommet 
sont égaux. 

Car puisque la ligne DE est droite , la somme des 
angles ACD , ACE , est égale à deux droits ; et puis- 
que la ligne AB est droite , la somme des angles ACE, 
BCE, est égale aussi à deux droits; donc la somme 
ACD + ACE est égale à la somme ACE + BCE. Re- 
tranchant de part et d autre le même angle ACE, il 
restera Fangle ACD égal à son opposé BCE. 

On démontrerait de même que l'angle ACE est égal 
à son opposé BCD. 

Scholie, Les quatre angles formés autour d un point 
par deux droites qui se coupent, valent ensemblq 



10 GEOMETRIE. 

quatre angles droits; car les angles ACE, BCE, pris 
ensemble, Talent deux angles droits, et les deux autres 
ÂCD , BCD , ont la même valeur. 
fig. la. En général, si tant de droites qu'on voudra CA, 
GB, etc., se rencontrent en un point G, la somme 
de tous les angles consécutifs AGB, BGD, DGE, 
EGF, FGA^ sera égale à quatre angles droits : car 
si on formait au point G quatre angles droits au 
moyen de deux lignes perpendiculaires entre elles , le 
même espace serait rempli, soit par les quatre angles 
droits , soit par les angles successifs AGB , BGD , etc. 

PROPOSITION VI. 

THBORÂME. 

Deux triangles sont égaux^ lorsqu'ils ont un 
angle égal compris entre deux côtés égaux 
chacun à chacun. 

fig- 93. Soit langle A égal à l'angle D, le côté AB égal à 
DE; le côté AG égal à DF; je dis que les triangles 
ABG , DEF , seront égaux. 

En effet, ces triangles peuvent être posés l'un sur 
l'autre de manière qu'ils coïncident parfaitement. Et 
d'abord si on place le côté DE sur son égal AB , le 
point D tombera en A et le point E en B : mais puis 
que langle D est égal à Tangle A, dès que le côté 
DE sera placé sur AB, le côté DF prendra la direc*- 
tion AG. De plus DF e^t égal à AG; donc le point F 
tombera en G, et le troisième côté EF couvrira exac- 
tement le troisième côté BG; donc le triangle DEF 
*ax. 5. est égal au triangle ABG^ 

Corollaire. De ce que trois choses sont égales dans 
deux triangles, savoir, langle A;=: D, le côté AB = 
DE, et le côté AC = DF, on peut conclure que les 



LITIIB I. II 

trois autres le sont, savoir, langle B = E, l'angle 
C =: F, et le côté BC = EF. 

PROPOSITION VII. 

THBORBMS. 

Deux triangles sont égaux ^ lorsquHls ont un 
côté égal adjacent à deux angles égaux chacun 
à chacun. 

Soit le côté BG égal au côté EF, langle B égal à fig. %%, 
l'angle £, et langle C égal à l'angle F; je dis que le 
triangle DEF sera égal au triangle ABC. 

Car, pour opérer la superposition, soit placé EF 
sur son égal BC, 1^ point E tombera en B , et le point 
F en C. Puisque Tangle E est égal'à langle B, le côté 
£D prendra la, direction BA ; ainsi le point D se 
trouvera sur quelque point de la ligne BA. De même, 
puisque l'angle F est égal à Tangle C , la ligne FD 
prendra la direction CA, et le point D se trouvera 
sur quelque point du côté CA; donc le point D qui 
doit se trouver a la fois sur les deux lignes BA, CA, 
tombera sur leur intersection A; donc les deux trian- 
gles ABC, DEF, coïncident lun avec l'autre, et sont 
parfaitement égaux. 

Corollaire. De ce que trois choses sont égales dans 
deux triangles, savoir, BC = EF, B = E, C=F, on 
peut conclure que les trois autres le sont, savoir, 
AJ5 = DE, AC=DF, A=D. 

PROPOSITION VIIL 

THBOKÂMB. 

Dans tout triangle un côté quelconque est plus 
petit que la somme des deux autres. 

Car la ligne droite BC, par exemple, est le plus ^* a'* 



la GBOMBTEIB. 

Méf. 3. court chemin de B en C^ , donc BG est plus petit que 
AB + AC. 

PROPOSITION IX. 

THEOREME. 

fig. a4. Si d^un point O pris au - dedans du triangle 
ABC, on mène aux extrémités d'un côté BG les 
droites OB, OC, la somme de ces droites sera 
moindre que celle des deux autres côtés AB , AC. 
Soit prolongé BO jusqu à la rencontre du côté AC 
en D ; la ligne droite OC est plus courte que OD H- 
*pr. 8. DC* : ajoutant de part et d'autre BO , on aura BO -|- 
OC < BO+OD + DC, ou BO + OC < BD+DC. 

On a pareillement BD<BA+AD ; ajoutant de 
part et d'autre DC , on aura BD+DC < BA + AC. 
Mais on vient de trouver BO + OC < BD +DC ; donc 
" à plus forte raison , BO+OC < BA + AC. 

PROPOSITION X. 



A 



THEOREME. 



Si les deux côtés AB , AC , du triangle ABC 

^* * ' sont égaux aux deux côtés DE , DF , du triangle 

DE F , chacun à chacun ; sien même temps l'angle 

BAC , compris par les premiers , est plus grand 

que r angle EDF, compris par les seconds; je 

dùi que le troisième côté BC du premier triangle 

sera plus grand que le troisième EF du second. 

Faites Vangle CAG=D, prenez AG = DE, et 

joignez CG , le triangle GAC sera égal au triangle 

DEF, puisqu'ils ont par construction un angle égal 

» g compris entre côtés égaux* ; on aura donc CG=EF. 

Maintenant il peut y avoir trois cas , selon que le point 



LiyKBI. l3 

G tombe hors du triangle ABC, ou sur le côté BC; 
ou au-<ledans du même triangle. 

Premier cas. La ligne droite GC est plus courte figa^. 
que GI + IC , la ligne droite AB est plus courte que 
AI-|-IB;donoGC+ABestpluspetit que GI + AI + 
IC+ IB, ou, ce qui est la mêmechose, GG + AB < AG 
-f-BC. Retranchant d'un côté AB et de l'autre son égale 
AG , il restera GC < BC : or GC = EF ; donc on aura 
EF < BC. 

Second cas. Si le point G tombe sur le côté BC, il ^6- ^^' 
est évident que GC ou son égale EF sera plus petit 
que BC. 

Troisième cas. Enfin si le point G tombe au-dedans ^6* *7' 
du triangle ABC, on aura, suivant le théorème pré- 
cédent, AG+GC<AB+BC. Retranchant d'une part 
AG, et de lautre son égale AB, il restera GC < BC, ou 
EF < BC. 

Scholie. Réciproquement, si les deux côtés AB, AC 
du triangle ABC sont égaux aux deux côtés DE, DF, 
du triangle DEF; si, de plus, le troisième côté CB du 
premier triangle est plus grand que le troisième EF 
du second, je dis que l'angle BAC du premier triangle 
sera plus grand que l'angle EDF du second. 

Car si on nie cette proposition , il faudra que Tangle 
BAC soit égal à EDF, ou qu'il soit plus petit que EDF : 
dans le premier cas , le côté CB serait égal à EF* ; dans * P**- ^« 
le second, CB serait plus petit queEF; or l'un et l'autre 
est contraire à la supposition ; donc langie BAC est 
plus grand que EDF. 

PROPOSITION XI. 



THÉOREMB. 



Deux triangles sont égaux ^ lorsquHh ont Ivs 
trois côtés égaux chacun à chacun. 



l4 GÉOMBTRIB. 

fig. 2X Soit le côté ABi=D£, AC=DF, BC=EF, je dis 
quon aura l'angle A=D, B=:E, C=F. 

Car si Tangle A était plus grand que Tangle D, 
comme les côtés AB, AC, sont égaux aux côtés DE, 
DF^ chacun à chacun , il s*en.«uivrait, par le théorème 
précédent, que le côté BC est plus grand que EF; 
et si Tangle A était plus petit que Tangle D, il s en- 
suivrait que le côté BC est plus petit que EF; or, BC 
est égal à EF; donc langle A ne peut être ni plus 
grand ni plus petit que l'angle D; donc il lui est égal. 
On prouvera de même que langle B=£, et que 
l'angle C = F. 

Scholie, On peut remarquer que les angles égaux 
sont opposés à des côtés égaux : ainsi les angles égaux 
A et D sont opposés aux côtés égaux BC, EF. 

PROPOSITION XII. 

THBORSME. ^ 

Dans un triangle isoscèle , les angles opposés 
aux côtés égaux sont égaux. 
Eg. a8. Soit le côté AB=-AC, je dis quon aura langle 
C=B. 

Tirez la ligne AD du soinmet k au point D, milieu 
delà base BC, les deux triangles ABD, ADC, auront 
les trois côtés égaux chacim à chacun ; savoir AD 
commun, AB=:AC par hypothèse, et BD = DC par 
construction ; donc , en vertu du théorème précédent , 
l'angle B.est égal à l'angle C. 

Corollaire. Un triangle équilatéral est en même 
temps équiangle , c'est-à-dire , qu'il a ses angles égaux. 

Scholle. L'égalité des triangles ABD , ACD , prouve 
en même temps que langle BAD = DAC, et que 
langle BDA=ADG; donc ces deux derniers sont 



LIVRE I. l5 

droits; donc la ligne menée du sommet d*un triangle 
isoscele au milieu de sa base , est perpendiculaire à 
cette base^ et divise V angle du sommet en deux parties 
égales. 

Dans un triangle non isoscèle on prend indifFérem* 
ment pour base un côté quelconque, et alors son 
sommet est celui de langle opposé. Dans le triangle 
isoscèle on prend particulièrement pour base le côté 
qui n est point égal à Tun des deux autres. 

PROPOSITION XIII. 

THEOREME. 

Réciproquement^ si deux angles sont égaux 
dans un triangle , les côtés opposés seront égaux , 
et le triangle sera isoscèle. 

Soit l'angle ABC=ACB, je dis que le côté AC sera ^ 
égal au côté AB. 

Car si ces côtés ne sont pas égaux , soit AB le plus 
grand des deux. Prenez BD=AG, et joignez DC 
L angle DBC est, par hypothèse, égal k ACB; les 
deux côtés DB, BC sont égaux aux deux AC, CB; 
donc le triangle DBC * serait égal au triangle ACB. *pr,6. 
Mais la partie ne peut pas être égale au tout; donc il 
n'y a point d'inégalité entre les cotés AB, AC; donc 
le triangle ABC est isoscèle. 

PROPOSITION XIV. 

THEOREME. 

De deux côtés d^un triangle^ celui-là est le 
plus grand qui est opposé à un plus grand 
angle , et réciproquement j de deux angles d^un 



6 -^ -* 



GEOMETRIE. 

triangle y celui-là est le plus grand qui est op^ 
posé à un plus grand côté. 
fig. 3o. jo Soit l'j^jjgig C > B , je dis queie côté AB opposé 

à langle C est plus grand que le côté AG opposé à 
langle B. 

Soit fait langle BCD = B; dans le triangle BDC 
♦ i3 ^^ ^^^^ * BD = DC. Mais la ligne droite AC est plus 
' courte que AD+ DC, et AD + DC = AD + DB = 
AB; donc AB est plus grand que AC. 

2*^ Soit le côté AB > AC , je dis que langle C opposé 
au côté AB sera plus grand que langle B opposé au 
côté AC. 

Car si on avait G<B, il s'ensuivrait, par ce qui 

vient detre démontré, AB< AC, ce qui est contre la 

*pr.i3. supposition. Si on avait C = B, il s'ensuivrait * AB = 

AC, ce qui est encore contre la supposition ; donc il 

faut que 1 angle C soit plus grandi que B, 

PROPOSITION XV. 



A 



THEOREME. 



£g. 3r. D^un point k donné hors d*une droite DE, on 
ne peut mener qu'une seule perpendiculaire à 
cette droite. 

Car supposons qu'on puisse en mener deux AB et 
AC; prolongeons lune d'elles AB d'une quantité BF 
r=AB, et joignons FC. 

Le triangle CBF est égal au triangle ABC : car 
l'angle CBF est droit ainsi que CBA, le côté CB est 
commun , et le côté BF = AB,; donc ces triangles 
^ P*"- ^* sont égaux *, et il s'ensuit que l'angle BCF = BCA. 
L'angle BCA est droit par hypothèse ; donc langle 
BCF Test aussi. Mais si les angles adjacents BCA, BCF, 
valent ensemble deux angles droits , il faut que la ligne 



LIVRB I. ly 

ACF soit droite * ; d'où il résulte qu'entre les deux • pr. 4. 
mêmes points A et F, on pourrait mener deux lignes 
droites ABF, ACF; ce qui est impossible *; donc il **"*' 
est pareillement impossible que deux perpendiculaires 
soient menées d'un même point sur la même ligne 
droite. 

Scfuilie. Par un même point C donné sur la ligne ig. 17 
ABy il est également impossible de mener deux per- 
pendiculaires à cette ligne : car si CD et CE étaient ces 
deux perpendiculaires, Tangle DCB serait droit ainsi 
que BCE , et la partie serait égale au tout. 

PROPOSITION XVI. 

TBliORÂlIB. 

Si d'un point A situé hors dune droite DE on ^ j , 
mène la perpendiculaire AB sur cette droite^ et 
dijférerites obliques AE, AC, AD , etc. , à dijje- 
rents points de cette même droite : 

i^ La perpendiculaire AB sera plus courte 
que toute oblique. 

a<> Les deux obliques AC, AE, menées de 
part et d'autre de la perpendiculaire à des dis- 
tances égales BC, BE, seront égales. 

3® De deux obliques AC e^ AD, ou AE et AD, 
menées comme on voudra j celle qui s'écarte le 
plus de la perpendiculaire sera la plus longue. 

Prolongez la -perpendiculaire AB d*une quantité 
BF = AB, et joignez FC, FD. 

i*^ Le triangle BCF est égal au triangle BCA, car 
Tangue droit CBF=:CBA, le côté CB est commun , et 
le côté BF = BA ; donc * le troisième côté CF est égal «pr. 6. 



t8 GBOMlSTltlB. 

au troisième AC. Or, ABF ligne droite est plu5 courte 
que AGF ligne brisée 5 donc AB moitié de ABF e^t 
plus courte (jue AC moitié de ACFj donc 1**, l^ per- 
pendiculaire est plus courte que toute oblique, 

tP Si on suppose BErziBC, comme on a en outre AB 

commun et Fangle ABE=ABG , il s'ensuit que le iri- 

V' ^- an^Ie ABE çst égal au triangle ABC*; donc les cotas 

AE^ AC sont égau%; donc a% deux obliques qui $'écajr- 

tent également de la perpendiculaire 30 nt égales. 

3** Dans le triangle DFA la soiame des lignes ACi 
* pr. 9. CF , est plus petite* que la somme des côtés AD, DF; 
donc AC, moitié de la ligne ACF, est plus courte 
que AD moitié de ADF; donc 3®, les obliques qui 
s'écartent le plus de la perpendiculaire sont les plus 
longues. 

Corollaire I. La perpendiculaire mesure la vraie 
distance dun point à une ligne, puisqu'elle est plus 
côufte que toute oblique. 

IL Duhmême point on ne peut mener à une même 
ligne trois droites égales : car si cela était, il y aurait 
cFuH nfiénie c6té de la perpendiculaire ixMX obliques 
égales, ce qui est impossible. 

PEOPOSJJTION XVIJL 

tnÂonâiiB. 

H' 5*' Si par h point C, milieu de ta droite ÀB, on 
éhve la perpendiculaire ÈP sur cette droite; 
I* chaque point de ta perpendiculaire sera èga- 
lêfhemt disiétni dts deux extfémités de lu ligne 
AB; 7,^ tout point situé hors de là perpenditui- 
Im^e, siéra inéguicmeni distant des mêmes extré- 
rmtég A «i il. 

Car, 1** puisqu'on snpposè AC::^CB, les deux obli- 



LIVBB I. Ip 

ques AD, DB, s'écartent également de la perpendi- 
culaire; donc elles sont égales. Il en est de même des 
deux obliques AE, EB, des deux AF^ FB, etc. ; donc 
!<*, tout point de la perpendiculaire est également dis. 
tant des extrémités A et B. 

9° Soit I un point hors de la perpendiculaire { si 
on joint lA, IB, Tune de ces lignes coupera la per* 
pi^iuUculaire en U, d'où tirant DB, on aura DB::7l>A. 
Biais la ligne droite IB est pliu petite que la ligne 
brisée ID+DB, et ID-hDB=:=ID+DA=IA; donc 
IB<IA; donc a*^, tout point hors de la perpendieu* 
Iftire eft inégalemienl distant de3 extrémités A «t JB» 

PROPOSITION XVIII. 



TffSORBMB. 



DeuJ: triangles rectangtes sont égaux lors- 
qu'ils ont V hypoténuse égale et un eôté égaL 

Soit Thypoténuse AGzi^DF, et 1^ c^të ABâtrDE, }# H- 3^* 
dis que le triangle rectangle ABC sera égal au triangle 
rectangle DEF. 

L^égalité serait manifeste si le troisième eAté BG 
était égal au troisième ËF : supposons , s'il est pos* 
sible, que ces côtés ne soient pas égaux, et Ijue BC 
soit le plus grand. Prenez BG=EP, et joignes AG. 
Le* triangle ABG est égal au triangle DEF; car Fangle 
droit B est égal à Tangle droit E^ le côté AfiâbDE, et 
lé côté BGi=:EF; donc ces deux triangles sont égiux* * p'. <^. 
et on a par con.'^équent AG:i^DF; mais, par hypô^ 
thèse, DF=;=AC; donc AG=AC. Mais l'oblique AG 
ne peut être égale à AG*, puisquelle est plus éloignée "pr.!*. 
de la perpendiculaire AB ; donc il est impossible que 

2. 



20 GSOMiTRIE. 

BG diffère de EF; donc le triangle ABC est égal au 
triangle DEF. 

PROPOSITION XIX. 

THEOREME. 

Dans tout triangle^ la somme des trois angles est 
égale h deux angles droits. 

Soit ABC le triangle proposé dans lequel nous 
%35. supposerons (i) que AB est ie plus grand côré et BC 
le plus petit , et qu'ainsi ACB est le plus grand angle, 
*pr. i4. et BAC le plus petit. * 

« 

Par le point A et par le point I milieu du côté op- 
posé BG, menez la droite AI que vous prolongerez en 
G' jusquà ce que AG'::=AB; prolongez de même AB 
en B' jusquà ce que AB' soit double de AI. 

Si on désigne par A, B,C, les trois angles du tri- 
angle ABC etsemblablement par A\B\G' les trois angles 
du triangle AB'G', je dis qu on aura l'angle G'=Bh-G, 
et Tangl^ A=A'H-B', doù résulte AH-B4.G=::A'-fB' 
+ G\ c'est-à-dire que Ta somme des trois angles est la 
même dans les deux triangles. 

Pour le prouver, faites AK=:AI et joignez G'K , 
TOUS aurez le triangle G'AK égal au triangle BAI. Gar, 
dans ces deux triangles, langle commun A est com- 
pris entre côtés égaux chacun à chacun , savoir: AG, 
=AB, et AK=jA1. Donc le troisième côté G'K est égal 
au troisième BI ; donc aussi langle AG'K= ABG , et 
l'angle AKC = A1B. 

Je dis niainu*nant que le triangle B'G'K est égal au . 
triangle AGI , car la somme des deux angles adjacens 
*pr. a. AKG'+G'RB' est égale à deux angles droits'*' ainsi que 



(i) Cette su|iposition^n*exclut pas le cas où Je côté moyeu AC 
serait égal à Tun des extrêmes AB ou BC. 



LIVRE 1. ai 

la somme des deux anj^les AIC+AIB; retranchant de 
part et d'autre les angles égaux ARC , AIB, il restera 
langte C'KB'=AIC. Ces angles égaux dans les deux 
triangles sont compris entre côtés égaux chacun à 
chacun, savoir C'K = 1B=^C1, et RB'=AK=:AI, 
puisqu'on a supposé AB't=z:2AI= sAK. Donc les deux 
triangles fi'C'K , AGI , sont égaux*; donc le côté C'B' *p'.6. 
=AC, l'angle B'C'Kr^ACB, et Tangle KB'C'=CAI. 

il suit de là i^ que i*ungle AC'B' désigné par C est 
composé de deux angles égaux aux angles B et G du 
triangle ABC, et qu ainsi on a C'=B-|-C ; '4** que Tangle 
A du triangle AB(^^ est composé de fangle A' ou 
C'AB' qui appartient au triangle AB'C' et de Tangle 
CAI égal à l'angle B'du môme triangle, ce qui donne 
A = A'4-B'; donc A + B + C=z= A'+ B'-hG\ Dail- 
leurs puisqu^on a par hypothèse AC < AB et par con* 
séquent C'B' < AC\ on voit que dans le triangle AG'B 
Tangle en A, désigné par A', est moindre que BS 
et comme la somme des deux est égale à langle A 
du triangle proposé, il s'ensuit qu*on a langle A' 
< ^A, 

Si on applique la même construction au triangle 
AB'G', pour former un troisième triangle ACB" 
dont les angles seront désignés par A'', B", G", on 
aura seniblablement les deux égalités CrzrC'-h B* 
A'=A'' 4- B'^dW résulte A^4-B'-hG'=A"4-B''4-G'' 
Ainsi la somme des trois angles est la mi^me dans ces 
trois triangles: on aura en même tems langle A' < 7 A', 
et par conséquent A" <|A. 

Continuant indéfiniment la suite des triangles AG'B', 
ACB", etc. on parviendra à un triangle abc danS 
lequel la somme des trois angles sera toujours la même * 
que dans le triangle proposé ABC et qui aura Pangie 
a plus petit que tel terme qu^on voudra de la pro« 
gression décroissante -^A , |^A , jA , etc. 

On peut donc supposer cette suite de triangles 



2a GBOMBTRIB. 



prolongée jusqu à ce que Vangle a soit moindre que 
'tout angle donné. 

Kt s\ siu moyen du triangle abc on construit 
le triangle suivant a* b* c\ la somme des angles 
a'+^* de celui-ci sera égale à Tangle a, et sera par 
conséquent moindre que tout angle donné ; doù l'on 
voit ç^we la somme des trois angles du triangle a*b'ô* 
ae réduit presque au seul angle c\ 

Pour avoir la mesure précise de cette somme , pro- 
longeoi^s le côté a^c' vers ûT, et appelons x' l'angle 
extérieur b^c'd'; cet angle a:\ joint à l'angle c^ du 
triangle à'b'c\ fait une somme égale à deux angles 
* pr. a. droits*; ainsi en désignant Tangle droit par D, on aura 
c':t= 2 D — x'i donc la somme des angles du triangle 
a'c'b' sera 

aD-f-a'-hA' — a:\ 

Mais On peut concevoir que le triangle a'c'b^ varie 
dani ses angles et ses côtés, de manière à représenter 
les triangles successifs qui naissent ultérieurement de 
la même construction et s'approchent de plus en 
plus delà limite où les angles a' et^'seraient nuls. Dans 
celte limite la droite a'c'd' se confondant avec a'ù'^ 
les trois points a\c\b\ finissent par être exactement 
en ligne droite; alors les angles b' et x^ deviennent 
nuls en même tems que a\ et la quantité % n-k-a'+b* 
— X , qui mesure la somme des trois angles du triangle 
a!c'b' , se réduit* à a D , donc dans toiU triangle la 
somme des trois angUs est égale à deux angles droits* 

Corollaire J. Deux angle» d*un triangle étant donnés , 
on seulement letir somme, on connaîtra le troisième 
en retranchant la somme de ces angles de deux angles 
di-oits. 

II. Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux 
angles d un autre triangle, chacun à chacun , le troi- 



L I V R B I. %3 

sième de l'uo sera égal au troisième de i autre , et 
/les deux triangles seront équiangles entre eux. 

III, Dans un triangle il ne peut j avoir qu'un seul 
angle droit ; car s'il y en avait deux > le troi^iènie , 
devrait être nul; à plus forte raison un triiuigie ne 
peut-il avoir qu'un seul angle obtus* 

IV* Dans un triangle rectanj^le ta somnM des deux 
angles aigus est égale à un angle droit. 

V. Djin» un triangle équiiai^ral çhiiqu^ angle est 
Je tiers ci^ deux angles diuit^ ou les 4iru% tiors d'un 
angle droit. Donc «i fangle droit «Al exprîttié par ii 
Taiigle du triangle équilati*i*al ki sera {lar ^ 

VI. D.ins tout triangle ARC « on prolottge le côté 
AB vers D, Tangle extérieur CBDsera égal h ta som- 
me des deux intérieurs opposés A et C ; car en ajoutant 
de part et d'autre ABC, les deux fioiuniessont égales 
4 deux angles droits. 

PROPOSITION XX. 

La somme die ions lf$ angles intérieuf's dun 
polygone est égale à autant de fiiis deu^ angles 
droits qu'il y u d'unités dans le notnffm des 
côtés moins deux. 

Soît ABCD etc. le polygone proposé; si du sommet 
d'un même angle A , on mène à tous tes sommets des Sg. 4%. 
angles opposcà les diagonales AC, AD, AÊ, etc., 
îl est aisé de Voir que le polygone sera partagé en 
cinq triangles, s*il a sept côtés; en six triangles , s'il 
avait huit côtés; et en général, en ^i^tant de triangles 
que le polygone a de côtés moins deux ; car ces trian- 
gles peuvent être considérés comme ayant pour somme 



a4 GÉOMÉTRIE. 

commun le point A, et pour bases les différents côtes des 
polygones, excepté les deux qui forment langle A. On 
voit en même temps que la somme des angles de tous 
ces triangles ne diffère point de la somme des angles 
du polygone; donc cette dernière somme est égale 
à autant de fois deux angles droits qu^il y a de triangles, 
c^est-à-dire, tfu'il y a d'unités dans le nombre des cùtés 
du polygone moins deux. 

Corollaire I. La somme des angles d'un quadrilatère 
est égale à deux angles droits multipliés par 4 — a ^ ce 
qui fait quatre angles droits» Donc si tous les angles 
d'un quadrilatère sont égaux , chacun d'eux sera un 
angle droit; ce qui justifie la définition xvii où l'on 
a supposé que les quatre angles d'un quadrilatère 
sont droits, dans le cas du rectangle et du quarré. 

II. La somme des angles dun pentagone est égale 
à deux angles droits multipliés par 5 — 2 , ce qui 
fait 6 angles droits. Donc lorsqu'un pentagone est 
iquiangUy cest*à-dire lorsque ses angles sont égaux 
les uns aux autres , chacun d'eux est égal au cin- 
quième de six angles droits , ou aux | d'un angle droit. 

IlL La somme des angles dun hexagone est de 
ax(6 — a^ ou 8 angles droits; donc dans Thexagone 
êquiangle, chaque angle est ^ ou \ d'angle droit. 

fig. 43. Scholie. Si on voulait appliquer cette proposition 
à un polygone dans lequel il y aurait un ou plusieurs 
angles rentrants ^ il faudrait considérer chaque angle 
rentrant comme étant plus grand que deux angles 
droits. Mais, pour éviter tout embarras, npus ne 
considérerons ici et dans la suite , que les polygones 
à angles saillants^ qu'on peut appeler autrement /?/5^- 
gones convexes. Tout polygone convexe est tel, qu'une 
ligne droite, menée comme on voudra, ne peut rencon* 
trer le contour de ce polygone qu'en deux points. 



LIVRE 1. a5 



PROPOSITION XXL 



THBORÂMB. 



Si deux lignes droites AB, CD, sont perpendi- H* ^ 
culaires à une troisième FG , ces deux lignes seront 
parallèles^ c^ est- à" dire quelles ne pourront se 
rencontrer à quelque distance qu*on les prolonge. 

Carsi elles se rencontraient en un point O, il y aurait 
deux perpendiculaires OF, 00, abaissées d'un même 
point sur une même ligne FG^ ce qui est impossible/ *pr.s5. 

PROPOSITION XXII. 

THEOREME. 

Si deux lignes droites AB , CD j font avec une ig.36. 
troisième E F y deux angles intérieurs BEF^ DFE^ 
dont la somme soit égale à deux angles droits^ 
les lignes AB, CD , seront parallèles. 

Si les angles BEF , DFË, étaient cgaux , ils seraient 
droits Tun et lautre, et on tomberait dans le cas de 
la proposition précédente; supposons donc qu'ils sont 
inégaux et par le point F , sommet du plus grand, abais- 
80US FG perpendiculaire sur AB. 

Dans le triangle EFG , la somme des deux angles 
aigus FEG-I-EFG est égale à un angle droit *; cette -pp. ,9. 
somme étant retranchée de la somme BEF-l- OFE «of-*- 
égale par hypothèse à deux angles droits , il restera 
Tangle DFG égal à un angle druit. Donc les deux li« 
gués AB, CD, sont perpendiculaires à une même ligne 
FG, donc elles sont parallèles*. ♦pr.aj. 



20 GBOMBT&IB. 

PROPOSITION XXIII. 

THÉORBHB. 

âg. 37. ' Si deux lignes droites j4B , CD y font avec une 
troisième £Fj deux angles intérieurs d'un même 
coté , dont la somme soit plus petite ou plus 
gnmde^ue deux angles droits^ les lignes AB « Cr> ^ 
prolongées suffisamment , devront se rencontrer. 

Soît i^ La somme BEF4-EFD plus petiie que deux 
angles droits , menez F6 de manière que Tangle 
EFG=:AEP, vous aurezla somme BEF+EFG égale 
à la somme BEF-j-AEF et par conséquent égale à 
deux angles droits, et puisque BEF + EFD est plus 
petite que deux angles droits, la droite DF sera com- 
prise dans langle EF'G. 

Par le point F tirez une oblique FM qui rencoutne 
AB en M, Tangle AMF sera égal à GF'iM, puisquen 
ajoutant de part et d^autre une même quantité RFM 
M-FEM, les deux sommes sont égales iliacune à deux 
Utiglei droits. Prenez ensuite MNrrFM et joi-grtez FPî; 
l'angle AMF, exiéfteur an triangle FMN , esl cg?t à 
'pr.ig. la somme des deux intérieurs opposés MFN , MNF* ; 
ceux-ci sont égaux entre eux , puisqu'ils sont opposés 
à des côtés égaux MN ^ FM ; donc langle AMF ou son 
égal MFG est double de MFN; donc la droite FN 
divise en deux parties égales Tangle G FM et rencontre la 
ligne AB en un point N situé à la distance MN==;:FM. 

Il suit de la même démonstration que si on prend 
^P=:FN, on déterminera sur la ligne AB le point P • 
pu aboutit la droite FP qui fait langle GFP égal à I4 
moitié de Tangle GFN, ou au quart de Tangle GFM» 

On peut donc prendre ainsi succesi>iveraetit la moitié, 
le quart, le huitième, etc.de langle GFM9 etlos 
lignes qui opèrent ces divisions , rencontreront la ligne 



cor. 6. 



LIYHB I. 2y 

AB en des points de plus en plus éloignes , mais faciles 
k déterminer, puisque MN=FM, NP=FN, PQ= 
PF, etc. On peut même observer que chaque distance 
dun de ces points d'intersection au point fixe F, n^est 
pas tout à fait double de la distance du point d'int^rsec 
tion précédent, car FN par exemple est moinifre que 
FM+MN ou a FM; on a pareillement FP <îiFff, 
FQ<aFP, etc. 

Shiîft en continoantde sousodiviser l'angle GFM •« 
raison doubte^ on parviendra -bietitôt à un angle 6FZ 
plus petit que langle donné GFD, et il sera encons 
vrai que FZ prolongée rencontre AB en un point dé* 
tarminé : donc à plua farte raison la droite FD cun^ 
prise dans langle £F2, rencontrera AB. 

Supposons 7? que la somme des deux angles intéL 
rieiNU A£F-hCFË est plu» grande que deun anglea 
droits /si Ton prolonge AE vers B et CF vers D^ la 
somme des quatre angles A£F, BEF, CFE, EFD , aeim 
égale à quatre angles droits ; donc si de cette somme 
00 retrancbe ÂËF+CFE plus grande que tiens. 
angles droits, il restera la somme BËF4*£FD plus 
petite que deux angles tiroits. Donc suivant le premier 
cas les lignes EB, FD, prolongéessuiiisamment, doivent 
fe rencontrer. 

Corollaire. Par un point donné F on no peut uiene^ 
quime seule parallèle à la ligne donnée AB,* car ayant 
tiré F£ a volonté , il n y a qu une ligne FG qui fasse 
la ifomuie des deux angles BEF-h EFG, égale à deuy 
angles droits; toute autre^droite FD ferait la sonune 
d^sdeux angles BEF-h£FD plus petite ou plus grande 
que deux droits; et rencontrerait par eooséquent 
û ligne AJ3, 

PROPOSITION XXIV- 



THBORBlf B. 



5e deux lignes parallèles AB, Cl), sorU ren* fig.38. 
centrées par une sécante EF , la somme de^ 



a8 GÉOMÉTRIB. 

angles intérieurs AGO , GOC , sera égalé à deux 
angles droits. 

Car si elle était plus grande ou plus petite, les deux 
droites AB ^ CD , se rencontreraient d'un côté ou de 
*pr.a3. Fautie* et ne seraient pas parallèles. 

Corollaire I. Si Fangle GOC est droit, l'angle AGO 
sera aussi un angle droit ; donc toute ligne perpen- 
diculaire à l'une des parallèles est perpendiculaire à 
l'autre. 

Corollaire II. Puisque la somme AGO + GOC est 
égale à deux angles droits, et que la somme GOD-t- 
GOC est aussi égale à deux angles droits; si on re- 
tranche de part et d*autrc GOC, on aura langle AGO 
♦ pr.5. =GOD. D'ailleurs AGO=BGE, et GOD=COF>*; 
donc les quatre angles aigus AGO, BGË, GOD, COF, 
sont égaux entre eux; il en est de même des quatre 
angles obtus AGE, BGO, GOC, DOF. On peut ob- 
server de plus qu'en ajoutant Vun des quatre angles 
aigus à l'un des quatre obtus , la somme sera toujours 
égale à deux angles droits. 

Scholie. Les angles dont on vient de parler , com- 
parés deux à deux, prennent différents noms. Nous 
avons déjà appelé les angles AGO , GOC , intérieurs 
eFun même côté; les angles BGO, GOD, ont le même 
nom; les angles AGO, GOD, s'appellent alternes^ 
internes ^ ou simplement alternes \ il en est de même 
des angles BGO , GOC. Enfin on appelle' internes* 
externes les angles EGB, GOD, ou EGA, GOC, et 
alternes'externes les angles EGB, COF, ou AGE, IX)F. 
Cela posé on peut regarder les propositions suivantes 
comme étant déjà démontrées. 

i'^ Les angles intérieurs d^un même côté, pris en- 
semble, valent deux angles droits. 

a" Les angles alternes-internes sont égaux, ainsi que 



L I V B E I. 99 

les angles internes -*ex ternes, et les angles alternes- 
externes. 

Réciproquement si dans ce second cas, deux angles 
de même nom sont égaux , on peut conclure qiie les 
lignes auxquelles ils se rapportent sont parallèles. 
Soit, par exemple, l'angle AGO =000; puisque GOC 
+ 60D est égal à deux droiu , on aura aussi A60 
-r GOC égal à deux droits, donc* les lignes AG, CO, •pr. as. 
sont parallèles. 

PROPOSITION XXV. 

THÉonBXB. 

Deux lignes AB , CD , parallèles à une troi^ «g. 39. 
sième EF , sont parallèles entre elles. 

Menez la sécante PQR perpendiculaire à EF. 
Puisque AB est parallèle à EF , la sécante PR sera 
perpendiculaire à AB*; de mâme puisque CU est pa* «aor.x. 
raUèle à EF, la sécante PR sera perpendiculaire à P'* *** 
CD. Donc AB et CD sont perpendiculaires a la même 
droite. PQ; donc elles sont parallèles*. 'pf.iî. 

PROPOSITION XXVI. 



4 



THRORBXB. 



Deux parallèles sont partout également dis- 
tantes. 

Étant données les deux parallèles AB, CD, si par fig. 40* 
deux points pris à volonté, on élève sur AB les deux 
perpendiculaires EG , FH , les droites EG, FH , seront 
en même temps perpendiculaires à CD * ; je dLs de plus *pr. «4. 
que ces droites seront égales entre elles. 

Ciir en tirant GF, les angles GFE, FGH, considérés 
par rapport aux parallèles AB , CD, seront égaux 
comme alternes • internes * ; de même puisque les «^^|^ 
droites EG, FH, sont perpendiculaires à une même P'- ^^- 



30 GfiOMBTRIS. 

droite AB, et par conséquent parallèles entre elles, 
lea angles EGF, GFH, considérés par rapport aux 
parallèles GE , FM, seront égaux comme alternes-^ 
internes. Donc les deux triangles EFG, FGH, ont un 
coté commun FG adjacent à deux angles égaux, 
chacnin à chacun ; donc ces deux triangles sont 
^pr«7* égaux ^ ; donc le côté EG qui mesure la distance des 
parallèles AB , CD , au point E , est égal au côté FH^ 
qui mesure la distance de ces mêmes parallèles au 
point F. 

PROPOSITION XXVII. 



TBEOEBMB. 



*g-4x. Si deux angles BAC, DE F, ont les côtés pa^ 
rallèles y chacun à chacun , et dirigés dans ie 
niéme sens, ces deux angles seront égaux. 

Prolonge?. , s'il est nécessaire , DE jusqu'à la rts* 

V contre de AC en G; langle DEF est égal à DGG| 

*pr.94. parce que lËP est parallèle à GC* ; Tangle DGC jMt 

égal à BAC , parce que l)G est parallèle à AB ( doo^ 

langle DEF est égal à BAC. 

Scholie. On met dans cette proposition la restriction 
que le côté EF soit dirigé dans le même sens que AG 
et ED dans le même sens que AB ; la raison en est que 
si on prolonge FE vers H, langle DEH aurait ses 
côtés parallèles a ceux de Tangle BAC, mais ne 
lui serait pas égal. Dans ce cas , langle DE et 
]*angle BAC feraient ensemble deux angles droits» 

PROPOSITION X3LVIII. 

TIlBORBMB« 

Les côtés opposés iVun parallélogramme sont 
égaux f ainsi que les angles opposés. 

fig. 44* Tirez la diagonale BD, les deux triangles ADBi 



LIVEB I. Si 

DBC, ont le c6t^ commun BD; de plus, à cause des 
parallèles AQ, BC, langle ADB=DBC*, et à cause *pr.94, 
des parallèles AB , CD , Tangie ABD = BDG; donc 
les deux triangles ADB, DBG, sont égaux ^; donc le *pr. 7. 
cdté AB opposa à Tangle ADB e^ ég:il au côte DG 
oppoiië n iangle égal DBC , et pareillement le troi» 
sièine tèté AD est égal au troisieine BC ; donc l«s 
côtés oppoa«0 flun paraUélogramme sont égaux. 

En second lieu, de légalité des mêmes triangles il 
s'ensuit que l'angle A est égal à Tangle G, et aussi que 
Fangle ADC, composé des deux angles ADB, BDG, 
est égal à Tangle ABC, composé des deux angles 
DBC| ABD, donc les angles opposés d*un paraliélo- 
gfamme sont égaux. 

Corollaire. Donc deux parallèles AB, CD, corn* 
prises entre deux autres parallèles AD, BC, sont 
égales, 

PROPOSITION XXIX. 



TBBOAÂxai. 



Si dans un quadrilatère ABCD les côtés op- fig. 44. 
posés sont égaux, eri sorte qu'on ait AB=CI), 
rt AD=BC, les côtés égaux seront parallèles ^ et 
la figure sera un parallélogramme. 

Car, en tirant la diagonale BD , les deux triangles 
ABD,BDG, auront les trois côtés égaux chacun à 
cWunj donc ils seront égaux; donc Iangle ADBop* 
posé au côté AB, est égal à Tangle DRC opposé au 
côté CD; donc* le cote AD est parallèle à BC. Par *pr. 24. 
une semblable raison, AB est parallèle à CD; doac le 
quadrilatère ABCD est un parallélograoïme. 



3a GBOHiTRIE. 

PROPOSITION XXX. 

THEOREME. 

^8 **• 5/ deux CÂtés opposés AB , CD , d'un quadri- 
latere sont égaux et parallèles ^ les deux autres 
côtés s^n}nt pareillement égaux et parallèles , et 
la figure ABCD sera un parallélogramme. 

Soit tirc^e la diagonale BD ; puisque AB est pa- 
rallèle à CD , les angles alternes ABD , BDC , sont 

*pra4* égaux.*: d'ailleurs le côté AB=DC, le côté DB est 
commun, donc le triangle ABD est égal au triangle 

*!*.«• DBC*i donc le côté AD=BC, Fangle ADB=:DBC, 
et par conséquent AD est parallèle à BG; donc la 
figure ABCD est un parallélogramme. 

PROPOSITION XXXL 

THÉORÂME. 

H* 4^- Les deux diagonales AC , DB , d^un parallé- 
logramme se coupent mutuellement en deux 
parties égales. 

Car, en comparant le triangle ADO au triangle 

COB, on trouve le côté AD=CB, l'angle ADO = 

*pr.94. CBO* ; et l'angle DAO==OCB; donc ces deux trian« 

♦pf.ay. gles sont égaux*; donc AO, côté opposé à langle 

ADO, est égal à OC, côté opposé à langle OBC; donc 

aussi DO = OB. 

Schofie. Dans le cas du losange, les côtés AB, BG, 
étant égaux, les triangles AOB,OBC, ont les trois 
côtés égaux chacun à chacun , et sont par conséquent 
égaux; doù il suit que Tangle AOB=BOC, et qu'ainsi 
les deux diagonales d'un losange se coupent mutuelle- 
ment à angles droitii» 



%%% %/^%,%^%>%^V^*^%/^%/%/^%^%f^%f*/%l%/^ft»%fV9^f^M*%/tJ9t^^^\^%/9t%M^%^^^\'^'^\^^ 



>%^kr 



LIVRE IL 



LE CERCLE ET LA MESURE DES ANGLES. 



BliPINITIORS. 



L JuÀ circonférence du cercle est une ligne courbe, fig.46- 
dont tous les points sont également distants dun point 
intérieur qu'on appelle centre. 
Le cercle est Tespace terminé par cette ligne courbe. 

N. "B. Quelquefois dans le discours on confond le cercle avec sa 
drconférence; mais il sera toujours facile de rétablir Tcxactitude 
des expressions , en se souvenant que le cercle est une surface qui 
t longueur et laideur, tandis que la circonférence n'est qu'une 
ligne. 

IL Toute ligne droite CA, CE, CD, etc., menée 
du centre à la circonférence , s'appelle rayon ou demi- 
diamètre ; toute ligne , comme AB , qui passe par le 
centre, et qui est terminée de part et d'autre à la cir- 
conférence, s'appelle diamètre. 

En yertn de la définition du cercle, tous les rayons 
sont égaux; tous les diamètres sont égaux aussi, et 
doubles du rayon. 

III. On appelle arc une portion de circonférence 
telle que FHG. 

La corde ou sous-tendante de l'arc est la ligne droite 
FG qui joint ses deux extrémités. 

IV. Segment est la surface ou portion de cercle 
comprise entre Tare et la corde. 

N. fl. A la même corde FG répondent toujours deux arcf FHG 
F£G,et par conséquent aussi deux segments; mais c'est toujouig 
le plus petit dont on entend parler , à moins qu'on n'exprime 
le contraire. 

3 



34 e jiottiÂtfttË. 

V, Secteur est la partie du cercle comprise entre 
un arc DE et les deux rayons GD, CE, menés aux 
extrémités de cet arc. 
fig' 47. ^^* ^^ appelle ligne inscrite dans le cercle, celle 
dont les extrémités sont à la circonférence , comme 
AB; 

Angle inscrit , un angle tel que BAC , dont le som- 
met est à la circonférence^ et qui est formé par deux 
cordes ; 

Triangle inscrit , un triangle tel que BAC, dont les 
trois angles ont leurs sommets à la circonférence ; 

Et en général figure inscrite , celle dont tous le» 

angles ont leurs sommets à la circonférence : en même 

temps on dit que le cercle est circonscrit à cette figure. 

fig. 48. yil* Oi^ appelle sécante une ligne qui rencontre la 

circonférence en deux points : telle est AB. 

YlII. TangetUe est une ligne qui n a qu'un point 
de commun avec la circonférence : telle est CD. 

Le point commun M s'appelle point de contact» 

IX. Pareillement deux circonférences -sont lan^^ 
gentes Tune à Fautre , lorsqu'elles n ont qu'un point 
de commun. 
fig.f6o. X. Un polygone est circonscrit a un cercle y lorsque 
tous SQS côtés sont des tangentes à la circonférence; 
«dans le même cas on dit que le cercle est inscrit dans 
le polygone. 

PBOPOSITION PREMIÈRE. 

THBORSMS. 

fig. no- Tout diamètre AB divise le cercle et sa arcon' 
férence en deux parties égales. 

Car si on applique la figure AEB sur AFB , en 
consei-vant la base commune AB^ il faudra quîe là 
ligne courbe AEB tombe exactement sur la ligne 



LITftS It. 3S 

courbe AFB, sans quoi il y aurait dans Tune ou dans 
Fautre des points inégalement étoignés du centre , ce 
^i est contre la définition du cercle. 

PROPOSITION IL 

TBBOBSMX. 

Toute corde est plus petite que le dianûtre. 

Car si aux extrémités de la corde AD on mène les % ^ 
rayons AC, CD, on aura la ligne droite AD < AC ■+- 
CD, ou AD < AB. 

Corollaire, Donc la plus grande ligne droite qu'on 
puisse inscrire dans un cercle est égale à son diamètre. 

PROPOSITION III. 

THBORiMB. 

Une ligne droite ne peut rencontrer une cir» 
conférence en plus de deux points. 

Car si elle la rencontrait en trois, ces trois points 
seraient également distants du centre ; il y aurait donc 
trois droites égales menées d'un même point sur une 
même ligne droite, ce qui est impossible *. \v^* '^ 

PROPOSITION IV, 

THÉOAâniE. 

Dans un même cercle ou dans des cercles 
' égaux y les arcs égaux sont sous-tendus par des 
cordes égales , et réciproquement les cordes 
égales soiLS'tendent des arcs égaux. 

Le rayon AC étant égal au rayon EO , et Tare AMD fig. So. 
égal à Tare ENG , je dis que la corde AD sera égale à 
la Corde EÔ. 

3. 



36 GBOMÉTRIE. 

Car le diamètre AB étant égal au diamètre EF, le 
demi-cercle ÂMDB pourra s'appliquer exactement sur 
le demi-cercle ENGF , et la ligne courbe AMDB coïn- 
cidera entièrement avec la ligne courbe ENGF. Mais 
on suppose la portion AMD égale à la portion ENG ; 
donc le point D tombera sur le point G ; donc la corde 
AD est égale à la corde EG. 

Réciproquement , en supposant toujours le rayon 
AC=EO , si la corde AD=EG , je dis que lare AMD 
sera égal à lare ENG, 

Car en tirant les rayons CD, OG, les deux trian- 
gles ACD , EOG , auront les trois côtés égaux chacun 
à chacun, savoir, ACznEO , CD=OG, et AD = 
*", I. EG ; donc ces triangles sont égaux*; donc Pangle 
ACD = EOG. Mais en posant le demi-cercle ADB sur 
son égal EGF, puisque l'angle ACD = EOG, il est 
clair que le rayon CD tombera sur le rayon OG , et 
le point D sur le point G ; donc l'arc AMD est égal à 
Tare ENG. 

PROPOSITION V. 

THEOREME. 

Dans le même cercle ou dans des cercles égaux ^ 
un plus grand arc est sous - tendu par une plus 
grande corde ^ et réciproquement ^ si toutefois les 
arcs dont il s^agit sont moindres qu^une demi- 
circonférence. 

fig. So, Car soit l'aix; AH plus grand que AD , et soient 
menées les cordes AD , AH , et les rayons CD , CH : 
les deux côtés AC, CH, du triangle ACH sont égaux 
aux deux côtés AC, CD , du triangle ACD : l'angle 

*io, 1. ACH est plus grand que ACD ; donc * le troisième 
côté AH est plus grand que le troisième AD ; donc 
la corde qui sous-tcnd le plus grand arc est la plus 
grande. 



LITKB II. 37 

Réciproquement , si la corde AH est supposée plu5 
grande que AD, on conclura des mêmes triangles 
que l'angle AGH est plus grand que ACD, et qu'ainsi 
Tare AH est plus grand que AD. 

Scholie. Nous supposons que les arcs dont il s'agit 
sont plus petits que la demi - circonférence. S'il^ 
étaient plus grands, la propriété contraire aurait lieu 
l'arc augmentant, la corde diminuerait, et récipro 
quement : ainsi l'arc AKBD étant plus grand que 
ARBH , la corde AD du premier est plus petite que 
la corde AH du second. 

PROPOSITION VL 

THBOaÂMB. 

Le rayon CG , perpendiculaire à une corde fig- ^«» 
AB, divise cette corde et Varc sous-tendu AGBy 
chacun en deux parties égales. 

Menez les rayons GA, GB; ces rayons sont, par 
rapport à la perpendiculaire GD , deux obliques égales ; 
donc ils s^écartent également de la perpendiculaire*) *i6>i. 
donc AD=DB. 

En second lieu , puisque AD=DB , GG est une per- 
pendiculaire élevée sur le milieu de AB; donc * tout ♦ 17, 11 
point de cette perpendiculaire doit être également 
distant des deux extrémités A et B. Le point G est im 
de ces points ; donc la distance AG=BG. Mais si la 
corde AG est égale à la corde GB, lare AG sera égal 
à l'arc GB*; donc le rayon CG, perpendiculaire à la *p'.4^ 
corde AB, divise l'arc sous -tendu par cette corde en 
deux parties égales au point G. 

Scholie. Le centre G , le milieu D de la corde AB , 
et le milieu G de Tare sous* tendu par cette corde, 
sont trois points situés sur une même ligne perpen- 
diculaire à la corde. Or il suffit de deux points pour 



\ 



38 GSOMBTRIE. 

déterminer la position dune ligne droite; doue toute 
ligne droite qui passe par deux de$ poinu mention- 
nés, passera nécessairement par le troisième, et sera 
perpendiculaire à la corde. 

Il s'ensuit aussi que la perpendiculaire élevée sur 
le milieu (Vune corde passe par le centre et par le 
mdieu de Parc sous'-tendu par cette corde. 

Car cette perpendiculaire n'est autre que celle qui 
serait abaissée du centre sur la même corde , puis- 
qu'elles passent toutes deux par le milieu de la corde. 

PROPOSITION VU. 

THEOREME. 

^'^' Par trois points donnés ^ A, B, C, non en 
ligne droite j on peut toujours faire passer une 
circonférence^ mais on n'en peut faire passer 
qu'une. 

Joignez AB, BC, et divisez ces deux droites en deux 
parties égales par les perpendiculaires DE^ FGj je dis 
d abord que ces perpendiculaires se rencontreront en 
un point O. 

Car les lignes DE, FG, se couperont nécessai- 

. . liment si elles ne sont pas parallèles. Or supposons 

qu'elles fussent parallèles; la ligne AB, perpendicu- 

a4>i. laire à DE, serait perpendiculaire à FG*, et Tangle 

K serait droite mais BK, prolongement de BD, est 

différente de BF, puisque les trois points A, B, G^ 

ne sont pas en ligne droite; donc il y aurait deux 

perpendiculaires BF 9 BK, abaissées d'un même point 

tSyJi gurla même ligne, ce qui est impossible*; donc les 

perpendiculaires DE, FG, se couperpnt toujours en 

un point O. 

Maintenant le point O, comip^ appartenant à la 

perpendiculaire DE, est à égale distance des deux 

*'7» »' points A et B*; le même point O, comme appartenant 



IflYES II. 39 

à }« perpien^pulaire FG, est à ég^le distance di« 
4eux pQÎnts B9 C; donc les trois disunoes OA, OB» 
PG| sont égales; doqc la circonférence décrite du 
centre O et du rayon OB passera par les trois points 
donnés A, B, G. 

n est prouvé par-là qu on peut toujours faire passer 
une circonférence par trois points donnés, non en 
ligne droite ; je db de plus qu'on nen peut faire pas- 
ser qu une. 

Car s'il 7 ^yait une seconde circonférence qui pas- 
sât par les trois ppints donnés A, B, G, son centre 
n^ pourrait être hors de la ligne DE^^ puisqu'alors il- *i7*<« 
$e^it inégalement éloigné de A et de B; il ne pour- 
n4t être non plus hors de la ligne FG par une raison 
semblable; donc il serait à-la-fois sur les deux lignes 
DE, FG. Or deux lignes droites ne peuvent se couper 
en plus d'un point; donc il n'y s^ qu'une circonférence 
qui puisse passer par trois points donnés. 

Corollaire. Deux circonférences ne peuvent se 
rencontrer en plus de deux points ; car si elles 
.avaî^ii( trois points communs, elles auraient le niéme 
centre , et ne ferai^i:^t qu'une seule et même circon- 
férence. 

PROPOSITION VU 

VKBOABMJI. 

Deuof cordes égales sont également éloignées 
du centre ; et de deux cordes inégales^ la plus 
petite est la plus éloignée du centre. 

1^ Soit la corde AB=:DE : divisez ces cordes en fig.53. 
deux également par les perpendiculaires GF, GG, et 
tirez les rayons CA, GD. 

Les triangles rectangles GAF, DCG, ont les hy- 
poténuses GA, GD, égaies; de plus le côté AF 



4o 6ÉOMÉTBIB, 

moitié de AB, est égal au côté DG, moitié de DE; 

*i8, 1. donc ces triangles sont égaux*, et le troisième côté 
CF est égal au troisième CG; donc, i* les deux 
cordes égales AB, DE, sont également éloignées du 
centre. 

11 Soit la corde AH plus grande que DE, l'arc 

*pr. 5. AKH sera plus grand que Tare DME * : sur lare 
AKH prenez la partie ANB=:DME, tirez la corde 
AB, et abaissez CF, perpendiculaire sur cette corde, 
et CI, perpendiculaire sur AH ; il est clair que CF 

*'6,i. est plus grand que CO, et CO plus grand que CI*; 
donc à plus forte raison CF>CI. Mais. CF=CG, 
puisque les cordes AB, DE, sont égales; donc on a 
CG> CI; donc de deux cordes inégales la plus petite 
est la plus éloignée du centre. 

PROPOSITION IX. 

fig. 54. La perpendiculaire BD, menée à V extrémité 
du rayx>n CA, est une tangente à la circonfé^ 
rence. 

Car toute oblique CE est plus longue que la per- 

*i6. !• pendiculaire CA*; donc le point E est hors du cercle; 
donc la ligne BD n'a que le point A commun avec la 

♦dcf.8. circonférence; donc BD est une tangente*. 

Scholi^, On ne peut mener par un point donné A 
qu une seule tangente AD à la circonférence ; car si 
on en pouvait mener une autre, celle-ci ne serait plus 
perpendiculaire au rayon CA; donc, par rapport à 
cette nouvelle tangente , le rayon C A serait une oblique, 
et la perpendiculaire, abaissée du centre sur cette 
tangente, serait plus courte que CA; donc cette pré* 
tendue tangente entrerait dans le cercle, et serait une 
sécante. 



LIT&B II. 4< 

PROPOSITION X. 

Deux parallèles AB , DE , interceptent sur la fig. 65. 
circonférence des arcs égaux MN, PQ. 

Il peut arriver trois cas. 

i*" Si les deux parallèles sont sécantes, menez \t 
rayon CH pei^endiculaire à la corde MP, il sera en 
même temps perpendiculaire à sa parallèle NQ*; donc "04, i 
le point H seia à-la-fois le milieu de lare MHP et 
celui de lare NHQ*; on aura donc lare MH=HP, *^' 
et l'arc NH=HQ; de là résulte MH— NH=HP 
— HQ, c'est-à-dire MN=PQ. 

% Si des deux parallèles ÂB, DE, l'une est se- fig. 5(1 
cante, l'autre tangente; au point de contact H menez 
le rayon GH; ce rayon sera perpendiculaire à la tan- 
gente DE*, et aussi à sa parallèle MP. Mais puisque ^9. 
GH est perpendiculaire à la corde MP , le point H est 
le milieu de l'arc MHP; donc les arcs MH, HP, com- 
pris entre les parallèles AB, DE, sont égaux. 

V Enfin si les deux parallèles DE, IL, sont tan- 
gentes, l'une en H , l'autre en K , menez la sécante 
parallèle AB, vous aurez, par ce qui vient d'être dé- 
montré, MH=HP et MKnrKP; donc l'arc entier 
.HMK=HPK , et de plus on voit que chacun de ces 
arcs est une demi-circonférence. ' 

PROPOSITION XL 

THBOaâHB, 

Si deux circonférences se coupent en deux 
points y la ligne qui passe par leurs centres sera 
perpendiculaire à la corde qui joint les points 
d'intersection , et la dimera en deux partie^ 
égales* 



4^ GÉQMBTUIIS. 

Car la ligne AB, qui joint les points d'intersection 
fig- f 7 est une corde commune aux deux cercles. Or, si sur le 
milieu de cette corde on élevé i;ne perpendiculaire, 
* ^ elle doit passer par chacun des deux centres C et D*. 
Mais par deux points donnés on ne peut mener qu'une 
seule ligne droite; donc la ligne droite, qui passe par 
les centres, sera perpendiculaire sur le milieu de la 
i^orde commune. 

PROPOSITION XII. 



A 



THEOREME. 



Si la distance des deux centres est plus courte 

que la somme des rqyons^ et si en même temps 

le plus grand rayon est moindre que la somme 

du plus petit et de l(i distance des centres, les 

deux cercles se couperont. 

^îtl ^*^ pour qu'il y ait lieu à intersectioB, il faut qu^ 

la triangle CAD soit possible : il faut donc Qon seu^ 

^^'^' lement que CD soit <AG+AD, m*i« aussi que le 

**'^^* plusgmnd rayon AD soit <AÇ+CD. Or, toutes les 

fois que le triangle CAD pourra être construit, il est 

clair que les circonférences décrites des centres G el 

D, n^ couperont en A et B. 

PROPOSITION XIII. 



A 



THBOEEME. 



Si la distance CD des centres de deux cercles 
est égale à la somme de leurs rayons CA , AD , 
ç^ dei^ çerçhs se tpucJi^rQnt extérie^rem^nt. 

il ^t cl^ir qu'ib auront le point A commun; m^ 
Ils n'auront que ce point; p^r, pour qi^'iU eussent deux 
points communs, il faudrait que la distance des çeqtres 
fût plus petite que la somme des rayons. 



PROPOSITION XIV. 

Si la distance CD des centres de deux cercles 
est égale à la différence de leurs rayons CA, AD, 
ces deux cercles se toucheront intérieurement. 

D'abord il est clair qii'ib ont le point A commun: 
ils n'en peuvent avoir d autre; car pour cela il fau- 
drait que le plus grand rayon AD fût plus petit que la 
somme faite du rayon AG et de la distance des centres 
CD*, ce qui n'a pas lieu. *«•• 

Corollaire. Donc, si deux cercles se touchent , soit 
intérieurement, soit extérieurement, les centres et le 
point de contact sont sur la même ligne droite. 

Scholie. Tous les cercles qui ont leurs centres sur ^^ 
)t droite CD, #( qui passei^ji pi|r le point A, sont tan- ^ 
miXk\& \&^ uns aux autres; ils n^ont entre eux que le 
seul point A de co^imun. Et si par le point A on mène 
A^ perp^enrUcuIaire à CD, la droite AE sera une tan- 
gente commune à tous ces cercles. 

PROPOSITION XV. 



4 



THEORBM B. 



Dans le même cercle ou dans des cercles égaux fig. ôi, 
les angles égaux ACB , DCE , dont le sommet est 
au centre , interceptent sur la circonférence des 
arcs égaux AB, DE. 

fiéciproquement , si les arcs AB, DE, sont 
ég^lWy fc# angles ACB, DCE , seront aussi égaux. 

C»r» i"* 3i r^ngfe ACB est égal à Tanglp DCE, ces 
dei^^ 4Bgle3 pourront se placer lun sur Tautre ; et 
pofnm^ leurs côtés sont égaux, il est clair que le 
ppîpt 4 tom^er^ «n D^ et le point B en E. Jîlais alors 



44 GÉOMÉTRIE. 

lare AB doit aussi tomber sur lare DE ; car si les 
deux ares n'étaient pas eonfondus en un seul , il y 
aurait dans Tun ou dans l'autre des points inégale^ 
nient éloignés du centre, ce qui est impossible; donc 
lare AB=DE. 

2° Si on suppose AB=DE, je dis que l'angle 
AGB sera égal à DCE; car si ces angles ne sont pas 
égaux, soit AGB le plus grand, et soit pris ACI== 
DCE; on aura, par ce qui vient d'être démontré, AI 
= DE : mais, par hypothèse, l'arc AB=:DE; donc 
on aurait AI=:AB, ou la partie égale au tout, ce qui 
est impossible ; donc langle ACB=;DCE. 

PROPOSITION XVI. 

THÉORÈME. 

fig. 6%à Dans le même cercle ou dans des cercles égaux^ 
SI deux angles au centre ACB, DCE, sont entre 
eux comme deux nombres entiers ^ les arcs inter- 
ceptés AB , DE , seront entre eux comme les 
mêmes nombres , et on aura cette proportion: 
Angle ACB: angle DCE: :arc AB:arc DE. 

Supposons, par exemple, que les angles ACB, 
DCE, soient ent^ eux comme 7 esta 4; ou, ce qui 
revient au même, supposons que langle M, qui ser- 
vira de commune mesure, soit contenu sept fois dans 
l'angle ACB, et quatre dans l'angle DCE. Les angles 
. partiels ACrriy mCn, nCpy etc. DCo;, xCyy etc., 
étant égaux entre eux, les arcs partiels Aw, mn, 

i* i5. npy etc., D^, xy^ etc., seront aussi égaux entre eux*; 
donc l'arc entier AB sera à l'arc entier DE comm6 
7 est à 4- Or il est évident que le même raisonne- 
ment aurait toujours lieu^ quand à la place de 7 et 4 
on aurait d'autres nombres quelconques; donc, si le 
rapport îLqs angles AGB, DCE, peut être exprimé 



LIVRB II. 45 

en nombres entiers , les arcs ÂB , DE , seront entre 
eux comme les angles ACB , DGE. 

Scholie. Réciproquement, si les arcs AD, DE, 
étaient entre eux comme deux nombres entiers, les 
angles ACB , DGE , seraient entre eux comme les 
mêmes nombres, et on aurait toujours ACB: DGE 
::AB:DE; car les arcs partiels hm^ mrij etc., Hjc^ 
xf, etc., étant égaux, les angles partiels ACi», 
mCriy etc., DG^:, ^G^, etc., sont aussi égaux, 

PROPOSITION XVIL 
th|éorshe. 

Quel que soit le rapport des deux angles ACB» ig. S(Sj 
ÀCD , ces deux angles seront toujours entre eux 
comme les arcs AB, AD , interceptés entre leurs 
côtés et décrits de leurs sommets comme centres 
mec des rayons égaux. 

Supposons le plus petit angle placé dans le plus grand: 
si la proposition énoncée n'a pas lieu, Fangle ACB sera 
à langle ACD comme Tare hR est à un arc plus grand 
ou plus petit que AD. Supposons cet arc plus grand) 
et représentons-le' par AO , nous aurons ainsi : 

Angle ACB: angle AGD::arc ABi'arc AO. 

Imaginons maintenant que lare AB soit divisé en 
parties égales dont chacune soit plus petite que DO, 
il y aura au moins un point de divdsion entre D et O • 
soit I ce point, et joignons CI ; les arcs AB , AI , seron^ 
entre eux comme deux nombres entiers, et on aura en 
vertu du théorème précédent : 

Angle ACB langle AGI :: arc AB:arc AI. 

Rapprochant ces deux proportions Tune de lautrCf 
et observant que les antécédents sont les mêmes , on 
en coneltu^ que les conséquents sont proportionnelsi 
et qu'ainsi 



46 GiOnéTRIfi. 

Ahgle ACD: angle AGI :: arc AOrarc AI. 

Mais Tare AO est plus grand que Tare AI i il fau^^ 
drait donc , pour que la proportion subsistât ^ que 
fangle ACD fût plus grand que Tangle AGI ; or au 
contraire il est plus petit ; donc il est impossible que 
langle AGB soit à langle ACD comme Tare AB est à 
un arc plus grand que AD. 

On démontrerait par un raisonnement entièrement 
semblable que le quatrième terme de la proportion 
ne peut être plus petit que AD ; donc il est exactement 
AD; donc on a la proportion : 

Angle AGB: angle AGI) :: arc AB:arc AD. 

Corollaire. Puisque l'angle au centre du cercle et 
lare intercepté entre ses côtés ont une telle liaison 
que quand lun augmente ou diminue dans uil rap- 
port quelconque , Tautre augmente ou dfminue dans 
Id même rapport , on est en droit d'établir Tufte de 
ces grandeurs pour la mesure de Vautre : ainsi nous 
prendrons désormais lare AB pour la mesure d« 
langle AGB. It faut seulement observer , dans la com- 
paraison des angles entre eux , que les arcs qui leur 
Serrent de mesure doivent être décrits avec des rayonâ 
égaux; car cest ce que supposent toutes les proposi» 
tions précédentes. 

Scholie I. Il paraît plus naturel de mesurer une 
quantité par une quantité de la même espèce, et 
glir ce principe il conviendrait de rapporter tous 
les angles à Fangte droit : ainsi Fangle droit étant 
Tunité de mesure , un angle aigu serait exprimé par 
un nombre compris entre o et i , et un angle obtus 
par un nombre entre i et 2. Mais cette manière 
d exprimer les angles ne serait pas la plus commode 
dans lusage ; on a trouvé beaucoup plus simple de 
ï^% mesurer par des. arcs de cercle, à cause de la faci- 
lité de faire àf&% arcs égaux à des arcs donnés , et pour 
beaucoup d^autres raisons. Au reste, si la mesure de^ 



LIVRB II. 47 

angles par les arcs de cercle est en quelque sorte 
indirecte , il n'en est pas moins facile d^obtenir par 
leur moyen la mesure directe et absolue ; car si vous 
comparez Tare qui sert de mesure à uu angle avec le 
quart de la circonférence , vous aurez le rapport de 
Pangle donné à langle droit, ce qui est la mesure 
absolue. 

Scholie n. Tout ce qui a été démontré dans lei 
trois propositions précédentes pour la comparaison 
des angles aTec les arcs, a lieu également pour la com* 
paraison des secteurs avec les arcs : car les secteurs 
sont égaux lorsque les angles le sont, et en général ils 
sont proportionnels aux angles; donc deux secteurs 
ACB , ACD , pris dans le même cercle ou dofis des 
cercles égaujc , sont entre eux -comme les arcs AB , 
AD, ha^es de ces mêmes secteurs. 

On voit par-là que les arcs de cercle qui servent 
Je mesure aux angles peuvent aussi sei*vir de mesure 
aux différents secteurs d'un même cercle ou de cercles 

PROPOSITION XVIII. 

TRBORâMB. 

V angle inscrit BAD a pour mesura la moitié ^-^^ 
de rare BD compris entre ses côtés. 

Supposons dabord que le centre du cercle soit 
situé dans langle BAD, on mènera le diamètre AE fig. 64, 
et les rayons CB , CD. L'angle BCE , extérieur au 
triangle ABC, est égal à la somme des deux intérieurs 
CAB, ABC* : mais le triangle BAC étant isoscèle, *'9» '• 
l'angle GABzrtABC ; donc Tangle BCE est double 
de BâC. L'angle BCE, comme angle au centre, a 
pout mesure lare BE ; donc l'angle BAC aura pour 
mesure la moitié de BE. Par une raison semblable^ 



48 GÉOMÉTRIE. 

l'angle CAD aura pour mesure la moitië de ED; donc 
BAC+CAD ou BAD aura pour mesure la moitié de 
BE+ED ou la moitié de BD. 

fig. 65. Supposons en second lieu que le centre C soit situé 
hors de Fangle BAD , alors menant le diamètre AE , 
Vangle BAE aura pour mesure la moitié de BE, Tange 
DAE la moitié de DE; donc leur différence BAD aura 
pour mesure la moitié de BË moins la moitié de ËD 9 
ou la moitié de BD. 

Donc tout angle inscrit a pour mesure la moitié de 
arc compris entre ses côtés. 

fig- 66. Corollaire I. Tous les angles BAC , BDC , etc. , ins- 
crits dans le même segment sont égaux; car ils ont 
pour mesure la moitié du rnéme arc BOC. 

^6- 67. II, Tout angle BAD inscrit dans le demi-cercle 
est un angle droit ; car il a pour mesure la moitié 
de la demi-circonférence BOD , ou le quart de la 
circonférence. 

Pour démontrer la même chose dune autre ma- 
nière , tirez le rayon AC ; le triangle BAC* est iso- 
scèle , ainsi l'angle BAC == ABC; le triangle CAD est 
pareillement isoscèle ; donc l'angle CAD = ADG ; 
donc BAC+CAD ou BAD = ABD + ADB. Mais 
si les deux angles B et D du triangle ABD valent en- 
semble Itf troisième BAD, les trois angles du triangle 
vaudront deux fois l'angle BAD ; ils valent d'ailleurs 
deux angles droits ; donc langle BAD est un angle 
droit. 

fig. 66. ijL Tout angle BAC inscrit dans un segment plus 
grand que le demi-cercle , est un angle aigu; car il a 
pour mesure la moitié de l'arc BOC moindre qu'une 
demi-circonférence. 

Et tout angle BOC, inscrit dans un segment plus 
petit que le demi-cercle, est un angle obtus ; car il a 
pour mesure la moitié de l'arc BAC plus grande qu'une 
demi-circQuférçnce. 



LITEB 11. 49 

IV. Les angles opposés A et G d'un quadrilatère fig. 68. 
inscrit ABGD, valent ensemble deux angles droits ; 
car Tangle BAD a pour mesure la moitié de l'arc BGD , 
l'angle BGD a pour mesure la moitié de Tare BAD; 
donc les deux angles BAD, BGD, pris ensemble, ont 
pour mesure la moitié de la circonférence ; donc leur 
somme équivaut à deux angles droits. 

PROPOSITION XIX. 

THSCRÂMB. 

V angle BAC , formé par une tangente et une «g- ^• 
corde ^ a pour mesure la moitié de l'arc AMDG 
compris entre ses côtés. 

Au point de contact A menez le diamètre AD; 
Sangle BAD est droit ^, il a pour mesure la moitié de * 9. 
la demi-circonférence AMD, l'angle DAG a pour me • 
sure la moitié de DG; donc BAD + DAG ou BAG a 
pour mesure la moitié de AMD, plus la moitié de DG^ 
ou la moitié de l'arc entier AMDG. 

On démontrerait de même que l'angle GAE a 
pour mesure la moitié de l'arc AG compris entre ses 
côtés. 



Problèmes relatif aux deux premiers livres. 

PROBLÈME PAEXIBR. 

Diviser la droite donnée kl& en deux parties ^2- 7«' 
égales, ^ 

Des points A et B, comme centres, avec un rayon 
plus grand que la moitié de AB, décrivez deux, arcs 
qui se coupent en D ; le point D sera également éloi- 
gné desjpoiuts A et B : marquez de môme au-dessus 

4 



5o GéOMETHip. 

QU* au-dessous de la ligne AB un second point E^ éga- 
lement éloigné des points A et B, par les deux points 
B, £, tirez la ligne DE; je dis que DE coupera ]m 
ligne AB en deux parties égales au point C« 

Car les deux points D et E étant chacun également 
éloignés des extrémités A et B, ils doivent se trouver 
tous deux dans la perpendiculaire élevée sur le milieu 
de AB. Mais par deux points donnés il ne peut passer 
qu'une seule ligne droite; donc la ligne DE sera cette 
perpendiculaire elle-même qui coupe la ligne AB en 
deux parties égales au point G. 



PROBLâmt IX. 



fig. 7^^ 



Par un point A , donné sur la ligne ^^C^ éle- 
ver une perpendiculaire à cette ligne. 

Prenez les points B et C à égale distance Je A , en- 
suite des points B et C , comme centres , et d'un rayon 
plus grand que BA, décrivez deux arcs qui se cou- 
pent en D; tire^ AD qui sera la perpendiculaire de- 
mandée. 

Car le point D étant également éloigné de B et de 
C, appartient à la perpendiculaire élevée sur le milieu 
de BC ; donc AD est cette perpendiculaire. 

Scholie. La même construction sert à (aire un angle 
droit BAD en un point donné A sur une liga« doo» 
née BC. 

»RO»LB]fB III. 

fig. 72. D^ un point k^ donné hor$ de la droite BJ)j 
abaisser une perpendiculaire sur cette droite. 

Du point A, comme centre, et d'un rayon suffi- 
samment grand, décrivez im arc qui coupe la ligne 
BD aux deux points B et D; marquez ensuite un point 
E également distant des points B et D, et tirez AE qui 
sera la perpendiculaire demandée. 

Car les deux, points A et Ë sont chacun ^alemeng 



LIVEB II» . 5l 

(listants des points B et D | donc la ligne AE est per« 
pendiculaire sur le milieu de BD. 



PROBLEME IV. 



Au point A de la ligne k^^ faire un angle H-'fl- 
égal à V angle donné K. 

Du sommet K, comme centre, et d*un rayon à 
volonté, décrives lare IL terminé aux deux côtés « \ 
de Tangle ; du point A , comme centre , et d'un rajoa 
ABégal à Kl, décrivez Tare iniléfmi BO; prenez en- 
suite un rayon égal à la corde LI; du point B, comme 
centre , et de ce rayon , décrivez un arc qui coupe en 
D Tare indéfini BO; tirez AD, et Tangle DAB sera 

I égal à Tangle donné K. 

I Car les deux arcs BD , LI , ont des rayons égaux et 

des cordes égales ; donc ils sont égaux*.; donc l'angle *' *' 
BAD=IKL. 

PROBLBMB V. 

Diviser un angle ou un arc donné en deux **''^* 
parties égales. ' * 

lo S'il faut diviser Tare AB en deux parties égales, 
des points A et B , comme centres, et avec un même 
r^yon, décrivez deux arcs qui se coupent en D; par le 
point D çt par le centre C tirez CD qui coupera Tare 
AB en deux parties égales au point E. 

Car les deux points C et D sont chacun également 
distants des extrémités A et B de la corde AB ; donc 
la ligne CD est perpendiculaire sur le milieu de cette 
corde; donc elle divise Tare AB en deux parties égales 
au point E\ *••*• 

2" S* il faut diviser en deux parties égales l'angle 
ACB, on commencera par décrire du sommet C, 
comme centre, lare AB, et le reste comme il vient 
d'être dit. 11 est clair que la ligne CD divisera en deux 
parties égales langle ACB. 

4. 



iCt GliOMBTRIE. 

Scholie. On peut , par la même construction , diviser 
chacune des moitiés AE, EB, en deux parties égales ; 
ainsi, par des sous-divisions successives, on divisera 
un angle ou un arc donné en quatre parties égales , en 
huit y en. seize, etc. 

PROBLâHB TI. 

fig. 75. Par un point donné A , mener une parallèle 
à la ligne donnée BC. 

Du point A, comme centre, et d'un rayon sufïi- 
samment grand , décrivez lare indéfini EO ; du point 
E , comme centre , et du même rayon , décrivez Tare 
AF, prenez ED = AF, et tirez AD qui sera la parallèle 
demandée. 

Car en joignant AE, on voit que les angles alternes 
AEF, EAD , sont égaux ; donc les lignes AD, EF, sont 
* «4, 1. parallèles *• 

PROBLEME VII. 

fig. 76. Deux angles A e^ B d^un triangle étant don^. 

nés y trouver le troisième. 

Tirez la ligne indéfinie DEF, faites au point E lan- 
gleDEC=:A, et langle CEH=B : l'angle restant 
HEF sera le troisième angle requis ; car ces trois angles 
pris ensemble valent deux angles droits. 



PROBLEHB VIII. 



H^ 77' Étant donnés deux côtés B er C d*un triangle et 
r angle kqu 'ib comprennen t , décrire le triangle. 

Ayant tiré la ligne indéfinie DE, faites au point D 
Fangle EDF égal à langle donné A; prenez ensuite 
DG=B, DH=:C, et tirez GH ; DGH sera le triangle 
demandé. 



tITAB II. 53 - 

phoblImb IX» 

Étant donnés un côté et deux angles d'un 
triangle , décrire le triangle. 

Les deux angles donnés seront ou tous deux adja* 
cents au côté donné , ou Tun adjacent , l'autre oppo- 
sé : dans ce dernier cas, cherchez le troisième*, yous ^prQb.^^ 
aurez ainsi les deux angles adjacents. Cela posé , tirez 
la droite DE égale au côté donné , faites au point D fig. 78. 
Fangle EDF égal à lun des angles adjacents , et au 
point E l'angle Dë(t égal à Tautre ; les deux lignes 
DF, £G, se couperont en H, et DEH sera le'triangle 
requis. 



PROBLBME 



Les trois côtés  , B , C , d*un triangle étant tt%. 79. 
donnés y décrire le triangle. 

Tia^z DE égal au côté A; du point E, comme 
centre, et d'un rayon égal au second côté B, décri- 
vez un arc ; du point D , coinme centre , et d'un rayon 
égal au troisième côté G, décrivez un autre arc qui 
coupera le premier en F; tirez DF, EF, et DEF sera 
le triangle requis. 

SchoUe. Si l'un des côtés était plus grand que la 
somme des deux autres, les arcs ne se couperaient 
pas ; mais la solution sera toujours possible , si la 
somme de deux côtés , pris comme on Toudra, est plus 
grande que le troisième. 

PaOBLâMB XI. 

Étant donnés deux cotes A et B d*un triangle , 
avec VangleCà opposé au côté B, décrire le triang le. 

U y a deux cas : i^ si l'angle G est droit ou obtus , Sg. toé 
faites l'angle EDF égal à l'angle G; prenez D£=: A> 
du point E, comme centre, et d'un rayon égal au 
côté donné B, décrivez un arc qui coupe en F la, 



54 gbômbi*ri'b. 

ligne DF; tirez EF, et DEF sera le triangle de- 
mandé. 

Il faut, dans ce premier cas, que le côté B soit plus 

grand que A, car Tangle C étant droit ou ôbtus, est 
le pluà giand des angles du triangle; donc le côté op- 
posé doit être aussi le plus grand. 

fig. 8t« ïi^ Si langle C est aigu, et que B soit plus grand que 
A, la même construction a toujours lieu, et DEF est 
le triangle requis. 

1îg« 8a. Mais si, langle G étant aigu , le côté B est moindre 
que A, alors Tare décrit du centre E avec le rayon 
ÉF=rB, coupera le côté DF en deux points F et (î, 
situés du même côté de D; donc il y aura deux trian- 
gles DEF, DEG, qui satisferont également au pro- 
blème. 

Scholie. Le problème serait impossible dans tous 
les cas, si le côté B était plus petit que la perpendi- 
culaire abaissée de E sur la ligne DF, 

PAOBIiâMB Xtl. 

fig- •î» Les côtés adjacents A ^^ B d'un parallélo* 
gramme étant donnés avec F angle C quHls œm- 
prennent , décrire le parallélogramme. 

Tirez la ligne DE=A, faites au point D langlei 
FDE=:G) prenex DFsizfi; décrivez deux arcs, Tua 
du point F comme centre , et d^un rayoïi FOiârDE, 
l'autre du point Ë comme centre, et d'un rayon 
EG=DF : au point 6, où ces deux arcs se coupent, 
tirez FO, £G ; et DEGF sera le parallélogrammô de- 
mandé. 

Car , par éoiistmotion , les tàtés opposée ftôh t égatix , 

* ^®» *• dôno la figure décrite est un pafallélogfràmme*, et fcé" 

j^arallélogranfime est formé ateo léS côtés donnés é^ 

l'angle doni^ék = . > 

Corollaire. Si Tangle donné est droit, la figure sera 



^. 



tiitfts it. 55 

Ao ffeofamgte; ai, de j^liu , les côtés sont égaux, ce sera 

PEOBLÂMB XIII. 

Trouver le centre d'un cercle ou d*un arc donné. 

Prenez à voloutë dans la circonférence ou dans fig. Si. 
Varc trois points A, B, C; joignez ou imaginez quon 
joigne AB et fiC, divisez ces deux lignes en deiix par^ 
des égales par les perpendiculaires DE, FG; le point 
0, où ces perpendiculaires se rencontrent, sera le 
centre cherché. 

Scholie. La même construction sert à faire passer 
une circonférence par les trois points donnés A, B, G, 
«t aussi à décrire une circonférence dans laquelle le 
triangle donné ABC soit inscrit. 

fAOBLÂVB XIT. 



PaPMn point donné mener une tangente à 
un cercle donné. 

Si le point donné A est sur la circonférenee^ tirez H- *^- 
le rayon CA, et menez AU perpendiculaire à GA; 
AD sera la tangente demandée *. *9 1 »> 

Si le point A est hors du cercle , joignez le point 4* ^^* 
A et le centre par la ligne droite GA; divises G A en 
deux également au point O ; du point O , comme cen« 
trë^ et .du rayon OC, décrivez une circonférence qui 
eoupera te circonférence donnée au point B; turei 
AB, et AB sera la tangente demandée. 

Car en menant GB, Tangler CBA, inscrit dans le 
demi-cercle, est un angle droit*; donc AB est per- *'^»*- 
pendiculaire à Textrémité du rayon CB , donc elle est > 

taligente. 

Sôhôite. lé point A étant hors du cerde , on voit 
qu*il y a toujours deux tangentes égales AB, AD,* 
qui ^ssént par le point A : elles sont égales, car les 
triftnglès rectangles GBA , GDA ont Thypoténuse GA 



S6 GÉOXBTEIB. 

commune , et le côté CB = CD ; donc ils sont 
•i8,i, égaux*; donc ADrzrAB, et en même temps l'angle 
CAD = CAD. 

PROBLEME XY. 

*g- 87. Inscrire un cercle dans un triangle donné ABC. 

Dîviseï les angles A et B en deux également par 
les lignes AO et BO qui se rencontreront en O ; du 
point O abaissez les perpendiculaires OD , OE , OF, 
sur les trois côtés du triangle; je dis que ces perpen- 
diculaires seront égales entre elles; car, par construc- 
tion , langle DAO = OAF, l'angle droit ADO= AFO ; 
donc le troisième angle AOD est égal au troisième 
AOF. D'ailleurs le côté AO est commun aux deux 
triangles AOD , AOF, et les angles adjacents au côté 
égal sont égaux; donc ces deux triangles sont égaux; 
donc DO=OF. On prouvera de même que les deux 
triangles BOD, BOE, sont égaux; donc OD = OEy 
donc les trois perpendiculaires OD, OE, OF, sont 
égales entre elles. 

Maintenant si du point O, comme centre, et du 
rayon OD, on décrit une circonférence^ il est clair 
que cette circonférence sera inscrite dans le triangle 
ABC; car le côté AB, perpendiculaire à lextrémité 
du rayon OD , est une tangente : il en est de même des 
côtés BG , AC. 

Scholie. Les trois lignes qui divisent en deux égale- 
ment les trois angles d'un triangle, concourent en un 
même point. 

PROBLEME XVI. 

fig. 88 Sur une droite donnée AB , décrire un segment 
capable de V angle donné C , cest-à-dire , un seg-- 
ment tel que tous les angles qui y sont inscrits 
soient égaux à V angle donné C. 

Prolongez AB vers O, faites au point B Tangle 
DB£:=^C| tire^ BO perpendiculaire à BE, et GO pei> 



ULT&B II. ^7 

pendiculaire sur le milieu de AB; du point de ren- 
contre O, comme centre, et du rayon OB, décrive» 
on cercle, le segment demandé sera ÂMB. 

Car puisque BF est perpendiculaire à l'extrémité 
du rayon OB, BF est une tangente, et l'angle ABF a 
pour mesure la moitié de lare AKB*; d'ailleurs Tan- *«flt«* 
gle AMB, comme angle inscrit, a aussi pour mesure 
la moitié de l'arc AKB, donc l'angle AMB = ABF = 
EBD=C; donc tous les angles inscrits dans le seg- 
ment AMB sont égaux à l'angle donné C. 

Scholie. Si l'angle donné était droit , le segment cher- 
ché serait le demi-cercle décrit sur le diamètre AB* 

PROBLÂMB XTXI. 

Trouver le rapport numérique de deux lignes *«- ••• 
droites données AB , CD , si toutefois ces deux 
lignes ont entre elles une mesure commune. 

Portez la plus petite CD sur la plus grande AB au- 
tant de fois qu'elle peut y être contenue ; par exemple , 
<leux fois, avec le reste BE. 

Portez le reste BE siu: la ligne CD , autant de fois 
qu'il peut y être contenu , une fois, par exemple , aveo 
le reste DF. 

Portez le second reste DF sur le premier BE, au-^ 
tant de fois qu'il peut y être contenu, une fois, par 
exemple, avec le reste BG. 

Portez le troisième reste BG sur le second DF, au- 
tant de fois qu'il peut y être contenu. 

Continuez ainsi jusqu'à ce que vous ayez un reste 
qui soit contenu un nombre de fois juste dans le pré-, 
cèdent. 

Alors ce dernier reste sera la commune mesure des 
lignes proposées, et, en le regardant comme l'unité, 
onti'ouTera aisément les valeurs des restes précédmta 
et enfin celles des deux lignes proposées) d'où ToA 
conclura leur rapport en^oombres. 



♦•■ 



S8 GSOMi^ftlil. 

Pair exemple, si Ton trouvé tfaé GB 6S€ contenu: 
deul fols juste dans FD, BG sera la commune tneSfOtB 
des deux lignes proposées. Sôit B6 rr t , on aura FD 
i^ti; mais £B contient une foie FD plus 6B; donc 
£firr3; CD contient une fois EB plus FD; donc 
CD = 5; enfin AB contient deux fois CD plus EB; 
dnttc AB-^mS; donc le rapport des deux lignes AB, 
CD, est celui de i3 à 5. Si la ligne CD était prise poui' 
unité, la ligne AB serait Ar» ^^ ^^ ^^ ligne AB était prise 
pour unité , la ligne CD serait ^. 

Scholie. La méthode qu on vient d'expliquer est la 
même que prescrit rarithmétique pour trouver le coni'« 
mun diviseur de deux nombres; ainsi elle na pas 
besoin d une autre démonstration. 

tl est possible que, quelque loin qu'oïl continue 
fopération, on ne trouve jamais un réète qui sôit 
contenu un nombre de fois juste dans le pi'écédent* 
Alors les deux lignes n'ont point de commune mesure, 
et sont ce qu on appelle ineommensurab/es : on en 
verra ci-après un exemple dans le rapport de la dia- 
gonale au cùlé du quarré. On ne peut donc alors 
trouver lé rapport exact en nombres : mais en négli*^ 
géant le dernier reste, on trouvera un mpport pluA 
ou -moins approché, selon que lopératioû aura été 
poussée plus ou moins loin. 



PROBLBMB XVIII. 



fig*9i* Deux angles A. eiB éiani donnés y trouver leur 
commune mesure y s* ils en ont une ^ et de là leur 
ruppûTî en nombres. 

Décrivez avec des rayons égaux les arcs CD, £F^ 
^ ssnfent dé mesure à ces angles; procédez ensuite 
poUf Ift comparaison des arcs CD , EF, comme dans le 
fMbléme pt^cédent ; car un arc peut être porté snr 
wm Itfc de («téme rayon ^ comme une ligne droite siif' 
une ligne droite. Yott» parvîontkwt ainsi à ici bimH» 



LlTAÊ li. 5^ 

mune mesure des arcs CD, EF, sUls en ont une, et à 
leur rapport en nombfes. Ce rapport lera le même que 
celui des angles donnés*; et si DO est la commune *S7»^ 
mesure des arcs , DAO sera celle des angles. 

Saholk. Où peut ainsi troiiter la Taleur absolue d'un 
angle en comparant lare qui lui sert de mesure à toute 
la circonférence : par exemple, si Parc CD est à la cir- 
conférence comme 3 est à a5, Tangle A sera les ^ de 
Quatre angli^s droits, ou ^4 ^*u>) angle droit. 

Il pourra arriver aussi que les arcs comparés n'aient 
pM de commune mesure ; alors on n*aura pour les 
ittgles qu6 des nipt)orts en nombres plus ou moîna 
appr<H;hés , seldn que Topération aura été poussée plus 
ou moins loin. 



LIVRE III. 



LES PROPORTIONS DES FIGURES. 



t 



DEFINITIONS. 



L J'jLWEijijiRiiXi Jigures équivalentes celles dontles 
surfaces sont égales. 

Deux figures. peuvent être équivalentes , quoique 
très - dissemblables : par exemple, un cercle peut 
être équivalent à un quarré y iin triangle à un rec- 
tangle, etc. 

La dénomination de figures égales sera conservée à 
celles qui étant appliquées Tune sur l'autre , coïncident 
dans tous leurs points : tels sont deux cercles dont 
les rayons sont égaux, deux triangles dont les trois 
côtés sont égaux chacun à chacun , etc. 

II. Deux figures sont semlïablesy lorsqu'elles ont 
les angles égaux chacun à chacun et les côtés homO" 
logues proportionnels. Par côtés homologues on en- 
tend ceux qui ont la même position dans les deux 
figures, ou qui sont adjacents à des angles égaux. Ces 
angles eux-mêmes s'appellent angles homologues. 

Deux figures égales sont toujours semblables ; mais 
deux figures semblables peuvent être fort inégales. 

III. Dans deux cercles différents, on appelle arcs 
semblables , secteurs semblables , segments sembla» 
Mes y ceux qui répondent à des angles au centre 
égaux. 

fig. 991. Ainsi Fangle A étant égal à Tangle O, Tare BG 
est semblable à l'arc DE, le secteur ABC au secteur 
ODE , etc. 

ly, La hauteur d'un parallélogramme est la per- 



LITIIB III. 6l 

pendiculaire EF qui mesure la distance des deux côtés fig. 9I 
opposés AB,CD, pris pour bases. 

V. La hauteur d'un triangle est la perpendiculaire 
AD abaissée du sommet d'un angle A sur le côté op- ^' ^ 
posé BC pris pour base'. H' 95. 

VI. La hauteur du trapèze est la perpendiculaire 
EF menée entre se& deux côtés parallèles AB, CD. 

YII. L'aire ou la surface d*une figure sont des ter- ^ 
mes à-peu-près synonymes. L'aire désigne plus parti- 
culièrement la quantité superficielle de la figure en 
tant qu'elle est mesurée ou comparée à d'autres sur- 
faces. 

N, B, Pour rintellîgence de ce livre et des suivants, il 
faut avoir présente la théorie des proportions , pour laquelle 
nous renvo]f«>ns aux traités ordinaires d'arithmétique et 
d'algèbre. Nous ferons seulement une observation , qui est 
très-importante pour fixer le vrai sens des propositions, et 
dissiper toute obscurité, soit dans Tcnoncé, soit dans les 
défflonstrations. 

Si on a la proportion A:B :: C:D , on sait que le produit 
des extrêmes AXD est égal au produit des moyens BxC. 

Cette vérité est incontestable pour les nombres; elle Test 
aussi pour des grandeurs quelconques , pourvu qu'elles s*ex. 
priment ou qu'on les imagine exprimées en nombres ; et c'est 
ce qu'on peut toujours supposer : par exemple , si A, B , C , D , 
sont des lignes , on peut imaginer qu'une de ces quatre lignes, 
ou ime cinquième , si l'on veut , serve à toutes de commune 
mesure et soit prise pour unité ; alors A, B, C , D, représentent 
chacune un certain nombre d'unités , entier ou rompu, com- 
mensarable ou incommensurable , et la proportion entre les 
lignes A, B, C, D, devient une proportion de nombres. 

Le produit des lignes A et D , qu'on appelle aussi leur 
rectangle , n'est donc autre chose que le nombre d'unités 
linéaires contenues dans A , multiplié par le nombre d'uni- 
tts linéaires contenues dans B ; et on conçoit facilement que 
ee produit peut et doit être égal à celui qui résulte sembla- 
blement des lignes Bjet G. 



l^es grandeurs 4 ^t B peuvent être d-u^e espèce, par 
exemple , des lignes , et les grandeurs C et D d*une autre 
espèce, par exemplç , des surfaces ; alors il faut toujours re- 
garder ces graudeurs comme des nombres : A et B s^expri- 
meront en unités linéaires, C et D en unités superficielles, 
et le produit A X l> sera un nombre comme le produit B X C, 

£n général , d^ns toutes les opérations qu'on fera sur les 
proportions , il faut toujours regarder les termes de ces pror 
portions comme autant denombt^ea, chacun de l'espèce qui 
loi convient, et on n*aura aucune peine à concevoir ces opéf 
rations et les conséquences qui en résultent. 

Nous devons avertir aussi que plusieurs de nos démons- 
trations sont fondées sur quelques-unes des règles les plus 
simples de Talgèbre, lesquelles s'appuient elles-m^mes sur 
les axiomes connus : ainsi si Ton a A z:;: B-f-C, et qu'on mul« 
tiplie chaque membre par une même quantité M, oa en 
conclut AXM=:BxM+GxM; pareillement si Ton a A = 
B-f-C et D=:E — C, et qu'on ajoute les quantités égales, 
n effaçant H- C et — C qui se détruisent, on en conclura 
A4-D:^B+E, et ainsi des autres. Tout cela est assez 
évident par soi-même; mais, en cas de difficulté, il sera 
bon de consulter les livres d'algèbre, et d'entre-méler ainsi 
Vétude des deux sciences. 

PROPOSITION PREMIÈRE. 

TBBO&BMS. 

Les parallélogrammes gui ont des bases égaies 
et des hauteurs égales, sont équivalents. 
fig. 96. Soit AB la base commune des deux parai lëlogram- 
mefi ABCD, ABEF, puisqu'ils sont supposés avoir la 
nieme hauteur , les bases supérieures DC| F£, seront 
situées sur une même ligne parallèle à AB. Or on a 
par la nature des paraUéioginmnies AD=:;?BC| et AF 
s=i B£; par la même raison on a DCr=: AB, et FE ^=7 
AB^ donc DG=5 FE) donc, retranchant DC et F£ d« 
la même ligne D£ , les restes CE et DF «eroot éf^aux* 



Il suit d^ 1^ que les triangles D AF> CBD , sont éi^ui- 
latéraux entre eux, et par conséquent égaux. 

Mais si du quadrilatère ÂBED on retranche le tri- fig. 96. 
angle ADF, il reste le parallélogramme ABEF; et ^i 
du même quadrilatère AfiED on retranche le triangle 
CBE, il reste le parallélogramme ABCD; donc les 
deux parallélogrammes AfiCD, ABEF, qui ont ipéme 
base et même hauteur, sont .équivalents. 

Corollaire. Tout parallélogramme ABCD est équî* 
valent au rectangle ABEF de même basa et dç même H* 97- 
bauteur* 

PROPOSITION II. 

THÉOAEIIB. 

Tout triangle ABC est la moitié du parallélo' if. 91»* 
gramme ABCD qui a même hase et même hauteur. 

Car les triangles ABC, ÀCD, sont égaux *. *•'» '• 

Corollaire I. Donc un triangle ABC est la moitié du 
rectangle BCEF qui a même base BC et même hau- 
teur AO; car le rectangle BCEF est équivalent au pa* 
raUélogramnie ABCD. 

Corollaire II. Tous les triangles qui ont des base» 
égales et des hauteurs égales , sont équivalents» 

PROPOSITION IIL 

r 
i 

THÉOEÂMB. 

Deux rectangles de même hauteur sont entre 
eux comme leurs bases. 

Soient ABCD, AEFD , deux rectangles qui ont potit fig. 99. 
hauteur commune AD; je dis quils sont entre eux 
comme leurs bases AB, AE. 

Supposons d'abord que les bases AB, AE^ soient 



64 GÉOMÉTAIB, 

commensurables entre elles, et qu'elles soient, par 
exemple , comme les nombres 7 et 4 : si on divise AB 
en 7 parties égales, AE contiendra 4 ^^ ^^ par- 
ties, élevez à chaque point de division une perpen- 
diculaire à la base, vous formerez ainsi sept rectan- 
gles partiels, qui seront égaux entre eux, puisqu'ils 
auront même base et même hauteur. Le rectangle 
ABCD contiendra sept rectangles partiels , tandis que 
AEFD en contiendra quatre ; donc le rectangle ABCD 
est au rectangle AEFD comme 7 est à 4 1 on comme 
AB est à AE. Le même raisonnement peut être appli- 
qué à tout autre rapport que celui de 7 à 4? donc, 
quel que soit ce rapport, pourvu qu il soit commen- 
surable, on aura, 

ABCD:AEFD::AB;AE. 
Ujj, ipo.. Supposons, en second lieu, que les bases AB, AE, 
soient incommensurables entre elles ; je dis qu on n'en 
aura p^s moins, 

ABCD : AEFD ::AB:AK 
Car si cette proportion n est pas vraie, les trois pre- 
miers termes demeurant les mêmes, le quatrième sera 
plus grand ou plus petit que AE. Supposons qu'il soir 
plus grand et qu'on ait , 

ABCD: AEFD ::AB:AO. 
Divisez la ligne AB en parties égales plus petites que 
EO, il y aura au moins un point de division I entre E 
et O : par ce point élevez sur AI la perpendiculaire IK ; 
les bases AB, AI, seront commensurables entre elles, 
et ainsi on aura , par ce qui vient d être démontré, 

ABCD:AIKD::AB:AL 
Mais on a, par hypothèse , 

ABCD : AEFD : : AB : AO.^ 
Dans ces deux proportions les antécédents sont égaux; 
donc les conséquents sont proportionnels , et il en 
résulte, 

A1KD:AEFD::A1:A0. 



V 



I.IVRB III. 65 

Mais âO est plus grand que AI; donc 9 pour que 
cette proportion subsistât, il faudrait que le rectangle 
AEFD fût plus grand que AIKD; or, au contraire, il 
est plus petit; donc la proportion est impossible; donc 
ABCD ne peut être à AEFD comme Afi est à une ligne 
plus grande que A£. 

Par un raisonnement entièrement semblable, on 
prouverait que le quatrième terme de la proportion 
ne peut être plus petit que AE; donc il est égal 
à AE. 

Donc, quel que soit le rapport des bases, deux 
rectangles de même hauteur ABCD, AEFD, sont 
entre eux comme leurs bases AB , AE. 

PROPOSITION IV. 

TBliORâMS. 

Deux rectangles quelconques AUCD, AEGF^ fig. loi. 
sont entre eux comme les produits des bases mul- 
tipliées par les hauteurs ^ de sorte qu'on a 
ABCDrAEGF: :ABx AD:AEx AF. 

Ayant disposé les deux rectangles de manière que 
les angles en A soient opposés au sommet, prolongez 
les côtés 6E, CD, jusqu'à leur rencontre en H; les 
deux rectangles ABCD, AEHD, ont même hauteur 
AD; ils sont donc entre eux comme leurs bases 
AB, AE : de même les deux rectangles AEHD, 
AEGF, ont même hauteur AE, ils sont donc entre 
eux comme leurs bases AD , AF ainsi on aura les 
deux proportions, 

ABCD:AEHD::AB:AE. 
AEHD : AEGF:: AD :AF. 

Multipliant ces proportions par ordre, et obser- 
vant que le moyen terme AEHD peut être omis 

5 



66 OBOMÉTHIB. 

comme multiplicateur commun à l'antëcëdent et au 
conséquent, on aura, 

ABCDrAEGF :: AB x AD.AE x AF. 

Scholie, Donc on peut prendre pour mesure d*un 
rectangle le produit de sa base par sa hauteur, pourvu 
qu'on entende par ce produit celui de deux nombres, 
qui sont le nombre d uni tes linéaires contenues dans 
la base, et le nombre d unités linéaires contenues dans 
la hauteur. 

Cette mesure, d ailleurs, n'est pas absolue, mais 
seulement relative; elle suppose qu'on évalue sem- 
blablemen^ un autre rectangle en mesurant ses côtés 
par la même unité linéaire ; on obtient ainsi un second 
produit, et le rapport des deux produits est égal à 
celui des rectangles, conformément à la proposition 
qu'on vient de démontrer. 

Par exemple , si la base du rectangle A est de trois 
unités et sa hauteur de dix , le rectangle sera représenté 
par le nombre 3 x lo, ou 3o, nombre qui ainsi isolé 
ne signifie rien; mais si on a un second rectangle B 
dont la base soit de douze unités et la hauteur de sept, 
le second rectangle sera représenté par le nombre 7 
X 12, ou 84 : de -là on conclura que les deux rec- 
tangles A et B sont entre eux comme 3o est à 84 î 
donc, si on convenait de prendre le rectangle A pour 
l'unité de mesure dans les surfaces, le rectangle B au- 
rait alors pour mesure absolue •*, c'est-à-dire qu'il 
serait égal à -J^ d'unités superficielles. 

Il est plus ordinaire et plus simple de prendre le 
quarré pour Tunilé de surface, et on choisit le quarré 
dont le côté est lunité de longueur ; alors la mesure 
que nous avons regardée simplement comme relative 
devient absolue : par exemple le nombre 3o, par le- 
quel nous avons mesuré le rectangle A, représente 3o 
fig. 10a. unités superficielles , ou 3o de ces quarrés dont le côté 
est égal à Tunité : c'est ce que la fig. 102 rend sensible. 



LITHB III. &J 

On confond asseï souvent en géométrie le produit 
de deux lignes avec leur rectangle^ et cette exprès» 
fiion a même passé en arithmétique pour désigner le 
produit de deux nombres inégaux, comme on emploie 
celle de çuit/Wpour exprimer le produit d'un nombre 
multiplié par lui-même. 

Les quarrés des nombres i , 2 , 3 , etc. , sont i , 4* 
9, etc. Aussi voit- on que le quarré fait sur une ligne 
double est quadruple ; sur une ligne triple , il est neuf *«• «•*» 
(bis plus grand, et ainsi de suite. 

PROPOSITION V. 

THÉOEBME. 

L'aire d'un parallélogramme quelconque est 
égale au produit de sa base par sa hauteur. 

Car le parallélogramme ABCD est équivalent au &<• 97* 
rectangle ABEF , qui a même base AB et même hau- 
teur BE*; or celui-ci a pour mesure ABxBE**, *i.**4. 
donc AB X BË est égal à Taire du parallélogramme 
ABCD. 

Corollaire. Les parallélogi*ammes de même base 
sont entre eux comme leurs hauteurs, et les parallé- 
logrammes de même hauteur sont entre eux comme 
leurs bases; car A, B, C, étant trois grandeurs quel- 
conques, on a généralement AxC:BxC:: A:B. 

PROPOSITION VI. 

TRSOBÂMB. 

ViUre dwi triangle est égale au pwduit de 
sa base par la moitié de sa hauteur. 

Car le triangle ABC est la moitié du parallélo- fig*io4i 
gramme ABCE, qui a même base BC et même 
hauteur AD^ : or, la surface du parallélogramme •». 

5. 



68 GÉOMléTRIB. 

*S. = BC X AD*; donc celle du triangle =^BC X AD, 
ou BC X 7AD. 

Corollaire. Deux triangles de même hauteur sont 
entre eux comme leurs bases, et deux triangles de 
même base sont entre eux comme leurs hauteurs. 

PROPOSITION VIL 

THÉOEÂME. 

fig. io5. Vaire du trapèze ABCD est égale à sa hau^ 
teur EF, multipliée par la demi -somme des 
bases parallèles , AB, CD. 

Par le point I, milieu du côté CB, menez KL pa- 
rallèle au côté opposé AD, et prolongez DG jusqu'à 
la rencontre de KL. 

Dans les triangles IBL, IGK, on a le côté IB=IC 

par construction , langle LIB = CIK , et l'angle 

*a4. 1. IBL=ICK, puisque CK et BL sont parallèles*; 

*^^t, donc ces triangles sont égaux*; donc le trapèze 

ABCD est équivalent au parallélogramme ADKL^ et 

il a pour mesure EF x AL. 

Mais on a AL=DK, et puisque le triangle IBL 
est égal au triangle KCI, le côté BL = CK; donc 
AB4-CD=AL + DK = 2AL, et ainsi AL est la 
demi-somme des bases AB, CD; donc enfin Taire 
du trapèze ABCD est égale à la hauteur EF multi- 
pliée par la demi -somme des bases AB, CD, ce qui 

s'exprime ainsi : ABCD =EF x ( j. 

«. Scholie. Si par le point I, milieu de BC, on mène 
IH, parallèle à la base AB, le point H sera aussi le 
milieu de AD, car la figure AHIL est un parallélo- 
gi*amme, ainsi que DHIK, puisque les côtés opposés 
sont parallèles : on a donc AHrrIL et DH=IK; or, 
IL=IK, puisque les triangles BIL, CIK, sont égaux; 
donc AH=DH. 



IiIYEB III* 69 

On peut remarquer que la ligne HIz=:AL=: 

AB-f-CD , , ' . 
; donc Taire du trapèze peut s exprimer aussi 

par £F X HI : elle est donc égale à la hauteur du 
trapèze multipliée par la ligne qui joint les milieux 
des côtés non parallèles. 

PROPOSITION VIII. 

TUBOHEMB. 

Si une ligne AC est divisée en deux parties AB, H- "«•< 
BC , le quatre fait sur la ligne entière AC con- 
tiendra le quarréfait sur une partie AB , plus le 
quarré fait sur Vautre partie BC , plus deux 
fois le rectangle compris sous les deux parties AB, 

BC, ce qu'on exprime ainsi ^ AC ou (AB+BC) 

= AB V BC + 2 AB X BC. 

Construisez le quarré ACDE, prenez AF=iAB, 
menez FG parallèle à AC , et BH parallèle à AE. 

Le quarré ABCD est divisé en quatre parties : la 
première ABIF est le quarré fait sur AB, puisqu'on 
a pris AF=AB: la seconde IGDH est le quarré fait 
sur BC; car puisqu'on a AC = AE, et AB=AF, la 
différence AC — AB est égale à la différence AE — 
AF, ce qui donne BC:=:£F; mais à cause des paral- 
lèles IG=iBC, et DG=EF, donc HIGD est égal au 
quarré fait sur BC. Ces deux parties étant retran- 
chées du quarré total, il reste les deux rectangles 
BCGI , EFIH , qui ont chacun pour mesure AB X BC ; 
donc le quarré fait sur AC , etc. 

Seholie. Cette proposition revient à celle qu'on 
démontre en algèbre pour la formation du quarré 
d'un binôme, et qui est ainsi exprimée: 



PROPOSITION li. 



THEOREME. 



^' »o7« Sila ligne AC est la différence des deupc lignes 
AB, BC , le quarré fait sur AC contiendra, le 
quarré de AB^plus le quarré de BC , moins deux 
fois le rectangle fait sur AB et BC ; c'est-à-dire 

qu'on aura AC ou (AB — BC) = AB + BC — 
a AB X BC. 

Construise74 le quarré ABIF , prenez AE = AC, 
menez GG parallèle à Bl, HK parallèle à AB, et ache- 
vez le quarré EFLK. 

Les deux rectangles CBI6, GLKD , ont chacun pour 
mesure AB X BC : si on les retranche de la figure en* 

tière ABILKEA, qui a pour valeur AB + BC, il est 
clair qu'il restera le quarré ACDE, donc, etc. 

Scholie. Cette proposition revient à la fqrnxule d'al- 
gèbre (a— A)' = a*-+'^'— -aai. 

PROPOSITION X. 

TBÉORBMB. 

Le rectangle fait sur la somme et la différence 
de deux lignes y est égal à la différence des 
fig. xo8. quarrés de ces lignes: ainsi on a (AB + BC) X 

(ab~bc)==âb'-^bc'. 

Construisez sur AB et AG les quarrés ABIF y 
AGDE ; prolongez AB d'une quantité BK = BC , ei 
achevez le rectangle AKLE. 

La base AK du rectangle eat la solnme d«4 d^uK 
lignes AB, BG , sa hauteur A£ est la différence 
«le ces mêmes lignes ; donc le rectangle AKLEs:: 
(AB-f-BG) X (AB~BG). Mais ce même rectangle 
est composé des deux parties ABHËHhBHLK; et 



iéirwLM iii« 71 

la partie BHLK est égale au rectangle ED6F ^ car 
BH=DE et BK=KF; donc AKLE=ABHE+EDGF. 
Or, ces deux parties forment le quarré ABIF moins 
le quarré DHIG, qui est le quarré fait sur BC; donc 

enfin (AB+BC) x (AB— BC)=AB— BC.* 

SchoUe. Cette proposition revient à la formule 
dalgèbre {a+b) {a—b)=:a^—b\ 

PROPOSITION XL 

THÉORBMB. 

Le quarré fait sur V hypoténuse (Tun triangle 
rettangle est égal à la somme des quarrés faits 
sur les deux autres côtés. 

Soit ABC un triangle i-ectangle en A : ayant formé ^* ^^ 
des quarrés sur les trois côtés, abaissez de langle 
droit sur Thypoténuse la perpendiculaire AD que 
TOUS prolongerez jusqu'en E ; tirez ensuite les diago- 
nales AF, CH. 

Langle ABF est composé de langle ABC plus l'an- 
gle droit CBF : l'angle CBH est composé du même 
angle ABC plus langle droit ABH ; donc Tangle ABF 
=:HBC. Mais AB=BH comme côtés d'un même 
quarré, et BF;=BG par la même raison; donc les 
triangles ABF , HBC , ont un angle égal compris entre 
côtés égaux; donc ils sont égaux*. ^» »2 

Le triangle ABF est la moitié du rectangle BDEF , 
(ou pour abréger BE) qui a même base BF et même 
hauteiu* BD *. Le triangle HBC est pareillement la V* >: 
moitié du quarré AH; car Tangle BAC étant droit 
ainsi que BAL , AC et AL ne font qti^une même 
ligne droite parallèle à HB; donc le triangle HBC et 
le quarré AH, qui ont la base commune BH, ont 
aussi la hauteur commune AB ; donc le triangle est 
la moitié du quarré* 



J^ GBOMÉT&IB. 

On a déjà prouvé que le triangle ABF est ëgal au 
triangle HBG; donc le rectangle BDEF, double du 
triangle ABF, est équivalent au quarré AH, double 
du triangle HBG. On démontrera de même que le rec- 
tangle CDËG est équivalent au quarré AI ; mais les 
deux rectangles BDEF, CDEG, pris ensemble, font le 
quarré BCGF ; donc le quarré BCGF , fait sur l'hypo- 
ténuse , est égal à la somme des quarrés ABHL , ACIK , 
faits sur les deux autres côtés; ou, en d'autres termes, 

ÎBC = ÂB+ÂC' 

Corollaire I. Donc le quarré d'un des côtés de 
langle droit est égal au quarré de Thypoténuse moins 
le quarré de lautre côté , ce qu on exprime ainsi : 

AB= BC — ÂC, 
*^''* * Corollaire VL. Soit ABCD un quarré, AC sa dia- 
gonale ; le triangle ABC étant rectangle et isoscèle , 

on aura AC = AB + BC = 2 A B ; donc le quarré 
fait sur la diagonale AC est double du quarré Jaii 
sur le côté AB. 

On peut rendre sensible cette propriété en menant 
par les points A et C des parallèles à BD , et par les 
points B et D des parallèles à AC : on formera ainsi 
un nouveau quarré EFGH qui seia le quarré de AC. 
Or, on voit que EFGH contient huit triangles égaux 
à ABE , et que ABCD en contient quatre ; donc le 
quarré EFGH est double de ABCD. 

Puisque AC : AB : : 2 : i , on a , en extrayant la ra- 
cine quarrée, AC : AB : : v^2 : i ; donc la diagonale 
d^un quarré est incommensurable ai^ec son côté. 

C'est ce qu'on développera davantage dans une autre 
occasion. 

fig. 109. Corollaire UI. On a démontré que le quarré AH 
est équivalent au rectangle BDEF ; or , à cause de la 
hauteur commune BF, le quarré BCGF est aa rec* 



UT&B III. 73 

taogle BDEF comme la base BG est à la base BD ; 

donc, 



BC': AB*:: BC : BD. 



Donc le quarré de Phjrpoténuse est. au quarri iTun 
des côtés de V angle droit comme rhypotinuse est au 
segment ad/acent à ce côté. On appelle ici segment la 
partie de Thypoténuse déterminée par la perpendicu- • 
laire abaissée de l'angle droit; ainsi BD est le segment 
[' adjacent au côté ÂB, et DG est le segment adjacent au 
côté AC. On aurait semblablement, 

BC*: ÂC':: BC : CD. 
Corollaire IV. Les recUngles BDEF, DCGE, ayant 
aussi la même hauteur, sont entre eux comme leurs 
bases BD, CD. Or, ces rectangles sont équivalents aux 

quarrés AB , AG ; donc , 

S*: AC :: BD : DG. 
Donc les quarrés des deux côtés de VangU droit sont 
entre eux comme les segments de P hypoténuse adja'* 
cents a ces côtés* 

PROPOSITION XII. 

TBÉORÂHB. 

Dans un triangle ABC, si F angle G est aigu, £. 
le quarré du côté opposé sera plus petit que la 
somme des quarrés des côtés qui comprennent 
l'angle C*^ et si Ton abaisse AJ) perpendiculaire 
^ï^ BC , la différence sera égale au double du 
rectangle BC x CD ; de sorte qu'on aura^ 

ÂB=ÂC + BC— a BC X CD. 
n y a deux cas. i^ Si la perpendiculaire tombe au- 
dedans du triangle ABC , on aura BD=:BC— CD, 

et par conséquent * râ = BG + CD — a BGx CD, • j; 



ItO. 



Ji GBOMlBtEIB. 

Ajoutant de part et d'autre AD , et observant que 

les triangles rectangles ABD, ADC, donnent AD-|- 

BD=ÂB et ÂD+DC=AC, on aura Ib=BgV 

ÂC — aBCxCD. 

2^ Si la perpendiculaire AD tombe hors du triangle 
*^ ABC y on aura BD=CD — BC, et par conséquent^ 

S5 = CD + BC — aCDxBC. Ajoutant de part et 

d autre AD, on en conclura de même, 

AB = BC VÂG — a BC X CD. 

PROPOSITION XIIL 

TH^ORÂME. 

fig. III. J)ans un triangle ABC, si l'angle C est obtus, 
ie quarré du côté opposé AB sera plus grand 
que la somme des quarrés des côtés qui com- 
prennent V angle G, et si on abaisse KD perpen- 
diculaire sur BC, la différence sera égale au 
double du rectangle RG x GD, {le sorte qu *on aura, 

ÂB = AC + BC V 2 BC X CD. 

La perpendiculaire ne peut pas tomber au-dedans 

du triangle; car si elle tombait, par exemple, en E, 

le triangle ACE aurait à la fois langle droit E et 

*Î9''» Tangle obtus C, ce qui est impossible*; donc elle 

tombe au dehors, et on a BD=BC + CD. De là 

* «• résulte* BD = BC + ci5+aBGxCa Ajoutant de 
part et dautre AD et feisant les réductions comme 
dans le théorème précédent , on en conclura AB 

= BC + AC + 2 BC X CD. 

Scholie, Le triangle rectiingle est le seul dans le-' 
quel la somme des quarrés de deux côté» aoit égale 



ftiTas lit ^ 

au qiiarré du troisième ; car si l^angle compris par ces 
côtés est aigu, la somme de leurs quarrés sera plus 
grande que le quarré du côte opposé; s*il est obtus, 
elle sera moindre. 

PROPOSITION XIV. 

thjîorAxs. 

Dans un triangle quelconque ABC, si on mène <g.i»* 
du sommet au milieu de la base la ligne A£ , Je 

dis qu'on aura AB+ÂC=2 AE + iBE. 

Abaissez la perpendiculaire AD sur la base BG, le 
triangle AEG donnera par le théorème xii, 

AC= AE + EC— 2 EC X ED. 
Le triangle ABE donnera par le théorème xin , 

ÂB=ÂÊVÊbV a EB X ED. 
DonC| en ajoutant et observant que EB^EG, on auia^ 

ÂBVÂC=a AÊ + a ÊB,* 

Corollaire. Donc , dans tout parallélogramme, la 
somme des quarrés des côtés est égale à la somme des 
quarrés des diagonales. 

Car les diagonales AG, BD, se coupent mutuelle- fig.ii3. 
ment en deux parties égales au point E*; ainsi le *3i, i. 
triangle ABC donne , 

ÂB V BC=a ÂÊ+ a BÊ! 
Le triangle ADC donne pareillement, 

AD + DC =2 a AÊ + a DÊ! 
Ajoutant membre à membre, en observant que BEsb 
DE, on aura, 

AB + A& + Î)C V BC = 4 AE*+ 4 de! 

Mais 4 AE eat le quarré de a AE ou de AG; 4 D^ 
W le quarré de BD; donc la somme des quarrés des 
f^tés est égale à U somm^ des quarrés des diagonales. 



7^ GliOMBTAIE. 

PROPOSITION XV. 

THÉOEÂME. 

£g. Z14. ^^ ligne DE, menée parallèlement à la base 
d'un triangle ABC , divise les côtés AB , AC, 
proportionnellement; de sorte qu'on a AD : DB 
: : AE : EC, 

Joignez BE et DC ; les deux triangles BDE , DEC , 
ont même base DE ; ils ont aussi même hauteur, 
puisque les sommets B et G sont situés sur une parai* 
*2^ lèle à la base; donc ces triangles sont équivalents^. 

Les triangles ADE, BDE, dont le sommet commua 
est E, ont même hauteur et sont entre eux comme 
• fl. leurs bases AD , DB * ; ainsi on a , 

ADE : BDE : : AD : DB. 

Les triangles ADE, DEC, dont le sommet commun 
est D, ont aussi même hauteur, et sont entre eux 
comme leurs bases AE , EC ; donc, 

ADE : DEC : : AE : EC. 

Mais le triangle BDE = DEC; donc, à cause du' 
rapport commun dans ces deux proportions, on en 
conclura AD : DB : : AE : EC. 

Corollaire I. De là résulte componendo AD+DB: 
AD :: AE+EC : AE, ou AB : AD :: AC : AE, et aussi 
AB:BD::AC:CE. 
£g. tx5. Corollaire IL Si entre deux droites AB, CD, on 
mène tant de parallèles qu^on voudra AC, EF, GH, 
BD, etc., ces droites seront coupées proportionnelle^^ 
ment^ et on aura AE : CF : : EG : FH : : GB : HD. 

Car soit O le point de concours des droites AB ^ 
CD; dans le triangle OEF, où la ligne AC est menée 
parallèlement à la base EF, on aura OE : AE : : OF : 
CF , ou OE : OF : : AE : CF. Dans le triangle OGH, on 
aura scmblablement OE : EG : : OF : FH, ou OE : OF 
::EG:FH; donc, à cause du rapport commun : 



LIVR£ III. JJ 

OE :0F, ces deux proportions donnent AE:CF:: 
E6:FH. On démontrera de la même manière que EG : 
FH::6B:HD, et ainsi de suite; donc les lignes AB, 
CD, sont coupées prçpordonnellement par les parai- • 
lèles EF, GH, etc. 

PROPOSITION XVI. 

THÉORÈME. 

Réciproquement si les côtés AB , AC , sont cou^ fig. « i^. 
pés proportionnellement par la ligne DE , en 
sorte qu'on ait AD : DB : : AE : EC , J2 dis que la 
ligne DE sera parallèle à la base BC. 

Car si DE n'est pas parallèle à BG , supposons que 
DO en soit une;- alors , suivant le théorème précé- 
dent, on aura AD:BD::AO:OG. Mais, par hypo- 
thèse, AD: DB::AE: EC; donc on aurait AO:OC:: 
A£:£C; proportion impossible, puisque dune part 
l'antécédent AE est plus grand que AO , et que de 
l'autre le conséquent EC est plus petit que OC ; donc 
la parallèle à BC menée par le point D ne peut diffé- 
rer de DE ; donc DE est cette parallèle. 

Seholie. La même conclusion aurait lieu si on sup- 
posait la proportion AB: AD::AC:AE. Car cette pro- 
portion donnerait AB— AD:AD::AC — ^AE:AE, ou 
BD:AD::CE:AE. 

PROPOSITION XVII. 

THiORÂMB. 

La ligne AD , qui divise en deux parties égales Sg. 117. 
l'angle BAC d'un triangle, divisera la base BC 
en deux segments BD , DC , proportionnels aux 
côtés adjacents AB, AC; de sorte qu'on aura 
BD:DC::AB:AC. 



7^ GBOMBTRIC. 

Par le point C menez CE parallèle k AD jusqu'à la 
rencontre de BA prolongé. 

Dans le triangle BGE , la ligne AD e$t parallèle à la 
*iS» base CE; ainsi ou a la proportion * y 

BD:DC::AB:AE. 
Mais le triangle ACE est isoscèie ; car, à cause des 
parallèles AD, CE, langle ACE=DAC, et l'angle 
J*a4,i. AEC=BAD * : or, par hypothèse, DAC=BAD; 
x3, 1, donc l'angle ACE^i=:AEC, et par suite AE=AG *; 
substituant donc AC à la place de A£ dans la propor- 
tion précédente, on aura, 

BD:DG::AB:AC. 

PROPOSITION XVIII. 

Deux* triangles équiangles ont les côtés homo- 
logues proportionnels et sont semblables. 
Iig.xig. Soient ABC, CDE, deux triangles qui ont les an- 
gles égaux chacun à chacun, savoir BAC =r CDE, 
ABC=DCE, et ACB=DEC;je dis que les côtés 
homologues ou adjacents aux angles égaux, seront 
proportionnels, de sorte qu'on aura BC:CE::AB: 
CD::AC:DE. 

Placez les côtés homologues BC, CE, dans la même 
direction, et prolongez les côtés BA, ED, jusqu'à ce 
qu'ils se rencontrent en F. 

Puisque BCE est une ligne droite, et que l'angle 
*24,i. BCA=:CED, il s'ensuit que AC est parallèle à D£ \ 
Pareillement, puisque l'angle ABC=:DCE, la ligne 
AB est parallèle à DC ; donc la figure ACDF est un 
parallélogramme. 
*'^' Dans le triangle BFE la ligne AC est parallèle à la 

base FE, ainsi on a BC:CE::BA:AF*. A la place de 
AF metunt son égale CD, on aura, 

BC:CE::BA:CD. 



IiIYES iti« 79 

Dans le même triangle BFE| si on regarde BF 
comme la base, CI) est une parallèle à cette base^ et 
on a la proportion BC:CE::FD:DE. A la place de 
FD mettant son égale AG, on aura, 

BC:CE::AC:DE. 

Enfin de ces deux proportions qui contiennent le 
même rapport, BG:CE, on peut conclure aussi, 

AC:DE::BA:CD. 

Donc les triangles équiangles BAC , CDE , ont les 
côtés homologues proportionnels : mais^ suivant la 
définition II , deux figures sont semblables , lorsque 
elles ont à la fois les angles égaux chacun à chacuxi| 
et les côtés homologues proportionnels; donc lai 
triangles équiangles BAC, CDE, sont deux figures 
semblables. 

Corollaire. Pour que deux triangles soient sembla- 
bles, U suffit quils aient deux angles égaux chacun à 
chacun, car alors le troisième sera égal de pari et 
d'autre, et les deux triangles seront équiangles, 

Scholie. Remarquez que, dans les triangles sem* 
blables, les côtés homologues sont opposés à des 
angles égaux; ainsi Tangle ACB étant égal à DEC , le 
cdté AB est homologue à DG ; de même AG et DE sont 
homologues comme étant opposés aux angles égaux 
ABC, DGË : les côtés homologues étant reconnus, on 
i'CMrme aussitôt les proportions : 

AB:DG::AG:DE::BG:CE. 

PROPOSITION XIX. 
théorImb. 

Deux triangles qui ont les côtés homologues 
proportionnels f sont équiangles et semblables. 

Supposons quon ait BG:ËF: : AB:DE::AG:DF; fig. 120. 
je dis que les triangles ABG , DEF, auront h» angles 
égaux, savoir, A=D, Bc=:E, C=sF, 



80 6ÉOMBTRIB. 

Faites au point E l'angle FE6rr=B et au point F 
Fangle EFG=C, le troisième G sera égal au troi- 
sième A y et les deux triangles ABC , EFG , seront 
équiangles ; donc on aura par le théorème précédent 
BC:EF::AB:EG : mais, par hypothèse, BG.EF:: 
AB: DE; donc EGmDE. On aura encore, parle 
même théorème, BC:EF: : AC:FG ; or on a, par hy- 
pothèse , BC : EF :: AC : DF , doncFG=DF; donc 
les triangles EGF, DEF, ont les trois côtés égaux 

*"> X- chacun à chacun; donc ils sont égaux ^, Mais, par 
construction , le triangle EGF est équiangle au trian- 
gle ABC ; donc aussi les triangles DEF , ABC , sont 
équiangles et semblables. 

Scholie !• On voit par ces deux dernières proposi- 
tions, que dans les triangles, Fégalité des angles est 
une suite de la proportionnalité des côtés, et ré- 
ciproquement, de sorte qu'une de ces conditions 
suffit pour assurer la similitude des triangles. Il n'en 
est pas de même dans les figures de plus de trois 
côtés; car, dès qu'il s'agit seulement des quadrila- 
tères, Q.n peut, sans changer les angles, altérer la 
proportion des côtés , ou , sans altérer les côtés , 
changer les angles; ainsi la proportionnalité des 
côtés ne peut être une suite de 1 égalité des angles, ni 

fig. zaï. "vice "versâ. On voit, par exemple^, qu'en menant EF 
parallèle à BC, les angles du quadrilatère AEFD 
sont égaux à ceux du quadrilatère ABCD ; mais la 
proportion des côtés est différente : d<e même y sans 
changer les quatre côtés AB, BC, CD, AD, on peut 
rapprocher ou éloigner le point B du point D , ce qui 
altérera les angles. 

Scholie II. Les deux propositions précédentes qui 
n'en font proprement qu'une, jointes à celle du 
quarré de l'hypoténuse, sont les propositions les plus 
importantes et les plus fécondes de la géométrie; 
elles suffisent presque seules à toutes les applications 



LIYAB III. 8l 

et à la résolution de tous les problèmes : la raison en 
est que toutes les figures peuvent se partager en 
triangles, et un triangle quelconque en deux trian- 
gles rectangles. Ainsi les propriétés générales des 
triangles renferment implicitement celles de toutes les 
figures. 

PROPOSITION XX. 

THÉOEâMB. 

Deux triangles qui ont un angle égal compris 
entre côtés proportionnels y sont semblables. 

Soit Tangle A =: D , et supposons qu'on a AB : fig ia«. 
DE : : AC : DF ; je dis que le triangle ABC est sem« 
blable à DEF. 

Prenez A6 = DE et menez 6H parallèle k BG 
l'angle AGH sera égal à Tangle ABC*j et le triangle *M.i. 
AGH sera équiangle au triangle ABC ; on aura donc 
AB:AG:: AG:AH: mais, par hypothèse, AB:DE:: 
AG : DF , et par construction AG = DE ; donc AH = 
DF. Les deux triangles AGH , DEF , ont donc un 
angle égal compris entre côtés égaux ; donc ils sont 
égaux. Or le triangle AGH est semblable à ABC; donc 
DEF est aussi semblable à ABC. 

PROPOSITION XXI. 

thbobAms» 

Deux triangles qui ont les côtés homologues 
parallèles f ou qui les ont perpendiculaires cha- 
cun à chacun , sont semblables. 

Car, i"" si le côté AB est parallèle à DE , et BC à fig. »3. 
EF , l'angle ABC sera égal à DEF* ; si de plus AC est ••''»«• 
parallèle à DF , Tangle ACB sera égal à DFE , et aussi 

6 



BAC à EDF 2 âdtic les triaiïgles ABO^ DSF^ sont 
ëquiftngl6s i doné ils sont scfitiblables. 

fig. a4. ^^ Soit le côté DE perpefiifdiculaire à AB, et le 
côté DF à AC ; dans le quadrilatère AIDH les deux 
angles I et H seront droits ^ les quatre angles Valent 

♦20, I. ensemble quatre angles droits *; donc les deux res- 
tants lAH , IDH , valent deux angles droits. Mais les 
deux angles EDF, lÙH , valent auàsi deux angles 
droits ; donc l'angle EDF est égal à lAH ou BAC : 
pareillement si le troisième côté EF est perpendi- 
culaire au troisième BC, on démontrera que l'angle 
DFÈ=t, et t)EF=B ; donc les deux triangles ABC, 
DEF, qui ont les côtés perpendiculaires chacun à 
chacun , soilt équiangles et semblables. 

Schohe. Dans le cas des côtés parallèles , les côtéi 
homologues sont les côtés parallèles, et, dans celui 
des côtés perpendiculaires , ce sont les côtés perpen- 
diculaires. Ainsi, dans ce dernier cas, DE est homo- 
logue à AB, DF à AC, et EF à BC. 

Le cas des côtés perpendiculaires pourrait offrir 
une situation relative des deux triangles , différente 
dé celle qui est supposée dans la fig. i24> mais l'éga- 
lité dés angles respectifs se démontrerait toujours ^ 
soit par des quadrilatères tels que AIDH, dont deux 
angles sont droits , soit par la comparaison de deux 
triangles qui , avec des angles opposés au sommet , 
auraient chacun un angle droit: d ailleurs, on pour- 
rait toujours supposer quon a construit au-dedans 
du triangle ABC un triangle DEF, dont les côtés 
seraient parallèles à ceux du triangle comparé à ABC, 
et àlôt^ la âémotïstràtioA rentrerait dan^ le cas de la 
% "4- 



LITBB III. M 

PROPOSITION XXIL 

THBORÊMB. 

Les lignes AF, AG, etc., menées comme on vour fig. i%% 
dra par le sommet d'un triangle j diviseni propor^ 
tionnellement la hase BC et sa parallèle DE, de 
sorte qu'on a DI:BF: :IK :F0: :KL:GH, etc. 

Car, puisque DI est parallèle à BF, le triangle 
ADI est ^quiangle à ABF, et on a la proportion 
DI:BF::A1:AF; de tn^me IK étant parallèle à FG, 
on a AI:AF::IK:F6 ; donc, à cause du rapport 
commun A1:AF, on aura DI:BF::IK:FG. On trou- 
Tera semblàblement IK:FG::KL:GH, etc.; donc la 
ligne DE est divisée aux points I , K , L, comme Ift 
base BC Test aux points F, G, H. 

Corollaire. Donc, si BC était divisée en parties 
égales aux points F, G, H, la parallèle DE serait di- 
visée de même en parties égales aux points I^ K, L. 

PROPOSITION XXIII. 

THBOBÂMB. 

Si de l'angle droit A d'un triangle rectangle on fig. ia«. 
abaisse la perpendiculaire AD sur lliypoténuse; 

1^ Les deux triangles partiels ABD, ADC, 
seront semblables entre eux et au triangle total 
ABC ; 

2® Chaque côté AB ou AC sera mo/en pro. 
poîiionnel entre l'hypoténuse BC et le segment 
adjacent BD ou DG ; 

S** La perpendiculaire AU sera moyenne pro*^ 
portionnelle entre les deux segments BD, DC. 

Car, 1* le triangle BAD et le triangle BAC ont 
l'angle commun B ; de plus langle droit BDA est 
^gal à Fangle droit BAC ; donc te troisième angle 
BAD de l'un est égal au troisième G de l'autre ; donc 

6. 



'84 CiOMBTaïK. 

ces deux triangles sont équiangles et semblables. Ou 
démontrera de même que le triangle DAC est sem- 
blable au triangle BAC; donc les trois triangles son 
ëquiangles et semblables entre eux. 

2^ Puisque le triangle BAD est semblable au trian- 
gle BAC, leurs côtés homologues sont proportionnels. 
Or^ le côté BD dans le petit triangle est homologue 
à BA dans le grand , parce qu'ils sont opposés à des 
angles égaux, BA.D^ BCA; l'hypoténuse BA du petit 
est homologue à Tliypoténuse BG du grand ; donc on 
peut former la proportion BD : BA :: BA : BG. On 
aurait de la même manière DG:AG :: AG:BG; donc, 
2? chacun des côtés AB , AG, est moyen propor- 
tionnel entre l'hypoténuse et le segment adjacent à 
ce côté. 

3" Enfin, la similitude des triangles ABD, ADC, 
donne , en comparant les côtés homologues , BD: 
AD::AD:DG; donc, 3*^ la perpendiculaire AD est 
moyenne proportionnelle entre les segments BD, DC 
de l'hypoténuse. 

Scholie. La proportion BD : AB : : AB : BG donne , 
en égalant le produit des extrêmes à celui des moyens, 

ÂB = BD X BG. On a de même AG'=DG X BG , 

donc AbVÂC=BDxBG + DGxBG,- le second 
membre est la même chose que (BD+DG) X BG, 

et il se réduit à BG X BG ou BG ] donc on a AB 

4- AG = BG ; donc le quarré fait sur l'hypoténuse 
BG est égal à la somme des quarrés faits sur les deux 
autres côtés AB , AG. Nous retombons ainsi sur la 
proposition du quarré de Thypoténuse par une voie 
très-différente de celle que nous avions suivie ; d'où 
l'on voit qu'à proprement parler , la proposition du 
quarr^ de Fhypoténuse est une suite de la propor* 
tionnalité des côtés dans les triangles équiangles» 



I.IT&B III. 85 

Ainsi leâ propositions fondamentales de la géométrie 
se réduisent, pour ainsi dire, à celle-ci seule, que 
les triangles équiangles ont leurs côtés homologues 
proportionnels. 

Il arrive souvent, comme on vient d'en voir un 
exemple, qu'en tirant des conséquences dune ou de 
plusieurs propositions, on retombe sur des proposi- 
lions déjà démontrées. En général, ce qui caractérise 
particulièrement les théorèmes de géométrie, et ce 
qui est une preuve invincible de leur certitude , c'est 
qu'en les combinant ensemble d'une manière quel- 
conque, pourvu qu'on raisonne juste, on tombe 
toujours sur des résultats exacts. Il n'en serait pas de 
même si quelque proposition était fausse, ou n'était 
vraie qu'à-peu-près ; il arriverait souvent que , par 
la combinaison des propositions entre elles, l'erreur 
s'accroîtrait et deviendrait sensible. C'est ce dont on 
voit des exemples dans toutes les démonstrations où 
nous nous servons de la réduction à Fabsurde* Ces 
démonstrations , oii l'on a pour but de prouver que 
deux quantités sont égales, consistent à taire voir que, 
s'il y avait entre elles la moindre inégalité , on serait 
conduit par la suite des raisonnements à une absur- 
dité manifeste et palpable ; doii l'on est obligé de 
conclure que ces deux quantités sont égales. 

Corollaire. Si d'un point A de la circonférence on fig. la?. 
mène les deux cordes AB , AC , aux extrémités du 
diamètre BC , le triangle BAC sera rectangle en A * j • i8. a, 
donc, v^ la perpendiculaire AU eu niojenne propor* 
tionnelie entre les deux segments BD, DC, du dia-* 

mctrey ou, ce qui revient au même, le quarré AD 
est égal au rectangle BD x DG. 

Q? La corde AB est moyenne proportionnelle entre 
le diamètre BC et le segment adjacent BD , ou , ce 

qui revient au même, AB=;;=BDxBG. On a sem- 



86 GBOMSTEIB. 

bablement AC=CD x BC ; donc AB :ÂC : : BD : DC ; 
et »i pn compare AB à BG, on aura AB : BÇ :: BD :BQ ; 

on aurait de même AG:BC:: DC:BC. Ces rapports 
des quarrës des côtés , soit entre eux. , soit avec le 
quarrë de l'hypoténuse , ont été déjà donnés daps les 
coro}. III et lY de la prop. ai. 

PROPOSITION XXIV. 

THEOREME. 

Deux triangles qui ont un angle égal sont 

entne eux comme les rectangles des côtés qui 

fig. laS. comprennent V angle égal. Ainsi le triangle ABC 

est au triangle ADE comme le rectangle AB x AC 

est au rectangle AD X AE. 

Tirez BE; les deux triangles ABE, ADE, dont le 
sommet commun est E, ont même hauteur, et sont 
♦6. entre eux comme leurs bases AB, AD*; donc, 

ABE:ADE::AB:AD. 
On a de même, 

ABG:ABE::AC:AE. 
Multipliant ces deux proportions par ordre, et omet- 
tant le commun terme ABE, on aura, 

ABC:ADE::ABxAG;ADxAE. 
Corollaire. Donc les deux triangles seraient équi- 
valents , si le rectangle ABx AG était égal au rectan- 
gle ADxAE, ou si on avait AB:AD:: AE:AG, ce 
qui aurait lieu si la ligne DG était parallèle à BE. 

PROPOSITION XXV. 



A 



THEOESMB, 



Deux triangles semblables sont entre eux 
comme les quarrés des côtés homologues. 



Soit l'angle A:=D al l'aogle B=E ; d'abord k caïue ^, ma. 
des angles égaux A el D , on aura , par la prqposi* 
don précédente, 

ABC: DEF :: AB x AG : DE x DF. 
On a d ailleurs, à cause de la similitude des triangles 

AB:DE:;AC:DF. 
Et si on multipUe cette proportion ternie i terme par 
la proportion identique , 

AC:DF::AC:DF, 
il en résultera, 

ABxAC:DExDF::ÂC:DF. 

Donc, 

ABq:DEF::ÂC:Dr' 
Donc deux triangles semblables ABC , DEF, sont 
entre eux copfime les quarrés des côtés homologues 
AC, DF, ou comme les quarrés de deux autres côtés 
homologues quelconques. 

PROPOSITION XXVI. 

THEORÉIIX. 

Deux polygones semblables sont composés 
d!un même nombre de triangles semblables cha^ 
cun à chacun et semblablement disposés. 

Dans le polygone ABCDE, menez d'un même angle fig- "9. 
A les diagonales AC, AD aux autres angles. Dans 
l'autre polygone FGHIK, menez semblablement de 
Fangle F homologue à A, les diagonales FH, FI aux 
autres angles. 

Puisque les nglygones sont semblables , Tangle ABC 
est égal à son liomologue FGH *, et de plus les côtés *àé(. t. 
AB, BC , sont proportionnels aux côtés FG, GH ; de 
sorte qu'on a AB:FG:: BCrGH. Il suit de là que les 
triangles ABC , FGH , ont un angle égal compris 
entre côtés proportionnels; donc ils sont sembla- 



88 GÉOMÉTRIE. 

* ao. bles * ; donc TaDgle BCA est égal à GHF. Ces angles 
égaux étant retranchés des angles égaux BGD, GHI , 
les restes ACD, FHI seront égaux : mais puisque les 
triangles ABC, FGH sont semblables, on a AC: 
FH:: BC:GH; d'ailleurs, à cause de la similitude des 
* ait' «. polygones * , BC : GH :: CD : HI ; donc AC : FH :: 
CD:HI : mais on a déjà vu que l'angle ACD=FHI; 
donc les triangles ACD, FHI, ont un angle égal com- 
pris entre côtés proportionnels , donc ils sont sem- 
blables. On continuerait de même à démontrer la 
similitude des triangles suivants , quel que fût le nom- 
bre des côtés des polygones proposés ; donc deux 
polygones semblables sont composés d'un même 
nombre de triangles semblables et semblablement 
disposés. 

Schviie. La proposition inverse est également vraie : 
Si deux polygones sont composés tTun même nombre 
de triangles semblables et semblablement disposés y ces 
deux polygones seront semblables. 

Car la similitude des triangles respectifs donnera 
l'angle ABC = FGH, BGA=:GHF, ACD=FH1 ; donc 
BCD=GHI, de même CDE=HIK, etc. De plus, on 
aura AB:FG :: BC:GH :: AC.FH :: CD.HI, etc. ; donc 
les deux polygones ont les angles égaux et les côtés 
proportionnels ; donc ils sont semblables. 

PROPOSITION XXVII. 

THÉORÈME. 

I^s contours ou périmètres des polygones sem- 
blables sont comme les côtés homologues^ et leurs 
surfaces sont comme les quarrés de ces mêmes 
côtés. 
H ïî»9- Car , 1° puisqu'on a , par la nature des' figures 
semblables , AB : FG :: BG : GH :: CD : HI, etc. , on 



lilTRB III. 89 

peut conclure de celle suite de rapports égaux : La 
somme des antécédents AB+BC + CD, etc., péri- 
mètre de la première figure, est à la somme des consé- 
quents FG+GH+HI, etc. , périmètre de la seconde 
figure , comme un antécédent est à son conséquent , 
ou comme le côté AB est à son homologue FG. 

11 Puisque les triangles ABC, FGH sont sembla- 
bles , on a * ABC : FGH :: Âc': FH'; de même les •aS. 
triangles semblables ACD, FHI , donnent ACD : FHI 

:: AC : FH ; donc , à cause du rapport commun 

AC":FH, ona, 

ABC: FGH :: ACD: FHI. 
Par un raisonnement semblable on trouverait, 

ACD:FHI :: ADE:FIK; 
et ainsi de suite , s'il y avait un plus grand nombre 
de triangles. De cette suite de rapports égaux on con- 
clura : La somme des antécédents ABC+ACD+ADE, 
ou le polygone ABCDE , est à la somme des consé- 
quents FGH-f-FHI+FlK, ou au polygone FGHIK, 
comme un antécédent ABC est à son conséquent « 

FGH, ou comme AB est à FG ; donc les surfaces des 
polygones semblables sont entre elles comme les quar- 
rés des cotés homologues. 

Corollaire. Si on construit trois figures semblables 
dont les côtés homologues soient égaux aux trois 
côtés d*un triangle rectangle, la figure faite sur le 
grand côté sera égale à la somme des deux autres ; 
car ces trois figures sont proportionnelles aux quarrés 
de leurs côtés homologues ; or, le quarré de Tliypo- 
ténuse est égal à la somme des quarrés des deux autres 
côtés; donc, etc. 



^ 90 GrÉOMBTRIS. 

PROPOSITION XXVIII. 

fi^. i3o. Les parties de deux cordes AB , CD , qui se 
coupent dans un cercle j sont réciproquement 
proportionnelles^ c'est-à-dire qu'on q AO : DO 
^ : : CO : OB. 

Joigiie^ AG et QD : dans les triapgles ACSQ , BQD^ 
les angles en O sont égaux comme opposés au som- 
met ; Tangle A est égal à l'angle D, parce quils sont 
* ^» * • inscrits dans le même segment * ; par la même raison 
1 angle C=B ; donc ces triangles sont semblables, et 
les côtés homologues donnent la proportion AO : DO 
::CO:OB. 

Corollaire, On tire de là AO X OB=DO X CO : donc 
le rectangle des deux parties de lune des cordes est 
égal au rectangle des deux parties de l'autre. 

PROPOSITION XXIX. 

THBORBME. 

fig. i3i. Si d'un même point O, pris hors du cercle^ on 
mène les sécantes OB, OC, terminées à Varc con- 
casse BC, les sécantes entières seront réciproque* 
ment proportionnelles à leurs parties extérieures, 
c'est-à-dire qu'on aura OB : OC : : CD : OA. 

Car, en joignant AG, BD, les triangles OAG, OBD, 
x8 , a. ont l'angle O commun; de plus l'angle Bzz:C * ; donc 
ces triangles sont semblables ; et les côtés homologuer 
donnent la proportion , 

OB:OG::OD:OA. 
Corollaire, Donc le rectangle OAxOB, est égal au 
rectangle OCxOD. 

Scholie, On peut remarquer que cette proposition 
a beaucoup d'analogie avec la précédente , et quelle 



LlTMB III. Ql 

n'en difière qu'en ce que les deux cordes AB, CD, 
au lieu de se couper dans le cercle , se coupent 
au dehors. La proposition suivante peut encore être 
Tardée comme |in cas particulier de celle-ci. 

PROPOSITION XXX. 

THBOAÂMB. 

iSï iTun même point G pris hors du cercle on •«• «'*• 
mène une tangente Ok et une sécante OC, la 
tangente sera moyenne proportionnelle entre la 
sécante et sa partie extérieure ; de sorte quon 
aura OC : OA : : O A : OD \ ou y ce qui revient au 

même y Ôl'=OCxOD. 

Car, en joignant AD et AC, les triangles OAD, 
OAG, ont l'angle O commun ; de plus l'angle OAD, 
formé par une tangente et une corde *, a pour mesure * '9»«* 
la moitié de Tare AD, et Tangle C a la même mesure ; 
donc Tangle OAI>=G ; donc les deux triangles soni 
semblables, et on a la proportion, 

OC:OA: :OA:OD, 

qui donne 5Â=OCxOD. 

PROPOSITION XXX . 

THSORBMB. 

Dans un triangle ABC , si on divise Vangle A en deux ^8* *^ 
parties égales par la ligne AD , /^ rectangle des côtés AB 9 
AC, sera égal au rectangle des segments BD, DC , plus au 
quarré de la sécante AD. 

Faites passer une circonférence par les trois points A, B^ 
C, prolongez AD jusqu*à la circonférence , et joignez CE. 

Le triangle BAD est semblable au triangle EAC ; car, par 
hypothèse, Tangle BAD = EAC ; de plus Tangle B = E, 
puisqu'ils ont tous deux pour mesure la moitié de Tare AC ; 
donc ces triangles sont semblables , et les côtés homologues 
domient la proportion BA : AE :: AD : AC : de là résulte 



pa GEOMETRIE. 

BAXAC=AEXAD; mais AE=AD-|-DE, et en multi- 
pliant de part et d'autre par AD, on a AEX AD=AD-h 
♦ a8, AD X DE ; d'ailleurs AD X DE=:BD X DC * ; donc enEn 

B A X AC = ÂD+BD X DC. 
PROPOSITION XXXII. 

THEOREME. 

fig. 3i4. Dans tout triangle ABC, le rectangle des deux cStés AB, 
AC, est égal au rectangle compris par le diamètre CE du 
cercle circonscrit et la perpendiculaire AD ahausée sur le 
troisième côté BC. 

' Car, en joignant AE, les triangles ABD, AEC, sont rec- 
tangles, Tun en D, Tautre en A; de plus l'angle B=E; donc 
ces triangles sont semblables , et ils donnent la proportion 
AB:CE::AD:AC; d'où re'sulte ABxAC=CExAD. 

Corollaire. Si on multiplie ces quantités égalas par la 

même quantité BC, on aura AB X AC X BC = CE X AD X BC. 

♦ 6. Or, AD X BC est le double de la surface du triangle * ; donc 

le produit fies trois câtés d^un triangle est égal à sa surface 

multipliée par le tlouble du diamètre du cercle circonscrit. 

Le produit de trois lignes s'appelle quelquefois un solide, 
par une raison qu'on verra ci-aprcs. Sa valeur se conçoit 
aisément, en imaginant que les lignes sont réduites en nom- 
bres, et multipliant les nombres dont il s*agit. 

Scholie, On peut démontrer aussi que la surface d*un 
triangle est égale à son périmètre multiplié par la moitié du 
rayon du cercle inscrit. 
fig. 87. Car les triangles AOB, BOC, AOC, qui ont leur sommet 
commun en O, ont pour hauteur commune le rayon du 
cercle inscrit ; donc la somme de ces triangles sera égale à 
la somme des bases AB, BC, AC, multipliée par la moitié 
du rayon OD ; donc la surface du triangle ABC est égale 
à son périmètre multiplié par la moitié du rayon du cercle 
inscrit* 



LIVAB III. ^ 

PROPOSITION XXXIIl. 

THBOEÂMB. 

a 

Dans tout quadrilatère inscrU ABCD , le rectangle des ^ ^^ 
deux diagonales AC, BD, est égal à la somme des rectan» 
gles des côtes opposés , de sorte qu^on a 

ACXBD=:ABXCD+ADXBC. 

Prenez l'arc CO=^D , et tirez BO qai rencontre la dia- 
gonale AC en I. 

L'angle ABD=CBI, puîsqne l'un a pour mesure la moitié 
de AD, et l'autre la moitié de CO égal à AD. L'angle ADB= 
BCI, parce qu'ils sont inscrits dans le même segment AOB( 
donc le triangle ABD est semblable au triangle IBC, et on a 
la proportion AD:CI::BD:BC ; d'où résulte ADxBC= 
ÇIX BD. Je dis maintenant que le triangle ABI est semblable 
au triangle BDC ; car l'arc AD étant égal à CO, si on ajoute 
de part et d'autre OD, on aura l'arc AO=DC; donc l'angle 
ABI=DBC; de plus l'angle BAI=BDC, parce qu'ils sont 
inscrits dans le même segment; doue les triangles ABIyDBC, 
sont semblables, et les côtés homologues donnent la propor- 
iton AB : BD : : AI : CD ; d'où résulte AB X CD = AI X BD. 

Ajoutant les deux résultats trouvés, et observant que 
AIxBD-|-CIxBD=(AI+CI)xBD=zACxBD, on aura 
AD X BC -l-AB X CD z= AC X BD. 

Scholie, On peut démontrer de la même manière nn au- 
tre théorème sur le quadrilatère inscrit. 

Le triangle ABD semblable à BIC , donne la proportion 
BD:BC::AB:BI, d'où résulte BIXBD = BCXAB. Si on 
joint CO, le triangle ICO, semblable à ABI, sera semblable 
à BDC, et donnera la proportion BD:CO::DC:OI; d'où 
resuite OIXBD=:COxDC, ou, à cause de CO=AD, 
OIxBD=ADxDC. Ajoutant les deux résultats, et obser- 
vant que BI X BD+OI X BD se réduit à BO X BD, on aura , 
BO X BDz=AB X BC-hAD X DC. 

Si on eût pris BP=AD, et qu'on eût tiré CKP, on au- 
rait trouvé par des raisonnements semblables, 
CP X CA=AB X AD+BC X CD. 



^4 GBOMBTaiB* 

Mais l'arc BP ëtant égal à CO , si on ajoute de part et 
d'autre BC, on aura Tare GBP=BCO; donc la corde CP 
est égale à la corde BO, et par conséquent les rectangles 
BO X BD et CP X CA sont entre eux comme BD est à CA ; 
donc, 
• BD:CA::ABXBC+ADXDC:ADXAB+BCXCD. 

Donc les deux diagonales d'un quadrilatère inscrit sont 
entre elles comme les sommes des rectangles des côtés qui 
aboutissent à leurs extrémités. 

Ces deux théorèmes peuvent servir à trouver les diago- 
nales quand on connaît les côtés. 

PROPOSITION XXXIV. 

THBOREMB. 



fig. i36. ^QÎi p ufi point donné au dedans du cercle sur le rayon 
AC, et soit pris un point i^ au dehors sur le prolongement 
du même rayon , de sorte qu*on ait CP:CA :: CA:CQ ; si 
iT un point quelconque M de la circonférence on mène aux 
deux points P c/ Q les droites MP, MQ, fe dis que ces droi- 
tes seront partout dans un même rapport , et qu *on aura 
MP:MQ::AP:AQ. 

Car on a , par hypothèse , CP : CA : : C A : CQ ; mettant 
CM à la place de CA, on aura CP:CM::CM:CQ; donc les 
triangles CPM , CQM , ont un angle égal C compris entre 

*2o, 3. côtés proportionnels; donc ils sont semblables '*^; donc le 
troisième côté MP est au troisième MQ comme CP est à CM 
ou CA. Maïs la proportion CP:Gx\.::CA:CQ donne, dii^i^ 
dendo, CP:CA;:CA— CP:CQ— CA, ou CP:CA::AP:AQ, 
donc MP:MQ :: AP ; AQ. 



LIVAB iti. gS 

Problèmes relatifs au Livre lÏL 

P&OftLÉMB PRBMIfiB. 

Diviser une ligne droite donnée en tant de 
parties égales qu on voudra ^ ou en parties pro- 
portionnelles à des lignes données. 

1° Soit proposé de diyiser la ligne AB en cinq H* >37« 
parties égales ; par lextrémitë A on mènera la droite 
indéfinie A6, et prenant AG dune grandeur quel- 
conque , on portera AG cinq fois sur A6. On joindra 
te dernier point de division 6 et Textrémité B par la 
ligne 6B , puis on mènera GI parallèle à GB ; je dis 
que AI sera la cinquième partie de la ligne AB , et 
qu ainsi en portant AI cinq fois sur AB, la ligne AB 
sera divisée en cinq parties égales. 

Car, puisque GI est parallèle à GB, les côtés AG> 
AB, sont coupés proportionnellement en G et I *. Mais * '^» 
AC est la cinquième partie de AG ; donc AI est la cin- 
quième partie de AB. 

2 Soit proposé de diviser la ligne AB en parties •«• «58 
proportionnelles aux lignes données P, Q, R. Par 
l'extrémité A on tirera Tindéfinie A6, on prendra 
ÀC=P, CD=Q, DE=R, on joindra les extrémités 
E et B, et par les points G, D, on mènera CI, DK, 
parallèles à EB ; je dis que la ligne AB sera divisée 
en parties AI , IK , KB , proportionnelles aux lignes , 
données P, Q, R. 

Car, à cause des parallèles GI, DK, £B, les parties 
AI, IK, KB, sont proportionnelles aux parties AG, 
CD, DE *$• et par construction celles-ci sont égales * 1>^ 
aux lignes données P, Q, R. 

PBOBl'ÂMB II. 

Trouver une quatrième proportionnelle à trois 
lianes données A, B, G. 



9^ GEOMETRIE. 

fig. 139. Tirez les deux lignes indéfinies DE, DF, sous un 
angle quelconque. Sur DE prenez DA=: A et DB=B, 
sur DF prenez DC = C, joignez AC, et par le point 
B menez BX parallèle à AG ; je dis que DX sera la 
quatrième proportionnelle demandée : car, puisque 
BX est parallèle à AC, on a la proportion DA:DB :: 
DC:DX; or, les trois premiers termes de cette propor- 
tion sont égaux aux trois lignes données ; donc DX 
est la quatrième proportionnelle demandée. 

Corollaire. On trouvera de même une troisième 
proportionnelle aux deux lignes données A, B, car 
elle sera la même que la quatrième proportionnelle 
aux trois lignes A, B^ B. 



PROBLEME III. 



Trouver une moyenne proportionnelle entre 
deux lignes données A e^ B. 
fig.i4o. Surla ligne indéfinie DF prenez DE=:A, et EF=B; 
sur la ligne totale DF comme diamètre, décrivez la 
demi - circonférence DGF ; au point E élevez sur le 
diamètre la perpendiculaire EG, qui rencontre la cir- 
conférence en G; je dis que EG sera la moyenne 
proportionnelle cherchée. 

Car la perpendiculaire GE, abaissée d'un point de 
la circonférence sur le diamètre , est moyenne pro- 
portionnelle entre les deux segments du diamètre DE, 
* a3. EF '^ : or, ces segments sont égaux aux lignes données 
A etB. 



PROBLEME IV. 



ii». 141. Diviser la ligne donnée AB en deux parties^ 
de manière que la plus grande soit moyenne 
proportionnelle entre la ligne entière et l'autre 
partie, 

À l'extrémité B de la ligne AB élevez la perpen- 
diculaire 6G égale à la moitié de AB ; du point C 



LIVRE III. gj 

comme centre , et du rayon CB dëcrivez une circon- 
férence ^ tirez AC, qui coupera la circonférence en D, 
et prenez ÂF=AD ; je dis que la ligne AB sera divisée 
au point F de la manière demandée , c'est-à-dire qu'on 
aura AB:AF:: AF:FB. 

Car AB étant perpendiculaire à lextrémité du rayon 
CB, est une tangente; et si on prolonge AC jusqu'à ce 
quelle rencontre de nouveau la circonférence en E, 
on aura * AE:AB:: AB:AD; donc, dwidendo^ AE 'So. 
— AB:AB::AB — AD: AD. Mais, puisque le rayon 
BC est la moitié de AB, le diamètre DE est égal à 
AB, et par conséquent AE — AB=ADz=rAF ; on a 
aussi, à cause de AF=AD, AB— AD=FB; donc 
AF : AB : : Ffr: AD ou AF ; donc , invertendo , AB : AF 
::AF:FB. 

Scholie* Cette sorte de division de la ligne AB 
s'appelle division en moyenne et extrême raison : on 
en verra des usages. On peut remarquer que la sé- 
cante AE est divisée en moyenne et extrême raison 
au point D ; car^ puisque AB=DE, on a AE:DE:: 
DE: AD. 



PÏIOBLEHB V. 



Par un point donné A dans V angle donné fg. t4«. 
BCD, tirer la ligne BD de manière que les parties 
AB , AD , comprises entre le point A et les deux 
côtés de V angle y soient égales. 

Par le point A menez AE parallèle à CD , prenez 
BE=CE, et par les points B et A tirez BAD, qui 
sera la ligne demandée. 

Car, AE étant parallèle à CD , on a BE:EC :: BA: 
AD; or BE=EC; donc BA=;AD. 

iPROBtÊMB VI. 

Faire un quarré équivalent à un parallélo* 
gramme ou à un triangle donné. 

1 



y^ QSOMÉTBIE. 

fig. i43. i*^ Soit ABCD le parallélogramme donne, AB sa 

base, DE sa hauteur : entre Ai) et DE cliercliez une 

♦pr. 3. moyenne proportionnelle XY*; je dis que le quarré 

fait sur XY sera équivalent au parallélogramme ABCD- 

Car on a, par construction, AB:XY:: XY:DE; donc 

XY = AB X DE : or AB x DE est la mesure du pa- 
rallélogramme, et XY celle du quarré, donc ils sont 
équivalents. 
fig.i44. a'» Soit ABC le triangle donné, BC sa base, AD sa 
hauteur : prenez une moyenne proportionnelle entre 
BC et la moitié de AD , et soit XY cette moyenne ; 
je dis que le quarré fait sur XY sera équivalent au 
triangle ABC. 

Car, puisqu'on a BC:XY.: XY : ^ AD, il en ré- 

suite XY=BCX7AD, donc le quarré fait sur XY est 
équivalent au triangle ABC. 

PROBLEME yil. 

fig. 145. Faire sur la ligne donnée AD un rectangle 
ADEX équivalent au rectangle donné ABFG. 

Cherchez une quatrième proportionnelle aux trois 
lignes PiD^ A3, AC, et soit AX cette quatrième pro 
portionnelle, je dis que le rectangle fait sur AD et AX 
Sera équivalent au rectangle ABFC, 

Car, puisqu'on a AD: AB :: AC: AX , il en résulte 
ADxAXz=ABxAC; donc le rectangle ADEX est 
équivalent au rectangle ABFC. 

PROBLEME VIII. 

fig. 148. Trouver en lignes le rapport du rectangle des 
deux lignes données ket]^ au rectangle des deux 
lignes données C et D. 

Soit X une quatrième proportionnelle aux trois 
lignes B, C, D; je dis que le rapport des deux lignes 



Liv&B III. 99 

A et Xsera égal à celui des deux rectangles AxB, 
GxD. 

Car, puisquon a B:C::D:X, il en résulte CxD 
= BxX; donc AxB:Cx D:: Ax B:BxX :: A:X. 

Corollaire, Donc, pour avoir le rapport des qua^ 
rës faits sur les lignes données A et G , chercher une 
troisième proportionnelle X aux lignes A et G, an 
sorte quon ait A:G::G:X| et vous aurez A*: G* :: 
A:X. - 

PKOBLÂMB IX« 

Trousser en lignes le rapport du produit des g-, ,^^ 
trois lignes données A , B , G , ai^ produit des 
trois lignes données P , Q , ^ 

Aux trois lignes données P, A, B, cherchez une 
quatrième proportionnelle X : aux trois lignes don- 
nées G, Q, R, cherchez une quatrième proportion- 
nelle Y. Les deux lignes X, Y, seront entre elles 
comme les produits A X B x G , P x Q X R. 

Gar, puisque P:A::B:X , ou a AxB=:PxX; 
et, en multipliant de part et d^autre par G, AxB 
xG=GxPxX. De même, puisque G:Q::ll:Y, 
il en résu^ QxR=Gx Y; et, multipliant de part et 
d'autre par P , on a P x Q X R=P X G x Y , donc le 
produit A X B X G est au produit P x Q X R comme 
CxPxX est à PxGxY, ou comme X est à Y. 

PROBLEME X. 

Faire un triangle équivalent à un polygone 
donné. fig.i46. 

Soit ABCDE le polygone donné. Tirez d'abord 
la diagonale CE, qui retranche le triangle GDE5 P*'' 
le point D menez DF parallèle à CE jusqu'à la ren- 
contre de AE prolongé ; joignez GF , et le polygone 
ABGDË sera équivalent au polygone ABCF qui a un 
côté de moins. 



100 6i0M]éTRtB. 

Car les triangles CDE, CFE, ont la l^ase commune 
CE ; ils ont aussi même hauteur , puisque leurs som* 
mets D , F , sont situés sur une ligne DF parallèle à la 
base; donc ces triangles sont équivalents. Ajoutant 
de part et d'autre la figure ABCE , on aura d'un côté 
le polygone ABCDE, et de l'autre le polygone ABCF, 
qui seront équivalents. 

On peut pareillement retrancher langle B en substi- 
tuant au triangle ABC le triangle équivalent AGC, et 
ainsi le pentagone ABDE sera changé en un triangle 
équivalent GCF. 

Le même procédé s'appliquera à toute autre figure; 
car en diminuant d'un à chaque fois le nombre des 
côtés , on finira par tomber sur le triangle équivalent. 

Scholie, On a déjà vu que tout triangle peut être 
*pr. 6. changé en un quarré équivalent *, ainsi on trouvera 
toujours un quarré équivalent à une figure rectiligne 
donnée; c'est ce qu'on appelle quarrer la figure recti- 
ligne, ou en trouver la quadrature. 

Le problême de la quadrature du cercle consiste à 
trouver un quarré équivalent à un cercle dont le dia- 
mèti^e est donné. 

PROBLÊME XI. 

Faille un quarré qui soit égal à la somme ou 
à la différence de deux quarrés donnés. 

Soient A et B les côtés des quarrés donnés : 
fig. 147. lo S'il faut trouver un quarré égal à la somme de 
ces quarrés , tirez les deux lignes indéfinies ED , EF à 
angle droit; prenez ED=A et EG=B, joignez DG, 
et DG sera le côté du quarré cherché. 

Car le triangle DEG étant rectangle , le quarré fait 
sur DG est égal à. la somme des quarrés faits sur £D 
etEG. 

a^ S'il faut trouver un quarré égal à la différence 
des quarrés donnés, formez de même l'angle droit 



LITEB III. lût 

FEHj prenez 6E égal au plus petit des côtés A et B ; 
du point G, comme centre , et d'un rayon GH égal à 
Tautre côté y décrivez un arc qui coupe EH en H ; je 
dis que le quarré fait sur EH isera égal à la différence . 
des quarrés faits sur les lignes A et B. 

Car le triangle GEH est rectangle , l'hypoténuse 
GH=A, et le côté GE=:B; donc le quarré fait sur 
EH, etc. 

Scholie. On peut trouver ainsi un quarré égal à la 
somme de tant de quarrés qu'on voudra ; car la con* 
struction qui en réduit deux à un seul , en réduira 
trois à deux, et ces deux-ci à un, ainsi des autres. Il 
en serait de même si quelques-uns des quarrés devaient 
être soustraits de la somme des autres. 



PROBLEME XII. 



Construire un quarré qui soit au quarré donné «g. i^ 
ABCD , comme la ligne M est à la ligne N. 

Sur la ligne indéfinie EG , prenez EF=M, et FG 
= N ; sur EG , comme diamètre , décrivez une demi- 
circonférence , et au point F élevez sur le diamètre la 
perpendiculaire FH. Du point H menez les cordes 
HG, HE , que vous prolongerez indéfiniment : sur la 
première prenez HK égale au côté AB du quarré 
donné , et par le point K menez Kl parallèle à EG > 
je dis que HI sera le côté du quarré cherché. 

Car, à cause des parallèles Kl, GE, on a HI:HK *: 

HE:HG; donc HÎ'rHK :: HE: HG : mais dans le 
triangle rectangle EHG ^, le quarré de HE est au * ss. 
quarré de HG comme le segment EF est au segment 

FG , Ou comme M est à N, donc HI:HK::M:N. 
Mais HK=AB; donc le quarré fait sur HI est au 
quarré fait sur AB comme M est à N. 



xoi eiOM^tâlB. 



F&OBLSMB^XIXI. 



fig.iagif Sur là côté FG, homologue à AB, décrire un 
polygone semblable au polygone cfo/zn^ ABCDE. 
Dans le polygone donné tirez les diagonales AC, 
AD : nu point F faites langle GFH==iBAC, et au 
point G l'angle FGH==ABC; les lignes FH, GH, s^ 
couperont en H, et FGH sera un triangle semblable 
"à ABC : de même sur FH , homologue à AC j construi- 
ses le triangle FIH semblable à ADC, et sur FI, homo- 
logue à AD, construisez le triangle FIK, semblable à 
ADE. Le polygone FGHlKsera le polygone demandé $ 
semblable à ABC DE. 

Car ces deux polygones sont composés d un même 
nombre de triangles semblables et semblablement 

* a6. placés *. 



PROBLEME XIY. 



Deux figures semblables étant données , con- 
struire une figure semblable qui soit égale à leur 
somme ou à leur dijférence. 

Soient A et B deux côtés homologues des figures 
données , cherchez un quarré égal à la somme ou à la 
différence des quarrés faits sur A et B ; soit X le coté 
de ce quarré , X sera dans la figure cherchée le côté 
homologue à A et B dans les figures données. On 
construira ensuite la figure elle-même par le problème 
précédent. 

Car les figures semblables sont comme les quarrés 
des côtés homologues j^ or le quaiTé du côté X est égal 
à la somme ou à la différence des quarrés faits sur les 
côtés homologues A et B ; donc la figure faite sur fe 
côté X est égale à la somme ou à la différence des 
figures semblables faites sur les côtés A et B* 



&ÏVRB IIX. io3 

PEOBLÂME XV. 

Construire une figure semblable à une figure 
donnée f et qui soit à cette figure dans le rapport 
donné éfe M à N. 

Soit A un côté de la figure donnée, X le côté homo- 
logue dans la figure cherchée; il faudra que le q narré 
de X soit au quarré de A comme M est à N *. On trou- * *'' 
vera donc X par le prohiéme xti; (x>nnaissant X, le 
reste s*achèvera par le problème xiii. 

PROBLÂMS XYI. 

Construire une figure semblable à la figure P *«• ^^^* 
et équivalente à la figure Q. 

Cherchez le côté M du quarré équivalent à la figura 
P, et le côté N du quarré équivalent à la figure Q. Soit 
ensuite X une quatrième proportionne^lle aux troi^ 
lignes données M , N, AB ; sur le côté X , homologue 
à AB, décrivez une figure semblable à la figure P; je 
dis qu'elle sera de plus équivalente à la figure Q. 

Car en appelant Y la figure faite sur le côté X , on 

aura P:Y:: AB:X; mais, par construction , AB:X::: 

M:N, ou AB':X::M:N*; donc P:Y;;M*:N! Riais on 
a aussi, par construction, M* = P et N"=Q; donc 
P:Y::P:Q; donc Y=Q; donc la figure Y est sem- 
blable à la figure P, et équivalente à la figure Q. 



PaOBLÉHE XVII. 



Construire un rectangle équivalent à un ^* ^^** 
quarré donné ^ et dont les côtés adjacents 
fassent une somme donnée AB. 

Sur AB, comme diamètre, décrivez une demi-cir- 
conférence , menez parallèlement au diamètre la ligne 
£D à uii^ distance AD égale au côté du quarré donnéC. 



io4 GéouitKiU. 

Du point E 9 où la parallèle coupe la circonférence, 
abaissez sur le diamètre la perpendiculaire EF ; je dis 
que AF et FB seront les côtés du rectangle cherché. 

Car leur somme est égale à AB; et leur rectangle 
* a3. ^jr y^ YB est égal au quarré de EF * , ou au quarré 
de AD; donc ce rectangle- est équivalent au quarré 
donné C. 

Scholie. Il faut, pour que le problême soit possible, 
que la distance AD n excède pas le rayon , c*est^à-dire 
que le côté du quarré G n^excède pas la moitié de la 



ligne AB, 



PROBLEME XYIII. 



H' ^^^ Construire un rectangle équivalent à un quarré 
C^ et dont les côtés adjacents aient entre eux la 
différence donnée AB. 

Sur la ligne donnée AB, comme diamètre, décri* 
vez une circonférence; à l'extrémité du diamètre, 
menez la tangente AD égale au côté du quarré C : par 
le point D et le centre O tirez la sécante DE; je dis 
que DE et DF seront les côtés adjacents du rectangle 
demandé. 

Car 1° la différence de ces côtés est égale au dia- 
mètre EF ou AB ; 2? le rectangle DE X DF est égal 

3o à AD * ; donc ce rectangle sera équivalent au quarré 
donné C. 

PROBLEME XIX, 

Tromper la commune mesure ^ sHlyen a une^ 
entre la diagonale et le côté du quarré. 
fig. 1 54' Soit ABCG un quarré quelconque , AC sa diagonale. 

Il faut d'abord porter CB sur CA autant de fois 

prob.17. qu*il peut y être contenu *, et pour cela soit décrit 

2.. liv. du centre C et du rayon CB le demi-cercle DBE : on 

voit que CB est 'contenu une fois dans AC avec le 

reste AD, le résultat de la première opération est donc 



IMITES IZI« loS 

le quodent i avec le reste AD, qu'il faut comparer 
avec BG ou son ëgalp AB. 

On peut prendre AF=AD, et porter ri^ellement 
AF sur AB; on trouverait qu^ii y est contenu deux 
fois avec un reste : mais comme ce reste et les suivants 
Tont en diminuant , et que bientôt ils échapperaient 
par leur petitesse , ce ne serait là qu^un moyen méca* 
nique imparfait , d'où l'on ne pourrait rien conclure 
pour décider si les lignes AG^ GB, ont entre elles ou 
n^ont pas une commune mesure : or il est un moyen 
très -simple d'éviter les lignes décroissantes , et de 
n'aToir à opé]*er que sur des lignes qui restent toujours 
de la même grandeur. 

En effet , l'angle ABC étant droit , AB est une tan« 
gente , et AE une sécante menée du même point , de 
sorte qu'on a "^ AD:AB:: AB:AE. Ainsi dans la se- * 3o. 
conde opération , oti il s'agit de comparer AD avec AB , 
on peut, au lieu du rapport de AD à AB, prendre 
celui de AB à AE : or AB ou son égale GD est conte- 
nue deux fois dans AE avec le reste AD ; donc le ré- 
sultat de la seconde opération est le quotient a avec 
le reste AD qu'il faut comparer ^ AB. 

La troisième opération , qui consiste à comparer AD 
ayec AB , se réduira de même à comparer AB ou son 
égale GD avec AE , et on aura encore 2 pour quotient 
et AD pour reste. 

Delà on voit que l'opération ne sera jamais termi- 
née, et qu'ainsi il n'y a pas de commune mesure entre 
la diagonale et le côté du quarré : vérité qui était déjà 
connue par l'arithmétique ( puisque ces deux lignes 
sont entre elles :: |/ a : i)*, mais qui acquiert un * it. 
plus grand degré de clarté par la résolution géo- 
métrique. 

Scholie^ Il n'est donc pas possible non plus de 
trouver en nombres le rapport exact de la diagonale 
au côté du quarré j mais on peut en approcher tant 



^'on Youdra au moyen dd la fraction continue qui 
est égale à ce rapport. La première opération a 
donné pour quotient i ; la seconde et toutes les autres 
à Tiiifini donnent a : ainsi la fraction dont il s^agit 
est I -f- . _, 

" "*" 7 -h etc. à l'infini. 
Par exemple , si on calcule cette fraction jusqu'au 
quatrième terme inclusivement , on trouve que sa 
valeur est i {- ou |^-; de sorte que le rapport appro- 
ché de la diagonale au côté du quarré est :: 4t • 39« 
On trouverait un rapport plus approché en calculant 
un plus .grand nombre de termes. 



l 



««M* «ww«*<«w»«tr«A>« *~^"""— "~*^— fc- ■ * I ■ '^ | ^'^^^■l^^ i;^f>.ur>;xrijmjm.u^/i,%r>i^fv«jvum.4 



LIVRE IV. 



i*MMB«*B.«M 



LES POLYGONES RÉGULIERS, 
ET LA MESURE DU CERCLE. 



BEFiniTioir. 



U N polygone qui est à la fois ëquiangle et ëquilatëral, 
s'appelle polygone régulier. 

Il y a des polygones réguliers de tout nombre d6 
cAtés. Le triangle équilatëral est celui de trois rôtés ; 
et le quarré , celui de quatre. 

PROPOSITION PREMIÈRE. 

THBO&ÂIIB. 

Deux polygones réguliers d'un même nombre 
de côtés sont deux figures semblables. 

Soient , par exemple, les deux hexagones réguliers fig. i55. 
ABCDëF , ahcdej ; la somme des angles est la même 
dans Tune et dans l'autre figure; elle est égale à huit 
angles droits *. L*angle A est la sixième partie de *^^>i' 
cette somme aussi bien que langle a; donc les deux 
angles A et a sont égaux ; il en est par conséquent de 
même des angles B et 3^ des angles C et c, etc. 

De plus , puisque par la nature de ces polygones 
les côtés AB, BC , CD, etc. , sont égaux , ainsi que ah^ 
ht^çdf etc., il est clair qu^on a les proportions AB: 
a3 :: BC;^c ;: Cù\cdy etc. ; donc les deux figures dont 
il s'agit ont les angles égaux et les côtés homologues 
proportionnels; donc elles sont semblables ^ ^f.^^' ^* 



*20, X. 



108 GBOMSTRIE^ 

Corollaire. Les périmètres de deux polygones ré- 
guliers d'un même nombre de côtés sont entre eux 
comme les côtés homologues, et leurs surfaces sont 
•«7» 3. comme les quarrés de ces mêmes côtés *. 

Scholie. L'angle d'un polygone régulier se déter- 
mine par le nombre de ses côtés comme celui d'un 
polygone équiangle *. 

PROPOSITION II. 
théorâmb. 

Tout polygone régulier peut être inscrit dans 
le cercle y et peut lui être circonscrit, 
fig.i56. gQii^ ABCDE, etc. , le polygone dont il s'agit, ima- 
ginez quon fasse passer une circonférence par le3 
trois points A, B , C; soit O son centre, et OP la per- 
pendiculaire abaissée sur le milieu du côté BG \ joignez 
AO et OD. 

Le quadrilatère OPCD et le quadrilatère OPBA 
peuvent être superposés : en effet le côté OP est com- 
mun , langle OPC=OPB, puisqu'ils sont droits; 
donc le côté PC s'appliquera sur son égal PB , et le 
point C tombera en B. De plus, par la nature du 
polygone, l'angle PCD=PBA, donc CD prendra la 
direction BA, et puisque CD= BA, le point D tom- 
bera en A, et les deux quadrilatères coïncideront en- 
tièrement l'un avec l'autre. La distance OD est donc 
égale à AO , et par conséquent la circonférence qui 
passe par les trois points A , B , C , passera aussi par 
le point D : mais, par un raisonnement semblable, 
on prouvera que la circonférence qui passe par les 
trois sommets B , C, D, passera par le sommet sui- 
vant E, et ainsi de suite; donc la même circonfé- 
rence qui passe par les points A, B, G^ passe par tous 
les sommets des angles du polygone, et le polygone 
est inscrit dans cette circonférence. 



LiTaB iv* log 

£n second lieu, par rapport à cette circonférence , 
tous les côtés ÂB , BG , CD y etc., sont des cordes égales ; 
elles sont donc également éloignées du centre^ ; donc * 8, s. 
si du point O , comme centre , et du rayon OP , on 
décrit une circonférence., cette circonférence tou- 
chera le côté BG et tous les autres côtés du polygone , 
chacun dans son milieu , et la circonférence sera in* 
scrite dans le polygone , ou le polygone circonscrit à 
la circonférence. 

Scholie I. Le point O , centre commun du cercle 
inscrit et du cercle circonscrit , peut être regardé 
aussi comme le centre du polygone , et par cette raison 
on appelle cuigle au centre, l'angle AOB formé par 
les deux rayons menés aux extrémités d'un même 
côté AB. 

Puisque toutes les cordes AB , BC , etc. , sont égales, 
il est clair que tous les angles au centre sont égaux , 
et qu'ainsi la valeur de chacun se trouve en divisant 
quatre angles droits par le nombre des côtés du po- 
lygone. 

Scholie II. Pour inscrire un polygone régulier d'un 
certain nombre de côtés dans une circonférence don- 
née, il ne js'agit que de diviser la circonférence en 
autant de parties égales que le polygone doit avoir de 
côtés; car, les arcs étant égaux, les cordes AB, BC, I!g.i58. 
CD , etc. , seront égales ; les triangles ABO , BOC , 
COD , etc. , seront égaux aussi , parce qu'ils sont équi- 
latéraux entre eux; donc tous les angles ABC, BCD, 
CDE , etc., seront égaux ; donc la figure ABCDE, etc. , 
sera un polygone régulier. 

PROPOSITION III- 



p'eoblâmb. 



Inscrire un quarré dans une circonférence 
donnée. 



IIO «BOMBT&IB. 

fig.157. Tirez deux diamètres AC, BD, cpii se coupent à 
angles droits ; joig^nez les extrémités A , B , G , D , et la 
figure ABCD sera le quarré inscrit : car les angles 
AOB , BOC , etc. , étant égaux , les cordes AB , BC , etc., 
sont égales. 

Scholie. Le triangle BOC étant rectangle et isoscèle, 

*ii>5« on a * BC:BO :: v/ 2 : i ; donc le côté du qitarré inscrit 
est au rayon comme la racine quarrée de a est à 
Punité. 

PROPOSITION IV. 

PROBLEME. 

Inscrire un hexagone régulier et un triangle 
équilatéral dans une circonférence donnée, 
fig. i5«. Supposons le problême résolu, et soit AB un côté 
clé l'hexagone inscrit; si on mène les rayons AO, OB, 
je dis que le triangle AOB sera équilatéral. 

Car Tangle AOB est la sixième partie de quatre an- 
gles droits ; ainsi en prenant l'angle droit pour unité , 
on aura AOB =:f=f ; les deux autres angles ABO, 
BAO, du même triangle valent ensemble 1 — 7 ou 7 , 
et comme ils sont égaux , chacun deux = 7; donc le 
triangle ABO est équilatéral ; donc le côté de Tbexa- 
gone inscrit est égal au rayon. 

Il suit de là que pour inscrire un hexagone régu- 
lier dans une circonférence donnée, il faut porter le 
rayon six fois sur la circonférence, ce qui ramènera 
au même point d'où on était parti. 

L'hexagone ABCDEF étant inscrit , si Von joint les 
sommets des angles alternativement, on formera le 
triangle équilatéral ACE. 

Scholie, La figure ABCO est un parallélogramme et 
même un losange, puisque AB=BC=C0=AO; 

*«4,5. donc * la somme des quarrés des diagonales AG-f- 

BO, est égale à la somme des quarrés des câtës, 



LITai IT. 



Itl 



laquelle est 4 ^^ ou 4 BO ; retranchant de part et 

d'autre BO', il restera AC = 3 BO*; donc ÂcIbo':; 
3:i| ou AC:BU:: w^3:i; donc le coté du triangle 
iquilatéral inscrit est au rajvn comme la racine 
quarrée de 3 est a C unité. 

PROPOSITION V. 

PROBLÂMB. 



Inscrire dans un cercle donné un décagone 
régulier^ ensuite un pentagone et un pentédé' 
cagone. 

Divisez le rayon AO en moyenne et extrême raison fV^' 
an point M * , prenez la corde AB égale au plus grand Ut. S. 
segment OM, et AB sera le côté du décagone régulier 
qu'il faudra porter dix fois sur la circonférence. 

Car en joignant MB^ on a par construction AO: 
0M::OM:AM; ou, à cause de AB=OM, AO :AB 
::AB:AM; donc les triangles ABO, AMB, ont un 
angle commun A compris entre côtés proportionnels ; 
donc ils sont semblables *. Le triangle OAB est isos- **®» *• 
cèle, donc le triangle AMB Test aussi , et on a AB = 
BM : d'ailleurs AB = CM; donc aussi MB = OM ; 
donc le triangle BMO est isoscèle. 

Lungle AMB, extérieur au triangle isoscèle BMO, 
est double de Tintérieur O*; or langle AMBz^MAB; * »9i « 
donc le triangle OAB est tel que chacun des angles j^ 
la base , OAB ou OBA, est double de langle au som- 
met O; donc les trois angles du triangle valent cinq 
fois l'angle 0, et ainsi l'ang'e O est la cinquième 
partie de deux angles droits , ou la dixième de qua- 
tre : donc Tare AB est la dixième partie de la cir- 
conférence, et la corde AB est le côté du décagone 
régulier. 



^ 



IIS GiOKBTRIB. 

Corollaire L Si on joint de deux en deux les sommets 
du décagone régulier, on formera le pentagone régu- 
lier ACEGI. 

Corollaire II. AB étant toujours le côté du déca- 
gone, soit AL le côté de Tliexagone; alors Tare BL 
sera , par rapport à la circonférence, j — ~ ou-—; donc 
la corde BL sera le côté du pentédécagone ou poly- 
gone régulier de i5 côtés. On voit en même temps 
que lare CL est le tiers de CB. 

Scholie. Un polygone régulier étant inscrit, si on 
divise les arcs sous-tendus par ses côtés en deux par- 
ties égales , et qu'on tire les cordes des demi-arcs , 
celles-ci formeront un nouveau polygone régulier 
dun nombre de côtés double : ainsi on voit que le 
quarré peut servir à inscrire successivement les po- 
lygones réguliers de 8 , id , 32 , etc. , côtés. De même 
rhexagone servira à inscrire les polygones réguliers 
de 12 , 24 ) 4B 9 etc. , côtés ; le décagone, des polygones 
de 20, 40 ) So, etc., côtés; le pentédécagone, des 
polygones de 3o, 60, 120, etc., côtés (i). 

PROPOSITION VL 

PROBLâMS. 

fig. 160. Etant donné le polygone régulier inscrit 
ABCD, etc. n circonscrire à la même circonfé^ 
rence un polygone semblable. 

(i) On a cru long-temps que ces polygones étaient les seuls 
qui pussent être inscrits par les procédés de la géométrie élé- 
mentaire 9 ou , ce qui reyient au même , par la résolution des 
équations du premier et du second degré : mais M- Gauss a 
prouyé , dans un ouvrage intitulé DisquisUiones Arithmeticœ , Idpm 
siœ^ 1801 , qu'on peut inscrire par de semblables moyens 1& po- 
lygone régulier de dix-sept côtés, et en général celui de a"*-^! 
côtés, pourvu que s'^-f-i soit un nombre premier* 



)LITR9 XV. Il3 

Au point T, milieu de lare AB , menez la tangente GH| 
qui sera parallèle à A6 ^ ; faites la même chose au milieu * zo« m 
de chacun des autres arcs BC, CD, etc.; ces tangentes 
formeront par leurs intersections le polygone régulier 
circonscrit GHIK , etc. , semblable au polygone inscrit. 

Il est aisé de voir d'abord que les trois points O, 
B, H , sont en ligne droite, car les triangles rectan- 
gles OTH, OHN, ont l'hypoténuse commune OH, et 
le côté OT=:ON; donc ils sont égaux*; donc *«•>«» 
l'angle TOH= HON, et par conséquent la ligne OH 
passe par le point B milieu de Tare TN : par la même 
raison le point 1 est sur le prolongement de OC, etc. 
Mais, puisque GH est parallèle à AB et HI à BC, 
l'angle GHI=ABC *; de même HIK=:BCD, etc.; *a6, x. 
donc les angles du polygone circonscrit sont égaux 
à ceux du polygone inscrit. De plus , à cause de ces 
mêmes parallèles, on a GH:AB:: OHrOB, et HI: 
BC::OH:OB; donc GH:AB:: HI:BC. Mais AB = 
BC , donc GH=HI. Par la même raison HI= IK , etc. ; 
donc les côtés du polygone circonscrit sont égaux 
entre eux; donc ce polygone est régulier et semblable 
an polygone inscrit. 

Corollaire I. Réciproquement y si on donnait le 
polygone circonscrit GHIK, etc. , et qu'il fallût tracer 
par son moyen le polygone inscrit ABC, etc., on 
voit qu'il suffirait de mener aux sommets G, H , I , etc. , 
du polygone donné les lignes 00, OH, etc. , qui ren- 
contreraient la circonférence aux points A, B , C , etc. ; 
on joindrait ensuite ces points par les cordes AB, 
BC, etc., qui formeraient le polygone inscrit. On 
pourrait aussi, dans le même cas, joindre tout sim- 
plement les points de contact , T, N , P, etc. , par les 
cordes TN, NP, etc., ce qui formerait également un 
polygone inscrit semblable au circonscrit. 

Corollaire IL Donc on peut circonscrire à un 

8 



Il4 GÉOMÉTRIE. 

cercle donné tous les polygones régulierjs qu'on sait 
* * inscrire dans ce cercle, et réciproquement. 

PROPOSITION VIL 

THEOREME. 

U aire ji* un polygone régulier est égale à son 
périmètre multiplié par la moitié du rayon du 
cercle inscrit. 
fig. i6o. Soit, par exemple , le polygone régulier GHIK , etc. , 
le triangle GOH a pour mesure GH X 7OT, le triangle 
OHI a pour mesure HI X -ON ; mais ON = OT ; 
donc les deux triangles réunis ont pour mesure 
(GH + HI) X|OT. En continuant ainsi pour les 
autres triangles, on verra que la somme de tous les 
triangles, ou le polygone entier a pour mesure la 
somme des bases GH, HI, IK, etc., ou le périmètre 
du polygone , multiplié par 7ÔT, moitié du rayon du 
cercle inscrit. 

Scholie. Le rayon du cercle inscrit OT n'est autre 
chose que la perpendiculaire abaissée du centre sur 
un des côtés ; on l'appelle quelquefois Xapotltême du 
polygone. 

PROPOSITION VIIL 



THEOREME. 



Les périmètres des polygones réguliers d'un 
même nombre de côtés sont comme les rayons 
des cercles circonscrits ^ et aussi comme les rayons 
des cercles inscrits; leurs surfaces sont comme les 
quaiTés de ces mêmes rayons. 
H' ï^*» Soit AB un côté de lun des polygones dont il 
s'agit, O son centre, et par conséquent OA le rayon 
du cercle circonscrit, et OD, perpendiculaire sur B, 



LIYEB IV. il5 

le rayon du cercle inscrit; soit pareillement ab le 
côté dun autre polygone semblable, o son centre, 
oa et od les rayons des cercles circonscrit et inscrit. 
Les périmètres des deux polygones sont entre eux 
comme les côtés AB et ab; mais les angles  et ^ sont 
égaux comme étant chacun moitié de langle du po- 
lygone; il en est de même des angles B et b; donc les 
triangles ABO, abo^ sont semblables, ainsi que les 
triangles rectangles kDO^ado; donc AB:ai::AO; 
ao\\iyO:do; donc les périmètres des polygones sont 
entre eux comme les rayons AO , ao y des cercles cir- 
conscrits, et aussi comme les rayons DO, do, des 
cercles inscrits. 

Les surfaces de ces mêmes polygones sont entre 
elles comme les quarrés des côtés homologues AB , ab; 
elles sont par conséquent aussi comme les quarrés des 
rayons des cercles circonscrits AO^ ao y on comme les 
quarrés des rayons des cercles inscrits OD , od. 

PROPOSITION IX. 

Il EU bL b. 

Toute ligne courbe ou polygone qui enveloppe 
fTune extrémité à, Vautre la ligne convexe AMB 
est plus longue que la ligne enveloppée AMB. 

Nous avons déjà dit que par ligne convexe nous Cg. iCa. 
entendons une ligne courbe ou polygone, ou en par- 
tie caurbe et en partie polygone, telle quune ligne 
droite ne peut la couper en plus de deux points. Si la 
ligne AMB avait des parties rentrantes ou des sinuo- 
sités, elle cesserait d'être convexe, parce qu'il est aisé 
de voir qu'une ligne droite pourrait la couper en plus 
de deux points. Les arcs de cercle sont essentielle- 
ment convexes; mais la proposition dont il s'agit main- 
tenant s étend à une ligne quelconque qui remplit la 
condition exigée. 

8. 



\ 



11$ GSOVBTJIIE. 

Gela posé, si la ligne AJVIB n'est pas plus petite qu« 
toutes celles qui lenveloppent, il existera parmi ces 
dernières une ligne plus courte que toutes les autres, 
laquelle sera plus petite que AMB, ou tout au plus 
égale à ÂMB. Soit ACDEB cette ligne enveloppante î 
entre les deux lignes rnene^ par-tout où vous voudrez 
la droite PQ, qui ne rencontre point la ligne AMB, 
ou du moins qui ne fasse que la toucher; la droite PQ 
^ est plus courte que PCDEQ; donc, si à la partie 
PCDEQ on substitue la ligne droite PQ, on aura la 
ligne enveloppante APQB plus courte que APDQB, 
Mais, par faypothèse , celle-ci doit être la plus courte 
de toutes; donc cette hypothèse ne saurait subsister; 
donc toutes les lignes enveloppantes sont plus longues 
que AMB. 
6g.i63. SchoUe» On démontrera absolument de la mémç 
manière quune ligne convexe et rentrante sur elle- 
même AMB, est plus courte que toute ligne qui l'en* 
velopperait de toutes parts, soit que la ligne envelop- 
pante FHG touche AMB en un ou plusieurs points, 
. soit qu elle Fenvironne sans la toucher. 

PROPOSITION X. 

LE M ME. 

Deux circonférences concentriques étant don- 
néesy on peut toujours inscrire dans laplus grande 
un polygone régulier dont les côtés ne rencontrent 
pas la plus petite ^ et on peut aussi circonscrire à 
la plus petite un polygone régulier dont les côtés 
ne rencontrent pas la grande; de sorte que dans 
Vun et dans Vautre cas les côtés du polygone dé-' 
crit seront renfermés entre les deux circonférences. 
fig» 164 Soient CA, CB , les rayons des deux circonférences 
données. Au point A menez la tangente DE termi- 
née à la grande circonférence en D et £ ; inscrivez 



âûAs la grande circonférence Vnn âeê polygones té* 
guliers qu'on peut inscrire par les problèmes précé* 
dents, divisez ensuite les arcs sous«tendus par les 
côtes en deux parties égales , et menez les cordes des 
demi-arcs; tous aurez un polygone régulier d'un 
nombre de côtés double. Continuez la bissection des 
arcs jusqu^à ce que tous parveniez à un arc plus petit 
que DBË. Soit MBN cet arc (dont le jnilieu est S}ip- 
posé en B); il est clair que la corde MN sera plus 
éloignée du centre que DE, et qu'ainsi le polygone 
régulier dont MN est le côté ne saurait rencontrer la 
circonférence dont CA est le rayon. 

Les mêmes choses étant posées, joignez CM et CN 
qui rencontrent la tangente DE en P et Q ; PQ sera le 
côté d^un polygone circonscrit à la petite circonfé- 
rence , semblable au polygone inscrit dans la grande , 
dont le côté est MN. Or^il est clair que le polygone 
circonscrit qui a pour côté PQ, ne saurait rencon« 
trer la grande circonférence, puisque CP est moindre 
que CM. 

Donc , par la même cofistruction , on peut décrire 
un polygone régulier inscrit dans la grande circon- 
férence, et un polygone semblable circonscrit à la 
petite, lesquels auront leurs côtés compris entre les 
deux circonférences. v 

Scholie. Si on a deux secteurs concentriques FCG', 
ICH, on pourra de même inscrire dans le plus grand 
une portion de polygone régulier^ ou circonscrire au 
plus petit une portion de polygone semblable, de sorte 
que les contours des deux polygones soient compris 
entre les deux circonférences : il suffira de diviser 
Parc FB6 successivement en 2,4^8, 16, etc., parties 
égales, jusqu'à ce qu'on parvienne à une partie plus 
petite que DBE. 

Nous appelons ici portion de polygone régulier la 
6gure terminée par une suite de cordes égales inscrites 



Zl8 GPOMÉTBIS. 

dans l'arc FG d'une extrémité à l'autre. Cette portion 
a les propriétés principales des polygones réguliers, 
elle a les angles égaux et les côtés égaux, elle est à la 
fois inscriptible et circonscriptible au cercle, cepen- 
dant elle ne ferait partie d'un polygone régulier pro- 
prement dit, qu'autant que l'arc sous -tendu par un 
de ses côtés serait une partie aliquote de la circon- 
férence, ^ 

PROPOSITION XL 

THEOREME. 

Les circonférences des cercles sont entrée elles 
comme les rayons j et leurs surfaces comme les 
quarrés des rayons. 
%. i65. Désignons, pour abréger, par cirç, CA la circon- 
férence qui a pour rayon G A j je ^ dis qu on aura 
cire. GA.: cire. OB;: CA;OB. 

Car, si cette proportion n'a pas lieu, CA sera à 
OB comme cire. CA est à un quatrième terme plus 
grand ou plus petit que cire. OB : supposons-le plus 
petit, et soit, s'il est possible, CA:OB:: cire. CA: 
cire, OD. 

Inscrivez dans la circonférence dont OB est le rayon 

un polygone régulier EFGKLE, dont les côtés ne 

rencontrent point la circonférence dont OD est le 

* lo. rayon *; inscrivez un polygone semblable MNPTSM 

dans la circonférence dont G A est le rayon. 

Gela posé, puisque ces polygones sont semblables, 
leurs périmètres MNPSM, EFGKE sont entre eux 
* 8' comme les rayons CA, OB, des cercles circonscrits *, 
et on aura MNPSM : EFGKE :: GA : OB ; mais, 
par hypothèse , G A : OB : : cire. GA : cire. OD j donc 
MNPSM: EFGKE ::é?/rc. GA : art:. OD. Or, cette 
proportion est impossible, car le contour MNPSM 
^' est moindre que cire. GA % et au contraire EFQKE 



LIYRB IV. 119 

est plus grand que cire. OD ; donc il est impossible 
que CA soit à OB comme cire. GA est à une circonfé- 
rence plus petite que cire. OB, ou, en termes plus 
généraux, il est impossible qu'un rayon soit à un 
rayon comme la circonférence décrite du premier 
rayon est à une circonférence plus petite que la cir- 
conférence décrite du second rayon. 

De là je conclus qu'on ne peut avoir non plus , CA 
est à OB comme cire. CA est à une circonférence 
plus grande que cire. OB ; car si cela était, on aurait, 
en renversant les rapports : OB est à CA comme une 
circonférence plus grande que cire. OB est à cire. CA , 
ou , ce qui est la même chose , comme cire. OB est à 
une circonférence plus petite que cire. CA; donc un 
rayon serait à un rayon comme la circonférence dé- 
crite du premier rayon est à une circonférence plus 
petite que la circonférence décrite du second rayon s 
ce qui a été démontré impossible. 

Puisque le quatrième terme de la proportion CA: 
OB::c/rc. CA:X ne peut être ni plus petit ni plus 
grand que cijx. OB , il faut qu'il soit égal à cire. OB; 
donc les circonférences des cercles sont entre elles 
comme les rayons. 

Un raisonnement et une construction entièrement 
semblables serviront à démontrer que les surfaces 
Jes cercles sont comme les quarrés de leurs rayons. 

Nous n'entrerons pas dans dautres détails sur cette 
proposition , qiû d ailleurs est un corollaire de la sui- 
vante. 

Corollaire. Les arcs semblables AB, DE, sont fig. ;[6& 
comme leurs rayons AC , DO, et les secteurs sembla- 
bles ACB , D0£ , sont comme les quarrés de ces mêmes 
rayons. 

Car, puisque les arcs sont semblables, langle C 
est égal à l'angle O*; or langle C est à quatre angles * ^^1*3. 
droits comme lare AB est à la circonférence entière *^' * 



I20 GEOMSTRtB. 

* «7» a- décrite du rayon AC *, et Tangle O e*t à quatre anglei 
droits comme l'arc DE est à la circonférence décrite 
du rayon OD; donc les arcs AB, DE, sont entre eux 
comme les circonférences dont ils font partie : ces cir- 
conférences sont comme les rayons AC, DO, donc 
arcAB:arcDE::AC:I)0. 

Par la même raison les secteurs ACB, DOE, sont 
comme les cercles entiers , ceux-ci sont comme les 
quarrés des rayons ; donc sect. ACB : sect. DOE : • 

Âc': DO. 

PROPOSITION XII. 

TRÉOllAMfi. 

Vaille du cercle est égale au produit de sa 
circonférence par la moitié du rayon. 

Désignons par surf. CA la surface du cercle dont le 
rayon est CA; je di« qu'on aura surf. CA^i^CAx 
cire. CA. 

«g. 17^' Car si 7 CA X cira. CA n'est pas Taire du cercle dont 
CA est le rayon, cetie quantité sera la mesure d'un 
cercle plus grand ou plus petit. Supposons d'aborJ 
qu'elle est la mesure d'un cercle plus grand, et soit^ 
s'il est possible y ^CAy^circ. CA=:^ surf. CB. 

x4lu cercle dont le rayon est CA circonscrivez un 

polygone régulier DEFG, etc; , dont les côtés ne l'en- 

10. contrent pas la circonférence qui a CB pour rayon * ; 

la surface de ce polygone sera égale à son contour 

" 7- DE + EF + FG H- etc. multiplié par { AC * : mais le 
contour du polygone est plus grand que la circon- 
férence inscrite, puisqu'il l'enveloppe de toutes parts ; 
donc la surface du polygone DEFG, etc., est plus 
grande que { AC X cire. AC , qui , par hypothèse , est la 
mesure du cercle dont CB est le rayon ; donc le poly- 
gone serait plus grand que le cercle. Or au contraire 



il est phts petit , puisqu'il y est contenu ; donc il est 
impossible que ^- CA X cire. CA soit plus grand que 
sittr/. CA, ou , en d autres termes, il est impossible que 
la circonférence d'un cercle multipliée par la moitié 
de âon rayon soit la mesure d'un cercle plus grand* 

Je dis en second lieu que le même produit ne peut 
être kl mesure d'un cercle plus petit; et, pour ne pas 
changer de figure, je supposerai qu'il s'agit du cercle 
dont CB est le rayon; il faut donc prouver que 7GB 
X cire* CB ne peut être la mesure d un cercle plus 
petit, par exemple, du cercle dont le rayon est CA- 
la effet, soit, s'il est possible, 7 CBxciVc. CB = 
surf. CA. 

Ayant &it la même construction que ci-dessus, la 
surface du polygone DEFG, etc., aura pour mesure 
(DE 4- EF + FG + etc.) X 7CA; mais le contour 
DE H- EF -h FG + etc. , est moindre que cire. CB 
<pn Teiiyeloppe de toutes parts; donc Taire du poly- 
gone est moindre que 7 CA X cire. CB , et à plus forte 
nison moindre que 7 CB x cire. CB. Cette dernière 
quantité est, par hypothèse, la mesure du cercle dont 
CA est le rayon ; donc le polygone serait moindre 
que le cercle inscrit, ce qui est absurde; donc il est \ 
impossible que la circonférence d'un cercle, multi» 
pliée par la moitié de son rayon , soit la mesure d'un 
cercle plus petit. 

Donc enfin la circonférence d'un cercle multipliée 
par la moitié de son rayon est la mesure do ce même 
cercle. 

^CoroUaire 1. 1^ surface d'un secteur est égale à l'arc fig. x6S. 
le ce secteur multiplié par la moitié du rayon. 

Car le secteur ACB est au cercle entier comme 
Tare AME est à la circonférence entière ABD^, ou *l^^%. 
comme AMBxtAC est à ABDX7AC. Mais le cercle 
entier =:ABDx 7 AC; donc le secteur ACB a pour 
mesure AHBx 7 AC» 



123 . GEOMETRIB. 

Corollaire IL Appelons tt la circonférence dont le 
diamètre est l'unité; puisque les circonférences sont 
comme les rayons ou comme les diamètres, on pourra 
faîie cette proportion : le diamètre i est à sa circonfé- 
rence Tz comme le diamètre 2CA est à la circonfé- 
rence qui a pour rayon CA; de sorte quon aura 
fig. i65. I ITT : : aCA : cire, CA; donc cire, CA = 2 tf X CA. 
Multipliant de part et d'autre par \ CA, on aura 

a ■ a 

|CA X cire. CA = irxCA, ou surf. CA=7r. CA; 
donc la surface iTun cercle est égale au produit du 
quarré de son rayon par le nombre constant tt, qui 
représente la circonférence dont le diamètre est i , ou 
le rapport de la circonférence au diamètre. 

Pareillement la surface du cercle qui a pour rayon 

a ■ a a 

OB sera égale à ir x OB ; or tt X CA : tc X OB :: 

CA : OB ; donc les surfaces des cercles sont entre elles 
comme les quarrés de leurs rayons , ce qui s accorde 
avec le théorème précédent. 

Scholie, Nous avons déjà dit que le problème de la 
quadrature du cercle consiste à trouver un quarré égal 
en surlace à un cercle dont le rayon est connu ; or on 
vient de prouver que le cercle est équivalent au rec- 
tangle fait sur la circonférence et la moitié du rayon ^ 
* pr. 6, ^* c® rectangle se change en quarré en prenant une 
liv. 3. moyenne proportionnelle entre ses deux dimensions*: 
ainsi le problème de la quadrature du cercle se ré- 
duit à trouver la circanférence quand on connaît le 
rayon , et pour cela il suffit de connaître le rapport 
de la circonférence au rayon ou au diamètre. 

Jusqu'à présent on n*a pu déterminer ce rapport 
que dune manière approchée; mais Tapproximation 
a été poussée si loin, que la connaissance du rapport 
exact n'aurait aucun avantage réel sur celle du rap- 
port approché. Aussi cette question , qui a beaucoup 
occupé les géomètres lorsque les méthodes d approjù«> 



mation étaient moins connues, est maintenant relë» 
^ée parmi les questions oiseuses dont il n*est permis 
de s'occuper qu'à ceux qui ont à peine les premières 
notions de géométrie. 

Archimède a prouvé que le rapport de la circon- 
férence au diamètre est compris entre V^ et 3~j 
ainsi 3y ou ^ est une valeur déjà fort approchée du 
nombre que nous avons représenté par 17, et cette 
première approximation est fort en usage à cause de 
sa simplicité. Métius a trouvé pour le même nombre 
la valeur beaucoup plus approchée fff. Enfin la va- 
leur de TT, développée jusqu'à un certain ordre de 
décimales, a été trouvée par d^autres calculateurs 
3,1415926535897932, etc., et on a eu la patience de 
prolonger ces décimales jusqu'à la cent vingt-septième 
ou même jusqu'à la cent*quarantième. Il est évident 
qu'une telle approximation équivaut à la vérité, et 
qu'on ne connaît pas mieux les racines des puissances 
imparfaites. 

On expliquera, dans les problêmes suivants, deux 
àe& méthodes élémentaires les plus simples pour obte- 
nir ces approximations. 

PROPOSITION XIII. 

PROBLEME. 

Étant données les surfaces d'un polygone ré^ 
gulier inscrit et d'un polygone semblable cir- 
conscrit^ trouver les surfaces des polygones ré' 
guliers inscrit et circonscrit d'un nombre de côtés 
double. 

Soit AB le côté du polygone donné inscrit, £F fig. 1694 
parallèle à AB, celui du polygone semblable circon- 
scrit, C le centre du cercle; si on tire la corde AM et 
les tangentes AP, BQ, la coitle AM sera le côté 4u 



polygone inscrit d'un nombre de côté* double, et 
PQ double de PM sera celui du polygone semblable 
• 6. circonscrit *. Cela posé, comme la même construction 
aura lieu dans les différents angles égaux à ACM, il 
suffit de considérer Tangle ACM seul , et les triangles 
qui y sont contenus seront entre eux comme les poly- 
gones entiers. Soit A la surface du polygone inscrit 
dont AB est un côté, B la surface du polygone sem- 
blable circonscrit, A' la surface du polygone dont 
AM est un côté, B' la surface du polygone semblable 
circonscrit; A et B sont connus, il s'agit de trouver 
A' et B'. 

i® Les triangles ACD, ACM, dont le sommet 
commun est A, sont entre eux comme leurs bases 
CD, CM; d'ailleurs ces triangles sont comme les po- 
lygones A et A' dont ils font partie; donc A:A':: 
CÔrCM. Les triangles CAM, CME, dont le sommet 
commun est M, sont entre eux comme leurs bases 
CA, CE; ces mêmes triangles sont comme les poly- 
gones A' et B dont ils font paitie ; donc A' : fi : : C A : CE. 
Mais à cause des parallèles AD, ME, on a CD: CM;: 
CA:CE; donc A:A'::A':B; donc le polygone A', 
l'un de ceux que l'on cherche , est moyen propor- 
tionnel entre les deux polygones connus A et B , et on 

a par conséquent A'=l/AxB. 

2? A cause de la hauteur commune CM , le trian- 
gle CPM est au triangle CPE comme PM est à PE ; 
mais la ligne CP divisant en deux parties égales 
*i7,3.Pangle MCE, on a* PM:PE::CM:CE::CD:CA:: 
ArA'î donc CPM: CPE:: A: A', et par suite, CPM: 
CPM+CPE, ou CME::A:Ah-A'. Mais CMPA 
ou aCMP et CME sont entre eux comme les poly- 
gones B' et B dont ils font partie; donc B':B:: 
aAïA+A*. On a déjà déterminé A'; cette nou* 
velle proportion déterminera B', et on aura B'iss. 



LIVEB lY, taS 

—--7; donc, au moyen des polygones A et B, il est 

facile de trouyer les polygones A' et B' qui ont doux 
fois plus de côtés. 



PROPOSITION XIV. 

PROBLÂUE. 

Trouver le rapport approché de la circonfé- 
rence au diamètre. 

Soit le rayon du cercle =:= i , le côté du quarré 
inscrit sera U^a*, celui du quarré circonscrit sera 'J. 
égal au diamètre 2; donc la surface du quai*ré ins- 
crite 2, et celle du quarré circonscrit ^=: 4- Mainte* . 
iiant,si on fait A=a et B=49 on trouvera par le 

problême précédent l'octogone inscrit A':eV/fc= 

g* 

2,8284271 , et Toctogone circonscrit B'=— -— ^= 

3,3i37o85. Connaissant ainsi les octogones inscrit 
et circonscrit, on trouvera par leur moyen les po- 
lygones d'un nombre de côtés double ; il faudra de 
nouveau supposer A= 2,828427X1 6=3,3 i3jo85, et 

on aura A'=V^ÂxB=3,o6i4674» et B'=^^, 

=3,1825979. Ensuite ces polygones de 16 côtés ser- 
viront à connaître ceux de 32, et ou continuera ains» 
jusqu'à ce que le calcul ne donne plus de différence 
entre les polygones inscrit et circonscrit, au moins 
dans Tordre de décimales auquel on s'est arrêté, qu. 
est le septième dans cet exemple. Arrivé à ce point 
on conclura que le cercle est égal au dernier résultat^ 
car le cercle doit toujours être compris entre le po- 
lygone inscrit et le polygone circonscrit; donc si 
ceux-ci ne diffèrent point entre eux jusqu'à un certain 



126 GÉOMETEIB. 

ordre de décimales, le cercle n'en différera pas non 
plus jusqu'au même ordre. 

Voici le calcul de ces po]]qg[ones prolongé jusqu'à 
ce qu'ils ne diffèrent plus dans le septième ordre de 
décimales. 

Nombre des càtéa. Polygone inscrit. Polygone circonscrit. 

4 2,0000000 4^0000000 

8 2^8284271 3,3i37o85 

16 3,0614674 3,1825979 

32 3, 12144^1 3,1517249 

64 3,i365485 3,i44ii84 

128 3,i4o33i I ...... 3,i422236 

256 3,1412772 3,1417504 

5i2 3,i4i5i38 ...... 3,i4i632i 

1024 3,1415729 3,i4i6o25 

2048 3,i4i5877 3,i4i595r 

4096 3,141^914 3,1415933 

8192 3,1415923 3,1415928 

i6384 3,141^925 3,1415927 

32768 ...*.. 3,1415926 ...... 3,1415926 

De là je conclus que la surface du cercle = 
3,1415926. On pourrait avoir du doute sur la der- 
nière décimale à cause des erreurs qui viennent des 
parties négligées; mais le calcul a été fait avec un# 
décimale de plus, pour être sûr du résultat que nous 
venons de trouvw jusque dans la dernière décimale. 

Puisque la surface du cercle est égale à la demi- 
circonférence multipliée par le rayon, le rayon étant 
1, la demi-circonférence est 3,i4i5926j ou bien le 
diamètre étant i , la circonférence est 3, 1415926; 
donc le rapport de la circonférence au diamètre dé- 
signé ci-dessus par 77=3,1415926. 



LIT&B IV. 197 

PROPOSITION XV. 

I< E K A B* 

Ze triangle CAB w^ équivalent au triangle isoscèle DCE, fig. 170, 
qui a le même angle C , et dont le côté CE égal à CD est 
moyen proportionnel entre CA et CB. JD^ /?/« ^ , si V angle 
CAB ^j/ droit, la perpendiculaire CF abaissée sur la hçise 
du triangle isoscèle , sera moyenne proportionnelle entre le 
côté CA e£ la demi-somme des côtes CA , CB. 

Car, I** à cause de l'angle commun C, le triangle ABC est 
au triangle isoscèle DCE comme AC X CB est à DC X CE , ou 

DC*; donc ces triangles seront équiTalents, siDCmAC *»4. 3. 
XCB, 011 si DC est moyenne proportionnelle entre AC 
et CB. 

a^ La perpendiculaire CGF coupant en deux parties égale^ 
l'angle ACB , on a* AG : GB : : AC : CB , d'où résulte , compo. * 17 » 5, 
ntndo, AG:AG-f-CB ou AB:: AC: AC + CB; mais AG 
est à AB comme le triangle ACG est au triangle ACB ou 
2CDF; d'ailleurs, si l'angle A est droit , les triangles rectan- 
gles ACG, CDF, seront semblables, et donneront ACG: 

CDF::AC:CF,donc, 

AC* a CF*:: AC : AC 4-CB. 

Multipliant ^le second rapport par AC , les antécédents de. 

Tiendront égaux, et on anra par conséquent aCF=ACX 

(AC+ CB) , ou CF= AC X ( — \ donc a** si l'angle 

A est droit, la perpendiculaire C F sera moyenne propor- 
Honnelle entre le côté AC et la demi-somme des côtés 
AC , CB. 

PROPOSITION XVI. 

PaOBLBMB. 



Trouver un cercle qui diffère aussi peu qu^on voudra {F un 
polygone régulier donné* 
Soit proposé , par exemple, le quarré BMNP ; abaissez da ^f - <?'' 



centre C la perpendiculaire CA sur le côté MB, et joignez 
CB 

Le cercle décrit du rayon C^. est inscrit dans le quarré , 
et le cercle décrit du rayon CB est circonscrit à ce même 
quarré; le premier sera plus petit que le quarré, le second 
sera plus grand ; mais il s*agit de resserrer ces limites. 

Prenez CD et C£ égales chacune à la moyenne propor- 
tionnelle entre CA et CB , et joignez £D ; le triangle isoscèle 
5i. Cl3E sera équivalent au triangle CAB* ; faites de même pour 
chacun des huit triangles qui composent le quarré , Yons 
lormerez ainsi un octogone régulier équivalent au quarré 
BMNP. Le cercle décrit du rayon CF, moyen prppop- 

1 ^ . CA-4-CB , . , „ 

tionnel entre CA et '— *, sera inscrit dans 1 octogone , H 

le cercle décrit du rayon CD lui sera circonscrit. Ainsi le 
premier sera plus petit que le quarré donné et le second 
plus grand. 

Si on change de la même manière le triangle rectangle 
CDF en un triangle isoscèle équivalent, on formera par ce 
moyen un polygone régulier de seize côtés, équivalent au 
quarré proposé. Le cercle inscrit dans ce polygone s^ra plos 
petit que le quarré, et le cercle circonscrit sera plus grand. 

On peut continuer ainsi jusqu'à ce que le rappprt entre 
le rayon du cercle inscrit et le rayon du cercle circonscrit 
diffère aussi peu qu*on voudra de Tégalité. Alors l'un et 
Tautre cercle pourront être regardés comme équivalents au 
quarré proposé. 

Scholie. Voici à quoi se réduit la recherche des rayons 
successifs. Soit a le rayon du cercle inscrit dans Tun des 
polygones trouvés , b le rayon du cercle circonscrit au même 
polygone; soient a'et b' les rayons semblables pour le po* 
lygonc suivant qui a un nombre de côtés double. Suivant c^ 
que nous avons démontré , b* est une moyenne proportion- 
nelle entre a et ^ , et a' est une moyenne proportionnelle 



a-{4} 



entre a et ; de sorte qu'on aura b'=.y^ay,by et a'= 



a^b 



y ax ; donc les rayons a et ^ ^'an poly^onç étunt 



1 



MTAB IV. 129 

connus, on en conclut facilement les rayons a' et h^ du po* 
lygone suivant : et on continuera ainsi jusqu'à ce que la 
différence entre les deux rayons soit devenue insensible; 
alors i*un ou Tautre de ces rayons sera le rayon du cercle 
équivalent au quarré ou au polygone proposé. 

Cette méthode est facile a pratiquer en lignes , puisque 
elle se réduit à trouver des moyennes proportionnelles suc« 
cessives entre des lignes connues ; mais elle réussit encore 
mieux en nombres , et c'est une des plus commodes que la 
géométrie élémentaire puisse fournir pour trouver promp- 
lement le rapport approché de la circonférence au diamètre. 
Soit le côté du quarré = a , le premier rayon inscrit CA sera 
I , et le premier rayon circonscrit CB sera v/a ou i,4i4^i^6« 
Faisant donc <7=i, ^=: i,4i42i36, on trouvera ^t= 
1,1892071 , et a' = 1,098684 !• Ces nombres serviront è 
calculer les suivants d'après la loi de continuation. 

Voici le résultat du calcul fait jusqu'à sept ou huit chiffres 
par les tables de logarithmes ordinaires- 
Rayons des cercles circonscrits. Rayons des cercles inscrits 

1,414^1^6 1,0000000. 

1,1892071 1,0986841* 

i,i43o5oo i,i2io863. 

i,i32oi49 1,1265639. 

1,1292862 1,1279257. 

1,1286063 • 1,1282657. 

Maintenant que la première moitié des chiffres est la 
même des^deux côtés , on pourra , au lieu des moyens géo- 
métriques , prendre les moyens arithmétiques , qui n'en dif- 
fèrent que dans les décimales ultérieures. De cette manière 
l'opération s'abrège beaucoup , et les résultats sont : 

1,1284360 i,i2835o8. 

1,1283934 1,1283721. 

1,1283827 1,1283774. 

i,i2838oi 1,1283787. 

1,1283794 • 1,1283791. 

1,1283792 1,128379a. 

9 



i3ô GEOMËTRIC. 

' Donc 1,1283791 est à très -peu près le rayon ÔM cercle 
égal en surface au quatre dont le côt<; est 2. De là îl est fa- 
eîîe de trouver le rapport de la circonférence au diamètre : 
car on a démontré que la surface du cercle est égale au 
quarré de son rayon multiplié par le nombre ir ; donc , si 
on divise la surface 4 par le quarré de 1,1285792 , on aura 
la valeur de it, qui se trouve par ce calcul de 5,i 4 1 5926, etc., 
eomme on Ta trouvée par une autre méthode. 



><.yi*<—*—i^— >—■.«■—>— ■i*'^ ! Il II II ■ ■ « i»i» ii»ii<p^ix 



APPENDICE AU LIVRE IV. 

DiPIVITION 5. 

I. kJv appelle maximum la quanrîté la plus grande entre 
toutes celles de la même espèce; minimum la plus petite. 

Ainsi le diamètre du cercle est un maximum entre toutes 
les lignes qui joignent deux points de la circonférence, et 
la perpendiculaire est un minimum entre toutes les droites 
menées d*un point donné à une ligne donnée. 

II. On appelle figures isopérimètres celles qui ont à.^% pé- 
rimètres égaux. 

PROPOSITION PREMIÈRE. 

THEOREME. 

Enirc tous les triangles de même base et de même pérL 
mètr^ ^ le tiiangle maximum est celui dans lequel les deujf 
pâtés non déterminés sont égaux* 

fig. 179. SoitÀC=CB,et AM + MB = AC4-CB; jedisquele 
triangle isoscèle ACB est plus grand que le triangle AMB 
qui a même base et même périmètre. 

Du point C^ comme centre, et du rayon CAzsCB, dé- 
crivez une circonférence qui rencontre C A prolongé en D; 
joignez DB ; et l'angle DBA , inscrit dans le demi - ceacle , 

*i5 9. ^^''^ "° angle droit ** Prolongez la perpendiculaire DB vers 
N , faites MN=MB , «t joignez AN. Enfin des points M et G 
baissez AlP et CG, perpendiculaires sur DN. Puisque CB= 



LiTRS tr. i3i 

CDetMlft^MB, ona AC + CB = AD, et AM-l-BIBn: 
AM+MK. Mais AC+CBr=AM+MB; donc A.D=zAM+ 
M N ; donc AD > AN : or si l'oblique AD est plus grande que 
l'oblique AN , elle doit être plus éloignée de la perpendicu- 
laire Afi ; donc DB > BN ; donc BG , qui es t moitié de BD * , *f <*» >* 
sera plus grande que fiP moitié de BN. Mais les triangles 
ABC , ABM , qui ont mcme base AB , sont entre eux c^mme 
leurs hauteurs BG, BP; donc, puisqu'on a BG>BP, le tri- 
angle isoscèle ABC est plus grand que le non-isoscèle ABM 
de ménut base et de même périmètre. 

PROPOSITION II. 

THXO&âMB, 

Entre tous les polygones isopéritnètres et d*un même 
nombre de côtes y celui qui est un maximum a ses côtés 
égauje. 

Car soit ABCDEF le polygone maximum; si le cAté BC ^•- '^^ 
n'est pas égal à CD , faites sur la base BD un triangle isof 
cèle BOD qui soit isopérimètre à BCD , le triangle ËOD sera 
plus grand que BCD * , et par conséquent le polygone * P'* <• 
ÂJBODEF sera plus grand que ABCDEF ; donc ce dernier 
ne serait pas le maximum entre tous ceux qui ont le même 
périmètre et le même nombre de côtés, ce qui est contre la 
supposition. On doit donc avoir BC = CD : on aura par la 
même raison CD =: DE, DE= £F, etc. ; donc tous les cités 
du polygone maximum sont égaux entre eux. 

PROPOSITION IIL 

THEORânB. 

De tous les triangles formés avec deux côtés donnés fai-- 
tant entre eux un angle à volonté ^ le maximum est celui 
dans lequel les deux côtés donnés font un an^e droit» 

Soient les deux trîangles BAC , BAD , qui ont le côté AB fig. 174. 
commun , et le côté AC = AD ; si l'angle BAC est droit , je 
dis que le triangle BAC sera plus grand que le triangle BAD, 
dans lequel l'angle en A est aigu ou obtus. 

9* 



|3a 6É0MBTE1B. 

» 

Car U base AB 6tant la même , les deux triangles BAC 
BAÛ9 sont comme les hauteurs AC, DE : mais la per- 
pendiculaire DE est plus courte que Toblique AD ou son 
égale AC ; donc le triangle BAD est plus petit que BAC. 

PROPOSITION IV. 

THBOREME. 

De tous les polygones formes avec des côtés donnés et un 
dernier à volonté^ le maximum doit être tel que tous ses 
angles soient inscrits dans une demi- circonférence dont le 
côté inconnu sera le diamètre^ 

fig.175. Soit ABCDEF le plus grand des polygones formés ayec 
les côtés donnés AB, BC , CD, DE, EF, et un dernier AF 
,^ volonté; tirez les diagonales AD, DF. Si Tangle ADF 
n'était pas droit, on pourrait, en conservant les parties 
ABCD , DEF , telles qu'elles sont , augmenter le triangle 
ADF, et par conséquent le polygone entier, en rendant 
langle ADF droit , conformément à la proposition précé- 
dente ; mais ce polygone ne peut plus être augmenté , puis- 
qu'il est supposé parvenu à son maxitnum ; donc l'angle 
ADF est déjà un angle droit. Il en est de môme des angles 
ABF , ACF , AEF ; donc tous les angles A,B,C,D,E,F, 
du polygone maximum sont inscrits dans une demi-circon- 
férence dont le côté indéterminé AF est le diamètre. 

Scholie, Cette proposition donne lieu à une question ; sa- 
voir, s'il y a plusieurs manières de former un polygone avec 
des côtés donnés , et un dernier inconnu qui sera le diamètre 
de la demi-circonférence dans laquelle les autres côtés sont 
inscrits. Avant de décider cette question, il faut observer 
que si une même corde AB sous - tend des arcs décrits de 

fig. 17^' différents rayons AC , AD , l'angle au centre appuyé sur 

cette corde sera le plus petit dans le cercle dont le rayon 

est le plus grand; ainsi ACB<ADB. En effet l'angle ADO 

•a?.»* =ACD + CAD*; donc ACD<ADO, et en doublant de 

part et d'autre on aura ACB < ADB. 



r 



LITRE nr. i33 

PROPOSITION V. 

THBOaâlIB. 

// /ly a qu'une manière déformer le polygone ABCDEF, 
avec des côtés donnés et un dernier inconnu qui soit le dia- 
mètre de la demi-circonférence iians laquelle les autres côtés 
sont inscrits. 

Car, supposons qu'on a trouTé un cetcle qui satisfasse a ^' ^^ 
la question ; si on prend un cercle plus grand , les cordes 
AB, BC9 CD , etc. , repondront à des angles au centre plus 
petits. La somme de ces angles au centre sera donc moîndrie 
que deux angles droits; ainsi les extrémités des c6té^ 
donnés n'aboutiront plus aux extrémités d'un diamètre. 
L'inconvénient contraire aura lieu si on prend un cercle 
plus petit; donc le polygone dont il s'agit ne peut être 
inscrit que dans un seul cercle. 

Scholie, On peut changer à volonté l'ordre des côtés AB , 
BC, CD , etc. , et le diamètre du cercle circonscrit sera tou- 
jours le même, ainsi que la surface du polygone; car, quel 
que soit l'ordre des arcs AB , BC , etc. , il suffit que leur 
somme fasse la demi- circonférence , et le polygone aura 
toujours la même surface , puisqu'il sera égal au demi- 
cercle moins les segments AB, BC, etc., dont la somme 
est toujours la même. 

PROPOSITI N VI. 

THÉORÂMB. 

De tous les polygones formés avec des côtés donnés , le 
maximum est celui qu^on peut inscrire dans un cercle. 

Soit ABCDËFG le polygone inscrit, et abcdefg \t non- ^- <77- 
nscriptible formé avec des côtés égaux, en sorte qu*on a 
AB = «r^ , BCr=: 6c, etc. ; je dis que le polygone inscrit est 
plus grand que Tautre. 

Tirez le diamètre £M; joignez AM , MB; sur â6=AB 
faites le triangle ahm égal à ABM , et joignez em, 

£n vertu de la proposition IV, le polygone £FGAM est 



l34 6B0XSTRIB.' 

plus grand que efgam, à moins qae celui-ci ne puisse être 
pareillement inscrit dafis une deml*-citoénférence dont le 
côté em serait le diamètre , auquel cas les deux polygones 
seraient égaux en yertu de la priyposition V. Par la même 
raison le polygone EDCBM est plus grand que edcbm , sauf 
U même exception où il y aurait égalité. Donc le polygone 
entier EFGAMBCDË est plus grand que e/gumbcde, à moins 
qu*ils ne soient entièrement égaux : mais ils ne le sont pas, 
puisque l'un est inscrit dans le cercle , et que l'autre et t 
supposé non -^ inscriptible ; donc le polygone inscrit est le 
plus grand. Retranchant de part et d'autre les triangles 
égaux ABM , ab^ , il restera le polygone inscrit ABCDEFO 
plus grand que le non^inscriptible abedefg. 

Seh^ke. On démontrera , comme dans la proposition Y, 
qa'U n« peut y avoir qu'un seul cercle , et par conséquent 
qu^un seul polygone nuiximum qui satisfasse à la question; 
et ce polygone serait encore de même surface , de quelque 
manière qu'on changeât l'ordre de ses côtés. 

PROPOSITION VIL 

THBOaBMK, 

Lepôfygone régulier est an maximum entre tous les poly- 
gones isopétimètres et d*un même nombre de côtés. 

Car, suivant le théorème n, le polygone maximum a tous 
ses côtés égaux; et, suivant le théorème précédent , il est in- 
scriptible dans le cercle ; donc ce polygone est régulier. 

PROPOSITION VIII. 

I. B M M B. 

Dewt angiêi au centre > mesurés dans deux cercles dijfé* 
TWts , sont entre eust comme les arcs compris dtmés par 

leurs myoH^M 

AB 

ùg, 178. Ainsi l'angle G est à Tangle O comme le rapport -r-r- est 

Axâ 

DE. 

en rapport _ 

D'un rayon OF égal à AC décrivez l'arc FG compris entre 



LIVJIB XV. |3â 

les côtés OD» 0£ , prolongés ; à causât des rayons égaux AC , 
OF, on aura d'abord C: O :: AB:FG *, où :: -777.-^77. Maïs • 17. 

à causa dfs arcs semblables FG , D£ , on a '^ FG:D£ :: FO: * <•• 

FG DE 

DO; donc le rapport — — est égal au rapport ^rrri «t on a 

AB D£ 
par conséquent C : O : : -— : — - . 

PROPOSITION IX, 

THltORiMB. 

De deux polygones réguliers isopériméires , celui qui a le 
plus grand nombre de côtés est le plus grand. 

Soit D£ le demi-côté de Tun des polygones , O son centre , fig J70 
0£ son apothème ; soit AB le demi-côté de Tautre polygone, 
C son centre, CB son apothème. Qn suppose les centres O 
et C situés à une distance quelconque OC , et les apothèmes, 
0£, CB, dans la direction OC : ainsi D0£ et ACB seront 
les demi-angles au centre des polygones , et comme ces an- 
gles ne sont pas égaux, les lignes CA , OD , prolongées, se 
rencontreront en un point F ; de ce point abaissez sur OC 
la perpendiculaire FG ; des points O et C , comme centres 
décrivez les arcs GI , GU , terminés aux côtés OF, CF. 

Cela posé , on aura par le lemme précédent O : C : : — : -^; 
^ OG CO 

mais DE est au périmètre du premier polygone comme 

Tangle O est à quatre angles droits , et AB est au périmètre 

dtt second comme Tangle C est à quatre angles droits ; donc, 

puisque les périmètres des polygones sont égaux , D£ : AB 

GI f H 

:: : C , ou DE : AB : : -- : -— -. Multipliant les antécédcn ts 

OG CG 

par OG et les conséquents par CG, on aura DE X OG: AB X 

CG : : GI : GU. Maïs les triangles semblables OD£ , OFG , 

donnent OE : OG :: DE ; FG, d*où résulte DExOG = 0£ 

XFG ; on aura de même AB X CG = CB X FG ; donc OE X 

FG : CB X FG :: GI : GH , ou OE : CB :: GI : GH. Si donc 

on fait Toir que l'arc GI est plus grand que l'arc GH , il 

s'en suivra que Tapothème OE est plus grand que CB. 



l36 GBOMÉTIIIB. 

De l'autre c6té de CF soit faite la figure CKjk entièrement 
égale à la figure CGor^ de sorte qu*on ait CKz=CG, l'angle 
HCK = HCG, et l'arc Kj:=a<î; la courbe KarG envelop- 
* 9. pera l'arc RHG , et sera plus grande que cet arc *, Donc Gx^ 
moitié de la courbe, est plus grande que GH moitié de l'arc; 
donc , à plus forte raison , GI est plus grand que GH. 

Il résulte de là que Tapothéme 0£ est plus grand que CB : 
mais les deux polygones ayant même périmètre sont entre 
* 7* eux comme leurs apothèmes * ; donc le polygone qui a pour 
demi-côté D£ est plus grand que celui qui a pour demi>côté 
AB : le premier a le plus de côtés , puisque son angle au 
centre est le plus petit; donc de deux polygones réguliers iso- 
périmètres , celui qui a le plus de côtés est le plus grand. 

PROPOSITION X. 



THÉORÈME. 



fig. i8u. 



Le cercle est plus grand que iout polygone isopérimètre. 

Il est déjà prouvé que de tous les polygones isopérimètres 
et d'un même nombre de côtés le polygone régulier est le 
plus grand ; ainsi il ne s'agit plus que de comparer le cercle 
à un polygone régulier quelconque isopérimètre. Soit AI le 
demi-côté de ce polygone , C soii centre. Soit dans le cercle 
isopérimètre l'angle DO£=ACI , et conséquemment l'arc 
DE égal au demi -côté AI. Le polygone P est au cercle G 
comme le triangle AGI est au secteur ODE ; ainsi on aura 
P:C::îAîxCI:iDExOE::CI:OE. Soit menée au point 
K la tangente ËG qui rencontre OD prolongé en G ; les tri- 
angles semblables AGI, GO£, donneront la proportion GI: 
OE::AIouDE:GE;doncP:C::DE:GE,ou comme DEx 
\ OE qui est la mesure du secteur DDE est à GEx 2OE qui 
est la mesure du triangle GOR : or le secteur est plus petit 
que le triangle; donc P est plus petit que G, donc le cercle 
est plus grand que tout polygone isopérimètre. 



•'^^«'«^^ W^^'><% ^ >»^^r«»<%%<%/^«%/V%»/fc^'%.^%^>^^%<V»%^^1 



LIVRE V. 



LES PLANS ET LES ANGLES SOLIDES. 



DEFIIf ITIOIfS. 



I. Une ligne droite e&X perpendiculaire a un plan^ 
lorsqu'elle est perpendiculaire à toutes les droites qui 
passent par son pied dans le plan^. Réciproquement *Fr-4* 
le plan est perpendiculaire à la ligne. 

IjQpied de la perpendiculaire est le point où cette 
ligne rencontre le plan. 

II. Une ligne est paraltele a un plan^ lorsqu'elle 
ne peut le rencontrer à quelque distance qu'on les 
prolonge lun et l'autre. Réciproquement le plan est 
parallèle à la ligiie. 

III. Deux plans sont parallèles entre eux , lorsqu'ils 
ne peuvent se rencontrer à quelque distance qu'on les 
prolonge l'un et Tautie. 

lY. Il sera démontré^ que l'intersection commune 'im-.s. 
(le deux plans qui se i-encontrent est une ligne droite : 
cela pose , V angle ou l* inclinaison mutuelle de deux 
plans est la quantité plus ou moins grande dont ils 
sont écartés l'un de l'autre ; cette quantité se me- 
sure* par Tangle que font entre elles les deux per- •pr.7. 
pendieulaires menées dans chacun de ces plans au 
Diéme point de l'intersection commuife. 

Cet angle peut être aigu , droit , uu obtus. 

V. S'il est droit , les deux plans sont perpendicU" 
laires entie eux. 

VI. Angle solide est l'espace angulaire compri» 
entre plusieurs plans qui se réunissent en un même 
point. 



l38 GEOMBTEIB. 

fi«- "99- Ainsi l'angle solide S est formé par la réunion des , 
plans ASB, BSC, CSB, DSA. 

Il faut au moins trois plans pour former un angle 
solide^ 

PROPOSITION PREMIÈRE. 

THÉORÂUB. 

Une ligne droite ne peut être en partie dans 
un plan , en partie au dehors. 

Car, suivant la définition du plan^ dès qu'une 
ligne droite a deux points communs avec un plafi > 
elle est tout entière dans ce plan. 

ScJiolie. Pour reconnaître si une surface est plane, 
il faut appliquer une ligne droite en différents sens 
sur cette surface, et voir si elle touche la surface dans 
toute son étendue. 

PROPOSITION II. 



A 



THEOREME. 



Deux lignes droites qui se coupent sont dans 
un même plan , et en déterminent la position. 

fig. i8i. Soient AB, AC, deux lignes droites qui se coupent 
en A : on peut concevoir un plan où se trouve la 
ligne droite AB ; si ensuite on fait tourner te plan 
autour de AB , jusqu'à ce qu'il passe par le point G , 
alors la ligne AG , qui a deux de ses pôints^ A et G dans 
ce plan, y sera tout entière, donc la position de ce 
plan est déterminée par la seule condition de renfer- 
mer les deux droites AB, AG. 

Corollaire I. Un triangle ABG, ou trois points 
A, B, G, non en ligne droite, déterminent la position 
d'un plan. 

fig. xSa. Corollaire II. Donc aussi deux parallèles AB^ GD, 
déterminent la position d un plan ; car si on mène la 



sécante £F, le plan de« deux droitM A£i EF| i«ra 
celui des parallèles AB, CD. 

PROPOSITION III. 

THÉOHBMB. 

Si deux pians se coupent j leur intersection 
commune sera une ligne droite. 

Car, sî dans les points communs aux deux plan^ 
on en trouvait trois qui ne fussent pas en ligne droite^ 
les deux plans dont il s*agit , passant chacun par ces 
trois points , lie feiaient qu^un seul et même plan *j * a* 
ce qui est contre la supposition. 

PROPOSITION IV. 
thborAmi. 

Si une ligne droite AP est perpendiculaire à *«• >w. 
detix autres PB , PC , qui se croisent à son pied 
dans le plan MN , elle sera perpendiculaire à 
une droite quelconque PQ menée par son pied 
dans le même plan , et ainsi elle sera perpendi- 
culaire au plan MN. 

Par un point Q, pris à volonté sur PQ, tire* la 
droite BC dans l'arigie BPC, de manière que BQ£= 
QC * , joignez AB , AQ , AC. j;?"*^ 

La base BG étant divisée en deux partie» égales au 
point Q , le triangle BPC donnera * , * «4* *• 

PC + PB=îîPQ + aQc! 
Le triangle BAC donnera pareillement , 

ÂC V ÂB= aÂQ + 2QC.* 
Betranchant la première égalité de la seconde, et 
observant que les triangles APC , APB , tous deux 

recungles en P, donnent AC — PC=AP, et AB — 

PB=AP} on aura, 

AP VÂPœ aÀQ*— aPq! 



t4o GÉOMÉTEIB. 

Donc y en prenant les moitiés de part et d'autre, 

on a ÂP*=ÂQ— PQ*, ou AQ=ÂP4-PQ*, donc le 
♦i3, 3, triangle APQ est rectangle en P*; donc AP est per- 
pendiculaire à PQ. 

Scholie. On voit par là , non-seulement qu'il est pos- 
sible qu'une ligne droite soit perpendiculaire à toutes 
celles qui passent par son pied dans un plan , mais 
que cela arrive toutes les fois que cette ligne est per- 
pendiculaire à deux droites menées dans le plan ; c'est 
ce qui démontre la légitimité de la définition I. 

Corollaire I. La perpendiculaire AP est plus courte 
qu une oblique quelconque AQ ; donc elle mesure la 
vraie distance du point A au plan PQ. 
I Corollaire II. Par un point P donné sur un plan, 
on ne peut élever qu'une seule perpendiculaire à ce 
plan ; car si on pouvait élever deux perpendiculaires 
par le même point P^ conduisez, suivant ces deux 
perpendiculaires, un plan dont l'intersection avec le 
plan MN soit PQ; alors les deux perpendiculaires 
dont il s'agit seraient perpendiculaires à la ligne PQ , 
au même point et dans le même plan , ce qui est im- 
possible. 

Il est pareillement impossible d'abaisser d'un point 
donné hors d'un plan deux perpendiculaires à ce 
plan ; car soient AP, AQ, ces deux perpendiculaires , 
alors le triangle APQ aurait deux angles droits APQ, 
AQP, ce qui est impossible. 

PROPOSITION V. 

THiORBMB. 

Les obliques également éloignées de la per- 
pendiculaire sont égales; etj de deux obliques 
inégalement éloignées de la perpendiculaire ^ 
celle qui s'en éloigne le plus est la plus longue. 



Car les angles APB, APC, APD éunt droits, si on «r- <S4. 
suppose les distances PB, PC, PD, égales entre elles, 
les triangles APB, APC, APD, auront un angle égal 
compris entre côtés égaux; donc ils seront égaux; 
donc les hypoténuses ou les obliques AB, AG, AD, 
seront égales entre elles. Pareillement , si la distance 
PE est plus grande que PD ou son égale PB , il est clair 
que 1 oblique AE sera plus grande que AB , ou son 
égale AD. 

Corollaire* Toutes les obliques égales AB, AC, 
AD, etc. , aboutissent à la circonférence BCD, dé- 
crite du pied de la perpendiculaire P comme centre ; 
donc étant donné un point A hors d'un plan, si on 
veut trouver sur ce plan le point P où tomberait la 
perpendiculaire abaissée de A, il faut marquer sur ce 
plan trois points B , G , D , également éloignés du point 
A, et chercher ensuite le centre du cercle qui passe 
par ces points ; ce centre sera le point cherché P. 

Scholie. L'angle ABP est ce qu'on appelle Yincli" 
naùon de Vohlique AB swr le plan MN ; on voit que 
cette inclinaison est égale pour toutes les obliques AB, 
AC, AD, etc. , qui s écartent également de la perpen* 
diculaire; car tous les triangles ABP, AGP, ADP, etc., 
sont égaux entre eux. 

PROPOSITION VI. 

THEORBMB. 

^it AP une perpendiculaire au plan MJV et Sg. iss. 
BC une ligne située dans ce plan ; si du pied P 
de la perpendiculaire on abaisse PD perpendi- 
culaire sur BC , et quon joigne kH^je dis que 
AD sera perpendiculaire à BC. 

Prenez DB=DC, et joignez PB, PC, AB, AG: 
puisque DB==DG, loblique PBnzPG; et par rap- 
port à la perpendiculaire AP , puisque PB = PG , 



14^ GBOMéTRIÉ. 

**• Vobliqiie AB== AG*; donc la ligne AD a deux de ses 
points A et D également "distants des extrémités B et 
C ; donc AD est perpendiculaire sur le milieu de BC. 

Corollaire. On voit en même temps que BC est per- 
petidiculaire au plan APD, puisque BC est perpendi- 
culaire à-la-fois aux deux droites AD , PD. 

Scholie. Les deux lignes AE , BC , offrent l'exemple 
de deux lignes qui ne se rencontrent point, parce que 
elles ne sont pas situées 'dans un même plan. La plus 
•courte distance de ces lignes est la droite PD , qui est 
à-la-fois perpendiculaire à la ligne AP et à la ligne 
BC. La distance PD est la plus courte entre ces deux 
lignes; car si on joint deux autres points, comme A 
et B , on aura AB > AD , AD > PD; donc , à plus forte 
raison , AB > PD. 

Les deux lignes AE , GB , quoique non situées dans 
un même plan , sont censées faire entre elles un angle 
droit, parce que AD et la parallèle menée par un de 
ses points à la ligne BC feraient entre elles un angle 
droit. De même la ligne AB et la ligne PD , qui repré- 
sentetit deux droites quelconques non situées dans le 
même plan, sont censées faire entre elles le même 
angle que ferait avec AB la parallèle à PD menée par 
un des points de AB. 

PROPOSITION VIL 

TBBO&SXS. 

ig. i86é Si la ligne AP est perpendiculaire au plan 
MN , toute ligne DE parallèle à AP sera perpen* 
diculaire au même plan. 

Suivant les parallèles AP, DE, conduisez un plan 
, dont Tintersection avec le plan MN sera PD; dans le 
plan MN menez BG perpendiculaire à PD , et joi- 
gnez AD, 



^ 



Suivant le corollaire du théorème pitScédent, BG 
est perpendiculaire au plair APDE; donc l'angle DDE 
est droit : mais Tangle EDP est droit aussi, puisque 
ÂP est perpendiculaire à PD , et que DE est parallèle 
à AP ; donc la ligne DE est perpendiculaire aux deux 
droites DP , DB ; donc elle est perpendiculaire à leur 
plan MW. 

Corollaire I. Réciproquement si les droites AP, 
ÛE sont perpendicïulaires au même plan MN, elles 
seront parallèles ; car si elles ne l'étaient pas , condui- 
rez par le point D une parallèle à AP , cette parallèle 
Sdra perpendiculaire au plan MN ; donc on pourrait > 
par utt même point D , élever deul perpendiculaires 
a un même plan , ce qui est impossible \ * 4* 

Corollaire II. Deux lignes A et B, parallèles à une 
troisième G, sont parallèles entre elles; car imaginez 
nn plan perpendiculaire à la ligne G, les lignes A et B» 
parallèles à cette perpendiculaire, seront perpendicu- 
laires au même plan ; donc , par le corollaire précc« 
dont, elles seront parallèles entre elles. 

Il est entendu que les trois lignes ne sont pas dans 
le même plan , sans quoi la proposition serait d^ja 
connue \ * 25, n 

PROPOSITION VlII. 

THBOEBMB. 

Si la ligne Afi est parallèle à une droite CD h- ^^1* 
menée dans le plan MN , elle sera parallèle à ce 
plan. 

Car si la ligne AB, qui est dans le plan ABGD, ren- 
contrait le plan MN^ ce ne pourrait être qu en quelque 
p(Hnt de la ligne GD , intersection commune des deux 
plans : or, AB ne peut rencontrer CD, puisqu'elle lui 
est parallèle ; donc elle ne rencontrera pas non plus 
le plan MN; donc elle est paiallèle à ce plan^ *àéî, s. 



l44 GBOKETRIE. 

PROPOSITION IX. 

THEOREME. 

fig. i8«. Deux plans MN , PQ , perpendiculaires à une 
même droite AB, sont parallèles entre eux. 

Car s'ils se rencontraient quelque part , soit un 
de leurs points communs, et joignez OA, OB ; la li^e 
AB, perpendiculaire au plan MN, est perpendiculaire 1 
à la droite OA menée par son pied dans ce plan ; par 
la même raison AB est perpendiculaire à BO ; donc 1 
OA et OB seraient deux perpejidiculaires abaissées du , 
même point O sur la même ligne droite, ce qui est 
impossible; donc les plans MN, PQ, ne peuvent se ' 
rencontrer ; donc ils sont parallèles. 

PROPOSITION X. 



h 



THEOR E M E. 



A 



THEOREME. 



ftg.iW. La ligne AB, perpendiculaire au plan MN, 

est perpendiculaire au plan PQ parallèle à MN. 

Ayant tiré à volonté la ligne BC dans le plan PQi 

suivant AB et BC^ conduisez un plan ABC dont 



fifi- *^9» Les intersections EF, GH, de deux plans pa- 
rallèles MN, PQ, par un troisième plan FG, 
sont parallèles. 

Car si les lignes EF , GH , situées dans un même i 
plan , ne sont pas parallèles , prolongées elles se ren- 
contreront; donc les plans MN, PQ, dans lesquels 
elles sont , se rencontreraient aussi ; donc ils ne se- 
raient pas parallèles. 

PROPOSITION XL 



1 



LITRS T. t45 

rintersection avec le plan MN soit AD , Tintersectiofi 
AD sera parallèle à BC^; mais la ligne AB perpendi- ' '^ 
culaire au .plan MN est perpendiculaire à la droite 
AD ; donc elle sera aussi perpendiculaire à sa paral- 
lèle BC ; et puisque la ligne AB est perpendiculaire à 
toute ligne BG menée par son pied dans le plan PQ ^ 
il s'ensuit qu'elle est perpendiculaire au plan PQ. 

PROPOSITION XII. 

THBORBKS. 

Lés parallèles EG, FH , comprises entre deux fig. 189. 
plans parallèles MN , PQ , sont égales. 

Par les parallèles EG, FH, faites passer le plan 
EGHF, qui rencontrera les plans parallèles suivant 
£F et GH. Les intersections EF, GH, sont parallèles 
entre elles*, ainsi que EG , FH ; donc la figure EGHF « 10. 
est un parallélogramme; donc EG=:FH. 

Corollaire. Il suit de là que deux plans parallèles 
sont partout a égale distance; car si EG et FH sont 
perpendiculaires aux deux plans MN, PQ, elles seront 
parallèles enti^e elles*; donc eUes sont égales. * 7. 

PROPOSITION XIII. 

TBBOaâMB. 

Si deux angles CAE , DBF , non situés dans le Cg- rga 
même plan , ont leurs côtés parallèles et dirigés * ?• 
dans le même sens y ces angles seront égaux et 
leurs plans seront parallèles. 

Prenez AC=BD, AE=BF, et joignez CE, DF, 
AB, CD, EF. Puisque AG est égale et parallèle à BD9 
la figure ABDC est un parallélogramme*; donc CD * "»'• 
est égale et parallèle à AB. Par une raison semblable 

10 



l46 GÉOMBTAIB. 

£F est égale et parallèle à AB ; donc aussi CD est 
égale et parallèle à EF, la figure CEFD est donc 
un parallélogramme , et ainsi le côté CE est égal 
et parallèle à DF ; donc les triangles CAE , DBF , 
sont équilatéraux entre eux; donc Tangle CAE=: 
DBF. 

En second lieu je dis que le plan ACE est parallèle 
au plan BDF ; car , supposons que le plan parallèle à 
BDF, mené par le point A, rencontre les lignes CD, 
EF, en d'autres points que C et E, par exemple en 
G et H ; alors , suivant la proposition xii , les trois 
lignes AB, GD , FH , seront égales : mais les trois AB, 
CD, ÇF, le sont déjà; donc on aurait CD=GD, et 
FH = EF, ce qui est absurde ; donc le plan ACE est 
parallèle à BDF. 

Corollaire. Si deux plans parallèles MN, PQ, sont 
rencontrés par deux autres plans CABD, EABF, les 
angles CAE, DBF, formés par les intersections des 
plans parallèles, seront égaux; car Tintersection AG 
est parallèle à BD^, A£ lest à BF, donc langle 
"'o. CAE = DBF. 

PROPOSITION XIV. 

THBORBXB. 

fig. 190. Si trois droites AB , CD , EF , non situées dans 
le même plan^ sont égales et parallèles^ les 
triangles AGE , BDF , formés de part et d^ autre 
enjoignant les extrémités de ces droites^ seront 
égaux y et leurs plans seront parallèles. 

Car, puisque AB est égale et parallèle à CD, la 
figure ABDC est un parallélogramme ; donc le côté 
AC est égal et parallèle à BD. Par une raison sem- 
blable les côtés AE, BF, sont égaux et parallèles 
ainsi que CE, DF; donc les deux triangles ACE; 



1 



BDF, sont ëgaux : on prouvera d'ailleurs, comme 
dans la proposition précédente , que leurs plans sont 
parallèles. 

PROPOSITION XV. 

THBOaiMB. 

Deux droites comprises entre trois plans pa^ 
rallèleSy sont coupées en parties proportionnelles. 

Supposons que la ligne AB rencontre les plans pa« fig. igc. 
rallèles MN , PQ , RS , en A , E , B , et que la ligne 
CD rencontre les mêmes plans en C, F, D; je dis 
qu'on aura AE : EB : : CF : FD. 

Tirez AD qui rencontre le plan PQ en G , et joi- 
gnez AC , EG , GF , BD ; les intersections EG , BD , 
des plans parallèles PQ , RS , par le plan ABD , sont 
parallèles * ; donc AE : EB : : AG : GD ; pareillement les * ^^^ 
intersections AC, GF, étant parallèles, on a AG:GD: : 
CF:FD ; donc, à cause du rapport commun, AG: 
GD, on-aura AE : EB : : CF : FD. 

PROPOSITION XVI. 

THBOailfB. 

SoU ABCD un quadrilatère quelconque situé ou non situé ^^ ^^^^ 
dans un même plan ; si on coupe les côtés opposés propor^ 
tionnellement par deux droits EF , GH , de sorte qiCon ait 
A£:£B::DF:FC, e/BG:GC :: AH:UD;y> disque les droites 
£F, GH, se couperont en un point M, de manière qu*on 
aura UM:MG:: AË:£B, ri £M:MF:: AII:iID. 

Conduisez suivant AD un plan quelconque A/>HcD qui ne 
passe pas suivant GH ; par les points E, B, C, F, menez à 
GHles parallèles E^, Bb, Ce, ¥/, qui rencontrent ce plan 
en e, b, c, f. À, cause des parallèles B^, GH, Ce* , on aura #53 
5H:Hc:: BG:GC:: AH:HD; donc*les triangles AH^, DHc, ^^ 3^ 
sont semblables. On aura ensuite Aeiebi: \E:EB^ et D/; 

zo. 



x4S GÉ0MÉTRIB« 

c : : DF : FC ^"donc Ae : eb : : lyflfc , ou , cornponendo , Ae : 
D/llAbiDc; mais, à cause des triangles semblables AH^, 
DHc, on a Aè:Dc:: AH^HD; donc Ae:D/:: AH:HD : d'ail- 
*ao 3. leurs les triangles AHè, cHD , étant semblables , l'angle HAe 
= HI)/'; donc les triangles AH&, DH/*, sont semblables '^y 
donc l'angle AHczziBn/l II s'ensuit d'abord que éHfe&t une 
ligne droite , et qu'ainsi les trois parallèles Ee , GH , F/*, 
sont situées dans un même plan , lequel contiendra les deux 
droites EF, GH; donc celles-ci doivent se couper en un 
point M. Ensuite, à cause des parallèles Ec, MH, F/", on 
aura EM:MF::cH:H/:: AH:HD. 

Par une construction semblable, rapportée au côté AB^ 
on démontrerait que HM:MG:: AE:ËB. 

PROPOSITION XVII. 

V 

THEOREME. 

fig. 193. V angle compris entre les deux plans MAN , 
MAP , peut être mesuré , conformément à la dé* 
finition , par V angle N AP que font entre elles 
les deux perpendiculaires AN , AP , menées dans 
chacun de ces plans à V intersection commune 
AM. 

Pour démontrer la légitimité de cette mesure, il 
faut prouver, 1° quelle est constante, ou qu'elle serait 
la même en quelque point de l'intersection commune 
qu'on menât les deux perpendiculaires. 

En effet, si on prend un autre point M, et qu'on 
mené MG dans le plan MN, et MB dans le plan MP, 
peipendiculaires à l'intersection commune AM ; puis- 
que MB et AP sont perpendiculaires à une même ligne 
AM, elles sont parallèles entre elles. Par la même 
raison MG est parallèle à AN ; donc l'angle BMG == 

♦i5. PAN * ; donc il est indifférent de mener les perpen- 
diculaires au point M ou au point A; l'angle compris 
sera toujours le même. 



i3. 



IiITEB y. i49 

â^ Il faut prouver que si langle des deux plans 
augmente ou diminue dans un certain rapport , 
l'angle PAN augmentera ou diminuera dans le mémp 
rapport. 

Dans le plan PAN décrivez du centre A et d'un 
rayon à volonté Tare NDP, du centre M et dun rayon 
égal décrivex l'arc CEB , tirez AD à volonté ; les deux 
plans PAN, BMG, étant perpendiculaires à une même 
di'oite MA, seront parallèles*; donc les intersections •g. 
AD, ME, de ces deux plans par un troisième AMD, 
seront parallèles ; donc langle BME sera égal à PAD^ 

Appelons pour un moment coin Tangle formé par 
deux plans MP , MN ; cela posé , si Tangle DAP était 
égal à DAN, il est clair que le coin DAMP serait 
égal au coin DAMN ; car la base P AD se placerait 
exactement sur son égale DAN, la hauteur AM se- 
rait toujours la même ; donc les deux coins coïnci- 
deraient lun avec l'autre. On voit de même que si 
I angle DAP était contenu un certain nombre de fois 
juste dans langle PAN, le coin DAMP serait contenu 
autant de fois dans le coin PAMN. D'ailleurs, du rap- 
port en nombre entier à un rapport quelconque la 
conclusion est légitime, et a été démontrée dans une 
circonstance tout-à-fait semblable * ; donc quel que * 17* 
soit le rapport de l'angle DAP à l'angle PAN, le coin 
DAMP sera dans ce même rapport avec le coin PAMN; 
donc l'angle NAP peut être pris pour la mesui*e du 
coin PAMN, ou de l'angle que font entre eux les deux 
plans MAP, MAN. 

Scliolie. Il en est des angles formés par deux plans 
comme des angles formés par deux droites. Ainsi, lors- 
que deux plans se traversent mutuellement , les angles 
ppposés au sommet sont égaux, et les angles adjacents 
valent ensemble deux angles droits ; donc si un plan 
f est perpendiculaire à un autre , celui-ci est perpendi- 
culaire au premier. Pareillement dans la rencontre des 



iSo GBOXÉTHIS. 

plans parallèles par un troisième plan , il existe les 
mêmes égalités et les mêmes propriétés que dans la 
rencontre de deux lignes parallèles par une troisième 
ligne. 

PROPOSITION XVIII. 



THÉOUEME. 



fig. 194; La ligne AP étant perpendiculaire au plan 
MT^ y tout plan A PB, conduit suivant AP, sera 

perpendiculaire au plan MN. 

Soit BC l'intersection des plans AB, MN; si dans 
le plan MN on mène DE perpendiculaire à BP, la ligne 
AP, étant perpendiculaire au plan MN, sera perpen- 
diculaire à chacune des deux droites BC , DE : mais 
l'angle APD, formé par les deux perpendiculaires PA, 
PD, à l'intersection commune BP, mesure Fangle des 
deux plans AB, MN ; donc, puisque cet angle est droit, 
*déf. 5. les deux plans sont perpendiculaires entre eux*. 

Scfwlie, Lorsque trois droites, telles que AP, BP, 
DP , sont perpendiculaires entre elles , chacune de ces 
droites est perpendiculaire au plan des deux autres 
et les trois plans sont perpendiculaires entre eux. 

PROPOSITION XIX. 



h 



THEOREME. 



fig X94. Si le plan AB est perpendiculaire au plan MN , 
et que dans le plan AB on mène la ligne Vk per- 
pendiculaire à r intersection commune PB, je dis 
que PA sera perpendiculaire au plan MN. 

Car si dans le plan MN on miène PD perpendicu- 
laire à PB, l'angle APD sera droit, puisque les plans 
sont perpendiculaires entre eux ; donc la ligne AP 
est perpendiculaire aux deux droites PB , PU ; donc 
elle est perpendiculaire à leur plan MN. 



. IiIVfiB T. iSl 

Corollaire. Si le plan AB est perpendiculaire au 
plan MN, et que par un point P de Fintersection 
commune on élèye une perpendiculaire au plan MN ; 
je dis que cette perpendiculaire sera dans le plan AB, 
car , si elle n'y était pas , on pourrait mener dans le 
plan AB une perpendiculaire AP à l'intersection com- 
mune BP, laquelle serait en même temps perpendi- 
culaire au plan AIN ; donc au même point P il y 
aurait deux perpendiculaires au plan MN ; ce qui est 
impossible *. * ♦* 

PROPOSITION XX. 



A 



THBORBMB. 



Si deux plans AB , AD , sont perpendiculaires ^* 1944 
à un troisième MN , leur intersection commune 
AP sera perpendiculaire à ce troisième plan. 

Car si par le point P on élève une perpendiculaire 
au plan MN, cette perpendiculaire doit se trouver à« 
la-fois dans le plan AB et dans le plan AD*; donc elle *cot,i^ 
est leur intersection commune AP. 

PROPOSITION XXI. 

THEOEBMB. 

Si un angle solide est formé par trois angles *«-»9** 
plans y la somme de deux quelconques de ces 
angles sera plus grande que le. troisième. 

Il n'y a lieu à démontrer la proposition que lorsque 
l'angle plan qu'on compare à la somme des deux au- 
tres est plus grand que chacun de ceux-ci. Soit donc 
l'angle solide S formé par trois angles plans ASB, 
ASG f BSC, et supposons que l'angle ASB soit le plus 
grand des trois ; je dis qu'on aura ASB < ASG + BSC. 

Dans le plan ASB faites l'angle BSD=: BSC, tirez 



l5a GEOMÉTRIS. 

à volonté la droite ADB ; et, ayantJpris^SCzrsSD, 
joignez AC, BC. 

Les deux côtés BS, SD, sont égaux aux deux BSi 
se, Pangle BSD=BSC; donc les deux triangles BSD, 
BSC sont 'égaux; donc BD = BC. ;Mais on a AB< 
AC+BC; retranchant dun côté BD, et de l'autre 
son égale BC , il restera AD < AC. Les deux côtés AS , 
SD, sont égaux aux deux AS, SC,le troisième AD 
*io, i. est plus petit que le troisième AC; donc* l'angle ASD 
<ASC. Ajoutant BSD=BSC, on aura ASD + BSD 
ou ASB<ASC+BSC. 

PROPOSITÎION XXIL 



* 



THEOREME. 



La somme des angles plans qui forment un 
angle solide ^ est toujours moindre que quatre 
angles droits. 
6g. 196. Coupez l'angle solide S par un plan quelconque 
ABCDE; d'un point O pris dans ce plan menez à 
tous les angles les lignes OA , OB, OC, OD, OE. 

La somme des angles des triangles ASB, BSC, etc., 
formés autour du sommet S, équivaut à la somme 
des angles d'un pareil nombre de triangles AOB , 
BOC , etc. , formés autour du sommet O. Mais au 
point B les angles ABO, OBC, pris ensemble, font 
l'angle ABC plus petit que la somme des angles ABS, 
*ai. SBC*; de même au point C on a BCOh-OCD< 
BCS + SCD ; et ainsi à tous les angles du polygone 
ABCDE. Il suit de là que dans les triangles dont le 
sommet est en O , la somme des angles à la base est 
plus petite que la somme des angles à la base dans 
les triangles dont le sommet est en S; donc, par com- 
pensation , la somme des angles formés autour du 
point O est plus grande que la somme des angles au- 
tour du point S. IVIais la somme des angles autour 



LiTms V. i53 

da point O est égale à quatre angles droits*; donc la * 5, u 
somme des angles plans qui forment l'angle solide S 
est moindre que quatre angles droits. 

Scholie. Cette démonstration suppose que l'angle 
solide est convexe, ou que le plan dune face prolon- 
gée ne peut jamais couper Tangle solide ; s'il en était 
autrement, la somme des angles plans n'aurait plus de 
bornes et pourrait être d'une grandeur quelconque. 

PROPOSITION XXIII. 

THSORBMB. 

Si deux angles solides sont composés de trois 
angles plans égaux chacun à chacun^ les plans 
dans lesquels sont les angles égaux seront égaU^ 
ment inclinés entre eux. 

Soit l'angle ASC=:DTF, Fkngle ASB=DTE, et 
l'angle BSC=ETF; je dis que les deux plans ASC, *«'^* 
ASB, auront entre eux une inclinaison égale à celle 
des plans DTF , DTE. 

Ayant pris SB à volonté , menez BO perpendicu- 
laire au plan ASC; du point O, où cette perpendicu- 
laire rencontre le plan , menez OA , OC , perpendi- 
culaires sur SA , se ; joignez AB , BC ; prenez ensuite 
TE = SB ; menez EP perpendiculaire sur le plan 
DTF ; du point P menez PD , PF , perpendiculaires 
sur TD, TF ; enfin joignez DE , EF. 

Le triangle SAB est rectangle en A, et le triangle 
TDE en D* , et puisque l'angle ASB=DTE, on a • fi. 
aussi SBA=TED. D'ailleurs SB = TE; donc le 
riangle SAB est égal au triangle TDE^; donc SA= *5,i. 
TD, et AB=DE. On démontrera semblablement 
que SC=TF, et BC = EF. Cela posé, le quadri- 
latère SAOG est égal au quadrilatère TDPF ; car 
posant l'angle ASC sur son égal DTF , à cause de 



.'tS4 . CBOMBTRIS. 

SA=TD et SC=TF , le point A tombera en D et le 
point C en F. En même temps AO , perpendiculaire 
à SA, tombera sur DP perpendiculaire à TD, et pa- 
reillement OC sur PF; donc le point O tombera sur 
le point P, et on aura AO = DP. Mais les triangles 
AOB, DPE, sont rectangles en O et P, l'hypoténuse 
AB=:DE, et le côté AO=DP; donc ces triangles 
*i8> I- sont égaux*; donc 1 angle OAB=PDE. L'angle OAB 
est l'inclinaison des deux plans ASB, ASC; Fangle 
-PDE est celle des deux plans DTE, DTF; donc ces 
deux inclinaisons sont égales entre elles. 

Il faut observer cependant que l'angle A du trian- 
gle rectangle OAB n'est proprement Tinclinaison des 
deux plans ASB , ASC , que lorsque la perpendi- 
culaire BO tombe , par rapport à SA , du même 
côté que SC; si elle tombait de l'autre côté, alors 
Pangle des deux plans serait obtus, et, joint à Fan- 
gle A du triangle OAB, il ferait deux angles droits. 
Mais dans le même cas l'angle des deux plans TDË, 
TDF, serait pareillement obtus, et, joint à l'angle 
D du triangle DPE , il ferait deux angles droits; 
donc, comme langle A serait toujours égal à D, on 
conclurait de même que l'inclinaison des deux plans 
ASB, ASC, est égale à celle des deux plans TDE, 
TDF. 

Scholie. Si deux angles solides sont composés de 
trois angles plans égaux chacun à chacun , et qu'en 
même temps les angles égaux ou homologues soient 
disposés de la même manière dans les deux angles 
solides , alors ces angles seront égaux , et posés l'un 
sur l'autre ils coïncideront. En efiet on a déjà yu 
que le quadrilatère SAOC peut être placé sur son 
égal TDPF; ainsi en plaçant SA. sur TD, SC tombe 
sur TF, et le point O jsur le point P. Mais, à oause 
de l'égalité des triangles AOB, DPE, la perpendicu- 
laire OB au plan ASC est égale à la pejrpendioulairc 



L1VR8 V, i55 

P£ au plan TDF ; de plus ces perpendiculaires sont 
dirigées dans le même sens ; donc le point B tombera 
sur le point E, la ligne SB sur TE, et les deux angles 
solides coïncideront entièrement lun avec Tautre. 

Cette coïncidence cependant na lieu quen sup- 
posant que les angles plans égaux sont dkposés de la 
même manière dans les deux angles 'solides ; car si 
les angles plans égaux étaient disposés dans un ordre 
inverse y ou, ce qui revient au même, si les perpen- 
diculaires OB, PE, au lieu d'être dirigées dans le 
même sens par rapport aux plans ASC, DTF, étaient 
dirigées en sens contraires , alors il serait impossible 
de faire coïncider les deux angles solides l'un avec 
l'autre. Il n'en serait cependant pas moins vrai, con- 
formément au théorème, que les plans dans lesquels 
sont les ai)gles égaux seraient également inclinés 
enti^e eux ; de sorte que les deux angles solides se* 
raient égaux dans toutes leurs parties constituantes , 
sans néanmoins pouvoir être superposés. Cette sorte 
d'égalité , qui n'est pas absolue ou de superposition, 
mérite d'être distinguée par une dénomination parti- 
culière : nous l'appellerons égalité par symétrie. 

Ainsi les deux angles solides dont il s'agit , qui sont 
formés par trois angles plans égaux chacun à chacun; 
mais disposés dans un ordre inverse, s'appelleront 
angles égaux par symétrie^ ou simplement angles 
symétriques. 

La même remarque Vapplique aux angles solides 
formés de plus de trois angles plans : ainsi un angle 
Solide formé par les angles plans A, B, G, D, E, et 
un autre angle solide formé par les mêmes angles 
dans un ordre inverse A, E, D, C, B, peuvent être 
tels que les plans dans lesquels sont les angles égaux 
soient également inclinés entre eux. Ces deux angles 
Solides, qui seraient égaux sans que la superposition 



l56 GiOMETRIB. 

fût possible, s'appelleront angles solides égaux par 
symétrie y ou angles solides symétriques^ 

Dans les figures planes il n'y a point proprement 
d'égalité par symétrie, et toutes celles qu'on vou- 
drait appeler ainsi seraient des égalités absolues ou de 
superposition : la raison e^n est qu'on peut renverser 
une figure plane, et prendre indifféremment le dessus 
pour le dessous. Il en est autrement dans les solides, 
où la troisième dimension peut être prise dans deux 
sens différents. 

PROPOSITION XXIV. 



A 



PROBLEME. 



Etant donnés les trois angles plans qui for ment 
un angle solide^ trouver par une construction 
plane V angle que deux de ces plans font entre 
eux. 

^g« '9^« Soit S l'angle solide proposé , dans lequel on con- 
naît les trois angles plans ASB, ASC, BSG; on de- 
mande l'angle que font entre eux deux de ces plans, 
par exemple les plans ASB , ASC. 

Imaginons qu'on ait fait la même construction que 
dans le théoiême précédent, l'angle OAB serait l'angle 
requis. Il s'agit donc de trouver le même angle par 
une construction plane ou tracée sur un plan. 

Pour cela faites sur un plan les angles B'SA , ASC, 
B"SC, égaux aux angles BSA, ASC, BSC , dans la 
figure solide ; prenez B'S et B"S égaux chacun à BS 
de la figure solide ; des points B' et B" abaissez B'A 
et B"C perpendiculaires sur SA et SC , lesquelles se 
rencontreront en un point 0. Du point A comme cen- 
tre et du rayon AB' décrivez la demi -circonférence 
B'^E; au point O élevez sur B'E la perpendiculaire 
Oi, qui rencontre la circonférence en i, joignez Kb^ 



LIVKB y. tSy 

et Tangle EA^ sera rinclinaison cherchée des deux 
plans x\SG , ASB , dans l'angle solide. 

Tout se réduit à faire voir que le triangle AOb de 
la figure plane est égal au triangle AOB de la figure 
solide. Or les deux triangles B'SA, BSA, sont rectan* 
gles en A, les angles en S sont égaux ; donc les angles 
en B et B' sont pareillement égaux. Mais l'hypoté- 
nuse SB' est égale à l'hypoténuse SB ; donc ces trian* 
gles sont égaux; donc SA de la figure plane est égale 
' à SA de la figure solide, et aussi AB', ou son égala 
A^ dans la figure plane est égale à AB dans la figuré 
solide. On démontrera de même que SG est égal de 
part et d autre ; d où il suit que le quadrilatère SAOC 
est égal dans Tune et dans l'autre figure , et qu'ainsi 
AO de la figure plane est égal à AO de la figure 
solide; donc dans l'une et dans l'autre les triangles 
rectangles AOb y AOB, ont l'hypoténuse égale et un 
càté égal; donc ils sont égaux, et l'angle EA^, trouyé 
par la construction plane , est égal à l'inclinaison des 
deux plans S AB , SAC , dans l'angle solide. 

Lorsque le point O tombe entre A et B' dans la 
figure plane, l'angle EA& devient obtus, et mesure 
toujours la Traie inclinaison des plans : c'est pour 
cela que l'on a désigné par EAi , et non par OAi^ 
l'inclinaison demandée , afin que la même solution 
convienne à tous les cas sans exception. 

Scholie. On peut demander si, en prenant trois 
angles plans à volonté, on pourra former avec ces trois 
angles plans un angle solide. 

D'abord il faut que la somme des trois angles don- 
nés soit plus petite que quatre angles droits, sans quoi 
l'angle solide ne peut être formé*; il faut de plus *a«. 
qu'après avoir pris deux des angles à volonté B'SA, 
ASGj'^le troisième CSB" soit tel, que la perpendicu- 
laire B"C au côté SG rencontre le diamètre B'E entre 



l58 GÉOMBTRIE. 

ses extrëmitëâ B' et E. Ainsi les limites de la gran* 
deur de Tangle CSB" sont celles qui font aboutir la 
perpendiculaire B"C aux points B' et EL De ces points 
abaissez sur CS les perpendiculaires B'I , ËK , qui 
rencontrent en I et K la circonférence décrite du 
rayon SB", et les limites de l'angle CSB" seront CSI 
et CSK. 

Mais dans le triangle isoscèle B'SI, la ligne CS pro- 
longée étant perpendiculaire à la base B'I, on a Tan- 
glefCSI = CSB'=ASC + ASB'. Et dans le triangle, 
isoscèle ESK , la ligne SG étant perpendiculaire à 
EK, on a 1 angle CSK=CSE. Bailleurs, à cause des 
triangles égaux ASE, ASB' , l'angle ASE=ASB';' 
doncCSE ou CSK=ASC— ASP' 

Il résulte de là que le problême sera possible toutes 
les fois que le troisième angle CSB" sera plus petit 
que la somme des deux autres ASC, ASB', et plu^ 
grand que leur différence : condition qui s'accorde 
avec le théorème xxi ; car, en vertu de ce théorème , 
il faut qu'on ait CSB" < ASC + ASB'; il faut auss 
qu'on ait ASC < CSB"4- ASB', ou CSB" > ASC— 
ASB'. 

PROPOSITION^ XXV. 



a jr-. 



A 



PROBLEME. 



Étant donnés deux des trois angles plans 
qui jQrment un angle solide^ avec V angle que 
leurs plans font entre eux , trouver le troisième 
angle plan. 
fig. 198. Soient ASC, ASB', les deux angles plans donnés, 
et supposons pour un moment que CSB" soit le troi- 
sième angle que Ion cherche , alors , en faisant la 
môme construction que dans le problême précédent, 
l'angle compris entre les plans des deux premiers 
serait EA^. Or , de même qu on détermine l'angle 



LITAB V. 1S9 

EA^ par le moyen de CSB" y les deux autres étant 
donnés, de même on peut déterminer CSB" par le 
moyen de EA^, ce qui résoudra le problème pro« 
posé. 

Ayant pris SB' à volonté , abaissez sur SA la per* 
pendiculaire indéfinie B'E, faites Tangle EA£ égal à 
l'angle des deux plans donnés; du point b où le côté 
Ai rencontre la circonférence décrite du centre A et 
du rayon AB% abaissez sur AE la perpendiculaire 
M) , et du point O abaissez sur SG la perpendiculaire 
indéfinie OCB", que vous terminerez en B" de ma- 
nière que 88"= SB'; Tangle CSB" sera le troisième 
angle plan demandé. 

Car si on forme un angle solide avec les trois an** 
gles plans B'SA, ASC, CSB", Tinclinaison des plans 
où sont les angles donnés ASB' y ASC , sera égale à 
Fangle donné EAi. 

Scholie, Si un angle solide est quadruple y ou formé fig. 19^ 
par quatre angles plans ASB , BSC , CSD , DSA , la 
connaissance de ces angles ne suffit pas pour déter- 
miner les inclinaisons mutuelles de leurs plans; car 
avec les mêmes angles plans on pourrait former une 
infinité d angles solides. Mais si on ajoute une condi- 
tion , par exemple , si on donne Finclinaison des deux 
plans ASB , BSC, alors l'angle solide est entièrement 
déterminé , et on pourra trouver Finclinaison de 
deux de ses plans quelconques. En effet, imaginer 
im angle solide triple formé par les angles plans ASB, 
BSC , ASC ; les deux premiers angles sont donnés , 
ainsi que l'inclinaison de leurs plans; on pourra donc 
déterminer, par le problème qu'on vient de résoudre, 
le troisième angle ASC. Ensuite, si on considère 
Taiigle solide triple formé par les angles plans ASC, 
ASD, DSC, ces trois angles sont connus; ainsi Tangle 
solide est entièrement déterminé. Mais l'angle solide 
quadruple est formé par la réunion des deux angles 



iffo GÉOMÉTRIS. 

solides triples dont on Tient de parler ; donc , puisque 
ces angles partiels sont connus et déterminés , langle 
total sera pareillement connu et déterminé. 

L angle des deux plans ASD , DSC , se trouverait 
immédiatement par le moyen du second angle solide 
partiel. Quant à Tanglé des deux plans BSC, CSD, il 
faudrait dans un angle solide partiel chercher Tangle 
compris entre les deux plans ASC , DSC j et dans 
l'autre langle compris entre les deux plans ASC, 
BSG ; la somme de ces deux angles serait langle com- 
pris entre les plans BSG, DSC. 

On trouvera de la même manière que, pour dé- 
terminer un angle solide quintuple, il faut connaître, 
outre les cinq angles plans qui le composent , deux 
des inclinaisons mutuelles de leurs plans; il en fau- 
drait trois dans Fangle solide sextuple, et ainsi de 
suite. 



1 



V»%%%%%<»»^^-*^»»»V%<»'%^^%^<»%%^^<^^V%>%%.%<»».%^%<%^%^»%%%^%»»%><»^^%%%|»»\ 



LIVRE VI. 



. V 



LES POLYEDRES. 



DBTINITIOnS. 



I. L/if appelle solide polyèdre^ ou simplement po^ 
Ijedre^ tout solide termine par des plans ou des faces 
planes. (Ces plans sont nécessairement terminés eux. 
mêmes par des lignes droites.) On appelle en parti. 
culier tétraèdre le solide qui a quatre faces ; hexaèdre 
celui qui en a six ; octiùdre celui qui en a huit ; do^^ 
décaèdre celui qui en a douze ; ieosasdre celui qui en 
a vingt, etc. 

Le tétraèdre est le plus simple des polyèdres ; car 
il faut au moins trois plans pour former un angle so* 
lide, et ces trois plans laissent un vide qui , pour être 
fermé , exige au moins un quatrième plan. 

IL L'intersection commune de deux faces adjacentes 
d'un polyèdre s'appelle côté ou arête du polyèdre. 

III. On appelle polyèdre régulier celui dont toutes 
les faces sont des polygones réguliers égaux, et dont 
tous les angles solides sont égaux entre eux. Ces po- 
lyèdres sont au nombre de cinq. Ployez Vappendice 
aux Usures FI et VII. 

IV. \a prisme est im solide compris sous plusieurs 
plans parallélogrammes, terminés de part et d'autre 
p^r deux plans polygones égaux et parallèles. 

Pour construire ce solide , soit ABGDE un poly- H* *<»• 
gone quelconque; si dans un plan parallèle à ABC, 
on mène les lignes FG, GH, HI, etc., égales et pa^- 
rallèles aux côtés AB, BG, CD, etc., ce qui formera 

II 



l6a GBOMÉTRIC. 

le polygone FGHIK égal à ABCDE; si ensuite on 
joint d'un plan à l'autre les sommels des angles ho- 
mologues par les dvoltes AF, EG, CH, etc., les faces 
ABGF, BCHG, etc., seront des parallélogrammes, et 
le solide ainsi formé ABCDEFGHIK sera un prisme. 
V. Les polygones égaux et parallèles ABCDE, 
FGHIK, s'appellent les bases du prisme; les autres 
plans parallélogrammes pris ensemble constituent la 
surface latérale ou cons^exe du prisme. Les droites 
égales AF , BG , CH , etc. , s'appellent les cotés du 
prisme. 

VL La hauteur d'un prisme est la distance de ses 
deux bades , ou la perpendiculaire abaissée d'un point 
de la baae supérieure sur le plan de la base infé- 
rieure» 

VIL Un prisme est dwit lorsque les côtés AF, 

BG, etc., sont perpendiculaires aux plans des bases: 

alors chacun d'eux est égal à la hauteur du prisme. 

Dans tout autre cas le prisme est oblique , et la hau- 

^ teur est plus petite que le côté. 

VIU. Un prisme est triangulaire , qu^drangu* 
taire , pentagonal^ hexagonal^ etc., selon que la base 
est un triangle, un quadrilatère, un pentagone, un 
hexagone, etc. 
fig. «06. IX. 1> prisme qui a pour base un parallélogramme , 
a toutes ses faces parallélogrammiques ; il s'appelle 
paraUUip^pede. 

Le paraUéUpipède est rectangle lorsque toutes si&& 
faces sont des rectangles. 

X. Parmi les parallélipipèdes rectangles on dis- 
tingue le cube ou hexaèdre régulier compris sous six 
quarrés égaux. 
*«• ï9^' XI. La pyramide est le solide formé lorsque plu- 
sieurs plans triangulaires partent d'un même point S, 
et sont terminés aux différents côtés d'un même plan 
polygonal ABCDE. 



LIYRB VI. l63 

Le polygone ABGDE s'appelle la base de la pyra- 
mide y le point S en est le sommet, et lensemble des 
triangles ASB^ BSG, etc., forme la surface convexe 
ou latérale de la pyramide. 

XII. La hauteur de la pyramide est la perpendicu- 
laire abaissée du sommet sur le plan de la base , pro* 
longé s'il est nécessaire. 

XIII. La pyramide est triangulaire, quadrangU'» 
laire, etc., selon que la base est un triangle, un qua- 
drilatère, etc. 

XIY. Une pyramide est régulière y lorsque la base 
est un polygone régulier, et qu'en même temps la 
perpendiculaire abaissée du sommet sur le plan de la 
base passe par le centre de cette base : cette ligne 
s'appelle alors Vaxe de la pyramide. 

XV. Diagonale d'un polyèdre est la droite qui joint 
les sommets de deux angles solides non adjacents. 

XVI. J'appellerai pol/edres symétriques deux 
polyèdres qui, ayant une base commune, sont cons* 
truits semblablement, l'un au-dessus du plan de cette 
base, l'autre au-dessous, avec cette condition que les 
sommets des angles solides homologues soient situés 
à égales distances, du plan de la base, sur une même 
droite perpendiculaire à ce plan. 

Par exemple, si la droite ST est perpendiculaire fig. 202. 
au plan ABC, et qu'au point O, où elle rencontre ce 
plan , elle soit divisée en deux parties égales , les deux 
pyramides S ABC, TABG,qui ont la base commune 
ABC, seront deux polyèdres symétriques. 
« XVII. Deux pyramides triangulaires sont sembla'^ 
bleSj lorsqu'elles ont deux faces semblables cliacune 
à chacune, semblablement placées et également incli- 
nées entre elles. 

Ainsi, en supposant les angles ABC=:DEF, BAC fig^^s. 
=:EDF, ABS=DET,BAS=EDT, si en outre l'in- 
clinaison des plana ABS, ABC, est égale à celle de 

II. 



^64 6]éOMÉTRI1B. 

leurs homologues DT£^ DEF, les pyramides SABC, 
TDEF , seront semblables. 

XYIII. Ayant formé un triangle avec les sommets 
de trois angles pris sur une même face ou base d'un 
polyèdre ) on peut imaginer que les sommets des dif- 
férents angles solides du polyèdre , situés hors du 
plan de. cette base, soient ceux d'autant de pyramides 
triangulaires qui ont pour base commune le triangle 
désigné, et chacune de ces pyramides déterminera la 
position de chaque angle solide du polyèdre par rap- 
port à la base. Gela posé : 

Deux polyèdres sont semblables lorsqu*ayant des 
bases semblables , les sommets des angles solides ho- 
mologues , hors de ces bases , sont déterminés par des 
pyramides triangulaires semblables chacune à chacune. 
XIX. J'appellerai sommets Ôlmh polyèdre les points 
situés aux sommets de ses différents angles solides. 

N. B, Tous les polyèdres que nous considérons sont des polyèdres 
à angles saillants ou polyèdres convexes. Nous appelons ainsi ceux 
({ont la surface ne peut être rencontrée par une ligne droite en plo« 
de deux points. Dans ces sortes de polyèdres le plan prolongé d'une 
« race ne peut couper le solide ; il est donc impossible que le polyèdre 
soit en partie au-dessus du plan d*uue fiice, en partie au-dessous; il 
est tout entier d'un même c6té de ce plan. 

/ 

PROPOSITION PREMIÈRE. 



THÉOREMB. 



Deux polyèdres ne peuveni]avoir les mêmes 
sommets et en même nombre sans coïncider Vun 
avec Vautre. 

Car supposons Tun des polyèdres déjà construit , 
si on veut en construire un autre qui ait les mêmes 
sommets et en même nombre , il faudra que les pians 
de celui-ci ne passent pas tous par les mêmes points 



LITRB VI. X65 

que dans le premier ^ sans quoi ils ne différeraient 
pas l'un de Vautre : mais alors il est clair que quel- 
ques-uns des nouveaux plans, couperaient le premier 
polyèdre; il y aurait des sommets au-dessus de ces 
plans , et des sommets au-dessous , ce qui ne peut con- 
venir à un polyèdre convexe : donc , si deux polyèdres 
ont les mêmes sommets et en même nombre, ils 
doivent nécessairement coïncider lun si\ec l'autre. 

Scholie. Etant donnés de position les points Â, B, 
C, K, etc., qui doivent servir de sommets à un po- 
lyèdre, il est facile de décrire le polyèdre. 

Choisissez d abord trois points voisins D, E, H, ^S'^^^^- 
tels que le plan DEH passe, s'il y a lieu, par de nou- 
veaux points K, C, mais laisse tous les autres d'un 
même côté, tous au-dessus du plan ou tous au- 
dessous; le plan OEH ou DEHKC, ainsi déterminé, 
sera une face du solide. Suivant un de ses côtés EH , 
conduisez un plan que vous ferez tourner jusqu^à ce 
qu'il rencontre un nouveau sommet F , ou plusieurs 
à-Ia-fois F, I; vous aurez une seconde face qui sera 
FEH ou FEHI. Continuez ainsi en faisant passer des 
plans par les cotés trouvés jusqu'à ce que le solide 
soit terminé de toutes parts : ce solide sera le polyèdre 
demandé , car il n'y en a pas^deux qui puissent avoir 
les mêmes sommets. 

PROPOSITION.il. 

THÉORSMS. 

Dans deux polyèdres symétriques les faces 
homologues sont égales chacune à chacune j et 
V inclinaison de deux faces adjacentes , dans un 
de ces solides , est égale à V inclinaison des faces 
homologues dans Vautre. 

Soit ABCDE la base commune aux deux polyèdres, ^^* ^''^' 



l6S G£6ttiTRI8. 

soient M et N les sommets de deux angles^ iiolides 
quelconques de lun des polyèdres, M' et N' les som- 
mets homologues de l'autre polyèdre; il faudra, sui- 
vant la définition, que les droites MM', NN', soient 
perpendiculaires au plan ABC , et qu elles soient divi- 
sées en deux parties égales aux points met n on elles 
rencontrent ce plan. Cela posé, je dis que la distance 
MN est égale à M'N'. 

Car si on fait tourner le trapèze m M'N'/i autour 
de mn jusqu'à ce que son plan s'applique sur le plan 
mMNn; à cause des angles droits en m et en n^ le 
côté mM' tombera sur son égal wM, et tïN' sur «N; 
donc les deux trapèzes coïncideront, et on aura 
MN = M'N'. 

Soit P un troisième sommet du polyèdre supérieur, 
et P' son homologue dans l'autre, on aura de même 
MP=M'P' et NP=N'P'; donc le triangle MNP, 
qui joint trois sommets quelconques du polyèdre su" 
périeurj est égal au triangle M'N'P' qui joint les trois 
sommets homologues de V autre poljedre. 

Si parmi ces triangles on considère seulement ceux 
qui sont formés à la surface des polyèdres, on peut 
déjà conclure que les surfaces des deux polyèdres 
sont composées d'un même nombre de triangles égaux 
chacun à chacun. 

Je dis maintenant que si des triangles sont dans un 
même plan sur une surface et forment une même face 
polygone, les triangles homologues seront dans un 
même plan sur l'autre surface et formeront une face 
polygone égale. 

En effet, soient MPN, NPQ, deux triangles adja- 
cents qu'on suppose dans un même plan , et soient 
MT'N', N'P'Q', leurs homologues. On a l'angle 
MNPizzM'N'F, l'angle PNQ=:P'N'Q'; et si on 
joignait MQ et M'Q', le triangle MNQ serait égal à 
M'N'Q', ainsi on aurait l'angle MNQ = M'N'Q', 



LIVEB VI. 167 

Mais puisque MPNQ est un seul plan , on a Tangle 
MNQ=:MNP + PNQ; donc on aura aussi M'N'Q' 
==M'N'P' + P'N'Q'. Or, si les trois plans M'N'P\ 
P'N'Q^, M'N'Q', n^étaient pas confondus en un 
seul, ces trois plans formeraient un angle solide, et 
on aurait * l'angle M' N' Q' < M' N' P* + P' N ' Q' ; * 20. 5. 
donc , puisque cette condition n a pas lieu , les deux 
triangles M'N'P', P'N'Q', sont dans un même plan. 

Il suit de là que chaque face, soit triangulaire, soit 
polygone, dans un polyèdre , répond à une face égale 
dans Tautre, et qu'ainsi les deux polyèdres sont com- 
pris sous un même nombre de plans égaux, chacun à 
chacun. 

Il reste à prouver que Tinclinaison de deux faces 
adjacentes quelconques dans Tun des polyèdres est 
égale à rinclinaison des deux faces homologues dans 
l'autre. 

Soient MPN, NPQ, deux triangles formés sur 
Tarête commune NP dans les plans des deux faces 
adjacentes; soient M'P'N', N'P'Q', leurs homolo- 
gues; on peut concevoir en N un angle solide formé 




plans sont égaux chacun à chocuD; donc Fînclinaison 
des deux plans MNP, PNQ, est égale à celle de leurs 
homologues M'N'P', P'N'Q' *. 

Donc, dans les polyèdres. ^gip^j^H^^ Igf^J^es 
sont égales chacune à chaquç^^ç^^c^ H\^^,4e^^HÇv 
faces quelconques adjajj^nte? f «iH,,4^SA^o^d^^^;9j||^ 
entre eux la même ir^clinîfison.^^ glaiy ^^!^»^^ 
faces homologue^,^fJeJautré]soli4^ .,„,„j,.,,.l.ii.., 

Scholie, On peut ^ema 

de Fautré poPfidrc ; car si langl 

parles plans MNP, PNQ, QNR, etc., son liomolo- 




• M, 5. 



•?. ,p« 



j68 G£0M£TRIB. 

gue N' est formé par les plans M'N'F, P'N'Q', 
Q'N'R', etc. Ceux-ci paraissent disposés dans le 
même ordre que les autres; mais comme les deux 
angles solides sont dans une situation inverse Tun par 
rapport à l'autre, il s'ensuit que la disposition réelle 
des plans qui forment l'angle solide N' est l'inverse 
de celle qui a lieu dans l'angle homologue N. D'ail- 
leurs les inclinaisons des plans consécutifs sont égales 
dans l'un et dans l'autre angle solide; donc ces angles 
solides sont symétriques l'un de l'autre. Voyez le 
scholie de laprop. XXIII^ liv, V. 

Cette remarque prouve qu'un polyèdre quelconque 
ne peut a^oir qu^un seul polyèdre symétrique^ Car si on 
construisait sur une autre base un nouveau polyèdre 
symétrique au polyèdre donné, les angles solides 
de celui-ci seraient toujours symétriques des angles 
du polyèdre donné; donc ils seraient égaux à ceux 
du ^'polyèdre symétrique construit sur la première 
base. D'ailleurs les faces homologues seraient toujours 
égales; donc ces deux polyèdres symétriques cons- 
truits sui*une base ou sur une autre auraient les faces 
égales et les angles solides égaux ; donc ils coïncide- 
raient par la superposition , et ne feraient qu'un seul 
èrin^me polyèdre. 

nomnibrûi PROPOSITION III. 

THÉORfiMS. 



y^W^p^W^^imit égaux lorsqu'ils ont un 
ëHgl^kâlï'tk 'ei>fripm^'èntre trois plans égaux 
èKàoM^'W'bHahuW'^k m'^fablement placés. 
fiB-«o- ^^^Sl\iii'<^dÛi^Ki(m%''Mè'^^^ le pa. 

__11£1 AT»/ï»)llOÔlO'l1Uiii yll /« 7 ^ 




^/r<§^;ie uiBi ^que le pnsme.,4ttt.i ser^ çgaj au prismi 



LIVRE TI. 169 

Car soir posée la base ABGDE sur son égale abcdcy 
ces deux bases coïncideront : mais les trois angles 
plans qui forment Tangle solide B sont égaux aux 
trois angles plans qui forment langle solide b y cha- 
ain à chacun, savoir, ABC=&£cy ABG = a^^; et 
GBC=:^£<:;^ de plus ces angles sont semblablement 
placés : donc les angles solides B et ^ sont égaux, et 
par conséquent le côté BG tombera sur son égal bg. 
On voit aussi qu*à cause des parallélogrammes égaux 
ABGF, abgfy le côté GF tombera*sur son égal gfy 
et semblablement GH sur gk; donc la base supé- 
rieure FGHIK coïncideia entièrement avec son égale 
fghikj et les deux solides seront confondus en un 
seul, puisqu'ils auront les mêmes sommets \ 

Corollaire, Deux prismes droits qui ont des bases 
égales et des hauteurs égales sont égaux. Car ayant 
le côté AB égal k ab, et la hauteur BG égale à bg, le 
rectangle ABGF sera égal au rectangle abgf; il en 
sera de même des rectangles BGHC, bghc; ainsi les 
trois plans qui forment Tangle solide B sont égaux 
aux trois qui forment l'angle solide b. Donc les deux 
prismes sont égaux. 

PROPOSITION IV, 



THEOaBMB. 



s. 



Dans tout parallélipipede les plans opposés 
sont égaux et parallèles. 

Suivant la définition de ce solide, les bases ABCD, ^- ^' 
EFGH, sont des parallélogrammes égaux, et leurs 
côtés sont parallèles : il reste donc à démontrer que 
la même chose a lieu pour deux faces latérales oppo- 
sées, telles que AEHD, BFGC. Or, AD est égale et 
parallèle à BC, puisque la figure ABCD est un parai- 



I^O GEOMETRIE. 

lélogramme ; par une raison semblable AE est ëgale 
et parallèle à BF : donc l'angle DAE est égal à l'angle 
•i3, 5. CBF*, et le plan DÀE parallèle à CBF; donc aussi le - 
parallélogramme DAEH est égal au parallélogramme 
CBFG. On démontrera de même que les parallélo- 
grammes opposés ABFE, DCGH, sont égaux et pa- 
rallèles. 

Corollaire, Puisque le parallélîpipède est un solide 
compris sous six plans dont les opposés sont égaux et 
parallèles, il s'ensuit qu'une face quelconque et son 
opposée peuvent être prises pour les bases du paral- 
lélîpipède. 

Scholie, Etant données trois droites, AB, AE, AD, 
passant par un ydéâie point A, et faisant entré elles 
des angles donnés, on peut sur ces trois droites cons- • 
truire un parallélipipède ; il faut pour cela mener 
par l'extrémité de chaque droite un plan parallèle 
au plan des deux autres ; savoir , par le point B un 
plan parallèle à DAE, par le point D un plan paral- 
lèle à B AE , et par le point E un plan parallèle à B AD. 
Les rencontres mutuelles de ces plans formeront le 
parallélipipède demandé. 

PROPOSITION V, 

■ 

THEOREME. 

Dans tout parallélipipède les angles solides 
opposés sont symétriques Vun de Vautre ; et 
les diagonales menées par les soinmets de ces 
angles se coupent mutuellement en deux parties 
égales. 
fig. îo6. Comparons , par exemple , l'angle solide A à son 
opposé G; l'angle EAB, égal à EFB, est aussi égal à 
HGC, l'angle DAE = DHE=:CGF, et l'angle DAB 
: — DCB = HGF; donc les trois angles plans qui for- 



IiITRB VI, lyi 

ment l'angle solide A sont égaux aux trois qui forment 
langle solide G , chacun à chacun ; d'ailleurs il est 
facile de -voir que leur disposition est différente danS 
l'un et dans l'autre; donc i** les deux angles solides A 
et G sont symétriques lun de l'autre *. * «5» *• 

En second lieu, imaginons deux diagonales EG, 
AG, menées lune et lautre par des sommets opposés : 
puisque AE est égale et parallèle à CG , la figure AEGC 
est un parallélogramme; donc les diagonales EC,AG y 
se couperont mutuellement en deux parties égales. 
On démontrera de même que la diagonale EG et une 
autre DF se couperont aussi en deux parties égales; 
donc a^ les quatre diagonales se couperont mutuel- 
lement en deux parties égales , jtfnM un même point 
ïpion peut regarder comme le centre du paralléli* 
pipède. 

PROPOSITION VL 



THÉORBMB. 



Le plan BDHF , qui passe par deux arêtes «g. loy 
parallèles opposées BF, DH, dii^ise le parai- 
lélipipède AG en deux prismes triangulaires 
ABDHEF, GHFBCD, symétriques Tun de 
Vautre. 

D abord ces deux solides sont des prismes; caries 
triangles ABD , EFH , ayant leurs côtés égaux et paral- 
lèles , sont égaux , et en même temps les faces latérales 
ABFE, ADHE, BDHF, sont des parallélogrammes j 
donc le solide ABDHEF est un prisme : il en est ds 
même du solide GHFBCD. Je dis maintenant que cee 
deux prismes sont symétriques lun de l'autre. 

Sur la base ABD faites le prisme ABDE'F'H' que 
soit le symétrique du prisme ABDEFH. Suivant 
ce qui a été démontré *, le plan ABF'E' est égal à * a. 



I^a G£OM£TRl£. 

ABFE, et le plan ADH'E' est égal à ADHE; mais 
81 on compare le prisme GHFBCD au prisme 
ABDH'ET', la base GHF est égale à ABD ; le pa- 
rallélogramme GHDC, qui est égal à ABFE, est aussi 
égal à ABF'E', et le parallélogramme GFBC , qui 
est égal à ADHE, est aussi égal à ADH'E'; donc 
les trois plans qui forment Tangle solide G dans le 
prisme GHFBCD, sont égaux aux trois plans qui for^ 
ment langle solide A dans le prisme ABDH'E'F', 
chacun à chacun, d ailleurs ils sont disposés sem- 
*3- blablement; donc ces deux prismes sont égaux ^, 
et pourraient être superposés. Mais Tun d'eux 
ABDH'E'F' est symétrique du prisme ABDHEF; 
donc Tautre, GHFBCD, est aussi le symétrique de 
ABDHEF. 

PROPOSITION Vil. 

I< E M M S. 

fig. aoi. Dans tout prisme ABCI , les sections NOPQR 
STVX Y , faites par des plans parallèles , sont 
des polygones égaux. 

Car les côtés NO, ST, sont parallèles, comme étant 
les intersections de deux plans parallèles par un troi- 
sième plan ABGF; ces mêmes côtés NO, ST, sont 
compris entre les parallèles NS, OT, qui sont côtés 
du prisme; donc NO est égal à ST. Par une semblable 
raison les côtés OP, PQ, QR, etc., de la section 
NOPQR, sont égaux respectivement aux côtés TV, 
VX, XY, etc., de la section STVXY. D ailleurs les 
côtés égaux étant en même temps parallèles, il s*en- 
suit que les angles NOP, OPQ, etc. de la première 
. section , sont égaux respectivement aux angles STV, 
TVX, etc., de la seconde. Donc les deux sections 
NOPQR, STVXY , sont des polygones égaux. 






LIVRB TI. tji 

Corollaire, Toute section faite dans un prisme pa- 
rallèlement à sa base , est égale à cette base. ^ 

PROPOSITION VIII. 

THBOEBMB. 

Les deux prismes triangulaires symétriques fig.aoS. 
ABDHEF, BCDFGH, dans lesquels se décompose 
le parallélipipede AG, sont équivalents entre 
eux. 

Par les sommets B et F menez perpendiculairement 
au côté BF, les plans Badc^ FM^, qui rencontreront 
d'une part en a^ d, c , de l'autre en ^^ A, ^, les trois 
autres côtés AE, DH, CG, du même parallélipipede; 
les sections Bade, IPehgy seront des parallélogrammes 
égaux. Ces sections sont égales, parce qu'elles sont faites 
par des plans perpendiculaires à une même droite et 
par conséquent parallèles *; elles sont des parallélo- * 7* 
grammes, parce que deux côtés opposés d'une même 
section aB^dcy sont les intersectious de deux plans 
parallèles ABFE, DCGH, par un même plan. 

Par une raison semblable, la figure BœF est un 
parallélogramme , ainsi que les autres faces latérales 
BFg^c, cdhgy adlie, du solide BadcFehg; donc ce so- 
lide est un prisme * ; et ce prisme est droit , puisque ' ^' 
le côté BF est perpendiculaire au plan de la base. 

Cela posé, si par le plan^BFHD on divise le prisme 
droit BA eu deux prismes triangulaires droits aBdeFh, 
BdcYkg; je dis que le prisme triangulaire oblique 
ABDEFH,jsera équivalent au prisme triangulaire 
droit oBdeFh. 

En effet ces deux prismes ayant une partie com* 
nmne ÀBDAdF, il suffira de^prouver que les parties 
restantes, savoir, les solides BaAD^, F^EHA sont 
équivalents entre eux. 



1^4 GÉOHBTRIB. 

Or, à cause des parallélogrammes ABFE, oBFe^les 
côtés AE., ae^ égaux à leur parallèle BF, sont ëgaia . 
entre eux ; ainsi , en ôtant la partie commune A^ , il * 
restera Aa=ilÊ^. On prouvera de même que Dd=:Wi, 
Maintenant , pour opérer la superposition des deux 
solides BaADd^ FéEWi, plaçons la base Fe/i sur son 
égale Bad; alors le pointa tombant en a, et le point 
h eïidj les côtés aE, hH^ tomberont sur leurs égaux '_ 
aAj dD ^ puisqu'ils sont perpendiculaires au même 
plan Bad. Donc les deux solides dont il s'agit coïnci- 
deront entièrement l'un avec l'autre ; donc le prisme 
oblique BADFEH est équivalent au prisme droit 
BadFeh. 

On démontrera semblablement que le prisme obli* j 
que BDCFHG est équivalent au prisme droit BdcYhg. 
Mais les deux prismes droits BadFck, BdcYkg sont 
égaux entre eux , puisqu'ils ont même hauteur BF , 
et que leurs bases Bad^ Bdc sont moitiés d'un même 
*3 parallélogramme *. Donc les deux prismes triangu- 
*^'- laires BADFEH, BDCFHG , équivalents à des prismes 
égaux , sont équivalents entre eux. 

Corollaire, Tout prisme triangulaire ABDHEF est 
la moitié du parallélipipède AG , construit sur le 
même angle solide A, avec les mêmes arêtes AB, 
AD,AE. 

PROPOSITION IX. 

TBBO&ÊMB. 

t 

fig. aog. Si deux paralléUpipedes AG , AL , ont une 
base commune ABCD , et que leurs bases supé- 
rieures EFGH , IKLM , soient comprises dans un 
même plan et entre les mêmes parallèles F^K^ 
HL, ces deux paralléUpipedes seront équipa» 
lents entre eux. 



il peut arriver ivois cas, selon que El est plus 
grand , plus petit ou égal à EF ; mais la démonstration 
est la même pour tous : et d*abord je dis que le prisme 
triangulaire AEIDHM est ^al au prisme triangulaire 
BFKCGL. 

£n effet I puisque A£ est parallèle à BF et HE à 
GF, langle AEI^BFK, HEI=GFK, et HEA = 
GFB. De ces six angles les trois premiers forment 
Fangle solide E y les trois autres forment l'angle solide 
F; donc, puisque les angles plans sont égaux chacun 
à chacun, et semblablement disposés, il s'ensuit que 
les angles solides E et F sont égaux. Maintenant , si 
ou pose le prisme AEM sur le prisme BFL , et d abord 
la base AEI sur la base BFK, ces deux bases étant 
égales coïncideront; et puisque Tangle solide E est 
égal à l'angle solide F, le côte EH tombera sur son 
égal FG : il n'en faut pas davantage pour prouver que 
les deux prismes coïncideront dans toute leur éten- 
due; car la base AEI et l'arête EH déterminent le 
prisme AEM, comme la base BFK et l'arête FG dé- 
terminent le prisme BFL * : donc ces prismes sont *3. 
égaux. 

Mais si du solide AL on retranche le prisme AEM, 
il restera le parallélipipède AIL; et si du même so- 
lide AL on retianche le prisme BFL , il restera le 
parallélipipède AEG ; donc les deux parallélipipèdes 
AIL, AEG, sont équivalents entre eux. 

PROPOSITION X. 

THEOREME. 

Deua: parallélipipèdes de même base et de 
même hauteur sont équivalents entre eux. 
. Soit ABGD la base commune aux deux paralléli- fi«« *»«• 
pipèdes A6 , AL ; puisqu'ils ont même hauteur , leurs 
hases supérieures EFGH , IKLM , seront sur le même 



176 GiouitniiR. 

plan. De plus les côtés EF et AB sont égaux et paral- 
lèles , il en est de même de IK et AB ; donc EF est égal 
et parallèle à ÏK : par une raison semblable GF est 
égal et parallèle à LK. Soient prolongés les côtés EF, 
HG, ainsi que LK^ IM j jusqu'à ce que les uns et les 
autres forment par leurs intersections le parallèle- 
gramme NOPQ, il est clair que ce parallélogramme 
sera égal à chacune des bases EFGH, IRLM. Or si 
on imagine un troisième parallélipipède qui, avec la 
même base inférieure ABCD , ait pour base supérieure 
NOPQ, ce troisième paralléiipipède serait équivalent 
•9* ^^ paralléiipipède AG*, puisqu'ayant même base infé- 
rieure , les bases supérieures sont comprises dans un 
même plan et entre les parallèles GQ , FN. Par la niême 
raison ce troisième paralléiipipède serait (équivalent 
au paralléiipipède AL; donc les deux parallélipipèdes 
AG, AL, qui ont même base et même hauteur, sont 
équivalents entre eux. 

PROPOSITION XL 



A 



THEOREME. 



Tout paralléiipipède peut être changé ^ en un 
paralléiipipède rectangle équivalent qui aura 
même hauteur et une hase équivalente. 

fig. 910. Soit AG le paralléiipipède proposé; des points A, 
B, G , D, menez AI, BK, CL, DM, perpendiculaires 
au plan de la base, vous formerez ainsi le paralléiipi- 
pède AL équivalent au parallélipipe de AG , et dont les 
faces latérales AK , BL , etc. , seront des rectangles. Si 
donc la base ABCD est un rectangle, AL sera le paral- 
léiipipède rectangle équivalent au paralléiipipède pro- 
posé AG. Mais si ABCD n'est pas un rectangle, menez 

^* '*' AO et BN perpendiculaires sur CD, ensuite OQ et 
NP perpendiculaires sur la base, vous aurez le solide 
ABNOIKPQ qui sera un paralléiipipède rectangle: 



en efifet , par construction , la base ABNO et son op- 
posée IKPQ sont des rectangles; les faces latérales en 
sont aussi, puisque les arêtes AI, OQ, etc. , sont per- 
pendiculaires au plan de la base; donc le solide AP 
est un parallélipipède rectangle. Mais les deux parai» 
lélipipèdes AP, AL, peuvent être censés avoir même 
base ABKI et même hauteur AO : donc ils sont équi< 
valents; donc le parallélipipède AG, qu'on avait d^a- fig aïo. 
bord changé en un parallélipipède équivalent AL, se ** *''• 
trouve de nouveau changé en un parallélipipède rec* 
tangle équivalent AP, qui a la même hauteur AI, et 
dont la base ABNO est équivalente à la base ABCD. 

PROPOSITION XIL 

^ THÉORBME. 

Deux parallélipipèdes rectangles AG, AL, fig na. 
qui ont la même base ABCD^ sont entre eux 
comme leurs hauteurs A£, AI. 

Supposons d'abord que les hauteurs AE, AI, soient 
entre elles comme deux nombres entiers, par exemple, 
comme 1 5 est à 8. On divisera AE en i5 parties égales, 
dont AI contiendra 8, et par les points de division Xy 
y y z, etc., on mènera des plans parallèles à la base. 
Ces plans partageront le solide AG en i5 parallélipi- 
pèdes partiels qui seront tous égaux entre eux, comme 
ayant des bases égales et des hauteurs égales ; des bases 
égales, parce que toute section comme Ml KL, faite 
dans un prisme parallèlement à sa base ABCD, est égale . 
à cette base*; des hauteurs égales, parce que ces hau* * 7. 
teurs sont les divisions mêmes Ar, xj-^ xZj etc. Or, 
de ces i5 parallélipipèdes égaux, huit sont contenus 
dans AL ; donc le solide AG est au solide AL comme 
1 5 est à 8, ou en général comme la hauteur AE est à 
la hauteur AI. 

12 



X^^S GSOMSTRIB. 

En second lieu, si le rapport de AE à AI ne peut 
s exprimer en norabres y je dis qu'on n'en aura pas 
moins solid. AG : solîd. AL : : AE : Al. Car , si cette 
proportion n'a pas lieu, supposons qu'on ait sol, AG : 
soi. AL : : AE : AO. Divisez AE en parties égales dont 
chacune soit plus petite que 01, il y aura au moins 
un point de division m entre O et L Soit P le paraL- 
lélipipède qui a pour base AfiCD et pour hauteur 
Am; puisque les hauteurs AE, Ani sont entre elles 
comme deux nombres entiers, on aiira sol. AG : P : : 
AE : Am. Mais on a, par hypothèse, 5<?/. AG : sol. AL : : 
AE : AO ; de là résulte soL AL : P : : AO : Am. Mais AO 
est plus grand que Am; donc il faudrait, pour que la 
proportion eût lieu, que le solide AL fut plus grand 
que P. Or au contraire il est plus petit : donc il est 
impossible que le quatrième terme de la proportion 
sol. AG : soi. AL : : AE : Xy soit une ligne plus grande 
que AL Par un raisonnement semblable on démon- 
trerait que le quatrième terme ne peut être plus petit 
que AI ; donc il est égal à AI ^ donc les paraUélipipèdes 
rectangles de même base sont entre eux comme leurs 
hauteurs. 

PROPOSITION XIIL 

THEOREME. 

fig. 713. Deux paraUélipipèdes rectangles AG> AK, 
qui ont même hauteur AEy sont entre eux comme 
leurs ba^es ABCD , AMNO. 

Ayant placé les deux solides l'un à côté de l'autre^ 
comme la figure les représente, prolongez le plan 
ONKL, jusqu'à ce qu'il rencontre le plî^n DCGH sui- 
vant PQ, vous aurez un troisième paraliélipipède AQ, 
qu'on pourra comparer à chacun des paraUélipipèdes 
AG y AK, Les deux solides AG, AQ, ^yant même ba$« 



fiITEB VI. 179 

âEHD^ sont entre eux comme leurs hauteurs AO^ AB ; 
pareillement les deux solides AQ, AK, ayant même 
base AOLE, sont entre eux comme leurs hauteurs 
AD, AM. Ainsi on aura les deux proportions, 
sol. AG : sol. AQ :: AB : AO, 
sol. AQ : sol. AK :: AD : AM. 1 

Multipliant ces deux proportions par ordre , et omet* 
tant, dans le résultat, le multiplicateur commun sol. 
AQ, on aura, 

sol. AG : sol. AK :: AB x AD : AO x AM. 
Mais AB x AD représente la base ABGD, et AO X AM 
représente la base AMNO ; donc deux parallélipi* 
pèdes rectangles de même hauteur sont entre eu< 
comme leurs bases. * 

PROPOSITION XIV. 

TRiORÂMB. 

Deux paralléUpipedcs rectangles quelconques 
sont entre eux comme les produits de leurs hases 
par leurs hauteurs , ou comme les produits de 
leurs trois dimensions. 

Car ayant placé les deux solides AG, AZ, de ma- c^. «13 
nière que leurs surfaces aient l'angle commun BAE, 
prolongez les plans nécessaires pour former le troi- 
sième parallélipipède AK de même hauteur avec le 
parallélipipède AG. On aura, par la proposition pré* 
cédente, 

sol. AG : sol. AK :: ABCD : AMNO. 
Mais les deux parallélipipèdes AK , AZ, qui ont même 
base AMNO, sont entre eux comme leurs hauteurs 
AE, AX ; ainsi on a, 

sol. AK : sol. kSL :: AE : AX. 
Multipliant ces deux proportions par ordre, et om^X* 

la* 



l8o GÉOMBTAIB. 

tant, dans le résultat, le multiplicateur commun soL 
AK, on aura 

sol. AG : sol AZ : : ABCD x AE : AMNO x AX^ 
A la place des bases ABCD et AMNO, on peut mettre 
AB X AD et AO x AM , ce qui donnera , 

5o/.AG:5o/.AZ:: ABxADxAE.AOxAMxAX. 
Donc deux parallélipipèdes rectangles quelconques 
sont entre eux, etc. 

Scholie. Il suit de là qu on peut prendre pour me- 
sure d un parallélipipède. rectangle le produit de sa 
base par sa hauteur, ou le produit de ses trois dimen- 
sions. C'est sur ce principe que nous évaluerons tous 
les autres solides. 

Pour Fintelligence de cette mesure il faut se rap- 
peler qu'on entend par produit de deux ou de plu- 
sieurs lignes, le produit des nombres qui représentent 
ces lignes, et ces nombres dépendent de l'unité linéaire 
qu'on peut prendre à volonté : cela posé, le produit 
des trois dimensions d'un parallélipipède est un nom- 
bre qui ne signifie rien en lui-même, et qui serait 
différent si ou avait pris une autre unité linéaire. Mais 
si on multiplie de même les trois dimensions d'un autre 
parallélipipède , en les évaluant d'après la même unité 
linéaire, les deux produits seront entre eux comme 
les solides , et donneront l'idée de leur grandeur re- 
lative. 

La grandeur d'un solide , son volume ou son éten- 
due constituent ce qu'on appelle sa solidité^ et le mot 
de solidité est employé particulièrement pour désigner 
la mesure d'un solide : ainsi on dit que la solidité d'un 
parallélipipède rectangle est égale au produit de sa 
base par sa hauteur , ou au produit de ses trois di- 
mensions. 

Les trois dimensions du cube étant égales entre 
elles, si le côté est i, la solidité sera i x i + i,oui; 
si le côté est 2 ^ la solidité sera 2x^x2^ ou 8 ; si le 



LITRB TI. l8l 

côté est 3, la solidité sera 3 X 3 X 3, ou 27, et ainsi de 
suite; ainsi les côtés des cubes étant comme les nombres 
1,2,3, etc., les cubes eux-mêmes ou leurs solidités 
sont comme les nombres i, 8, 27, etc. De là vient qu'on 
appelle en arithmétique cube d'un nombre le produit 
qui résulte de trois facteurs égaux à ce nombre. 

Si on proposait de faire un cube double d'un cube 
donné , il faudrait que le côté du cube cherché fût au 
côté du cube donné comme la racine cube de 2 est à 
lunité. Or on trouve facilement, par une construc- 
tion géométrique, la racine quarrée de 2 ; mais on ne 
peut pas trouver de même sa racine cube, du moins 
par les simples opérations de la géométrie élémen- 
taire , lesquelles consistent à n'employer que des 
lignes droites dont on connaît deux points, et des 
cercles dont les centres et les rayons sont déterminés. 

A raison de cette difficulté le problème de la 
duplication du cube a été célèbre parmi les anciens 
géomètres, comme celui de la trisection de Pangle^ 
qui est à -peu-près du même ordre. Mais on connaît 
depuis long- temps les solutions dont ces sortes de 
problèmes sont susceptibles , lesquelles , quoique 
moins simples que les constructions de la géométrie 
élémentaire, ne sont cependant ni moins exactes 9 
ni moins rigoureuses. 

PROPOSITION XV. 

THEOREME. 

La solidité d*un parallélipipède y et en gé* 
néral la solidité d'un prisme quelconque ^ est 
égale au produit de sa hase par sa hauteur. 

Car I® un parallélipipède quelconque est équiva- 
lent à un parallélipipède rectangle de même hauteur 
et de base équivalente*. Or la solidité de celui-ci est *"- 



l82 GBOMXTRIB. 

égale à sa base multipliëe par sa hauteur; donc la 
solidité du premier est pareillement égale au produit 
de sa base par sa hauteur. 

2^ Tout prisme triangulaire est la moitié du paral- 
lélipipède construit de manière qu'il ait la même hau- 
* 8. teur et une base double*. Or la solidité de celui-ci est 
égale à sa base multipliée par sa hauteur ; donc celle 
du prisme triangulaire est égale au produit de sa base^ 
moitié de cejlle du parallélipipède , multipliée par sa 
hauteur. 

3^ Un prisme quelconque peut être partagé en au- 
tant de prismes triangulaires de même hauteur qu'on 
peut former de triangles dans le polygone qui lui sert 
de basé. Mais la solidité de chaque prisme triangulaire 
est égale à sa base multipliée par sa hauteur; et puis* 
que la hauteur est la même pour tous, il s'ensuit que 
la somme de tous les pi^ismes partiels sera égale à la 
somme de tous les triangles qui leur servent de bases^ 
multipliée par la hauteur commune. Donc la solidité 
d'un prisme polygonal quelconque est égale au pro- 
duit de sa base par sa hauteur. 

Corollaire» Si on compare deux prismes qui ont 
même hauteur, les produits des bases par les hau- 
teurs seront comme les bases ; donc deux prismes de 
même hauteur sont entrje eux comme leurs bases; par 
une raison semblable , deux prismes de mêm>e base sont 
entre eux comme leurs hauteurs, 

PROPOSITION XVI. 

IiE M M E. 

fig.ai4. Si une pyramide SABCDE est coupée par un 
'plan abd parallèle à sa base^ 

I * Les côtés S A , SB, SC, ....et la hauteur 80, se-- 
ront divisés proportionnellement en a, b, c,. . tf^o ; 
a* La section abcde sera un polygone sembla* 
ble à ta base ABCDE. 



' 



LITRE TI. l83 

. Car I® le< plans ABC, etbcy étant parallèles, leurs 
intersections AB, ab^ par un troisième plan SAB, 
seront parallèles*; donc les triangles SAB, Sab^ sont ^ft&* 
semblables, et on a la proportion SA : Sa : : SB : Sb; 
on aurait de même SB : S£ :: SC : S^, et ainsi de 
suite. Donc tous les côtés SA, SB, SC, etc., sont 
coupés proportionnellement en a, &, c, etc. La hau- 
teur SO est coupée dans la même proportion au 
point o; car BO et bo sont parallèles, et ainsi on a 
S0:&7::SB:S^. 

a<> Puisque ah est parallèle à AB, bc à BC, c^/ à 
CD, etc., l'angle aie = ABC, l'angle icJ = BCD, et 
ainsi de suite. De plus , à cause des triangles sembla- 
bles SAB, Sai, on a AB : a3 : : SB : S3 ; et à cause des 
triangles semblables SBC, Sic, on a SB : Si : : BC : bc; 
donc AB : abi: BC : bc; on aurait de même BC \ bc\: 
CD : cdy et ainsi de suite. Donc les polygones ABCDE, 
abcde^ ont les angles égaux chacun à chacun et les 
côtés homologues proportionnels ; donc ils sont sem- 
blables. 

CoroUabe. Soient SABCDE, SXYZ, deux pyra- 
mides dont le sommet est commun , et qui ont même 
hauteur, ou dont les bases sont situées dans un même 
plan; si on coupe ces pyramides par un même plan 
parallèle au plan àià^ bases, et quil en résulte les 
sections abcdcj xjz; je dis que les sections abcde, 
xyx , seront entre elles comme les bases ABCDE , XYZ. 

Car les polygones ABCDE, abcdcy étant semblables 9 
leurs surfaces sont comme les quarrés des cotés ho- 
mologues AB, ab; mais AB : ab :: SA : Sa; donc 

ABCDE : abcde : : SA : Sa. Par la même raison, XYZ : 

xjrz : : SX : Sx. liais puisque ahcayz n*est qu'un 
4oême plan, on a aussi SA : Sa :: SX : Sx\ donc 
ABCDE ; abcde :: XYZ : xjz; donc les sections aio^^^ 



l84 GÉOMÉTRIE. 

xjz , sont entre elles comme les bases ABGDE, XYZ. 
Donc si les bases ABGDE, XYZ sont équivalentes, les 
sections faites à égale hauteur sont pareillement 
équivalentes. 

PROPOSITION XVII. 



THÉORÈME. 



Deux pyramides triangulaires qui ont des ba^ 
ses équivalentes et des hauteurs égales^ sont 
équivalentes, 

%. 2i5. Soient SABC, sabc les deux pyramides dont les 
bases ABC , abc , que nous supposons placées sur un 
même plan^ sont équivalentes et qui ont même hau- 
teur TA ; si ces pyramides ne sont pas équivalentes , 
Soit sabc la plus petite et soit kx la hauteur d'un prisme 
qui étant construit sur la base ABC , serait égal à 
leur différence. 

Divisezla hauteur commune AT en parties égales plus 
petites que A.x , et soit k une de ces parties ; par les 
points de division de la hauteur, faites passer des 
plans parallèles au plan des bases ; les sections faites 
par chacun de ces plans dans les deux pyramides, seront 

*i6. équivalentes*, telles que DEF et def^ GHI et ghi^ etc. 
Cela posé, sur les triangles ABG, DEF, GHI, etc., pris 
pour bases, construisez des prismes extérieurs qu^ 
aient pour arêtes les parties AD, DG, GK, etc. du 
côté SA; de même sur les triangles def^ ghi^ klm etc. 
pris pour bases , construisez dans la seconde pyramide 
des prismes intérieurs qui aient pour arêtes les parties 
correspondantes du côté sa ; tous ces prismes partiels 
auront pour hauteur commune A*. 

La somme des prismes extérieurs de la pyramide* 
SABC est plus grande que cette pyramide, la somm^ 



cor. 



des prismes intérieurs de la pyramide sale est plus 
petite que cette pyramide; donc. par ces deux raisons 
la différence entre les deux sommes de prismes devra 
être plus grande que la différence entre les deux 
pyramides. 

Or à partir des bases ABC, abc^ le second prisme 
extérieur DEFG est équivalent au premier prisme 
intérieur defa^ puisque leurs bases DEF, def^ sont 
équivalentes et qu'ils ont une même hauteur k ; sont 
équivalents par la même raison le troisième prisme 
extérieur GHIK et le second intérieur ghid^ le qua- 
trième extérieur et le troisième intérieur, ainsi de 
suite jusqa^au dernier des uns et des autres. Donc 
tous les prismes extérieurs de la pyramide SABC, à 
l'exception du premier ABCD , ont leurs équivalents 
dans les prismes intérieurs de la pyramide 5^^^. Donc 
le prisme ABCD est la différence entre la somme des 
prismes extérieurs de la pyramide SABC et la somme 
des prismes intérieurs de la pyramide sabc ; mais la 
différence de ces deux sommes est plus grande que 
la différence des deux pyramides; donc il faudrait 
que le prisme ABCD fût plus grand que le prisme 
ABCX; or au contraire il est plus petit ^ puisqu'ils 
ont une même base ABC, et que la hauteur k du 
premier est moindre que la hauteur Kx du second* 
Donc Fhypothèse d'où Ton est parti ne saurait avoir 
lieu; donc les deux pyramides SABC, sabc^ de bases 
équivalentes et de hauteurs égales , sont équivalentes* 

PROPOSITION XVIII. 

THiOEBHE. 

Toute pyramide triangulaire est le tiers du 
prisme triangulaire de înéme base et de même 
hauteur. 

Soit SABC une^ pyramide triangulaire ^ ABGDES un % ^^^ 



l8d GBOMÉTRIB. 

prisme triangulaire de même base et de même hauteur^ 
je dis que la pyramide est le tiers du prisme. 

Retranchez du prisme la pyramide SABC , il restera 
le solide SAGDE, qu^on peut considérer comme une 
pyramide quadrangulaire dont le sommet est S et qui 
a pour base le parallélogramme ACDE; tirez la diago. 
naleCE et conduisez le planSCE qui partagera la py- 
ramide quadrangulaire en deux pyramides triangulaires 
SAGE SDCË. Ces deux pyramides ont pour hauteur 
commune la perpendiculaire abaissée du sommet S 
sur le plan ACDE ; elles ont des bases égales, puisque 
les triangles ACE , DCE^ sont les deux moitiés du même 
parallélogramme; donc les deux pyramides SACË| 
SDCE , sont équivalentes entre elles ; mais la pyramide 
SDCE et la pyramide SABC ont des bases égales ABC , 
DES; elles ont aussi même hauteur , car cette hauteur 
est la distance des plans parallèles ABC, DES. Donc 
les deux pyramides SABC, SDCE, sont équivalentes; 
mais on a démontré que la pyramide SDCË est équi- 
valente à la pyramide SACE ; donc les trois pyramides 
SABC , SDCË, SACE, qui composent le prisme ABD 
sont équivalentes entre elles. Donc la pyramide SABC 
est le tiers du prisme ABD qui a même base et 
même hauteur. 

Corollaire. La solidité d'une pyramide triangulaire 
est égale au tiers du produit de sa base par sa hauteur* 

PROPOSITION XIX. 

THÉORBMB. 

fig. ai4. Toute ppamide SABCDE a pour mesure le 
tiers du produit de sa base ABCDË pur sa hau- 
teur AO. 

Car en faisant passer les plans SEB , SEC ^ par les 



liXTBB ¥1. 187 

diagonales EB , £C , on divisera la pyramide poIygo-> 
nale SABCDE en plusieurs pyramides triangulaires 
qui auront toutes la même hauteur SO. Mais par le 
théorème précédent chacune de ces pyramides se 
mesure en multipliant chacune des bases AB£ , BCE, 
GDE , par le tiers de sa hauteur SO ; donc la somme 
des pyramides triangulaires , ou la pyramide polygo* 
Baie SABCDE , aura pour mesure la somme des tri« 
angles ABE, BCE, CDE , ou le polygone ABGDE, 
multiplié par -|^S0; donc toute pyramide a pour me» 
ittre le tiers du produit de sa base par sa hauteur. 

CoroUaire I. Toute pyramide est le tiers du prisme 
de même base et de même hauteur. 

Corollaire IL Deux pyramides de même hauteur 
sont entre elles comme leurs bases , et deux pyra* 
mides de même base sont entre elles comme leurs 
hauteurs. 

Scholie, On peut évaluer la solidité de tout corps 
polyèdre en le décomposant en pyramides, et cette 
décompositioii peut se faire de plusieurs manières: 
luie des plus simples est de faire passer les plans de 
dimioQ par le sommet d^un même angle solide ; alors 
on aura autant de pyramides partielles qull y a de 
faces dans le polyèdre , excepté celles qui forment 
l'angle solide d^oii partent les plans de division. 

PROPOSITION XX. 

THBOaâME. 

Deux polyèdres sjrmmétriques sont équivalents 
^ntreeux ou égaux en solidité. 

V 

Car i^ deux pyramides triangulaircb syiiimétriques^ 1%. ^ao. 
^Ie3 que SABC , TABC , ont pour mesure commune 



l88 6B0MBT&IB. 

le produit de la base ABC par le tiers de la hauteur 
SO ou TO; donc ces pyramides sont équivalentes 
entre elles. 

^ Si on partage d'une manière quelconque l'un des 
polyèdres symmétriques en pyramides triangulaires, 
on pourra partager de même l'autre polyèdre en py- 
ramides triangulaires symmétriques ; or les pyramides 
triangulaires symmétriques sont équivalentes chacune 
à chacune ; donc les polyèdres entiers seront équiva- 
lents entre eux ou égaux en solidité. 

Scholie. Cette proposition semblait résulter immé- 
diatement de la proposition II , où Ton a fait voir que 
dans deux polyèdres symmétriques, toutes les partie^ 
constituantes dun solide sont égales aux parties cons- 
tituantes de l'autre; mais il n'en était pas moins né- 
ce3saire de la démontrer d'une manière rigoureuse. 

PROPOSITION XXI. 

THEOREME. 

Si une pyramide est coupée par un plan pa- 
rallèle à sa base^ le tronc qui reste en ôtant la 
petite pyramide y est égal à la somme de trois 
pyramides qui auraient pour hauteur commune 
la hauteur du tronc , et dont les bases seraient 
la base inférieure du tronc ^ sa base supérieure y 
et une moyenne proportiormelle entre ce^ deux 
bases. 

fig. ai7é g^ji- ^BCDE une pyramide coupée par le plan abd 
parallèle à la base; soit TFGH une pyramide triangu- 
laire dont la base et la hauteur soient égales ou équi- 
valentes à celles de la pyramide SABCDE. On peut 
supposer les deux bases situées sur un même plan ; et 
alors le plan aid^ prolongé, déterminera dans la py- 



IiIVRE TI. 189 

, ramide triangulaire une section^A , située à la même 
buteur au-dessus du plan commun des bases : d'où 
3 résulte que la sectiony^Â est à la section o^âf comme 
h base FGH est à la base ABD * ; et puisque les bases * >^* 
sont équivalentes, les sections le seront aussi. Les py- 
ramides Saècdej T/gh^ sont donc équivalentes, puis- 
qu'elles ont même hauteur et des bases équivalentes, 
les pyramides entières SÂBCDE , TFGH , sont équi* 

f^ valentespar la même raison ; donc les troncs ARDdaèj 
ÎGHkfg^ sont équivalents , et par conséquent il suf- 
fira de démontrer la proposition énoncée , pour le seul 
cas du tronc de pyramide triangulaire. 

Soit ¥GH.h/g un tronc de pyramide triangulaire ^6- *-*• 
à bases parallèles : par les trois points F, ^, H, con- 
duisez le plan F^H , qui retranchera du tronc la py- 
ramide triangulaire gFGH, Cette pyramide a pour base 
la base inférieure FGH du tronc , elle a aussi pour 
hauteur la hauteur du tronc , puisque le sommet g 
est dans le plan de la base supérieure ^A. 

Après avoir retranché cette pyramide , il restera la 
pyramide quadrangulaire g/AHF, dont le sommet est 
: ^ et la baseyAHF. Par les trois points y*, g^Hy con- 
duisez le plan^H, qui partagera la pyramide qua- 
drangulaire en deux triangulaires ^F/H , g/hli. Cette 
dernière a pour base la base supérieure g/ A du tronc^ 
et pour hauteur la hauteur du tronc , puisque son 
sommet H appartient à la base inférieure : ainsi nous 
avons déjà deux des trois pyramides qui doivent com- 
poser le tronc. 

H reste à considérer la troisième gF/H: or, si on 
mène ^K parallèle à^F, et qu'on imagine une nou- 
velle pyramideyFHK , dont le sommet est K et la base 
^H , ces deux pyramides auront même base ï/H ; 
elles auront aussi même hauteur , puisque les sommets 
^et K sont situés sur une ligne ^K parallèle à F/, et 
, par conséquent parallèle au plan de la base ; donc ce 



IpO GBOMSTRIS. 

pyramides 5ont équivalentes, MaU la pyramide yFKH 
peut être considérée comme ayant son sommet en/^ 
et ainsi elle aura même hauteur que le tronc ; quant 
à sa base FKH , je dis qu elle est moyenne proportion^ 
nelle entre les bases FGE. ^/gh. En effet les triangles 
FHKjj^A, ont un angle égal F=:/, et un côté égal 
* «4,3. TKrrz/g; on a donc* FHKi/gh :: FH :/h. On a aussi 
FHG : FHK : : FG : FR ou fg. Mais les triangles sem^ 
blables FGH, fgh^ donnent ¥G:fg::¥lli/h; donc 
FGH :FHK: : FHK :/gh; et ainsi la base FHK est 
moyenne proportionnelle entre les deux bases FGH| 
fgk. Donc un tronc de pyramide triangulaire, à basas ] 
parallèles, équivaut à trois pyramides qui ont pour 
hauteur commune la hauteur du tronc, et dont lei 
bases sont la base inférieure du tronc , sa base supé«t 
rieure, et une moyenne proportionnelle entre c«| 
deux bases. 

PROPOSITION XXIL \ 

I 
I 

THBO&BMB. 

I 

fig.2i6. Si on coupe un prisme triangulaire dont ABC 
est la base y par un plan DES incliné à cette 
basey le solide ABC DES, qui résulte de cette 
section y sera égal à la somme de trois pjrramidei 
dont les sommets sont D , E , S , ef /a base corn* 
mune ABC 

Par les trois points S, A, G, faites passer le plan 
SAC, qui retranchera du prisme tronqué ABCDES la ; 
pyi^mide triangulaire SABG : cette pyramide a pour 
base ABC et pour sommet le point S. 

Apres avoir retranché cette pyramide , il restera la 
pyramide quadrangulaire SACDË, dont S est le aom* , 
met, et ACDË la base. Par les trois points S £ , G| 



LZVAB VI. 191 

menez encore un plan SEG^ qui divisera la pyra- 
mide quadrangulaire en deux pyramides triangu^ireff 
SAGE, SCDE. 

La pyramide SÂEC, qui a pour base le triangle 
AEG et pour sommet le point S, est équivalente à une 
pyramide EABC, qui aurait pour base AEG et pour 
sommet le point B. Gar ces deux pyramides ont même 
base; elles ont aussi même hauteur, puisque la ligne 
BS, étant parallèle à chacune des lignes A£, GD, est 
parallèle à leur plan ACE; donc la pyramide SAEG 
est équivalente à la pyramide E ABG y laquelle peut 
être considérée comme ayant pour base ABG et pour 
sommet le point E. 

La troisième pyramide S G DE peut être changée 
d'abord en ASCD; car ces deux pyramides ont la 
même base SGD; elles ont aussi la même hauteur, 
puisque AE est parallèle au plan SGD ; donc la pyra- 
mide SCDE est équivalente à ASGD. Ensuite la py- 
ramide ASGD peut être changée en ABGD , car ces 
deux pyramides ont la base commune ACD ; elles ont 
aussi la même hauteur, puisque leurs sommets S et B 
sont situés sur une parallèle au plan de la base. Donc 
la pyramide SGDE', équivalente à ASGD, est aussi 
équivalente à ABGD; or, celle*ci peut être regardée 
comme ayant pour base ABG et pour sommet le 
point D. 

Donc enfin le prisme tronqué ABCDES est égal à 
la somme de trois pyramides qui ont pour base corn** 
mune ABG, et dont les sommets sont respectivement 
les points D , E , S. 

Corollaire. Si les arêtes AE, BS, GD, sont perpen- 
diculaires au plan de la base , elles seront en même 
temps les hauteurs des ti'ois pyramides qui composent 
'e prisme tronqué ; de sorte que la solidité du prisme 
tronqué sera exprimée par 3^ ABG xAE+f ABC xBS 



ipa GBOMETRIB. 

+ T ABC X CD , quantité qui se réduit à }ABC X (AE+ 
BS + CD), 

PROPOSITION XXIII. 

THÉOaÂME. 

Deux pyramides triangulaires semblables ont 
les faces homologues semblables y et les angles 
solides homologues égaux. 

Suivant la définition, les deux pyramides triangu- 
laires SABG, TDEF, sont semblables, si les deux tri- 
fig. ao3. angles SÂB, ÂBC, sont semblables aux deux TDE, i 
DEF , et semblablement placés , c est-à-dire , si Ion a \ 
l'angle ABS=DET, BAS=EDT, ABC == DEF, -BAC 
= EDF, et si en outre Finclinaison des plans SAB, 
ABC, est égale à celle des plans TDE , DEF : cela | 
posé, je dis que ces pyramides ont toutes les faces \ 
semblables chacune à chacune , et les angles solides | 
homologues égaux. 

Prenez BG=ED, BH=:EF, BI=ET, et joignez 
6H , GI , IH. La pyramide TDEF est égale à la pyra- 
mide I6BH; car ayant pris les côtés GB, BH, égaux 
aux côtés DE, EF, et Tangle GBH étant, par hypo- 
thèse, égal à langle DEF, le triangle GBH est égal 
à DEF ; donc , pour opérer la superposition des deux 
pyramides, on peut d abord placer la base DEF sur 
son égale GBH ; ensuite , puisque le plan DTE est in- 
cliné sur DEF autant que le plan SAB sur ABC, il est 
clair que le plan DET tombera indéfiniment sur le 
plan ABS. Mais, par hypothèse, l'angle DET = GBI, 
donc ET tombera sur son égale BI ; et puisque les 
quatre points D, £, F, T, coïncident avec les quatre 
♦ , G, B, H, I, il s ensuit* que la pyramide TDEF coïn- 
cide avec la pyramide IGBH. 



LIVRB Vt. 1(^3 

Or, à cause des triangles égaux DEF, GBH, on a 
l'angle BGH = EDF = BAC ; donc GH est parallèle à 
AC. Par une raison semblable GI est parallèle à AS ; 
donc le plan IGH est parallèle à SAC^ De là il suit *i3, 5. 
que le triangle IGH, ou son égal TDF, est semblable 
à SAC *, et que le triangle IBH , ou son égal TEF , est ♦ iS. 
semblable à SBC ; donc les deux pyramides triangu- 
laires semblables SABC, TDEF, ont les quatre faces 
semblables chacune à chacune : de plus elles ont les 
angles solides homologues égaux. 

Car on a déjà placé Faugle solide E sur son homo. 
logue B, et on pourrait faire de même pour deux autres 
angles solides homologues ; mais on voit immédiate- 
ment que deux angles solides homologues sont égaux, 
par exemple , les angles T et S, parce qu'ils sont for* 
niés par trois angles plans égaux chacun à chacun , 
et semblablement placés. 

DoTic, deux pyramides triangulaires semblables ont 
les faces homologues semblables et les angles solides 
homologues égaux. 

Corollaire I. Les triangles semblables dans les deux 
pyramides fournissent les proportions AB:DE::BC: 
EF :: AG : DF : : AS : DT :: SB : TE : : SC :TF; donc, 
dans les pyramides triangulaires semblables^ les côtés 
homologues sont proportionnels. 

II. Et puisque les angles solides homologues sont 
égaux, il s'ensuit que r inclinaison de deuxjaces quel* 
conques d^une pyramide est égale a Finclinaison des 
deuxjaces homologues de la pyramide semblable. 

III. Si on coupe la pyramide triangulaire SABG 
par un plan GIH parallèle à Tune des faces SAC, la 
pyramide partielle BGIH sera semblable à la pyramide 
entière BASC : car les triangles BGI, BGH, sont sem- 
blables aux triangles BAS, BAC, chacun à chacun, 

et semblablement placés ; Tinclinaison de leurs plans 

i3 



i* 



tQ4 ciOMéTftlB. 

est la même de part e% d'autre ^ donc Itê deux pyra. 
mides sont semblables. 

%• a 14. IV. En général, si on eoupe une pyramide qael^ 
conque SABGDË par un plan abc de parallèle a la 
base y la pyramide partielle Sabcde sera semblable h 
la pyramide entière SABCDE. Car les bases 4BCDE , 
ahçde^ sont semblables, et en joignant AC, o^?, on 
vient de prouver que la pyramide triangulaire SABC 
est semblable à 1^ pyramide ^ahc ; donc le point S est 
déterminé par rapport à la base ABC conpime le point 

Méf.iS. S Test par rapport à la base ahe^ \ donc les deux py- 
ramides BABCDp!, %abcde^ sont sembbbles. 

Sckolie, Au lieu des cinq données requises par la dé» 
finition pour que deux pyramides triangulaires soient 
semblables, on pourrait en substituer cinq autres, 
suivant différentes combinaisons , et il en résulterait 
autant de théorèmes, parmi lesquels on peut distin- 
guer celui-ci : Deux pyramides triangulaires sont sem,* 
blables lorsqu'elles ont les côtés homologues propor^ 
tiofinels. 

fig. ao3. C^r, iji on a les proportions AB:DE :: BC:EF :: AC 
:DF: : AS : DT .: SB : TE:: SC :TF, ce qui renferme 
cinq conditions, les triangles ABS , ABC , seront sem- 
blables aux triangles DET, DEF, et serablablement 
placés. On aura aussi le triangle SBC semblable à 
TEP ; donc les trois angles plans qui forment l'angle 
solide B , seront égaux aux angles plans qui forment 
Tangle solide E, chacun à chacun ; d'où il suit que 
riijclinaison des plans SAB , ABC , est égale à celle de 
leurs homologues TDE , DEF , et qu'ainsi les deux 
pyramides sont semblables. 

PROPOSITION XXIV. 



THEOREME. 



Deux polyèdres semblables ont les faces ho- 
molpgUf^ semblables j et les arigles solides homo- 
logues égaux. 



Soit ABGDE la base d'un polyèdre ; soient M et N ^^' *'9- 
les sommets de deux angles solides, hors de cette base, 
détenQiiiés par les pyramides triangulaires MA.J)C , 
NABG , dont la base commune est ABC ; soient dans . 
Tautre polyèdre, abcde la base homologue ou sem- 
blable à ABGDE j m et n les sommets homologues i 
M et N , déterminés par les pyramides mafjc , nabc 
semblables aux pyramides MABC , NABG i je dis 
d abord que les distances MN, tmi^ sont proportion* 
nelles aiix côtés homologues AB, ab. 

]£r^ eilet, les pyramides MABG, mabc^ étant sem- 
blables, Tinclinaisou des plans MAC, BAC, est égale 
à celle des plans mac^ bac\ pareillement les pyramides 
NABG, nabc^ étant semblables, rinclinaison des plans 
NAG , BAC , est égale à celle des plans nac , bac : donc 
si on retranche les premières inclinaisons ^Xe^t dei- 
nières, il restera Tinclinaison des plans NAC, MAC 
égale à celle des plans nac^ mac. Mais, à cause de \\ 
similitude des mêmes pyramides , le triangle MAC est 
semblable à nuic^ et le triangle NAC est semblable à 
Tuic : donc les deux pyramides triangulaires MNAC 
mriaCy ont deux faces semblables chacune à chacune, 
semblablement placées et également inclinées entre 
elles; donc ces pyramides sont semblables*, et leurs 
c6tés homologues donnent la proportion MN : mn :: 
AM : am. D'ailleurs AM : am \\hXS\ab\ donc MN : ma 
: : AB : a . 

Soient P et /? deux autres sommets homologues de 
mêmes polyèdres, et on aura semblablement PN:/7/2 
:; AB:a*, VW'.pm :: AB: ai. Donc MN : mn .: PN \pn 
:: PM ipnu Ponc le triangle PNM qui joint trois som-- 
mets qu^elconques (fun polyèdre est semblable au tri'- 
angle pn^i qid joint les trois sommets homologues de 
l*(iHtre polyèdre. 

Soiept encore Q et ^ deux sommets homplogues, et 
le triangle PQN sera semblabli^ à pqn. Je dis de plus 

i3. 



ai. 



I()6 GÉOMÉTRIE. 

que rînclinaîson des plans PQN, PMN, est égale à 
celle Jes plans pqriy pmn. 

Car si on joint QM et ym, on aura toujours le tri- 
angle QNM semblable a qurn, et par conséquent l'angle 
QNM égal à qnm. Concevez en N un angle solide for- 
mé par les trois angles plans QNM, QNP, PNM, et 
en n un angle solide formé par les trois angles plans 
qnin^ qnp^pnm\ puisque ces angles plans sont égaux 
chacun à chacun , il s'ensuit que les angles solides sont 
gaux. Donc l'inclinaison des deux plans PNQ, PNM , 
est égale à celle de leurs homoiognes pnq ^ pnni] dope, 
si les deux triangles PNQ, PNM, étaient dans un 
même plan, auquel cas on aurait l'angle QNM = QNP 
+ PNM, on aurait aussi langle qnmz=zqnp-\-pnm^ et 
les deux triangles qnp^pnni^ seraient aussi dans un 
même plan. 

Tout ce qui vient d'être démontré a lieu, quels 
que soient les angles M, N, P, Q, comparés à leurs 
homologues m, n^p^ q. 

Supposons maintenant que la surface de Fûn des 
polyèdres soit partagée en triangles ABC , ACD , 
MNP , NPQ , etc. , on voit que la surface de lautre 
polyèdre contiendra un pareil nombre de triangles 
ahc^ acd ^ mnp^ npq^ etc., semblables et semblable- 
ment placés ; et si plusieurs triangles, comme MPN, 
NPQ, etc., appartiennent à une même face et sont 
dans un même plan , leurs homologues mpn , npq , etc., 
seront pareillement dans un même plan. Donc toute 
face polygone dans un polyèdre répondra à une face 
polygone semblable dans l'autre polyèdre ; donc les 
deux polyèdres seront compris sous un même nombre 
de plans semblables et semblablement placés. Je dis de 
plus que les angles solides homologues seront égaux. 

Car, si langle solide N, par exemple, est formé 
par les angles plans QNP, PNM, MNR, QNR, l'an- 
gle solide homologue n sera formé par les angles 



IiIVR£ VI. 193^ 

plans qnp^ pnm^ mnr^ qnr. Or, ces angles plans sont 
égaux chacun à chacun , et Tinclinaison de deux plans 
adjacents est égale à celle de leurs homologues ; donc 
les deux angles solides sont égaux, comme pouvant 
être superposés. 

Donc enfin deux polyèdres semblables ont les faces 
homologues semblables et les angles solides homo- 
logues égaux. 

Corollaire» Il suit de la démonstration précédente 
que si j avec quatre sommets d un polyèdre , on forme 
une pyramide triangulaire , et qu'on en forme une 
seconde avec les quatre sommets homologues d'un 
polyèdre semblable, ces deux pyramides seront sem- 
blables ; car elles auront les càtés homologues pro- 
portionnels *. *ai,«cb 

On voit en même temps que deux diagonales ho- 
mologues*, par exemple, AN, an^ sont entre elles *f7, a. 
comme deux côtés homologues AB , ab. 

PROPOSITION XXV. 

THBORBHB. 

Deux polyèdres semblables peuvent se parta- 
ger en un même nombre de pyramides triangu- 
laires semblables chacune à chacune , et sem- 
blablement placées. 

Car on a déjà vu que les surfaces de deux polyè- 
dres peuvent se partager^ en un même nombre de 
triangles semblables chacun à chacun , et semblable- 
ment placés. Considérez tous les triangles dun po- 
lyèdre, excepté ceux qui forment langle solide A, 
comme les bases d'autant de pyramides triangulaires 
dont le sommet est en A ; ces pyramides prises en. 
semble composeront le polyèdre : partagez de même 
l'autre polyèdre en pyramides qui aient pour sommet 



ip8 GBOMÉTRIB. 

commun celuî de l'angle a homologue jlA; il est clair 
que la pyramide qui joint quatre sommets d'un po- 
lyèdre sera semblable à la pyramide qui joint lés qua- 
tre sommets homologues de l'autre poljrèdre. Dofie 
deux polyèdres semblables, etc. 

PROPOSITION XXVI. 

THÉOR^MB. - 

Deux pyramides semblables sont entre elles 
comme les cubes des côtés homologues. 

fi/. ai4. Car deux pyramides étant semblables , la plus petite 
pourra être placée dans la plus grande, de manière 
qu'elles aient langle solide S commun. Alors les bases 
ÂBCDE^ abcde^ seront parallèles; car^ puisque les 
♦aa. faces homologues soi\t semblables*, langle Sab est 
égal à SAB, ainsi que Sbc à SBC; donc le plan ahc 

*i3, 5. est parallèle au plan ABC*. Cela posé, soit SO la 
perpendiculaire abaissée du sommet S sur le plan 
ABC, et soit o le point où cette perpendiculaire ren- 
contre le plan abc ; oii aura, suivant ce qui a été. déjà 

* i5. démontré * , SO : So : : SA iSaw AB :ab\ et par consé- 
quent, 

^SO;jSo:: ÀSiab. 

Mais les bases hRCO^^ abcde^ étant des figures sem- 
blables, on a, 

ABCDE : abcde :: Âb': ab*. 
Multipliant ces deux proportions terme à terme , il en 
résultera la proportion , 

ABCDE X iSO : abcde X jSd? : : Ab': ab\ 

or, ABCDEXjSO est la solidité de la pyramide 
* lîJ. SABCDE*, et abcdeX-,^o est celle de la pyramide 
Sabcde ; donc deux pyramides semblables sont entre 
elles comme les cubes de leurs côtés homologues. 



V 



LIVRE TI. tgff 

PROPOSITION XXVII. 

THBOBBMS. 

Deux polyèdres semblables sont entre eux 
comme les Cubés des ûôtés homologues. 

Car deux polyèdres semblables peuvent être par- fig. 919. 
tagés en un même nombre de pyramides triangulaires 
semblables chacune à chacune*. Or, les deux pyra- * a3. 
mides semblables APNM, apnm, sont entre elles 
comme les cubes des cotés homologues AM , am , ou 
comme les cubes des côtés homologues AB, ab. Le 
même rapport aura lieu entre deux autres pyramides 
homologues quelconques; donc la somme de toutes 
les pyramides qui composent un polyèdre, ou le po* 
lyèdre lui-même, est à l'autre polyèdre, comme le 
cube d'un côté quelconque du premier est au cube 
du côté homologue du second. 

Scholie général. 

On peut présenter en termes algébriques , c'est-à- 
dire, de la manière la plus succincte, la récapitidation 
des principales propositions de ce livre concernant les 
solidités des polyèdres. 

Soit B la base d'un prisme, H sa hauteur; la soli- 
dité du prisme sera B x H ou BH. 

Soit B la base d'une pyramide, H sa hauteur; la 
solidité de la pyramide sera BXjH, ou Hx^B, ou 
îBH. 

Soit H la hauteur d'un tronc de pyramide à bases 

parallèles , soient A et B ses bases ; i/AB sera la 
moyenne proportionnelle entre elles, et la solidité du 

tronc sera y H x (A + B + W^ AB.) 



200 GEOMETRIE. 

Soit B la I>ase d'un tronc de pri$me triangulaire 
H, H\ H", les hauteurs de ses trois sommets supé« 
rieurs, la solidité du prisme tronqué sera -jB X (H + 
H' M- H"). 

Soient enfin V et p les solidités de deux polyèdres 
semblables, A et a deux côtés ou deux diagonales 
homologues de ces polyèdres, on'aura "P :p :: A^ : a. 



LIVRE VIL 



LA SPHERE. 



DEFINITIONS. 



L xjA sphère est un solide terminé par une surface 
courbe, dont tous les points sont également distants 
d'un point intérieur qu'on appelle centre. 

On peut imaginer que la sphère est produite par fig.aia 
la révolution du demi-cercle DAE autour du diamètre 
DE : car la surface décrite dans ce mouvement par la 
courbe DAË aura tous ses points à égales distances 
du centre G. 

U. Le rayvn de la spfùre est une ligne droite me- 
née du centre à un point de la surface ; le diamètre 
ou axe est une ligne passant par Je centre , et termi- 
née de part et d'autre à la surface. 

Tous les rayons de la sphère sont égaux ; tous les 
; diamètres sont égaux et doubles du rayon. 

III. n sera démontré * que toute section de la * ?'• '• 
sphère, faite par un plan , est un cercle : cela posé, 
on appelle grand cercle la section qui passe par le 
centre , petit cercle celle qui n y passe pas. 

IV. Un plan est tangent à la sphère lorsqu'il n a 
qu'un point commun avec sa surface. 

V. Le pôle d^un cercle de la sphère est un point 
de la surface également éloigné de tous les points de 
la circonférence de ce cercle. On fera voir* que tout *pf*6- 
cercle, grand ou petit, a toujours deux pôles. 

VI. Triangle sphérique est une partie de la surface 
de la sphère comprise par trois arcs de grands cercles. 



âOa GÉOMÉTRIE* 

Ces arcs, qui s appellent les côtes du triangle, son 
toujours supposé! plus petits que la demi-circonfé- 
rence. Les angles que leurs plans font enti'e eux sont 
les angles du triangle. 

VII. Un triangle sphérique prend le nom de rec^ 
t angle ^ isoscèl^^ équUatéralj dans les mêmes cas qu'un 
^riangle rectiligne. 

VIII. Polygone sphérique est une partie de la sur- 
face de la sphère terminée par plusieurs arcs de grands 
cercles. 

IX. Puseau est la partie de la surface de la Sphère 
comprise entre deux demi-grands cercles ^ui se ter- 
minent à un diamètre commun. 

X. J'appellerai coin ou onglet sphérique la pattie du 
solide de la sphère comprise entre les mêmes demi- 
grands cercles , et à laquelle le fuseau sert de i>ase. 

XI. Pyramide sphérique est la partie du solide de 
la sphère comprise, entre les plans d'un angle solide 
dont le sommet est au centre. La base de là pyramide 
est le polygone sphérique intercepté par les mêmes 
plans. 

XII. On appelle zone la partie de la surface de la 
sphère comprise entre deux plans parallèles qui en 
sont les bases. L'un de ces plans peut être tangent à la 
sphère , alors la zone n a qu'une base. 

XIII. Segment sphérique est la portion du solide 
de la sphère comprise entre deux plans parallèles qui 
en sont les bases^ 

L'un de ces plans peut être tangent à la sphère^ 
alors le segment sphérique n'a qu'une base. 

fig. 2ao. XIV. La hauteur d*wie zone ou (Tun segment est 
la distance des deux plans parallèles qui sont les 
bases de la zone ou du segment. 

XV. Tandis que le demi-cercle DAE tournant au- 
tour du diamètre DE décrit la sphère , tout secteul* 



dmikire^ comme DGF ou FCH, décrit uti 5olidi< 
qa'on appelle secteur sphérique. 

PROPOSITION PREMIERE. 
tébobAkb. 

Tbfife section de la sphère ^ fuite par unplarij 
est un cercle. 

Soit AMB la Section faite par un plan datis la sphère ^ **<• 
dont lé centre est C. Du poitit G menël la perpendi- 
culaire GO sur le plan AMB, et différentes Hghes GM, 
CM, à difTérents points de la courbe AMB qui terinine 
r la section. 

Les obliques GM, GM, GB, sont égales , puisqu'elles 
sont des layons de la sphère , elles sont donc égale- 
ment éloignc?es de la perpendiculaire CO* ; donc toutes * ^» ^' 
les lignes OM, OM, OB, sont égales; donc la sectioii 
AMB est un cercle dont le point O est le centre. 

Cofvlktire I. Si la section passe par le cetitre de la 
sphère, son rayon sera le rayon de la sphère; donc 
tous les grands cercles sont égaux entre eux. 

II. Détix grands cercles se coupent toujours en deux 
parties égales; car leur intersection commune, pas- 
sant par le centre, est un diamètre. 

III. Tout grand cerclé divise la sphère et sa surface 
en deux parties égales ; car si , après avoir séparé les 

l^deux hémîsphètjss , on leA slpplique sur la base com- 
mune en tournant leur convexité du même côté , les 
deux surfaces coïncideront l'une avec l'autre , sans 
-quoi il y aurait des points plus près du centre les uns 
que les autres. 

IV. Le centre d'un petit cercle et celui de la sphère fig. aai. 
sont sur une même droite perpendicidaire au plan du 

petit cercle. 
T> Les petits cercles sont d^autant plus petits qu'ils 



ao4 GÉOMÉTRIE. 

sont plus éloignés du centre de la sphère ; car plus la 
distance CO est grande, plus est petite la corde AB, 
diamètre du petit cercle AMB. 

VI. Par deux points donnés sur la surface d'une 
sphère, on peut faire passer un arc de grand cercle; 
car les deux points donnés et le centre de la sphère 
sont trois points qui déterminent la position d'un plan 
Si cependant les deux points donnés étaient aux ^ex- 
trémités dun diamètre, alors ces deux points et le 
centre seraient en ligne droite, et il y aurait une in- 
finité de grands cercles qui poiuraient passer par les 
deux points donnés. 

PROPOSITION IL 



A 



THEOREME. 



fig. aaa. Dans tout triangle sphérique ABC , un côté 
quelconque est plus petit que la somme des deux 
autres. 

Soit O le centre de la sphère, et soient menés les 
rayons OA, OB, OC. Si on imagine les plans AOB , 
AOC, COB, ces plans formeront au point O un angle 
solide, et les angles AOB, AOC, COB, auront pour 
mesure les côtés AB, AC, BC, du triangle sphérique 
ABC. Or, chacun des trois angles plans qui composent 
l'angle solide est moindre que la somme des deux 
*2i, 5. autres*; donc un côté quelconque du triangle ABC 
est moindre que la somme des deux autres. 

PROPOSITION III. 

TEÉORE ME. 

Le plus court chemin d'un point à un autre y 
sur la surface de la sphère , est Varc de grand 
cercle qui joint les deux points donnes. 
fig. aaS. Soit ANB l'arc de grand cercle qui joint les points 



LIVRE VII. 205 

A et B , et soit hors de cet arc , s^il est possible , M un 
point de la ligne la plus courte entre A et B. Par le 
point M menez les arcs de grands cercles MA, MB, 
et prenez BN=MB. 

Suivant le théorème précédent Tare ANB est plus 
court que AM + MB; retranchant de part et d'autre 
BN=BM, il restera AN<AM. Or, la distance de B 
en M, soit quelle se confonde avec lare BM, ou 
qa elle soit toute autre ligne , est égale à la distance de 
B et N ; car en faisant tourner le plan du grand cercle 
BM autour du diamètre qui passe par B , on peut ame* 
ner le point M sur le point N , et alors la ligne la plus 
courte de M en B, quelle quelle soit, se confondra 
avec celle de N en B ; donc les deux chemins de A en 
Bj Tun en passant par M, i autre en passant par N, 
ont une partie égale de M en B et de N en B. Le pre- 
mier chemin est, par hypothèse, le plus court; donc 
la distance de A en M est plus courte que la distance 
de A en N, ce qui serait absurde, puisque lare AM 
est plus grand que AN ; donc aucun point de la ligne 
la plus courte entre A et B ne peut être hors de l'arc 
ANB; donc cet arc est lui-même la ligne la plus courte 
entre ses extrémités. 

PROPOSITION IV. 

THEOREME. 

La somme des trois côtés (Vun triangle sphé- 
rique est moindre que la circonférence d'un 
grand cercle. 

Soit ABC un triangle sphérique quelconque ; pro- %. aa4. 
longez les côtés AB, AC, jusqu'à ce quils se rencon. 
trent de nouveau en D. Les arcs ABD, ACD, seron 
des demi-circonférences, puisque deux grands cercles 
se coupent toujours en deux parties égales*; mais dans 
le triangle BGD on a le côté BG < BD + CD*; ajoutant 



I. 

a. 



ao6 GfiOMBÏJlIB. 

de part ef d'autre AB + AC , on aura AB 4- Afi -H BC 
<" A^D + AÇD , c'est-^à'-dire , plus petit qu'une circoo- 
fférenç^» 

PROPOSITION V. 



THÉOBBME. 



La somme des cotés de tout polygone sphé- 
rique est moindre que la circonférence d'un 

grand cercle, 
fig. m5. Soit, par exemple, le pentagone ABCDE : prolon- 
gez les côtés AB, DC, jusqu'à leur rencontre en Fj 
puisque BC est plus petit que BF + CF, le contour du 
pentagone ABCDE est plus petit que celui du quadri- 
latère AEDF. Prolongez de nouveau les côtés AE, 
FD, jusqu'à leur rencontre en G, en aura ED<EG 
-hGD; donc le contour du quadrilatère AEDF est 
plus petit que celui du triangle AFG ; celui-ci est plus 
petit que la circoniéreiice d'un grand cercle ; donc 
ajortion le contour du polygone ABCDE est moindre 
que cette même circonférence. 

Scholie. Cette proposition est au fond la même que 
la XXII® du livre v ; car, si O est le centre de la sphère, 
on peut imaginer au point O un angle solide formé 
par les angles plans AOB , BOC , COD , etc. , et la 
somme de ces angles doit être plus petite que quatre 
angles droits , ce qui ne diffère pas de la proposition 
présente. La démonstration que nous venons de don- 
ner est différente de celle du livre v j l'une et l'autre 
supposent que le polygone ABCDE est convexe , ou 
qu'aucun côté prolongé ne coupe la figure. 

PROPOSITION VI. 



A 



THEORBMB. 



6g. aao. Si on mène fe diamètre DE perpendiculaire 
qji plan dif^ grq^nd cercle AMfi, les extrémités 



tiras vit. ao7 

D ftZ de ce diamètre seront les pôles du cercle 
AMB , et de tous les petits cercles , comme FNG , 
qui lui sont parallèles. 

Car DG ëtanc perpendiculaire au plan AMB , esl 
perpendieulaire à toutes les droites CA, CM, Cfi, etc., 
menées par son pied dans ce plan ; donc tous les arcf 
DA) DM, DB, etc. , sont des quarts de circonférence : 
il en est de même des arcs EA, £M, EB, etc. ; donc 
les points D et Ë sont chacun également éloignés de 
tous les points de la circonférence AMB ; donc ils sont • 
les pôles de cette circonférence *. * ^ef. 5. 

En second lieu, le rayon DC, perpendiculaire au 
plan AMB , est perpendiculaire à son parallèle FNG ; 
donc il passe par le centre O du cercle FNG * ; donc * '• 
si on tire les obliques DF , DN , DG , ces obliques s'é» 
earteront également de la perpendiculaire DO et seront 
^les. Mais les cordes étant égales, les arcs spùl 
égaux ; donc tous les arcs DF, DN, DG , etc., sont égaux 
entre eux ; donc le point D est le pôle du petit cercle 
FNG , et par la même raison le point E est l'autre pôle. 

Corollaire I. Tout arc DM mené d'un point de lare 
de grand cercle AMB à son pôle est un quart de cir- 
conférence, que nous appellerons pour abréger un 
quadransj ou un quadrant, et ce quadrant fait en 
même temps un angle droit avec l'arc AM. Car la ligne 
De étant perpendiculaire au plan AMG, tout plan 
BMC qui passe par la ligne DG est perpendiculaire au 
plan AMC *; donc l'angle de ces plans, ou, suivant la * ^8, 6. 
iét VI, l'aQgle AMD , est un angle droit. 

II. Pour trouver le pôle d'un arc donné AM, menez 
l'arc indéfini MD perpendiculaire à AM , prenez MD 
^gal à un quadrant, et le point D sera un des pôles 
de l'arc MD ; ou bien menez aux deux points A et M 
les arcs AD et MD perpendiculaires à AM , le point de 
concours D de ces deux arcs sera le pôle demandé. 



208 GISOMBTRI6. 

III. Bécîproquement, si la distance du point D à 
chacun des points A et M est ég^ale à un quadrant, je 
dis que le point D sera le pôle de lare AM, et qu'en 
même temps les angles DAM, AMD, seront droits. 

Car soit G le centre de la sphère, et soient menés les 
rayons GA, GD, GM: puisque les angles AGD, MCD, 
sont droits, la ligne GD est perpendiculaire aux deux 
droites G A , GM ; donc elle est perpendiculaire à leur 
plan ; donc le point D est le pôle de Tare AM ; et par 
suite les angles DAM, AMD, sont droits. 

Scholie. Les propriétés des pôles permettent de tra- 
cer sur ]a surface de la sphère des arcs de cercle avec 
la mémo facilité que sur une surface plane. On voit^ 
par exemple , qu'en faisant tourner laïc DF ou toute 
autre ligne de même intervalle autour du point D, 
l'extrémité F décrira le petit cercle FNG; et si on fait 
tourner le quadrant DFA autour du point D , Tex- 
trémité A décrira Tare de grand cercle AM. 

S'il faut prolonger l'arc AM, ou si on ne donne que 
led points A et M par lesquels cet arc doit passer, on 
déterminera d'abord le pôle D par l'intersection de 
deux arcs décrits des points A et M comme centres 
ayec un intervalle égal au quadrant. Le pôle D étant 
trouvé, on décrira du point D, comme centre et avec 
le même intervalle, l'arc AM et son prolongement. 

Enfin , s'il faut du point donné P abaisser un arc 
perpendiculaire sur l'arc donné AM, on prolongera 
celui-ci en S jusqu'à ce que Fintervalle PS soit égal à 
un quadrant; ensuite du pôle S et du même intervalle 
on décrira l'arc PM, qui sera l'arc perpendiculaire de- 
mandé. 



LIVKB TIt. aOO 

PROPOSITION VII. 

THEOEÂMB. 

Tout plan perpendiculaire à ^extrémité d'un 
rayon est tangent à la sphère. 

Soil FAG un plan perpendiculaire à rextrémîtë du fig. «a6. 
rayon OA ; si on prend un point quelconque M sur 
ce plan , et qu'on joigne OM et AM , l'angle OAM sera 
droit, et ainsi la distance OM sera plus grande que 
OA. Le point M est donc hors de la sphère ; et, comme 
il en est de même de tout autre point du plan FAG» 
il s'ensuit que ce plan n'a que le seul point A com- 
mun avec la surface de la sphère ; donc il est tangent 
à cette surface *. *aéf. '|. 

Scholie. On peut prouver de même que deux sphères 
nont qu'un point commun, et sont par conséquent 
tangentes l'une à l'autre : lorsque la distance de leurs 
centres est égale à la somme ou à la différence de 
leurs rayons , alors les centres et le point de contact 
sont en ligne droite. 

PROPOSITION VIII. 

THBORBME. 

U angle BAC que font entre eux deux arcs de H- «*6* 
grands cercles AB , AC , est égal à V angle FAG , 
formé par les tangentes de ces arcs au point A : 
il a aussi pour mesure Varc DE, décrit du point 
A comme pôle entre les côtés AB, AC^ prolongés^ 
s'il est nécessaire. 

Car la tangente AF, menée dans le plan de l'arc 
AB, est perpendiculaire au rayon AO ; la tangente 
AG, menée dans le plan de l'arc AG, est perpendi- 
culaire au même rayon AO. Donc l'angle FAG est 

i4 



aïO GBOMSVftIB. 

♦17,5. ^gal à Tangle des plans OAB, OAC*, qui est celui des 
arcs AB , AC , et qui se désigne par BAC. 

Pareillement, si l'arc AD est égal à un quadrant, 
ainsi que AE, les lignes OD, OE, seront perpendicu- 
laires à AO, et langle DOE sera encore égal à l'angle 
des plans AOD , AOE ; donc l'arc DE est la mesure de 
l'angle de ces plans, ou la mesure de l'angle GAB. 

Corollaire. Les angles des triangles spbéxiques peu* 
vent se comparer entre eux par les arcs de grands cer* 
cles décrits de leurs sommets comme pôles et compris 
entre leurs côtés : ainsi il est facile de faire un angl« 
égal à un angle donné. 
f)g. sk38. Scholie. Les angles opposés au sommet , tels que 
ACO et BON, sont égaux ; car l'un ou l'autre est tou-i 
jours l'angle formé par les deux plans ACB , OCN. 

On voit aussi que dans la rencontre de deux arcs 
ACB, OCN, les deux angles adjacents ACO, OCB, 
pris ensemble , valent toujours deux angles drpits. 

PROPOSITION IX. 

THEOREME. 

fig. aa?. Etant donné le triangle ABC , si des points 
A, B, C, comme pôles y on décrit les arcs EF, 
FD , DE ; qui forment le triangle DEF ; récipro- 
quement les trois points D, E, F, seront les 
pôles des côtés BC , AC , AB. 

Car le point A étant le pôle de l'arc EF , la distance 

AE est un quadrant ; le point C étant le pôle de lare 

DE, la distance CE est pareillement un quadrant; 

donc le point E est éloigné d'un quadrant de chacun 

* g des points A et C ; donc il est le pôle de l'arc AC *. 

cor. 3. On démontrera de même que D est le pôle de l'arc 
BC , et F celui de l'arc AB. 

Corollaire. Donc le triangle ABC peut être décril 
par le moyen de DEF , comniQ DEF par }« moyen do 
ABC. 



4 



PROPOSITION X. 

THliORâMB. 

Les mêmes choses étant posées que dans le 
théorème précédent j chaque angle de Vun des 
triangles ABC, DEF, aura pour mesure la demi- 
circonférence moins le côté opposé dans Vautre 
triangle. 

Soient prolongés, s'il est nécessaire, les côtes AB| ^«•"7. 
AC, jusqu'à la rencontre de EF en 6 et H ; puisque 
le point A est le pôle de l'arc GH, l'angle A aura pour 
mesura Tare GH. Mais l'arc EH est un quadrant 
ainsi que GF , puisque E est le pôle de AH , et F l^j 
pôle de AG ; donc EH + GF vaut une demi -circon- 
férence. Or EH + GF est la même chose que EF + 
GH \ donc l'arc GH qui mesure l'angle A est égal a 
une demi-circonférence moins le côté EF ; de même 
l'angle B aura pour mesure \ cire. — DF et Taiij'le G , 
\ cire. — DE. 

Cette propriété doit être réciproque entre les deux 
triangles, puisqu'ils se décrivent de la même manière 
l'uu par le moyen de l'autre. Ainsi on trouvera que 
les angles D, E, F, du triangle DEF, ont pour me- 
sures respectivement j cire. ~ BC , \ cire. — AC, { cùv. 
— AB, En effet l'angle D, par exemple, a pour me- 
sure l'arc MI î or MI + BG == MC + BI = ^ c/rc. ; 
donc l'arc MI, mesure de l'angle D, = ^ c/r^. — BC, 
e| ainsi des autre9« 

Scholiç. H faut remarquer qu'outre le triangle DEF Sg. «g. 
on en pourrait fgrmer trois autres par l'intersection 
des trois arcs DE, EF, DF. Mais la proposition ac- 
tuelle n'a lieu que pour le triangle central, qui est 
distingué des trois autres en ce que les deux angles A 
et D sont situés d'un même côté de BC, les deux B Bg. ^ta, 

,4. 



ma GEOMBTRIB. 

et E d'un même côté de AC, et les deux C et F d*un 
même côté de AB. 

On donne différents noms aux deux triangles ABC, 
DEF ; nous les appellerons triangles polaires* 

PROPOSITION XI. 

r< E K H E* 

fig- *a9- Etant donné le triangle ABC, si du pôle A et 
de r intervalle AC on décrit Varc de petit cercle 
DEC ; si du pôle ^ etde V intervalle BC on décrit 
pareillement Varc DFC , et que du point D , où 
les arcs DEC, DFC, se coupent, on mène les 
arcs de grands cercles AD , DB ; je dis que le 
triangle ADB ainsi formé aura ses parties égales 
à celles du triangle ACB. 

Car par construction le côté AD=AC, DB = BC, 
AB est commun ; donc ces deux triangles ont les côtés 
égaux chacun à chacun. Je dis maintenant que les 
angles opposés aux côtés égaux sont égaux. 

En effet, si le centre de la sphère est supposé en 
O , on peut concevoir un angle solide formé au point 
O par les trois angles plahs AOB , AOC , BOG ; on 
peut concevoir de même un second angle solide formé 
par les trois angles plans AOB, AOD, BOD. Et puis- 
que les côtés du triangle ABC sont égaux à ceux du 
triangle ADB, il s'ensuit que les angles plans qui 
forment un de ces angles solides sont égaux aux angles 
plans qui forment l'autre angle solide , chacun à 
i, ^ t chacun : mais dans ce cas il a été démontré ^ que les 
plans dans lesquels sont les angles égaux sont égale- 
ment inclinés entre eux ; donc les angles du triangle 
sphérique DAB sont égaux à ceux du triangle CAB, 
savoir DAB = BAC, DBA=ABC, et ADB = ACB; 
donc les côtés et les angles du triangle ADB sont égaux 
aux côtés et aux angles du triangle ACB, 



LIVRB VII. ai3 

Scholie. L'ëgalité de ces triangles n^est cependant 
pas une égalité absolue ou de superposition , car il 
serait impossible de les appliquer Fun sur l'autre 
exactement, à moins qu ils ne fussent isoscèles. L éga- 
lité dont il s agit est ce que nous avons déjà appelé 
une égalité par symmétrie, et par cette raison nous 
appellerons les triangles AGB, ADB, triangles synt" 
métriques. 

PROPOSITION XII. 



THEOREME. 



Deux triangles situés sur la même sphère ^ ou 
sur des sphères égales , sont égaux dans toutes 
leurs parties y lorsqu'ils ont un angle égal com- 
pris entre côtés égaux chacun à chacun. 

Soit le côté AB=EF, le côté AG=EG, et l'angle Cg^îo. 
BAC=FEG, le triangle EFG pourra être placé sur 
le triangle ABG ou sur son symmétrique ABD, de la 
même manière qu on superpose deux triangles recti- 
lignes qui ont un angle égal compris entre côtés 
égaux. Donc toutes les parties du triangle EFG seront 
égales à celles du triangle ABG, c'est-à-dire qu'outre 
les trois parties qui sont supposées égales , on aura le 
côté BC = FG, langle ABG = EFG, et langle AGB 
=:EGF. 

PROPOSITION XIII. 



THÉORÂHE. 



1 

Deux triangles situés sur la même sphère , ou 
sur des sphères égales , sont égaux dans toutes 
leurs parties y lorsqu'ils ont un côté égal adja^ 
cent à deux angles égaux chacun à chacun. 

Car Tun de ces triangles peut être placé sur Vautre 
on sur son symmétrique, comme on le fait dans le cas 
pareil des triangles rectilignes* Voyez prop. Vll^ liy. L 



!ll4 G^ÛltfiTRlË. 

PROPOSITION XIV. 



THEORBME, 



Si deux triangles situés sur la même sphère , 
ou sur des sphères égales, sont ét^uitatéraux 
entre eux, ils seront aussi équiangles , et les angles 
égaux seront opposés aux côtés égaux. 
fig. 939. Qgj^ ^^^ manifeste par la proposition xi , où Ton a 
vu qu'avec trois côtés donnés AB , AG , BC , on ne 
peut faire que deux triangles AGB^ ABD, différents 
quant à la position des parties, mais égaux quant à 
la grandeur de ces mêmes parties* Donc deux trianglei 
équilatéraux entre eux sont ou absolument égaux, ou 
au moins égaux par symmétrie ; dans lun et Tautre 
cas ils sont équiangles , et les angles égaux sont oppo- 
sés aux côtés égaux. 

PROPOSITION XV. 

Dans tout triangle sphérique isoscèle les angles 
opposés aux côtés égaux sont égaux ; et récipro -■ 
quement^ si deux angles d*un triangle sphérique 
sont égaux y le triangle sera isoscèle.^ 

fig. a3i. i^ Soit le côté AB= AC ; je dis qu'on aura Tangle 
G=B : car si du sommet A au point D, milieu de la 
base, on mène l'arc AD, les deul triangles AdD, 
ADC, auront les trois côtés égaujL chacun à ch0cUi)( 
savoir, AD commun , BD==: DG^ et ABrtfE^AG : donc^ 
par le théorème précédent, ces triangles auront les 
angles égauiL, et on aura BrriG^ 

a** Soit l'angle B =G j je dis qu'on aura AGzrss AB 8 
car al le côté AB n est pas égal à AG ^ «oit AB le plue 



fcIVRB TII. llS 

grand des deux , prenez BO = AG , et joignez OC. 
Les deux côtes BO, BG , sont égaux aux deux AG, BC ; 
l'angle compris par les premiers OBG est égal à Tangle 
compris par les seconds AGB. Donc les deux triangles 
BOG, AGB, ont les autres parties égales *, et on a *><• 
l'angle OGB=r=ABG : mais langle ABG^ par hypothèse, 
^:ACB; donc on aurait 0GB =: AGB, ce qui est im- 
possible ; donc on ne peut supposer AB diiFérent de 
AC; donc les côtés AB, AG, opposés aux angles égaux 
B et G, sont égaux. 

' Sckolie. La même démonstration piouve que l'angle 
BAD=DAG, et que langle BDA=ADG. Donc ces 
déUx derniers sont droits ; donc Varc mené du sont" 
met (Tun triangle spherique isoscèle au milieu de sa base 
est perpendiculaire a cette base; et divise F angle du 
sommet en deux parties égales. 

PROPOSITION XVL 

THÉOBBMK. 

Dans un triangle spherique ABC , si V angle A ^6- *^*« 
est plus grand que F angle B , le côté BC opposé 
à V angle A sera plus grand que le côté AC o/?- 
posé à V angle B \ réciproquement ,, si le côté BC 
e^t plus grand que CA , l'angle A sera plus grand 
que l'angle B. 

lo Soit l'angle A> B, faites langle BADrrB, tous 
aurez AD=DB * : mais AD + DG est plus grand que *** 
AG ) à la place de AD mettant DB , on aura DB + DG 
ou BC > AC. 

2? Si on suppose BG > AG , je dis que Fangle B AG 
aéra plus grand que ABG : car , si BAG était égal à 
ABG^ on aurait BGr=: AG ; et si on avait BAG < ABG, 
il ft'entuiTrait , par ce qui vient d'être démontré, qu'on 
a BG<AG; ce qui est contre la supposition. Donc 
Vangle BAG est plus grand que ABG. 



>l6 GÉOMÉTRIS. 

PROPOSITION XVII. 



THÉORâME. 



fig. «33. Si les deux côtés AB , AC , du triangle sphé- 
rique ABC sont égaux aux deux côtés DE , DF , 
du triangle DEF tracé sur une sphère égale , si 
en même temps V angle A est plus grand que 
V angle D , je dis que le troisième côté BC du pre- 
mier triangle sera plus grand que le troisième 
EF du second. 

La démonstration est absolument semblable à celle 
de la prop. x, livre i. 

PROPOSITION XVIII. 

THÉOREMB. 

Si deux triangles tracés sur la même sphère 
ou sur des sphères égales sont équiangles entre 
eux , ils seront aussi équilatéraux. 

Soient Aet B les deux triangles donnés, P et Q leurs 
triangles polaires. Puisque les angles sont égaux dans 
les triangles A et B, les côtés seront égaux dans les po« 

* lo. laires P et Q * : mais de ce que les triangles P et Q sont 

équilatéraux entre eux, il s'ensuit qu'ils sont aussi 

* 14. équiangles ^ ; enfin , de ce que les angles sont égaux 

* jo. dans les triangles P et Q, il s ensuit * que les côtés sont 

égaux dans leurs polaires A et B. Donc les triangles 
équiangles A et B sont en même temps équilatéraux 
entre eux. 

On peut encore démontrer la même proposition sans 

le secours des triangles polaires de la manière suivante. 

lîg. a34. Soient ABC , DEF , deux triangles équiangles entre 

eux, de sorte qu'on ait A=D, B=:E, C=:F; je dis 

qu'on aura le côté AB=DE, AC=DF, BC=iEF. 



LITRE YII. 117 

Sur le prolongement des côtés AB, AC, prenez AG 
=:DE, et AH=DF ; joignez 6H et prolongez les arcs 
BC, 6H , jusqu'à ce qu'ils se rencontrent en I et K . 

Les deux côtés A6 , AH , sont par construction 
égaux aux deux DF, DE ; langle compris GAH=BAG 
=:EDF; donc * les triangles AGH, DEF, sont égaux • !«• 
dans toutes leurs parties, donc langle AGH=:DEF 
I =ABC, et Tangle AHG=DFE==: ACB. 

Dans les triangles IBG, KBG, le côté BG est com- 
muD, langle IGB=GBK ; et puisque IGB+ BGK est 
égala deux droits, ainsi que GBK+IBG, il s'ensuit 
que BGK=:IBG. Donc les triangles IBG, GBK, sont 
égaux*, donc IG=BK, et IB=GK. *i5. 

Pareillement, de ce que Tangle AHG=AGB, on 
conclura que les triangles ICH , HCR, ont un côté égal 
adjacent à deux angles égaux ; donc ils sont égaux ; 
doncIH=CK , et HK=IC. 

Maintenant, si des égales BK, IG, on retranche les 
égales CK , IH, les restes BC , GH , seront égaux. D'ail- 
leurs langle BCA=AHG, et l'angle ABC=.AGH. 
Donc les triangles ABC, AHG, ont un côté égal ad- 
jacent à deux angles égaux ; donc ils sont égaux : 
mais le triangle DEF est égal dans toutes ses parties 
au triangle AHG ; donc il est égal aussi au triangle 
ABC, et on aura AB=DE, AC=DF, BC=EF,- 
donc, si deux triangles sphériques sont équiangles 
entre eux, les côtés opposés aux angles égaux seront 
égaux. 

Scholie, Cette proposition n'a pas lieu dans les 
triangles rectilignes , où de l'égalité des angles on ne 
peut conclure que la proportionnalité des côtés. Mais 
d est aisé de rendre compte de la différence qui se 
trouTe à cet égard entre les triangles rectilignes et 
les triangles sphériques. Dans la proposition présente, 
ainsi que dans les prop. xii , xiii , xiv et xvii , où 
il s'agit de la comparaison des triangles , il est dit 



êl6 «BOMSTRXB. 

(i%:pre8»ément que ceê triangles sont traces sur la 
même sphère ou sur des sphères égales. Or leé arcs 
semblables sont proportionnels aux rayons; donô, 
sui^ des sphères égales, deux triangles ne peuvent 
être semblables sans être égaux. Il n'est donc pas 
surprenant que Tégalité des angles entraîne Fëgalité 
des côtés. 

Il en serait autrement si les triangles étaient tracés 
sur des sphères inégales; alors les angles étant égaux, 
les triangles seraient semblables, et les côtés homo* 
logues seraient entre eux comme les rayons des 
sphères. 

PROPOSITION XIX. 



TH é on. à M Ht 



La somme des angles de tout triangle sphé' 
rique est moindre que six et plus grande que 
deux angles droits. 

Car i^ chaque angle d\in triangle sphérique est 
moindre que deux angles droits (^voyez le scholie ci^ 
après) \ donc la somme des trois angles est moindre 
que six angles droits. 

a^ La mesure de chaque angle d^un triangle sphé« 
rique est égale à la demi -circonférence moins le côté 
*xo. correspondant du triangle polaire^; donc la soiBitie 
des trois angles a pour mesure troiâ deilii-circonfë<* 
rences moins la somme des côtés du triangle polairej 
Or cette dernière somme est plus petite qu Une ôir- 
* 4. conférence ^ ; donc ^ en la retranchant de trois demi* 
circonférences) le reste sera plus grand quune demi* 
circonférenfse ) C(ui est la mesure de deUx angles 
droits; donc a^ la somme des trois angles d untriangla 
sphérique est plus grande que deux angles droits* 

Corollaire I. La somme des angles d'un triangle 
sphérique n'est pas constante comme eellô des ^ 



IiITR'B Tll. ftip 

afigl€« fectilignés ; elle tàî'iè depuis deuic angleil droite 
jii«c]b*à B\%\ sanâ pouvoir être égdle à l'une ni à l'àuire 
litnite. Ain^i deux, angles donnés ne font pas connaître 
le troisième. 

Corollaire IL Un triangle sphërique peut aToi^ 
deux ou trois angles droits, deux ou trois angles 
obtu8« 

Si le triangle ABC est bi-rectangle , c'est «à-dire 4* aS& 
s'il a deux angles droits B et G , le sommet A sera le 
p&le de la base BG^j et les côtés AB, AG, seront des *^' 
quadrants. 

Si en outre Tangle A est droit « le triangle ABG sera 
ti>rectangle y ses angles seront tous droits et ses côtés 
des quadrants. Le triangle tfi- rectangle est contenu 
huit fois dans la surface de la sphère ; c'est ce que Ton 
Toit par la fig. a 36 , en supposant Tare MN égal à un 
quadrant* 

Scliôtie. Nous avons supposé dans' tout ce qui pré- 
cède, et conformément à la définit, vi, que les trian- 
gles sphériques ont leurs côtés toujours plus petits 
que la demi- circonférence ; alors il s^ensuit que les 
aflglei sotit toujours plia petite que deul angles droits : 
câf, êi le tôté AB est moindre que la demi-circotifé'* fig- ^H- 
M(«ô) âihsi que AG, ces arcs doivent être prolongés 
tous deut pour se rencontrer en D. Or les deux angles 
ABG , GBD , pris ensemble , valent deux angles droits) 
donc l'ailgle ABG tout seul est moindre que dent 
âttgteé droits. 

Nous observerons cépetidant qu'il éiiste des triah«« 
gles iphériqueé dont certains côtés sont plus grande 
què là demi-circoiiiférence , et certaine angles plu^ 
gntfldé què déut angles droits. Gftr, si on prolonge 
Iff «frcë AG en uiie circonférence etttièrd AGE, cé qui 
reste, en retranchant de là demi*sphère le triangle 
A6c tf eêt un tiouveau triangle ^ qu'dii peut désigner 
âttiil par ABG 5 et dofit les côtés éoùi AB, BG, A£DG< 



aâO GEOMETRIE. 

On voît donc que le côté AEDC est plus grand que la 
demi-circonférence AED ; mais en même temps l'an- 
gle opposé en B surpasse deux angles droits de la 
quantité GBD. 

Au reste, si on a exclu delà déBnkion les triangles 
dont les côtés et les angles sont si grands , c'est que 
leur résolution ou la détermination de leurs parties 
se réduit toujpurs à celle des triangles renfermés dans 
la définition. En effet, on voit aisément que si on 
connaît les angles et les côtés du triangle ABC, on 
connaîtra immédiatement les angles et les côtés du 
triangle de même nom qui est le l'esté de la demi-sphèret 

PROPOSITION XX. 

THEOREME. 

fig. a36. Lefiiseau AMBN A est à la surface de la sphère 
comme V angle M AN de ce fuseau est à quatre 
angles droits, oit comme Varc MN qui mesure 
cet angle est à la circonférence. 

Supposons d'abord que l'arc MN soit à la circon- 
férence MNPQ dans un rapport rationnel , par exem- 
ple, comme 5 est à 48- On divisera la circonférence 
MNPQ en 48 parties égales, dont MN contiendra 5; 
joignant ensuite le pôle A et les points de division 
par autant de quarts de circonférence, on aura 48 tri- 
angles dans la demi-sphère AMNPQ, lesquels seront 
tous égaux entre eux, puisqu'ils auront toutes leurs 
parties égales. La sphère entière contiendra donc 96 
de ces triangles partiels , et le fuseau AMBN A en con* 
tiendra 10 ^ donc le fuseau est à la sphère comme 10 
est à 96, ou comme 5 est à 489 c'est-à-dire comme 
lare MN est à la circonférence. 

Si lare MN n'est pas commensurable avec la cir« 
conférence , on prouvera par le même raisonnement 



LiVAB VII» an 

dont on a déjà vu beaucoup d'exemples , que le fuseau 
est toujours à la sphère comme Tare MN est à la cir- 
conférence. 

Corollaire I. Deux fuseaux sont entre eux comme 
leurs angles respectifs. 

Corollaire II. On a dëja vu que la surface entière 
de la sphère est égale à huit triangles tri-rectangles * ; * 19- 
donc, si Faire d'un de ces triangles est prise pour 
lunité, la surface de la sphère sera représentée par 8. 
i Gela posé , la surface du fuseau dont langle est A sera 
L eiprimée par 2 A (si toutefois l'angle A est évalué 
I en prenant l'angle droit pour unité) ; car on a 2A : S 
:: A:4. Il 7 a donc ici deux unités différentes ; l'une 
pour les angles, c'est l'angle droit ; l'autre poui* les 
surfaces, c'est le triangle sphérique tri -rectangle, ou 
celui dont tous les angles sont droits, et les côtés des 
quarts de circonférence. 

Scholie. L'onglet sphérique compris par les plans 
AMB, ANB, est au solide entier de la sphère comme 
Tangle A est à quatre, angles droits. Car les fuseaux 
étant égaux, les onglets sphériques seront pareille* 
ment égaux : donc deux onglets sphériques sont entre 
eux comme les angles formés par les plans qui les 
comprennent* 

PROPOSITION XXL 

THEOREME. 

Deux triangles sphériques symmétriqueg sont 
égaux en surface. 

Soient ABC, DEF deux triangles symmétriques , 
c'est-à-dire, deux triangles qui ont les côtés égaux, AB fig, ^j^. 
= DE , AC = DF , CB =z EF , et qui cependant ne 
pourraient être superposés ; je db que la surface ABC 
^t égale à la surface DEF, 



l 



%%% GBOMETAIfi. 



Soie P la pâk -du petit cercle qui passejpait pai^ les 
trois points A, B, C (i) ; de ce point soient menés les 
*6* arcs égaux * PA, PB, PC ; au point F faites langle 
DFQ=ACP, l'arc FQ=CP, et jo^ne» DQ, EQ. 

Les côtés DF, FQ, sont égaux aux cÀtés AG, CPi 
l'angle DFQ=ACP $ donc les deux triangle» DFQ, 
' »• ACP^ sont égaux dans toutes leurs pai'ties"^ ; dose le 
côté DQ3=AP, et Fangle DQF^APC. 

Dans les triangles proposés DFË, ABC, les angles 
DF£, ACB, opposés aux côtés égaux DE, Afi, étant 
* II. égaux *, si on en retranche les angles DFQ, ACP» 
égaux par construction^ il restera Tangle QF£ égala 
PCB. D ailleurs les côtés QF , FE , sont égaux aux 
côtés PC, CB ; donc les deux triangles FQE, CPB, 
sont égaux dans toutes leurs parties ; donc le eàti 
QE=PB, et l'angle FQEsCPB. 

Si on observe maintenant que les triangles DFQi 
ACP, qui ont les côtés égaux chacun à chacun, aont 
en même temps isoscèles, on verra qu'ils peuvent s'api 
pliquer lun sur Vautre; car, ayant placé PA sur son 
égal QF, le côté PC tombera sur son égal QD, et 
ainsi les deux triangles seront confondus en un seuU 
donc ils sont égaux, donc la surface DQF===APC. 
Par une raison semblable la surface FQE==CPB, el 
la surface DQE = APB ; donc on a DQF+ FQE — 
DQE=APC+CPB— APB; ou DFE=:ABC; donc 
.les deux triangles symmétriques ABC, DEF, sont 
égaux en surface. 

Scholie. Les pôles P et Q pourraient être situés au- 
dedan^ des triangles ABC , DEF ; alors il faudrait 
ajouter les trois triangles DQF, FQE, DQE, pour 

(i) Le perde qui passe par les trois points A» B, C» ou qui 
est circonscrit au triangle ÂBG , x\e peut être qu'un petit cercle 
de la sphère \ car , si c'était un ^rand cercle , les trois c6tés AB . 
BC , AG , seraient situés dans un même plan , et le triangle ABU 
se réduirait à un de ses côtés* 



LIT&I Ttl. aftS 

en pompaser l6 triangle DEF, et p»mUeineBt il fau^ 
draîi; ajputer lei troii triangles APC y GPB, APfi, pour 
eti composer le triangle ABC $ d'ailleurs la dëmonstra» 
tion et la coneluMon seraient toujours les mêmes. 

PROPOSITION XXII. 

THSO&BIfB. 

Si deux grands cercles AOB , CCD , se coupent 6g. a38. 
comme on voudra dans V hémisphère AOCBD, 
la somme des triangles opposés AOC, BOD» se9^ 
égale au fuseau dont V angle est BOD. 

Car, en prolongeant les arcs OB, OD, dans Tautre 
hémisphère juscpi'à leur rencontre en N , OBN sera 
une demi-circonférence , ainsi que AOB ; retranchant 
de part et d autre OB, on aura BN= AO. Par une 
mison semblable on a DN = CO , et BD = AC ; dona 
le$ deux triangles AOC , BDN , ont les trois côtés égaux 
d'ailleurs leur position est telle qu'ils sont symmétri* 
ques l'un de l'autre; donc ils sont égaux en surface * * *<• 
et la somme des triangles AOC, BOD, est équivalente 
au fuseau OBNDO dont l'angle est BOD. 

Scholie, n est clair aussi que les deux pyramides 
sphériques qui ont pour bases les triangles AOC, 
BOD , prises ensemble , équivalent à l'onglet sphé* 
rique dont l'angle est BOD. 

PROPOSITION XXIII. 



A 



THBOXBMB. 



La sur/ace d'un triangle sphérique quelconque 
a pour mesure V excès de la somme de ses trois 
ongles sur deu^ angles droits. 

Soit ABC le triangle proposé ; prolongeât 9e% o^ttfs h^ ^^* 



aa4 GBOMÉTRIS. 

jusqu a ce qu'ils rencontrent le grand cercle DEFG , 
mené comme on voudra hors du triangle. En vertu du 
théorème précédent, les deux triangles ADE, A6H, 
pris ensemble , équivalent au fuseau dont l'angle est 
' ao. A, et qui a pour mesure 2A^ : ainsi on aura ADE + 
AGH = 2A; par une raison semblable BGF + BID 
= 2B , CIH + CFE = 2C. Mais la somme de ces six 
triangles excède la demi-sphère de deux fois le tri- 
angle ABC, d'ailleurs la demi-sphère est représentée 
par 4 ; donc le double du triangle ABC est égal à 2A 
-f-aB-haC — 4y ^^ par conséquent ABC=:A4-B 
-l-Ç — 2 ; donc tout triangle sphérîque a pour mesure 
la somme de ses angles moins deux angles droits. 

Corollaire I. Autant il y aura d'angles droits dans j 
cette mesure, autant le triangle proposé contiendra 
de triangles tri-rectangles ou de huitièmes de sphère 
* 20. qui sont lunité de surface*. Par exemple, si les angles 
sont égaux chacun aux j dun angle droit, alors les 
trois angles vaudront 4 Angles droits, et le triangle 
proposé sera représenté par 4 — 2 ou 2 ; donc il sera 
égal à deux triangles tri-recUngles ou au quart de la 
surface de la sphère. 

Corollaire II. Le triangle sphérique ABC est équi* 

valent au fuseau dont l'angle est -^ — ^ i ,• de 

même la pyramide sphérique , dont la base est 
ABC , éqi;dvaut à longlet sphérique dont l'angle est 

A + B + C 

— ! ! I. 

a 

Scholie. En même temps quon compare le triangle 
sphérique ABC au triangle tri -rectangle, la pyra- 
mide sphérique qui a pour base ABC se compare avec 
la pyramide tri-rectangle , et il en résulte la même 
proportion. Langle solide au sommet de la pyramide 
se compare de même avec l'angle solide au sommet 
de la pyran^ide tri -rectangle : en effet la comparai- 



son s'établit par la coïncidence des parties. Or, si 
les bases des pyramides coïncident, il est évident que 
les pyramides elles-mêmes coïncideront, ainsi que 
les angles solides à leur sommet. De là résultent plu- 
sieurs conséquences. 

i^ Deux pyramides triangulaires sphériqiies sont 
entre elles comme leurs bases ; et , puisqu'une pyra- 
mide polygonale peut se partager en plusieurs pyra. 
mides triangulaires , il s'ensuit que deux pyramides 
sphériques quelconques sont entre elles comme les 
polygones qui leur servent de bases. 

2° Les angles solides au sommet des mêmes pyra- 
mides sont également dans la proportion des bases ; 
donc, pour comparer deux angles solides quelcon- 
ques , il faut placer leurs sommets au centre de deux 
sphères égales, et ces angles solides seront entre eux 
comme les polygones sphériques interceptés entre 
leurs plans ou faces. 

L'angle au sommet de la pyramide tri-rectangle est 
formé par trois plans perpendiculaires entre eux : cet 
angle, qu'on peut appeler angle solide droite est très- 
propre à servir d'unité de mesure aux autres angles 
solides. Cela posé , le même nombre qui donne Taire 
d'un polygone sphérique donnera la mesure de langle 
solide correspondant. Par exemple, si Taire du poly- 
gone sphérique est \ , c'est-à-dire , s'il est les \ du 
triangle tri -rectangle, Tangle solide correspondant 
sera aussi les | de Tangle solide droit. 

PROPOSITION XXIV. 

THBOaâMB. 

La surface d'un polygone sphérique a pour 

mesure la somme de ses angles ^ moins le pro^ 

i5 



£g. 2^0. 



3^6 GliOM^TRTE. 

duit de deux angles droits par le nombre des 
côtés du polygone moins deux. 

D'un même sommet A soient menée» à tous les 
autres sommets les diagonales AC , AD ; le polygone 
ABCDE sera partagé en autant rie triangles moins 
deux qu'il a de côtés. Mais la surface de chaque tri- 
angle a pour mesure la somme de ses angles moins 
deux angles droits , et il est clair que la somme de tous 
les angles des triangles est égale à la somme des angles 
du polygone : donc la surface du polygone est égale à 
la somme de ses angles diminuée d^autant de fois deux 
angles droits qu'il a de côtés moins deux. 

Sckolie. Soit s la somme des angles d'un polygone 
sphérique , n le nombre de ses côtés ; l'angle droit 
étant supposé l'unité , la surface du polygone aura 
pour mestire s — 2 {n — 2) ou s — a/î-f- 4- 



PROPOSITION XXV. 



fig a4o. 



THBOaÂME. 

Soit S ie nombre des angles solides et un poljèdre ^ H le 
nombre de ses faces , JLle nombre de ses arêtes ;je dis qu*on 
aura toujours S H- H=: A-f- a. 

Prenez au-dedans du polyèdre un point d*où vous mène- 
rez des lignes droites aux sommets de tous ses angles ; ima- 
ginez ensuite que du même point comme centre on décrive 
une surface sphérique qui soit rencontrée par toutes ces 
lignes en autant de points ; joignez ces points par des arcs 
de grands cercles , de manière à former sur la surface de la 
sphère des polygones correspondants et en même nombre 
avec les faces du polyèdre. Soit ABCDE un de ces polygones 
et soit n le nombre de ses côtés ; sa surface sera s — 2/1 -|- 4, 
s étant la somme des angles A, B , C , D , £. Si on évalue 
semblablement la surface de chacun des autres polygones 
•phériques ^ et qu*on les ajoute toutes ensemble , on encon« 
dura que leur somme, ou la surface de la sphère représentée 
par 8, est égale à la somme de tous les angles des polygones, 



tITAB VII. «127 

moins deux fois le nombre de leurs càtés , plus 4 pris autant 
de fois qu*îl y a de faces. Or, comme tous les angles qui 
s'ajustent autour d'un même point A valent quatre angles 
droits , la somme de tous les angles des polygones est égale 
à 4 pris autant de fois qu'il y a d'angles solides ; elle est 
donc égale à 4$. Ensuite le double du nombre des c^tés AB , 
6C , CD , etc. est égal au quadruple du nombre des arêtes 
ou= 4 A, puisque la même arête sert de côté à deux faces : 
donc on aura 8 = 4S — 4A.+4H; ou, en prenant le quart 
de chaque membre, a = S — A + H; donc S + H=z:A-f-2. 

Corollaire. Il suit de là qàe la somme des angles plart* 
ffui forment les angles solides d'un pofyèdre est égale à au^ 
tant de fois quatre angles droits qu^ily a d* unités dans S — a , 
S étant le nombre des angles solides dupoljvdre. 

Car , si on considère une face dont le nombre de côtés 
est n , la somme des angles de celte face sera a/i — 4 angles 
droits*. Mais la somme de tous les an , ou le double du nom- *^» *• 
bre des côtés de toutes les faces ,=4^ 9 et 4 pris autant de 
fois qu'il y a de faces = 4H ; donc la somme des angles de 
toutes les faces = 4 A — 4H. Or, par le tbéoréme qu'on vicn* 
de démontrer, onaA — H=:S — a, et par conséquent 4 A 
— 4H = 4 {S — a). Donc la somme des angles plans , etc. 

PROPOSITION XXVI. 

THÉORÂME. 

De tous les triangles sphériques formés avec deux côtés fig. 2172. 
donnés CB , CA , et un troisième à volonté , le plus grand 61^273. 
ABC est celui dans lequel Vangle C , compris par les côté 
donnés, est égal à la somme des deux autres an^es A et B. 

Prolonges les deux côtés AC , AB . jusqu'à leur rencontre 
en D , TOUS aurez un triangle spbérique BCD , dans lequel 
l'angle DBC sera aussi égal à la somme des deux autres 
angles BD€ , BCD : car BCD + BCA étant égal à deux 
anglea droiu, aiusi queCBA + CBD , on a BCD + BCA = 
CBA+€BI) ; ajoutant de part et d'autre BDC =:r BAC , on 
aura BCD H-BCA+BDC = CBA+CBD -\- BAC. Or , par 
liypotbèse, BCA=:CBA+BAC; donc CBD=: BCD ^BDC. 

i5. 



aaâ GBOMJSTaiS. 

Menez BÎ qui fasse l'angle CBI = BCD , et par suite IBD 
= BDC 5 les deux triangles IBC , IBD , seront isoscèles , et on 
aura IC = IB = ID. Donc le point I, milieu de DC, est à 
égale distance des trois points B , C , D : par une raison sem- 
blable le point O y milieu de AB , sera également distant 
des trois points A , B , C. 
fig- aya. Soit maintenant CA' = CA et l'angle BCA' > BCA ; si l'on 
joint A'B , et qu'on prolonge les arcs A'C , A'B , jusqu'à 
leur rencontre en D', l'arc D'CA' sera une demi-circonférence 
ainsi que DCA ; donc puisqu'on a CA'=CA , on aura aussi 
CD'= CD. Mais dans le triangle CID', on a CI +ID' > CD'; 
donc ID' > CD — CI , ou ID' > ID. 

Dans le triangle isoscèle CIB divisons l'angle du sommet I 
'' en deux également par Tare EIF qui sera pei*pendiciilaire 
sur le milieu de BC. Si on prend un point L entre I et £, la 
distance BL , égale à LC , sera moindre que BI ; car on peut 
démontrer, comme dans la prop. ix, liv. i, qu'on a BL-f- 
LC < BI 4- IC ; donc en prenant les moitiés de part et d'autre, 
on aura BL < BI. Mais dans le twangle D'LC on a D'L > D'C 
— CL , et à plus forte raison D'L > DC— CI , ou D'L > DI , 
ou D'L>BI ; donc D'L >BL. Donc si on cherche sur l'arc 
EIF un point également distant des trois points B, C, D', 
ce point ne saurait se trouver que sur le prolongement de 
El vers F. Soit V le point cherché , en sorte qu'on ait D' I' 
= BI'=Cr; les triangles FCB , l'CD', l'BD', étant isoscèles, 
on aura les angles égaux I'BC=:I'CB , rBD'=I'D'B , l'CD, 
= I'D'C. Mais les angles D'EC+CB A' valent deux angles 
droits, ainsi que D'CB + BCA/; donc 

D'Br+ TEC + CBA'= a , 
BCr— .rCD' + BCA'= a. 
Ajoutant les deux sonunes et observant qu'on aI'BC=BCl' 
et D'Br— rCD'=BDT— FD'C = CD'B=CA'B, on aura 

2F BC + CA'B + CBA' 4-BCA'= 4. 
Donc CA' B ■+- CBA'+ BCA'— a ( mesure de l'aire du trian- 
gle A'BC ) = a — al'BC ; de sorte qu'on a aite A'BC = a — 
a angie l'BC ; semblablement dans le triangle ABC , on au- 
rait aire ABC = a — a a/igie IBC. Or , on a démontré que 
l'angle l'BC est plus giand que IBC ; donc Faire A'BC est 
plus petite que ABC. 



LIVUE VII 229 

La même démonstration et la même conclusion auraient ^S ^7^> 
lieu, si, en prenant toujours Tare CA'=:CA, on faisait 
l'angle BCA' < BCA ; donc ABC est le triangle le plus grand 
entre tous ceux qui ont deux côtés donnés et le troisième à 
T don té. 

SchoUe I. Le triangle ABC , le plus grand entre tous ceux fig. 141, 
qui ont deux côtés donnés CA, CB, peut être inscrit dan^ 
un demi-cercle dont la corde du troisième côté AB sera le 
diamètre; car O étant le milieu de AB , on a vu que les dis- 
tances OC, OB, sont égales ; donc la circonférence de petit 
cercle décrite du point O comme pôle et de rintervalle OB 
passera par les trois points A, B , C. Déplus la ligne droite 
BA est un diamètre de ce petit cercle ; par le centre qui doit 
se trouver à la fois dans le plan du petit cercle et dans le 
plan de l'arc de grand cercle* BOA , se trouvera nécessai* « ^ 
renient dans l'intersection de ces deux plans qui est la droite cor. 4. 
BA, et ainsi BA sera un diamètre. 

IL Dans le triangle ABC , Tangle C étant égal à la somme 
des deux autres A et B, il s'ensuit que la somme des trois 
angles est double de Tanglc C. Mais celte somme est tou- 
jours plus grande que deux angles droits * \ donc l'angle C * 
est plus grand qu'un droit. 

IIL Si l'on prolonge les côtés CB, CA, jusqu'à leur ren- 
contre en £ , le triangle BA£ sera égal au quart de la surface 
delà sphère. Car l'angle E= C=: ABC +CAB; donc les 
trois angles du triangle BAE équivalent aux quatre ABC , 
ABF4, CAB, BA£, dont la somme est égale à quatre angles 
droits; donc la surface du triangle BA£'^=4 — 2 = a, * 24. 
qui est le quart de là surface de la sphère. 

IV. Il n'y aurait pas lieu à mcLximutn , si la somme des deux 
côtés donnés CA , CB , était égale ou plus grande que la 
demi-circonférence d'un grand cercle. Car puisque le trian* 
gle ABC doit être inscrit dans un demi- cercle de la sphère , 
h somme des deux côtés CA , CB , sera moindre que la 
demi-circonférence BCA* , et par conséquent moindre que la * 3. 
demi-circonférence d'un grand cercle. 

La raison pourquoi il n'y a pas de maximum ^ lorsque la 
somme des deux côtés donnés e?t plus grande que la demi- 
circonférence d'un grand cercle, c'est qu'alors le triangle 



a^O GBOMBT&IB. 

augmente de plus en plus à mesure que Tangle compris par 
les côtés donnés est plus grand ; enfin , lorsque cet angle sera 
égal à deux droits , les trois côtés seront diins un même 
plan , et formeront une circonférence entière ; le triangle 
sphérique deviendra donc égal à la demi - sphère , mais il 
cessera alors d'être triangle. 

PROPOSITION XXVII. 

TUEORÊMB. 

De tous les triangles sphériques formés avec itn àôtê donné ^ 
et un périmètre donné ^ le plus grand est celai dans lequel 
les deux côtés non déterminés sont égaux. 
fig. a4a. Soit j^^ ig c^té donné commun aux deux trîangles ACB , 
ADB , et soit AC + CB = AD + DB ; je dis que le triangle 
isoscèle ACB , dans lequel AC = CB, est plus grand que le 
non-îsoscèle ADB-. 

Car ces triangles ayant la partie commune AOB , il suffit 
de faire voir que le triangle BOD est plus petit que AOC. 
L*angle CBA égal à CAB est plus grand que OAB ; ainsi 
**'• le côté AO est plus grand que OB* ; prenez 01 *=:0B^ faites 
OK = CD , et joignez Kl ; le triangle OKI scta égal à DOB*. 
Si on tiie maintenant que le triangle DOB ou son égal KOI 
soit plus petit que OAC , il faudra qu'il soit égal ou plus 
grand ; dans Tun et l'autre cas , puisque le point I est entrv 
les points A et O , il faudra que le point K soit sur OC pro- 
longé , sans quoi le triangle OKI serait contenu dans le 
triangle CAO , et par conséquent plus petit. Cela posé , le 
plus court chemin de C en A étant CA , on a CK +KI + 
IA> CA. Mais CK = OD — CO, AI=AO— 0B,KI=:BD; 
doncOD— CO+AO— OB+BD>CA, et en réduisant AD 
— CB+BD>CA, ou AD + BD>AC + CB. Or cette iné- 
galité est contraire à l'hypothèse AD H- BD m AC -f- CB ^ 
donc le point K he peut tomber sur le prolongemrent de OC ; 
donc il tombe entre O et C, et par conséquent le triangle 
KOI , ou son égal ODB , est plus petit que ACO donc le 
triangle isoscèle ACB est plus grand que le non4soscèle ADB 
de même base et de même })crîmètre. 

Scholie. Ces d«ux dernières propositioHê sont analogues 



Livaji Vil. a3i 

aux propositions i et m de Tappendice au liv. iv ; ainsi on 
peut en tirer, par rapport aux polygones sphérîqucs , les 
conséquences qui ont lieu pour les polygones reclilîgnes. 
Voici les princi|>ales : 

1** De tous les polygones sphériques isopérimèires et d*un 
même nombre de câtéx , le plus grand est un polygone équi- 
latéraL 

Même démonstration qa« pour la prop. II de Tappendice 
au livre IV. 

a® De tous les polygones sphériques formés avec des côtés 
donnés et un dernier à volonté , le plus grand est celui qu^on 
peut inscrire dans un demi-cercle dont la corde du côté non 
déterminé sera le diamètre, 

La démonstration se déduit de la prop. XXVl , comme 
on l'a' vu dans la prop. IV de l'appendice cité; il faut pour 
l'existence du maximum , que la somme des côtés donnés 
soit moindre que la dcmi-circonfércnce d*un grand cercle. 

3® Le plus grand des polygones sphériques formés avec 
des côtés donnés , est celui qu^on peut inscrire dans un cercle 
de la sphère. 

Même démonstration que pour la prop. Vî de l'appendice 
au livre FV. 

4** Le plus giYind des polygones sphériques qui ont le 
même périmètre et le même nombre de côtés , est celui qui 
a ses angles égaux et ses côtés égaux. 

C'est ce qui résulte des corollaires i et 3 qui précèdent. 

Nom* Toatet l«s propoftttioiis de maximum concernant 
les polygo>n«i spKériques s'appliquent aux angles . solides 
dont ces polygones sont la mesure. 



2^2 



GEOMBT RIE. 



APPENDICE AUX LIVRES VI et YU 

LES POLYEDRES RÉGULIERS. 



PROPOSITION PREMIÈRE. 

TnÉORSIfE. 

Il ne peut jr avoir que cinq polyèdres réguliers. 

Car on a défini polyèdres réguliers ceux dont toutes les 
faces sont des polygones réguliers égaux , et dont tous Jes 
angles solides sont égaux entre eux. Ces conditions ne peu* 
yent avoir lieu que dans un petit nombre de cas. 

i"* Si les faces sont des triangles équilatéraux , on peut 
former chaque angle solide du polyèdre avec trois angles 
de ces triangles , ou avec quatre , ou avec cinq : de là naissent 
trois corps réguliers , qui sont le tétraèdre , Toctaèdre , et 
ricosaèdre. On n'en peut pas former un plus grand nombre 
avec des triangles équilatéraux , car six angles de ces tri* 
angles valent quatre angles droits, et ne peuvent former 
* ai , 5. d'angle solide*. 

a* Si les faces sont des quarrés , on peut assembler leurs 
angles trois à trois ; et de là résulte Thexaèdre ou cube. 

Quatre angles de quarrés valent quatre angles droits , et 
ne peuvent fonner d*angle solide. 

3"* Enfin , si les faces sont des pentagones réguliers , on 
pourra encore assembler leurs angles trois à trois, et il en 
résultera le dodécaèdre régulier. 

On ne peut aller plus loin ; car trois angles d'bexagones 
réguliers valent quatre angles droits , et trois d^heptagones 
encore plus. 

Donc il ne peut y avoir que cinq polyèdres réguliers , 
trois formés avec des triangles équilatéraux , un avec des 
quarrés , et un avec des pentagones. 

Scholie, On va prouver dans la proposition suivante que 



LivBB VII. a33 

CCS cinq polyèdres existent n^ellement , et qu'on peut en 
déterminer toutes les dimensions lorsqu'on connait une de 
lears faces. 

PROPOSITION il. 

PROBLEMB. 

Etant donnée Vune des faces d* un polyèdre régulier, ou 
seulement son côté , construire le polyèdre. 

Ce problème en présente cinq qui vont être résolus suc« 
ceisivement. 

Construction du tétraèdre. 

Soit ABC le triangle équilatéral qui doit être une des faces Sg. 94I, 
, du tétraèdre ; au point O , centre de ce triangle, élevez OS 
perpendiculaire au plan ABC; terminez cette perpendiculaire 
au point S , de sorte que A$== AB ; joignez SB , SC , et la 
' pyramide SABC sera le tétraèdre requis. 

Car, à cause des distances égales OA , OB , OC , les obli* 
ques SA , SB , SC , s'écartent également de la perpendicu- 
laire SO et sont égales. L'une d'elles SA = AB ; donc les 
quatre faces de la pyramide SABC sont des triangles égaux 
au triangle donné ABC. D'ailleurs les angles solides de cette 
pyramide sont égaux entre eux , puisqu'ils sont formés cba. 
cnn ayec trois angles plans égaux \ donc cette pyramide est 
un tétraèdre régulier. 

Construction de l'hexaètlre. 

Soit ABCD un quarré donné : sur la base ABCD construis fig. ^44. 
sez nn prisme droit dont la hauteur A£ scit égale au càté 
AB. Il est clair que les faces de ce prisme sont des qnarrés 
égaux , et que ses angles solides sont égaux entre eux comme 
étant formés cbacun avec trois angles droits ; donc ce prisme 
est nn hexaèdre régulier ou cube. 

Construction de Voctaèdre, 

'Soit AMB un triangle équilatéral donné : sur le côté AB fig 94^. 
décrivez le quarré ABCD ; au point O , centre de ce quarré, 
élevez sur son plan la perpendiculaire TS , terminée de part 
et d'autre en T et S , de manière que OT = OS = AO; 



fig. i4^* 



234 G£0M£TA1B. 

joignez ensuite SA , SB , TA , etc. , vous aurez un solide 
SABCDT y composé de deux pyramides quadrangulaires 1 
SABCD, TABCI>, adossées par leur base commune ABCD , 
ce solide sera Toctaèdre régulier demandé. 

En effet, le triangle AOS est rectangle eu 'O, ainsi que le 
triangle AOD ; les côtés AO , OS , OD , sont égaux ; donc 
ces triangles sont égaux , donc AS = AD. On démontrera 
de mémie que tons les autres triangles rectangles AOT, DOS , 
COT , etc. y sont égaux au triangle AOD ; donc tous les 
e<6tés AB ^ AS ^ AT, etc. sont égaux entre eux , et par con- 
séquent le solide SABCDT est compris sous huit triangles 
égaux au triangle équilatéral donné ABM. Je dis de plus que 
les angles solides du polyèdre sont égaux entre eux : par 
exemple , l'angle S est égal à Tangle B. 

Car il est visible que le triangle SAC est égal au triangle 
DAC , et qu'ainsi l'angle ASC est droit ; donc la figure 
SATC est un quarré égal au quarré ABCD. Mais si on com- 
pare la pyramide BASCT à la pyramide SABCD , la base ] 
ASCT de la première peut se placer sur la basé ABCD de la 
seconde; alors le point t) étant un centre commun, la hau- 
teur OB de la première coïncidera avec la hauteur OS de la 
seconde , et les deux pyramides se confondront en une seule; '| 
donc l'angle solide S est égal à l'angle solide B; donc le so- 
lide SABCDT est an octaèdre régulier. 

SchoUe, Si trois droites égales , AC , BD , ST, sont per- 
pendiculaires entre elles et se coupent dans leur milieu , les 
extrémités de ces droites seront les sommets d'un octaèdre 
régulier. 

Construction du dodécaèdre, ' 

Soit ABCDË un pentagone régulier donné ; soient ABP , 
CSP , deux angles plans égaux à l'angle ABC : avec ces angles 
plané formée l'angle solide B , et déterminez par la propo- 
sition xxiY, liyre v, l'inclinaison mutuelle de deux de ces 
plans , inclinaison que j'appeHe K. Formez semblablement 
aux points C , D , £ , A , des angles solides égaux à l'angle 
solide B , et situés de la môme manière : le plan CBP sera le 
même avec le plan BCG , puisqu'ils sont inclinés l'un et 
l'autre de la même quantité K sur le plan ABCD. On peut 
donc dans le plan PBCG décrire le pentagone BCGU'T égal 



LiVAB VU. a35 

ë 

an pentagone ABCD£. Si on fait de même daHi ehaenn des 
autres plans CDI , D£L , etc. « on aura une surface conveiv 
PFGH y etc. composée de six pentagones réguliers égauk ot 
' nclinés chacun sur son adjacent de la même quantité K* 
Soitp^/i i etc. une seconde surface égale à PFGU , etc« « j« 
dis que ces deux surfaces peuvent être réunies de manière à 
ne former qu'une seule surface convexe contûauc. En efirt* 
Tangle opJ\ par exemple , peut se joindre aux deux angles 
OPB , BPF , pour faire un angle soKde P égal à Tangie B ; et 
dans cette jonction il ne sera rien changé à Tinclinaison des 
plans BPF , BPO , puisque cette inclinaison est telle qu*il le 
Csmt pour la foimation de Taille solide. Mais en même temps 
que Tangle solide P se forme, le cotéj9/s*appliquera sur son 
égal PF y et au point F se trouveront réunis trois angles 
plans PFG 9/2/4? j efg, qui formeront un angle solide égal à 
chacun des angles d^ formés ç cette jonction se fera sans 
rien changer ni à Tétat de Tangle P , ni à celui de la surface 
ef^ , etc. ) car les plans PFG ^ e^ ^ déjà réunis en P , ont 
entre eux Tinclinaison convenable K, ainsi que les piaAs 
^, e^. Continuant ainsi de proche en proche, on v^ît 
que les deux surfaces s'ajusteront mutuellement Tune avee 
Tautre, pour ne former qu'une seule surface continue cl ren-^ 
trante sur elle-même : cette surface sera celle d'un dodé- 
caèdre régulier , puisqu'elle est composée de douM pentn« 
gones réguliers égaux , et que tous ses angles solides sont 
égaux entre eux. 

Construction de Vicosaèdre, 

Soit ABC une de ses faces ; il faut d'abord former un fig. 247. 
angle solide avec cinq plans égaux au plan AB C et égale, 
ment inclinés chacun sur son adjacent. Pour cela , sur le 
cotéB'C, égn! 4 BC, faîtes l< penlagone régulier B'C'IVrD'; 
au centre de ce pentagone élevez sur son plan une perpcmii- 
culaire , que vous tetteinei^fe eh A' de manière que B' A'zr: 
B'C'j joignez A'C, A'H', AT , A'D', et l'angle solide A', 
formé par les 'cinq ptans B'A'C , CA'H' , etc. , sera l'angle 
solide requis. Car les obliques A'B' , A'C , etc. sont égales , 
et l'une d'elles A'B' est égale au o6tc fi^C; donc tons les 
triangles B'A'C, C'A'H' , etc. sont égaux entre eux et au 
triangle damné ABC; 



2^36 GÉOMÉTRIE. 

Il est visible d'ailleurs que les plans B'A'C, C'A' H', etc. 
sont également inclinés chacun sur son adjacent ; car les 
angles solides B'^C, etc. sont égaux entre eux, puisqu'ils 
sont formés chacun avec deux angles de triangles équilaté- 
raux et un de pentagone régulier. Appelons K Tinclinaison 
des deux plans où sont les angles égaux , inclinaison qu*on 
peut déterminer par la proposition xxiv, liv. y; l'angle K 
sera en même temps Tinclinaison de chacun des plans qui 
composent l'angle solide A' sur son adjacent. 

Cela posé , si on fait aux points A , B , C , des angles solides 
égaux chacun à Taugle A' , on aura une surface convexe 
DËFG , etc. composée de dix triangles équilatéraux , dont 
chacun sera incliné sur son adjacent de la quantité K; et les 
angles D, Ë, F, etc. de son contour réuniront alternative- 
ment trois et deux angles de triangles équilatéraux. Imagi- 
nez une seconde surface égale à la surface DËFG , etc. ; ces 
deux surfaces pourront s'adapter mutuellement , enjoignant 
chaque angle triple de Tune à un angle double de l'autre ; 
et, comme les plans de ces angles ont déjà entre eux l'incli- 
naison K nécessaire pour former un angle solide quintuple 
égal à l'angle A , il ne sera rien changé dans cette jonction à 
l'état de chaque surface en particulier , et les deux ensemble 
formeront une seule surface continue , composée de vingt 
triangles équilatéraux. Cette surface sera celle de l'icosaèdre 
régulier, puisque d'ailleurs tous les angles solides sont 
égaux entre eux. 

PROPOSITION III- 



PROBLBMB. 

Trouver l* inclinaison de deux /aces adjacentes d'un po^ 
lyedre régulier. 

Cette inclinaison se déduit immédiatement de la construc- 
tion qui vient d'être donnée des cinq polyèdres réguliers ; k 
quoi il faut ajouter la proposition xxnr , liv. v, par laquelle 
étant donnés les trois angles plans qui forment un angle 
solide , on détermine l'angle que deux de ces plans font 
entre eux. 
fig. a43. Dans le tétraèdre. Chaque angle solide est formé de trois 



LivRB VII. a37 

iDgles de triangles ëquilatéraux : il faut donc chcrclicr par 
\t problème cité Tangle que deux de ces plans font entre 
enx , cet angle sera l'inclinaison de deux faces adjacentes 
du tétraèdre. 

Dans Vhexaedre. L'angle de deux faces adjacentes est un **' ***• 
angle droit. 

Dans Voctaèdre. Formez un angle solide avec deux an- ^6* *** 
gles de triangles ëquilatéraux et un angle droit ; l'inclinai- 
son des deux plans où sont les angles des triangles sera 
celle de deux faces adjacentes de l'octaèdre. 

Dans le dodécaèdre. Chaque angle solide est formé avec *€• *4<5» 
trois angles de pentagones réguliers; ainsi l'inclinaison des 
plans de deux de ces angles sera celle de deux faces adja- 
centes du dodécaèdre. 

Dans Vicosaèdre, Forme» un angle solide avec deux an- ^6* •^^^ 
gles de triangles ëquilatéraux et un angle de pentagone ré- 
gulier, l'inclinaison des deux plans où sont les angles des 
triangles sera celle de deux faces adjacentes de Ticosacdre. 

PROPOSITION IV. 

PBOBLâMB. 

Etant donné le côté' d*un polyèdre régulier , trouver le 
fOyon de la sphère inscrite et celui de la sphère circon- 
scrite au polyèdre. 

Il faut d'abord démontrer que tout polyèdre régulier peut "8- ** * 
être inscrit dans la sphère ^ et qu'il peut lui être circonscrit. 

Soit AB le côté commun à deux faces adjacentes ; soient 
C et £ les centres de ces deux faces , et CD , KD , les perpendi- 
culaires abaissées de ces centres sur le côté commun AB9 
lesquelles tomberont au point D, milieu de ce côté. Les deux 
perpendiculaires CD, D£, font entre elles un angle connu, 
qui est égal à l'inclinaison de deux faccs^adjacentes , déter- . 
minée par le problème précédent. Or si» dans le plan CDE , 
peipendiculaire à AB , on mène sur CD et £D les peq>endi- 
culaires indéfinies .CD et' EO, qui se rencontrent en O, je 
dis que le point O sera le centre de la sphère inscrite et 
celui de la sphère circonscrite ; le rayon de la première 
é<antOG, et celui de la secondc^A. 



938 GBOMliTRXB. 

JLn effet , puisque les apothèmes CD , DÉ , «ont égales, cl 
riiyppténus^ DO commune , le triangle rectangle CDO est 

"18, 1. t^alaw triangle rectangle ODE* et la perpendiculaire OC 
est égale à la perpendiculaire OE. Mais AB étant pcrpcndi- 
çnlairç au plan ÇPE , le plan ABC est perpendiculaire à 

*i7, 5. CDE* , ou CDE à ABC ; d'ailleurs CO , dans le plan CDE, 
est perpendiculaire à CD , interaeetion commune des plans 

•18 5. CDE, 4BC5 donc CQ * est perpendiculaire au plan^ABC. 
Par la mê^np ^ai^on £0 est perpendiculaire au plan ABE ; 
donc les deux perpendiculaires CO , EO , menées aux plans 
de deux faces adjacentes par l^s centres de ces faces , se 
rencontrent en un môme point O et sont égales .^Suppoaon s 
maintenant que ABC et ABE représentent^deux autres faces 
adjacentes quelconques , Tapothême CD restera toujours de 
la même grandeur , ainsi que Tangle CDO , moitié de CDE ; 
d jnc le triangle rectangle CDO et son côté CO seront égaux 
pour toutes les faces du polyèdre ; donc , si du point O 
comme centre et du rayon OC on décrit une sphère , cette 
s pli ère touchera toutes [les faces du polyèdre dans leurs 
centres (car les plans ABC 9 ABE , seront pei*pendiculaires 
à rexlrémité d'un rayon) , et la sphère sera inscrite dans le 
polyèdre, ou le polyèdre circonscrit à la sphère. 

Joignez OA, OB ; à cause de CA = CB , les deux obliques 
OA, OB, s'ccartant également de la perpendiculaire, seront 
égales ; il en sera de même de deux autres^, lignes quelcon- 
ques menées du centre O aux extrémités d'un même côté; 
donc toutes ces lignes sont égaler entre elles ; donc si du 
point O comme centre et du rayon OA on décrit une sur- 
face sphérique , cette surface passera par les sommets de 
f ous les angles solides du polyèdre , et la sphère sera cir- 
conscrite au polyèdre ou le polyèdre inscrit dans la sphère. 

Cela posé , la solution du problème proposé n'a plus au- 
cune difficulté , et peut s'effectuer ainsi : 

fig, 249, Étant donné le côté d'une face du polyèdre , décrivez 
cette face , et $oit CD son apothème. Cherchez par le pro- 
blème précédent l'inclinaison de deux faces adjacentes dn 
polyèdre, et faites l'angle CDE égal à cette inclinaison. 
Prenez DE égale à CD , menez CO et £0 perpendiculaires 
à CD et ËD; ces deux perpendiculaires se rencontreront 



T.ÏVRE VII. 239 

en un point O, e{ CQ sera le rayon de la splière inscrite 
dans le polyèdre. 

Sur le prolongement de DC prenez CA égale au rayon 
du cercle circonscrit à une face du polyèdre , et OA sera 
le rayon de la sphère circonscrite à ce même polyèdre. 

Car les triangles rectangles CDO, CAO, de la Gg. 249, 
Sont égaux aux triangles de m<îme nom dans la figure *tI^S: 
ainsi, tandis que CÙ et CA sont les rayons des cercles in- 
scrit et circonscrit à une face du polyèdre , OC et OA font 
les rayons des sphères inscrite et circonscrite au même po- 
lyèdre. 

Scholie, On peut tirer des propositions précédentes plu- 
sieurs conséquences. 

1** Tout polyèdre régulier peut être partagé en autant de 
pyramides régulières que le polyèdre a de faces : le sommet 
commun de ces pyramides sera le centre du polyèdre, qui 
est en même temps celui des sphères inscrite et circonscrite. 

2^ La solidité d'un polyèdre régulier est égale à sa surface 
multipliée par le tiers du rayon de la sphère inscrite. 

V* Deux polyèdres réguliers de même nom sont deux so- 
lides semblables , et leurs dimensions homologues sont pro- 
portionnelles ; donc les rayons des sphères inscrites ou cir- 
conscrites sont entre eux comme les côtés de ces polyèdres, 

4* Si on inscrit un polyèdre régulier dans une sphère ^ 
les plans menés du centre le long des différents côtés par* 
tageront la surface de la sphère en autant de polygones 
iphériques égaux H semblables que le polyèdre a de faces. 



LIVRE VIII. 

LES TROIS CORPS RONDS. 



DEFINITIONS. 

Ag. i5o. I, (Jif appelle cylindre le solide produit par la révo- 
lution d'un rectangle ABCD, qu'on imagine tourner 
autour du côté immobile AB. 

Dans ce mouvement les côtés AD, BC, restant 
toujours perpendiculaires à AB, décrivent des plans 
circulaires égaux DHP, CGQ, qu'on appelle les 
bases du cylindre ^ et le côté CD en décrit la surfojce 
convexe. 

La ligne immobile AB s'appelle Vaxe du cylindre. 

Toute section KLM , faite dans le cylindre perpen- 
diculairement à Taxe, est un cercle égal à chacune 
des bases : car pendant que le rectangle ABCD 
tourne autour de AB , la li^ne IK , perpendiculaire à 
AB, décrit un plan circulaire égal à la base, et ce 
plan nVst autre chose que la section faite perpendi- 
culairement à Taxe au point I. 

Toute section PQGH, faite suivant Taxe, 'est un 
rectangle double du rectangle générateur ABCD. 
fig.^5,, IL On appelle cône le solide produit par la révo- 
lution du triangle rectangle SAB , qu'on imagine tour- 
ner autour du côté immobile SA. 

Dans ce mouvennent le côté AB décrit un plan cir- 
culaire BDCE, qu'on appelle la base du cône, et ITiy- 
poténuse SB en décrit la surface convexe. 

Le point S s'appelle le sommet du cône y SA Paxe 
ou la Imuteury et SB le côté ou Papothême* 

Toute section HKFI, faite perpendiculairement i j 
Taxe, est un cercle} toute section SDE, faite soi- 



vant Taxe 9 est un triangle isoscèle double du triangle 
générateur SÀB. 

IIL Si du cône SCDB on retranche , par une sec- 
tion parallèle à la base, le cône SFKH, le solide res- 
tant GBHF s'appelle cône tronqué ou tronc de cône. 

On peut supposer qu'il est décrit par la révolution 
du trapèze ABH6 , dont les angles A et 6 sont droits , 
autour du côté AG. La ligne immobile AG s appelle 
Vaxe ou la hauteur du tronc ^ les cercles BDC, HFK , 
en sont les hases ^ et BH en est le coté. 

IV. Deux cylindres ou deux cônes sont semblables 
lorsque leurs axes sont entre eux comme les diamètres 
de leurs bases. 

y. Si, dans le cercle AGD qui sert de base à un fig. i52. 
cylindre, on inscrit un polygone ABCDE, et que sur 
la base ABCDE on élève un prisme droit égal en 
hauteur au cylindre , le prisme est dit inscrit dans le 
cylindre y ou le cylindre circonscrit au, prisme. 

Il est clair que les arêtes AF , BG , GH , etc. du 
prisme, étant perpendiculaires au plan de la base, 
sont comprises dans la surface convexe du cylindre; 
donc le prisme et le cylindre se touchent suivant ces 
arêtes. 

VI. Pareillement, si ABGD est un polygone cîrcon- fig. ass. 
sent à la base d'un cylindre, et que sur la base ABGD 
on construise un prisme droit égal en hauteur au cy- 
lindre, le prisme e&ià\lxirconscrit au cylindre, ou le 
cylindre inscrit dans le prisme. 

Soient M, N, etc. les points de contact des côtés 
AB, BC, etc. et soient élevées par les points M, N, 
etc. les perpendiculaires MX, NY, etc. au plan de la 
base; il est clair que ces perpendiculaires seront à-la- 
/ois dans la surface du cylindre et dans celle du prisme 
circonscrit ; donc elles seront leurs lignes de contact. 

N. B. Le cylindre, le cône, et U iphère, sont les trvis corps ronds 
dont on s'occnpe dans les éléments. 

i6 



^42 6B0METRIE. 

■■I ^ " 'i ' J '» I ■ ■'■ ■' "I I . I ■ I i .H ii j* « I I I I t f I H.I j 1 I ^ i^jpn^^i^^g^ 

Lemmes préliminaires sur les surfaces. 

I- 
fig. a54. Une surf ace plane OABCD est plus petite que 
toute autre suif ace PABCD', terminée au même 
contour ABCD. 

Cette proposition est assez évidente pour être ran- 
gée au nombre des axiomes; car on pourrait suppo- 
ser que le plan est parmi les surfaces ce que la ligné 
droite est parmi les lignes : la ligne droite est la plus 
courte entre deux points donnés, de même le plan 
est la surface la plus petite entre toutes celles qui ont 
un même contour. Cependant comme il convient de 
réduire les axiomes au plus petit nombre possible, 
voici un raisonnement qui ne laissera aucun doute 
s ur celte proposition. 

Une surface étant une étendue en longueur et en 
largeur, on ne peut concevoir qu'une surface soit 
plus grande quune autre, à moins que les dimensions 
de la première n'excèdent dans quelques sens celles 
de la seconde ; et s'il arrive que les dimensions d'une 
surface soient en tous sens plus petites que les dimen- 
sions d'une autre surface, il est évident que la pre- 
mière surface sera la plus petite des deux. Or, dans 
quelque sens qu'on fasse passer le plan BPD , qui cou- 
pera la surface plane suivant BD, et l'autre surface 
suivant BPD, la ligne droite BD sera toujours pluà 
petite que BPD 5 donc la surface plane OABCD est 
plus petite que la surface environnante PABCD. 

II. 
fig. a55 Toute sur/ace convexe OABCD est moindre 
qu'une autre surface quelconque qui em^elopp^ 
rait la première en s' appuyant sur le même con* 
tour ABCD, 



Nqu|5 répéterons ici que nous entendopâ par #ur- 
fœe cofwexe une surface qui ne peut être rencontrée 
par une ligne droite en plus de deux points : et ce^ 
pendant il est possible qu'une ligne droite s'applique 
exautenient dans un certain sens sur une surface 
conYexe ; on en voit des exemples dans les surfaces 
4li cône et du cylindre. Nous obseiTerons aussi que 
la dénomiaaMon de surface convexe n'est pas bornée 
aux seules surlaces eourbes ; elle comprend les sur* 
feces polyédrahs ou composées de plusieurs plans, 
et aussi les surfaces en partie courbes , en partie po* 
lyédrales. 

Gela posé, si la surface OABGD n^est pas plus 
petite que toutes celles qui l'enveloppent, soit parmi 
celles-ci PABCD la surface la plus petite qui sera au 
plus égale à OABGD. Par un point quelconque O^ 
faites passer un plan qui touche la surface OABGD 
sans la couper; ce plan rencontrera la surface PABGD, 
et la partie qu'il en retranchera sera plus grande que 
le plan terminé à la même surface* : donc, en con- *!«»»•». 
servant le reste de la surface PABGD , on pourrait 
substituer le plan à la partie retranchée , et on aurait 
une nouvelle surface qui envelopperait toujours la sur- 
face OABGD , et qui serait plu» petite que PABGDl 

Mais celle-ci est la plus petite de toutes par hypo- 
thèse; donc cette hypothèse ne saurait subsister, donc 
la surface convexe OABGD est plus petite que toute 
autre surface qui envelopperait OABGD, et qui serait 
terminée au même contour ABGD. 

Scliolie. Par un raisonnement entièrement semblable 
on prouvera, 

i^ Que» si une surface convexe terminée par deux fig* s^j 
(Contours ABG , DEF , est enveloppée par une autre 
surface quelconque terminée aux mêmes contourf» 
la lurfajQe enveloppée s^ra la plus petite des deux* 



a44 cioMiiTRiÉ. 

£§.25;. a^ Que , si une surface convexe AB est enveloppée 
de toutes parts par une autre surface MN, soit qu'elles 
aient des points, des lignes ou des plans communs, 
soit qu'elles n aient aucun point de commun , la sur- 
face enveloppée sera toujours plus petite que la surface 
enveloppante. 

Car parmi celles-ci il ne peut y en avoir aucune 
qui soit la plus petite de toutes , puisque dans tous les 
cas on pourrait toujours mener le plan CD tangent 
à la surface convexe , lequel plan serait plus petit 

^lem.T. que la surface GMD^; et ainsi la surface CND serait 
plus petite que MN , ce qui est contraire à Thypothèse 
que MN est la plus petite de toutes. Donc la surface 
convexe AB est plus petite que toutes celles qui l'en- 
veloppent. 

PROPOSITION PREMIÈRE. 

THEOREME. 

La solidité (Vun cylindre est égale au produit 
de sa hase par sa hauteur. 

fig. ^58. Soit G A le rayon de la base du cylindre donné, 
H sa hauteur; représentons par surf. CA la surface 
du cercle dont le rayon est CA \ je dis que la 
solidité du cylindre sera surf. CA'X H. Car, si 
surf. CA X H n'est pas la mesure du cylindre donné, 
ce produit sera la mesure d un cylindre plus grand 
ou plus petit. Et d^abord supposons quil soit la 
mesure d'un cylindre plus petit, par exemple, du 
cylindre dont CD est le rayon de la base et H la 
hauteur. 

Circonscrivez au cercle dont le rayon est CD, un 
polygone régulier GHIP , dont les côtés ne rencon« 

♦lu, 4. trent pas la circonférence dont G A est le rayon*; 
imaginez ensuite un prisme droit qui ait pour base le 



Il I VAX VIII. tti^ 

polygone GHIP , et pour hauteur H ^ lequel prisme 
sera circonscrit au cylindre dont CD est le rayon de 
la base. Cela pose, la solidité du prisme^ est égale a * 14. 
sa base GHIP, multipliée par la hauteur H; la base 
GHIP est plus petite que le cercle dont CA est le 
rayon : donc la solidité du prisme est plus petite que 
surf. CA X H. Mais surf. CA X H est , par hypothèse , 
la solidité du cylindre inscrit dans le prisme; donc 
le prisme serait plus petit que le cylindre : or , au 
contraire^ le cylindre est plus petit que le prisme , 
puisqu^il y est contenu ; donc il est impossible que 
surf. CAxH soit la mesure du cylindre dont CD 
est le rayon de la base et H la hauteiu*; ou, en termes 
plus généraux , le produit de la base d^un cylindre . 
for sa hauteur ne peut mesurer un cylindre plus 
petit. 

Je dis en second lieu que ce même produit ne peut 
mesurer un cylindre plus grand: car, pour ne pas 
multiplier les figures , soit CD le rayon de la base du 
cylindre donné, et soit, s'il est possible, surf. CDx H 
la mesure d'un cylindre plus grand, par exemple, 
du cylindre dont CA est le rayon de la base et H la 
hauteur. 

Si on fait la même construction que dans le premier 
cas, le prisme circonscrit au cylindre donné aura 
pour mesure GHIP X H : Taire GHIP est plus grande 
que surf. CD ; donc la solidité du prisme dont il 
s agit est plus grande que surf. CD x H : le prisme 
serait donc plus grand que le cylindre de même hau- 
teur qui a pour base surf CA. Or, au contraire, le 
prisme est plus petit que le cylindre, puisqu'il y est 
contenu ; donc il est impossible que la base d^un cy^ 
lindre multipliée par sa tiauteur soit la mesure d^un 
cylindre plas grand. 

Donc enfin la solidité d'un cylindre est égale au 
produit de sa base par sa hauteur. 



Ma .GSOMéTUlB. 

Corollaire I. Les cylindres de kiiéme hauteur sdfii 
ehtre eux comme leurs bases, et les cylindres de 
même base sant entre eux comme leurs hauteurs. 

Corollaire II. Les cylindres semblables sont comme 
les cubes des hauteurs , ou comme les cubes des dia« 
mètres des bases. Car les bases sont comme les quarrés 
de leurs diamètres ; et puisque les cylindres sont 
semblables, les diamètres des bases sont comme les 
ait 4. hauteui^ * : donc les bases sont comme les quarrés 
des hauteurs ; donc les bases multipliées par les hau- 
teurs, ou les cylindres eux-mêmes, sont comme les 
cubes des hauteurs. 

Scholie. Soit R le rayon de la base d^un cylindre, 
*w, 4. M sa hauteur, la surface de la base sera irR**', et là 
solidité du cylindre sera irR' xH, ou tuR^H. 

PROPOSITION II. 

li £ M M E. 

La surface convexe d'un prisme droit est égale 
au périmètre de sa base multiplié par sa hauteur. 

fig. a5a. Car cette surface est égale à la somme des rectangles 
AFGB , BGHG ^ GHID , etc. dont elle est composée 1 
or les hauteurs ÂF, BG, CH, etc. de ces rectangles 
sont égales à la hauteur du prisme ; letu's bases AB ^ 
BG, GD, etc. prises ensemble, font le périmètre de la 
base du prisme. Donc la somme de ces rectangles ou 
la surface conyexe du j^risme est égale au périmètre de 
sa base multiplié par sa hauteur. 

Corollaire. Si deux prismes droits ont là même 
bauteiu*, les surfaces convexes dé tes prismes seront 
entre elles comme les périmètres dé leurs bases. 



LtVRB VI il. %4j 

PROPOSITION m. 

L s M M fi. 

La surface convexe du cylindre est plus grande 
que la surface convexe de toutpmme inscrit ^ et 
plus petite que la surface convexe de tout prisme 
circonscrit. 

Car la surface convexe du cylindre et celle du Sg.iSs. 
prisme inscrit ABCDEF peuvent être considérées 
oomme ayant même longueur ^ puisque toute sciption 
Cuite dans lune et dans l'autre parallèlement à AF 
est égale à AF ; et si pour avoii* les laideurs de ces 
surfaces on les coupe par des plans parallèles à la 
base ou perpendiculaires à laréte AF, les sections 
seront égales, l'une à la circonférence de la base^ 
l'autre au contour du polygone ABGDE plus petit 
que cette circonférence : donc , puisqu'à longueur 
égale la largeur de la surface cylindrique est plus 
grande que celle de la surface prismatique , il s en- 
suit que la première surface est plus grande que la 
seconde. 

Par un raisonnement entièrement semblable on fig. ^3. 
prouvera que la surface convexe du cylindre est 
plus petite que celle de tout prisme circonscrit 
BCDKLH. 

PROPOSITION IV, 
TnÉoaâxB. 

La surface connexe d^un cylindre est égale à 
la circonférence de sa base multipliée par sa 
hauteur. 

Soit GA le rayon de la^base du cylindre donné 9 fig.aSS. 
H sa hauteur ; si on représente par cire. GA la 
Qtroauférence qui a pour rayon GA , je dis que 



^48 GBOKBTJUIB* 

cire. GA X H sera la surface convexe de ce cylindre. 
Car , si on nie cette proposition , il faudra que 
cire. GAxH soit la surface d'un cylindre plus grand 
ou plus petit; et d'abord supposons quelle soit la 
surface d'un cylindre plus petit, par exemple, du 
cylindre dont CD est le rayon de la base et H la 
hauteur. 

Circonscrivez au cercle dont le rayon est. CD un 
polygone régulier GHIP , dont les côtés ne rencon- 
trent pas la circonférence qui a CA pour i*ayon ; ima- 
ginez ensuite un prisme droit qui ait pour hauteur 
H, et pour base le polygone GHIP. La surface con- 
vexe de ce prisme sera égale au contour du polygone 
a- GHIP multiplié par la hauteur H* : ce contour est 
plus petit que la circonférence dont le rayon est 
CA; donc la surface convexe du prisme est plus petite 
que cire. CA X H. Mais cire. CA X H est , par hypo- 
thèse 9 la surface convexe du cylindre dont CD est le 
rayon de la base , lequel cylindre est inscrit dans le 
prisme ; donc la surface convexe du prisme serait plus 
petite que celle du cylindre inscrit. Or^ au contraire, 
* 3. elle doit être plus grande * ; donc Thypothèse d'où 
l'on est parti est absurde: donc, i^ la circonférence 
de la base (Tun cylindre multipliée par sa hauteur 
ne peut mesurer la surface convexe d^un cylindre 
plus petit. 

Je dis en second lieu que ce même produit ne peut 
mesurer la surface dun cylindre plus grand. Car, 
pour ne pas changer de figure , soit CD le rayon de 
la base du cylindre donné, et soit, s'il est possible ^ 
cire. CDxH la surface convexe d'un cylindre qui, 
avec la même hauteur, aurait pour base un cercle 
plus grand, par exemple, le cercle dont le rayon est 
CA. On fera la même construction que dans la pre- 
mière hypothèse, et la surface convexe du prisme 
sera, toujours égale au contour du polygone GHIP 



r 



multiplie par la hauteur H. Mais ce contour est plus 
grand que cire. CD; donc la surface du prisme serait 
plus grande que cire. CDxH , qui, par hypothèse, 
est la surface du cylindre de même hauteur dont GA 
est le rayon de la base. Donc la surface du prisme 
serait plus grande que celle de ce cylindre. Mais, 
quand même le prisme serait inscrit dans le cylindre , 
sa surface serait plus petite que celle du cylindre * ; 
à plus forte raison est -elle plus petite lorsque le 
prisme ne s'étend pas jusqu'au cylindre. Donc la se-* 
conde hypothèse ne saurait ayoir lieu ; donc . a^ la 
circonférence de la base d'un cylindre multipliée par 
sa hauteur ne peut mesurer la surface d^un cylindre 
plus grand. 

Donc enfin la surface couTCxe d'un cylindre est 
égale à la circonférence de sa base multipliée par sa 
hauteur. 

PROPOSITION V. 



A 



THBOaBMB. 



La solidité d*un cône est égale au produit de 
sa base par le tiers de sa hauteur. 

Soit SO la hauteur du c6ne donné, AO le rayon Sg. 159, 
de la base; si on désigne par surf. AO la surface de 
la base , je dis que la solidité de ce cône sera égale à 
^AOx^SO. 

En effets supposons i^ que stirf. AOx j SO soit la 
solidité d'un cône plus grand, par exemple, du cône 
dont SO est toujours la hauteur j mais dont OB , plus 
grand que AO , est le rayon de la base« 

Au cercle dont le rayon est AO circonscriTez un 
polygone régulier MNPT qui ne rencontre pas la 
circonférence dont le rayon est OB * ; imaginez en» *^^i^ 
suite une pyramide qtd ait pour base le polygone 
et pour sommet le point S. La solidité de cette py* 



* 19 , 6. rftàiide * est égale à Taire du polygone MNPT lAuk 
tipiiëe par le tiers de la hauteur SO. Mais le polj- 
* gone est plus grand que le cerde inscrit représenté 

par sur/l AO ; donc la pyramide est plus grande , 
que surf. AO x 4 SO , qui , par hypothèse , est la me- 
sure du cône dont S est le sommet et OB le rayon de 
la base. Or, au contraire , la pyramide est plus petite , 
que le cône, puisqu'elle y est contenue; donc i^ il 
est impossible que la base d'un cône multipliée par 
le tiers de sa hauteur soit la mesure d'un cône plus 
gï'atid. 

Je dis 2*^ que ce même produit ne peut être la me- 
sure d'un cône pltis petit Car , pour ne pas changer 
de figure, soit OB le rayon de la base du cône don- 
né, et soit, s*il est possible, surf. OfixjSO la soli- 
dité du cône qui a pour hauteur SO et pour base le 
cercle dont AO est le rayon. On fera la même con- 
struction que ci-dessus , et la pyramide SMNPT aura 
pour mesure Taire MNPT multipliée par | SO. Mais 
Taire MNPT est plus petite que surf OB ; donc la 
pyramide aurait une mesure plus petite que surf» 
OBX3 SO, et par conséquent elle serait plus petite 
que le cône dont AO est le rayon de la base et SO la 
hauteur. Oi', au contraii'e , la pyramide est plus gi^aode 
que le oône, puisque le cône y est contenu : donc a* 
il est impossible que la base d un cône multipliée par 
le tiers de sa hauteur soit la mesure d'un càné plus 
petit» 

Don« enfin la solidité dun cône est égale au pro" 
dttit de sa base par le tiers de sa hauteur. 

Corollaire. Un cône est le tierfc d'uit éylindte de 
mftnKi baM et de même hauteur ; d*où il suit , 

1^ Que l«s eônes d'égales hauteurs aont entre eux 
'-' '* cMfiiiie ieut^ bases j 

ft** Q119 lès cônes de bases égales sont entre eus 
ciQtitt^ it^^ hauteurs ^ 



IiIYMB TIlKi aSl 

3^ Que les cànei semblables sont comme les cubes 
des diamètres de leui^s bases ^ ou comme les cubes de 
leurs hauteurs. 

Schotie. Soit R le rayon de la base d'un cône , H 
sa hauteur; la solidité du cône sera 17R' X j H ou 

PROPOSITION VI. 
tubokâmb. 

Le cône tronqué ADEB, dontkO^ DP sont les ^8- **^ 
rayons des bases et PO /a hauteur^ a pour me- 

sure^.Tç. OP. (aoV DP 4- AO x DP). 

Soit TFGH une pyramide triangulaire de même 
hauteur que le cône SAB, et dont la base FGH soit 
ë^bitatenle à k base du cône. On peut supposer que 
ces deux bases sont placées sur un même plan ; alors 
1m sommets S et T seront à égales distances du plan 
des baseSf et le plan EPD prolongé fera dans la pyra- 
mide la section IKL. Or je dis que cette section IKL 
est équivalente à la base DE ^ car les bases AB , D£ ^ 
iont entre elles comme les quarrés des rayons AO , 
DP\ ou comme les quarrés des hauteurs SO, SPj *^^»^ 
les triangles FGH , IKL , sont entre eux comme les 
quarrés de ces mêmes hauteurs^; donc les cercles ^iM« 
AB.DE, sont entre eux comme les triangles FGH, 
KL Mais, par hypothèse, le triangle FGH est équi-* 
^enl au cercle AÈ ; donc le triangle IKL est équiva- 
Icnt au cercle DE. 

Maintenant, la base AB multipliée par ~S0 .est la 
solidité du cône SAB, et la base FGH multipliée par 
î^O est celle de la pyramide TFGH^ donc, à cause 
des bases équivalentes | la solidité de la pyramide est 
^ale à celle du cône. Par une raison semblable , la 
pyramide TIKL esc équiraleate au cône SDE; donc 



aSa GÉOMIÂTAIB. 

le tronc de cône ADEB est équivalent au tronc de 
pyramide FGHIKL. Mais la base FGH, équivalente 
au cercle dont le rayon est AO, a pour mesure 

a 9 

wx AOj de même la base IKL= ttx DP, et la 

moyenne proportionnelle entre irxAOetwxDP 
est 7C X AO X DP ; donc la solidité du tronc de pyra- 
mide , ou celle du tronc de cône , a pour mesure jOP X ' 

♦ ao, 6. (tt X AO+w X DP+Tu X AO X DP ) % qui est la même 

chose que ^TT X O P X (ÂO + DP + AO X D p). 

PROPOSITION VIL 

THBOEEMB* 

La surface œnvexe d'un cône est égale à la 
circonférence de sa base multipliée par la moi- 
tié de son côté. 

fig. 309. Soit AO le rayon de la base du cône donné, S son' 
sommet , et SA son côté ; je dis que sa surface sera 
c/rc. AOX7SA. Car soit, s'il est possible, cire, AOX, 
^SA, la surface dun cône qui aurait pour sommet le 
point S et pour base le cercle décrit du rayon OB plus 
grand que AO. 

Circonscrivez au petit cercle im polygone régulier 
MNPT, dont les côtés ne rencontrent pas la cir- 
conférence qui a pour rayon OB; et soit S MNPT 
la pyramide régulière, qui aurait pour base le poly- 
gone, et pour sommet le point S. Le triangle SMN, 
lun de ceux qui composent la surface convexe de la 
pyramide, a pour mesure sa base MN multipliée par 
la moitié de la hauteiu- SA , qui est en même temps 
le- côté du cône donné; cette hauteur étant égale 
dans tous les autres triangles SNP, SPQ, etc. il 
s'ensuit que la surface convexe de la pyramide est 
égale au contour MNPTM multiplié par ^ SA. Mais 



LIYAS TIII. ^53 

le contour MNPTM, est plus grand que cire. AO; 
donc la surface convexe de la pyramide est plus 
grande que cire, AOx^SA, et par' conséquent plus 
grande que la surface convexe du cône qui avec le 
même sommet S aurait pour base le cercle décrit 
du rayon OB. Or, au contraire , la surface convexe 
du cône est plus grande que celle de la pyramide; 
car si on adosse base à base la pyramide à une pyra- 
mide égale, le cône à un cône égal, la surface des 
deux cônes enveloppera de toutes parts la surface des 
deux pyramides; donc la première surface sera plus 
grande que la seconde*, donc la surface du cône est *leiii.i. 
plus grande que celle de la pyramide qui y est com- 
prise. Le contraire était une suite de notre hypothèse; 
donc cette hypothèse ne peut avoir lieu : donc i^ la 
circonférence de la base d'un cône multipliée par la 
moitié de son côté ne peut mesurer la surface d'un 
^ cône plus grand. 

Je dis a° que le même produit ne peut mesurer 
la «urface d un cône plus petit. Car soit BO le rayon 
delà base du côté donné, et soit, s'il est possible , 
ct/v. BOx~ SB la surface du cône dont S est le som- 
met, et AO , plus petit que OB , le rayon de la base. 

Ayant fait la même construction que ci -dessus, 
la surface de la pyramide SMNPT sera toujours 
égale au contour MNPT multiplié par ^ SA. Or Je 
contour MNPT est moindre que cire. BO, SA est 
moindre que SB; donc par cette double raison la 
surface convexe de la pyramide est moindre que cire. 
BOx^SB, qui, par hypothèse , est la surface du cône 
dont AO est le rayo^ de la base ; donc la surface de 
u pyramide serait plus petite que celle du cône in- 
scrit Or, au contraire, elle est plus grande; car en 
adossant base à base la pyramide à une pyramide 
^ale, le cône à un cône égal, la surface des deux 
pyramides enveloppera celle des deux cônes, et par 



\ 



Conséquent sera la plus grande. Dono a® il est împo»» 
sible que la circonférence de la base d'un oAne donné 
multipliée par la moitié de sou côté mesure la surface 
d'un cône plus petit. 

Donc enfin la surface convexe d'un cône est égale 
à la circonférence de sa base multipliée par la moitié 
de son côté. 

Scholie. Soit L le côté dun cône, R le rayon de 
sa base, la circonférence de cette base sera 2irR, 
et la surface du cône aura pour mesure aicRxfL, 
ou ttRL, 

PROPOSITION VIII. 

THÉORBMB. 

fig. a«i. La suif ace convexe du tronc de cône AD£B est 
égale à son côté AD multiplié par la denii^sommâ 
des circonférences de ses deux bases AB , DE. 

Dans le plan SAD qui passe par Taxe SO , menez 
perpendiculairement à SA la ligne A F, égale à ia 
circonférence qui a pour rayon AOj joignez S F, et 
menez DH parallèle à AF. 

A cause des triangles semblables SAO , SDC, on 
aura AO:DC :: SA:SD; et à cause des triangles 
semblables SAF, SDH, on aura AF:DH :: SA.SD; 
•il, 4. donc AF:DH :: AO:DC, ou :: c/tt. AO:«>r. DC*. 
Mais par construction AF = cîrc. AO ; donc DH = 
cire. DC. Cela posé, le triangle SAF, qui a pour 
mesure AFx~SA, est égal à la surface du cône 
SAB qui a pour mesure cire. AOx-jSA. Par une rai- 
son semblable le triangle SDH ^t égal à la surface 
du cône SDE. Donc la surface du tronc ADEB 
est égale à celle du trapèze ADHF. Celle^û a pour 

♦7, 3, mesure * AD x ( — ^^ — j ; donc la surface du 

tronc de cône ADEB est égale à son côté AD œul- 



.tI¥HB TIII. »55 

tipllé par la demi-somme des circonférences de ses 
deux bases. 

Corollaire. Par le point I, milieu de AD, menez 
IKL parallèle à ÂB , et IM parallèle à AF ; on dé- 
montrera comme ci-dessus que IM.= cire. IK. Mais 
le trapèze ADHF=ADx IM=ADxc/rc. IK. Donc 
on peut dire encore que la sur/ace d*un tronc de 
cône est égale à son côté multiplié par la circonfé 
rence d^une section /aite à égale dislance des deux 
bases. 

Scholie. Si une ligne AD, située tout entière 
dW même côté de la ligne OC et dans le même 
plan, fait une révolution autour de OC, la sur- 
face décrite par AD aura pour mesure AD x 

( cire. AO -+- cire. DC\ at\... • tv i t 

[ -^ )i OU AD X arc. IK ; les lignes 

ÂO, DC, IK, étant des perpendiculaires abaissées 
des extrémités et du milieu de la ligne AD sur 
Taxe OC. 

Car si on prolonge AD et OC jusqu'à leur ren- 
contre mutuelle en S , il est clair que lu surface dé- 
crite par AD est celle d'un cône tronqué dont OA 
et DC sont les rayons des bases , le cône entier ayant 
pour sommet le point S. Donc cette surface aura la 
mesure mentionnée. 

Cette mesure aurait toujours lieu, quand même le 
point 'D tomberait en S, ce qui donnerait un cône 
entier, et aussi quand la ligne AD serait parallèle à 
Taxe, ce qui donnerait un cylindre. Dans le premier 
o$s DC serait nulle, dans le second DC serait égale à 
AO et à IK. 



%Sê 6BOMÉTRIS. 

PROPOSITION IX. 

L E M M B. 

fig. *6«. Soient AB, BC> CD, plusieurs côtés successifs 
d'un polygone régulier, O son centre, et CI le 
rayon du cercle inscrit; si on suppose que la 
portion de polygone ABGD , située tout entière 
d'un même côté du diamètre FG, fasse une ré- 
s^olution autour de ce diamètre, la surface dé- 
crite par ABGD aura pour mesure MQ X cire. 01, 
MQ étant la hauteur de cette surface ou la par- 
tie de Vaxe comprise entre les perpendiculaires 
AM, DQ. 

Le point I étant milieu de AB, et IK étant une 
perpendiculaire à Taxe abaissée du point I, la sur- 
* 8. face décrite par AB aura pour mesure AB X cire. IK*. 
Menez AX parallèle à l'axe, les triangles ABX, OIK, 
auront les côtés perpendiculaires chacun à chacun ^ 
savoir 01 à AB, IK à AX, et OK à BX; donc ces 
triangles sont semblables et donnent la proportion 
AB : AX ou MN :: 01 : IK, ou :: cire. 01 : cire. IK,- 
donc AB X cire. IK = MN X c/rc. OI. D'où l'on voit 
que la surface décrite par AB est égale à sa hauteur 
MN multipliée par la circonférence du cercle inscrit. 
De même la surface décrite par BC, =:NP X cire. 01, 
la surlace décrite par CD, =PQ xc/rc. 01. Donc la 
surface décrite par la portion de polygone ABCD, 
a pour mesure (MN + NP + PQ) X c/rc. 01, ou 
MQ X c/no. 01; donc elle est égale à sa hauteur multi- 
pliée par la circonférence du cercle inscrit. 

Corollaire. Si le polygone entier est d'un nombre 
de côtés pair, et que l'axe FG passe par deux som- 
mets opposés F et G ^ la surface entière décrite parla 



révoludon du demi-polygone FACG sera égale à sou 
axe FG multiplié par la circonférence du cercle inscrit. 
Cet axe FG sera en même temps le diamètre du cercle 
circonscrit. 

PROPOSITION X. 

La surface de la sphère est égale à son dia^ 
mètre multiplié par la circonférence d*un grand- 
cercle. 

Je dis i^ que le diamètre d^une sphère , multiplié 
par la circonférence de son grand cercle, ne peut 
mesurer la surface d'une sphère plus grande. Car 
soit, s'il est possible, AB X cire. AG la surface de la fig. a63. 
sphère qui a pour rayon CD. 

Au cercle dont le rayon est GA, circonscrivez un 
polygone régulier d'un nombre pair de côtés qui ne 
rencontre pas la circonférence dont CD est le rayon; 
soient M et S deux sommets opposés de ce polygone; 
et autour du diamètre MS faites tourner le demi*po- 
lygone MPS. La surface décrite par ce polygone aura 
pour mesure MS X cire. AG* : mais MS est plus grand *^, 
que AB; donc la surface décrite par le polygone est 
plus grande que AB x cire. AG , et par conséquent 
plus grande que la surface de la sphère dont le rayon 
est CD. Or, au contraire, la surface de la sphère est 
plus grande que la surface décrite par le polygone, 
puisque la première enveloppe la seconde de toutes 
parts. Donc i^ le diamètre d'une sphère multiplié par 
la circonférence de son grand cercle ne peut mesurer 
la surlace d'une sphère plus grande. > 

Je di3 2^ que ce même produit ne peut mesurer 
la surface d'une sphère plus petite. Car soit, s'il est 

'7 



a58 GÂouitRiE. 

poasil)le, DE X cire. CD la surface de la sphère qui a 
pour rayon GA. On fera la même construction que 
dans le premier cas^ et la surface du solide engendré 
par le polygone sera toujours égale à MSxci/r. AG. 
Mais MS est plus petit que DE, et cire: AG plus petite 
que cîrc. CD ; donc , par ces deux raisons , la surface 
du solide décrit par le polygone serait plus petite que 
DE X cire. CD, et par conséquent plus petite que la 
surface de la sphère dont le rayon est AG. Or, au 
contraire^ la surface décrite par le polygone est plus 
grande que la surface de la sphère dont le rayon est 
AC, puisque la première surface enveloppe la seconde; 
donc 2^ le diamètre d'une sphère multiplié par la cir- 
conférence de son grand cercle ne peut mesurer la 
surface d'une sphère plus petite. 

Donc la surface de la sphère est égale à son dia- 
mètre multiplié par la circonférence de son grand 
cercle. 

Corollaire. La surface du grand cercle se mesure 
en multipliant sa circonférence par la moitié du rayon 
ou le quart du diamètre; donc la surface de la sphère 
est quadniple Je celle d'un grand cercle* 

Scholie. La surface de la sphère étant ainsi mesurée 
et comparée à des surfaces planes, il sera facile d'avoir 
la valeur absolue des fuseaux et triangles sphériques 
dont on a déterminé ci-dessus le rapport avec la sur- 
face entière de la sphère. 

D'abord le fuseau dont langle est A, est à la surface 
de la sphère comme langle A est à quatre angles 
*ao,7. droits*, ou comme Tare de grand cercle qui mesure 
l'angle A est à la circonférence de ce même grand 
cercle. Mais la surface de la sphère est égale à cette 
circonférence multipliée par le diamètre;^ donc la 
surface du fuseau est égale à Tare qui mesure l'angle 
de ce fuseau multiplié par le diamètre. 



LivRB VIII. aS^ 

En second lieu tout triangle sphërique est équi- 
valent à un fuseau dont langle est égal à la moitié de 
lexcès de la somme de ses trois angles sur deux 
angles droits \ Soient donc P, Q, R, les arcs de *^Xj' 
grand cercle qui mesurent les trois angles du trian- 
gle ; soit G la circonférence dW grand cercle 
et D son diamètre ; le triangle sphérique sera 
équiTaient au fuseau dont Fangle a pour mesure 

, et par conséquent sa surface sera 

D X (^tQ±»=±Ç). 

Ainsi, dans le cas du triangle tri -rectangle, cha- 
cun des arcs P, Q, R, est égal à jG, leur somme 
est-jCT, Texcès de cette somme sur ^ G est ^ G, et la 
moitié de cet excès =^G ; donc la surface du triangle 
tri-rectangle zzi^GxD, ce qui est la huitième partie 
de la surface totale de la sphère. 

La mesure des polygones sphériques suit immédia- 
tement celle des triangles, et d^aîlleurs elle est 
entièrement déterminée par la prop. xxit, liv. vu, 
puisque Tunité de mesure, qui est le triangle tri- 
rectangle, vient d'être évaluée en surface plane. 

PROPOSITION XI. 

THSOHBME. 

La surface d'une zone sphérique quelconque 
est égale à la hauteur de cette zone multipliée 
par la circonférence d'un grand cercle. 

Soit £F un arc quelconque plus petit ou plus grand fig. ^* 
que le quart de circonférence , et soit abaissée F6 per- 
pendiculaire sur le rayon EG; je dis que la zone à une 

'7- 



%6o GSOMHTUIfi. 

base, décrite par la révolution de Tare EF autour 
de EC , aura pour mesure EG X cire. EC. 

Car supposons d'abord que cette zone ait une me- 
sure plus petite, et soit, s'il est possible, cette mesure 
=iEG X cire. CA. Inscrivez dans Tare EF une portion 
de polygone régulier EMNOPF dont les côtés n'at- 
teignent pas la circonférence décrite du rayon CA , 
et abaissez CI perpendiculaire siur £M ; la surface 
décrite par le polygone EMF tournant autour de EC, 
*9' aura pour mesure EG Xc/rc. CI*. Cette quantité est 
plus grande que EG X cire. AC , qui , par hypothèse , 
est la mesure de la zone décrite par l'arc EF. Donc la 
surface décrite par le polygone EMNOPF serait plus 
grande que la surface décrite par l'arc circonscrit EF; 
or, au contraire, cette dernière surface est plus grande 
que la première, puisqu'elle l'enveloppe de toutes 
parts ; donc i° la mesure de toute zone sphérique 
à une base ne pei^t être plus petite que la hauteur de 
cette zone multipliée par la circonférence d un grand 
cercle. 

Je dis en second lieu que la mesure de la même 
zone ne peut ôlre plus grande que la hauteur de cette 
zone multipliée par la circonférence d'un grand cercle. 
Car supposons qu'il s'agisse de la zone décrite par 
/l'arc AB autour de AC, et soit, s'il est possible, zone 
AB > AD X c/Vc, A.C. La surface entière de la sphère, 
composée des deux zones AB, BH, a pour mesure 
• lo. AHxci;c AG*,ou AD xciVc. AC + DHxc/Vc. AC;' 
si donc on a zone AB > AD x cire. AC , il faudra 
qu'on ait zone BH < DH X cire. AC ; ce qui est 
contraire à la première partie déjà démontrée. Donc 
2^ la mesure d'une zone sphérique à une base ne 
peut être plus grande que la hauteur de cette zone 
multipliée par la circonférence d'un grand cercle. 

Donc enfin toute zone sphérique à une base a pour 



mesure la hauteur de cette zone multipliée par la cir* 
conférence d^un grand cercle. 

Considérons maintenant une zone quelconque, à 
deux bases, décrite par la révolution de Tare FH f<g-«3o. 
autour du diamètre DE, et soient abaissées les per- 
pendiculaires FO, HQ sur ce diamètre. La zone. dé- 
crite par Tare FH est la difTérence des deux zones dé- 
crites par les arcs DH er DF ; celles-ci ont pour 
mesures DQ X cire. CD et DO X cire. CD ; donc la 
zone décrite par FH a pour mesure (DQ — DO)x 
cire. CD ou OQ X cire. CD. 

Donc toute zone sphérique à une ou à deux bases 
a pour mesure la hauteur de cette zone multipliée 
par la circonférence d'un grand cercle. 

Corollaire. Deux zones prises dans une même 
sphère ou dans des sphères égales, sont entre elles 
comme leurs hauteurs , et une zone quelconque est à 
la surface de la sphère comme la hauteur de cette 
zone est au diamètre. 

PROPOSITION XII. 



TnÉORBMB. 



Si le triangle BAC et le rectangle BCEF de JfJ^ 
même base et de même hauteur tournent simul- 
tanément autour de la base commune BC , le so- 
lide décrit par la résolution du triangle sera le 
tiers du cylindre décrit par la révolution du 
rectangle. 

Abaissez sur Taxe la perpendiculaire AD ; le cône H^ a*4« 
décrit par le triangle ABD est le tiers du cylindre dé- 
crit par le rectangle AFBD*, de même le cône décrit «Sé 



a6â GÉOMBTAIB. 

par le triangle ADC est le tiers du cylindre décrit par 
le rectangle ÂDCE ; donc la somme des deux cônes on 
le solide décrit par ABC est le fiers de la somme des 
deux cylindres ou du cylindre décrit par le rectangle 
BCEF. 
fig. a65. Si la perpendiculaire AD tombe au -dehors du 
triangle , alors le solide décrit par ABC sera la dif- 
férence des cônes décrits par ABD et ACD; mais en 
même temps le cylindre décrit par BCEF sera la 
différence des cylindres décrits par AFBD, AECD. 
Donc le solide décrit par la révolution du triangle sera 
toujours le tiers du cylindre décrit par la révolution 
du rectangle de même base et de même hauteur. 

Scholie. Le cercle dont AD est le rayon a pour ' 

surface tt X AD ; donc tc X AD x BC est la mesure du 

cylindre décrit par BCEF, et -tcxADxBC est celle 
du solide décrit par le triangle ABC. 

PROPOSITION XIII. 

PEOBIââMB. 

fig. a66. Le triangle CAB étant supposé faire une révo- 
lution autour de la ligne CD, menée comme on 
voudra hors dutriangle par son sommet Qa y trou* 
{fer la mesure du solide ainsi engendré. 

Prolongez le côté AB jusqu^à ce qu'il rencontre 
l'axe CD en D , des points A et B abaissez sur l'axe 
les perpendiculaires AM, BN. 

Le solide décrit par le triangle CAD a pour me- 

* "• sure* ^irX AMxCD le solide décrit par le triangle 
CBD a pour mesure jtt X BN X CDj donc la diffé- 



LIYRB TIII. a63 

rence de ces solides ou le solide décrit par ABC aura 

pour mesure ^v. (^ÂM BN ) ^ ^^' 

On peut donner à cette expression une autre forme. 
Du poÎBt I , milievi de AB , menez IK perpendiculaire 
à CD, et par le point B menez BO parallèle à CD, 
on aura AJVI+BN=2lK*et AM— BN=A05 donc, * 7. ^ 

(AM + BN)X(AM— BN), ouAM — BN = 2lKx 
AO*. La mesure du solide dont il s'agit est donc * *^ »* 
exprimée aussi par fir X IKx AO X CD. Mais si on 
abaisse GP perpendiculaire sur AB, les triangles ABO^ 
DCP, seront semi>lables , et donneront la proportion 
AO:CP::AB:CD; d'où résulte AOxCD = CPx 
AB; d'ailleurs CP X AB est le double de l'aire du 
triangle ABC ; ainsi on a AO X CD = a ABC ; donc 
le solide décrit par le triangle ABC a aussi pour me- 
sure |ir X ABC X IK, ou, ce qui est la même chose, 
ABC X y cire. IK; (car cire. IK = a7r. IK.) Donc le 
solide décrit par la révolution du ttiangle ABC , a 
pour mesure Paire de ce triangle multipliée par les 
deux tiers de la circonférence que décrit le point I 
milieu de sa base. 

Corollaire. Si le côté AC=:CB, la ligne CI sera fig-aôy. 
perpendiculaire à AB , l'aire ABC sera égale à AB X 
îCI, et la solidité \t: X ABC X IK deviendra |x X 
AB X IK X CI. Mais les triangles ABO , CIK , son 
semblables et donnent la proportion AB : BO ou 
MN:: CI:IK; donc AB X IK = MN X CI ;-donc le 
solide décrit par le triangle isoscèle ABC aura pour 

mesure |ir X MN X CI. 

Sckolie. La solution générale paraît supposer que 
la ligne AB prolongée rencontre l'axe ; mais les 
résultats n'en seraient pas moins vrais , quand la 
ligne AB serait parallèle à l'axe. 



â64 GÉOMÉTRIE. 

fig 26h. En effet, le cylindre décrit par AMNB a pour me- 
sure TT. AM. MN, le cône décrit par ACM=j'nr. AM 

CM, et le cône décrit par BCN= jW. AM.CN. Ajou- 
tant les deux premiers solides et retranchant le 
troisième , on aura pour le solide décrit par ABC , 

r.ÂM' (MN + ^CM— iCN) : et puisque CN— CM 

znMN, cette expression se réduit à ir. AM.fMN, ou 

fîT.CP.MN, ce qui s'accorde avec les résultats déjà 
trouvés. 

PROPOSITION XIV. 

TnBORBMB. 

fig. a6a. Soient AB , BC , CD , plusieurs côtés successifs 
(Vun polygone régulier ^ O son centre y et OI le 
rayon du cercle inscrit; si on imagine que le sec- 
teur polygonal AOD , situe d'un même côté du 
diamètre FG, fasse une révolution autour de 
ce diamètre y le solide décrit aura pour mesure 

Itt.OI.MQ, MQ étant la portion de Vaxe termi- 
née par les perpendiculaires extrêmes AM, DQ. 

En effet, puisque le polygone est régidier, tous 
les triangles AOB, BOC, etc. sont égaux et isoscèles. 
Or, suivant le corollaire de la proposition précé- 
dente, le solide produit par le triangle isoscèle AOB 

a pour mesure fir.OI.MN, le solide décrit par le 

a 

triangle BOC a pour mesure jX.QI.NP, et le solide 

décrit par le triangle COD a pour mesure |7r.0I. 
PQ ; donc la somme de ces solides , ou le solide entier 
décrit par le secteur polygonal AOD, aura pour me- 
sure } ir. 01. (MN + NP+ PQ) ou|irToi.MQ. 



LIVAB *VtII. 



af)5 



PROPOSITION XV. 



Tnio&ÉMB. 



Ift. 



Tout secteur sphérique a pour mesure la zone 
qui lui sert de base multipliée par le tiers du 
rayon ^ et la sphère entière a pour mesure sa 
surface multipliée par le tiers du rayon. 

Soit ABC le secteur circulaire qui, par sa révo- fig.t69. 
lution autour de AC, décrit le secteur sphérique; la 
zone décrite par AB étant ADXc/rc. AC ou air . AG. 
AD^, je dis que le secteur sphérique aura pour me- 
sure cette zone multipliée par yAC , ou |ic . AC . AD. 

En effet, i^ supposons, sHl est possible, que cette 

quantité \iz . AC . AD soit la mesure d'un secteur 
sphérique plus grand, par exemple, du secteur sphé- 
rique décrit par le secteur circulaire ËGF semblable 
à ACB. 

Inscrivez dans l'arc EF la portion de polygone 
régulier EMNF dont les côtés ne rencontrent pas 
Tare AB , imaginez ensuite que le secteur polygonal 
ENFC tourne autour de EC en même temps que le 
secteur circulaire ECF. Soit Cl le rayon du cercle 
inscrit dans le polygone, et soit abaissée F6 perpen- 
diculaire sur EC. Le solide décrit par le secteur 

polygonal aura pour mesure fi?. CI. EG^ : or CI 
est plus grand que AC par construction , et EG est 
plus grand que AD : car , joignant AB, EF, les trian- 
gles EFG, ABD, qui sont semblables, donnent la 
proportion EG : AD :: FG : BD :: CF : CB ; donc EG 
>AD. 

' Par cette double raison -lir. CI. EG est plus 



♦i4« 



266 GBOKETEIB. 

grand que f tt. G A. AD : la première expression est 
la mesure du solide décrit par le secteur polygonal, 
la seconde est par hypothèse celle dti secteur sphé- 
rique décrit par le secteur circulaire £CF ; donc le 
solide décrit par le secteur polygonal serait plus 
grand que le secteur sphérique décrit par le secteur 
circulaire. Or, au contraire, le solide dont il s'agit 
est moindre que le secteur sphérique , puisqu'il y est 
contenu; donc l'hypothèse d'où on est parti ne sau- 
rait subsister; donc i<> la zone ou base d'un secteur 
sphérique multipliée par le tiers du rayon ne peut me- 
surer un secteur sphérique plus grand. 

Je dis a^ que le même produit ne peut mesurer un 
secteur sphérique plus petit. Car, soit GEF le secteur 
circulsiire qui par sa révolution produit le secteur 
sphérique donné, et supposons, s'il est possible, que 

j7?,G£. £G soit la mesure d'un secteur sphérique 
plus petit, par exemple, de celui qui proyient du 
secteur circulaire AGB. 

La construction précédente restant la même, le 
solide décrit par le secteur polygoual aura toujours 

pour mesure f w. CI. EG. Mais CI est moindre que 

CE ; donc le solide est moindre que fir. CE. EG, qui, 
par hypothèse, est la mesure du secteur sphérique 
décrit par le secteur circulaire AGB. Donc le solide 
décrit par le secteur polygonal serait moindre que le 
secteur sphérique décrit par AGB. Or, au contraire, 
le solide dont il s'agit est plus grand que le secteur 
sphérique , puisque celui-ci est contenu dans l'autre. 
Donc â^ il est impossible que la zone d'un secteur 
sphérique multipliée par le tiers du rayon soit la 
mesure d'un secteur sphérique plus petit. 

Donc tout secteur sphérique a pour mesure la zone 
qui lui sert de base multipliée par le tiers du myon* 



I.ITRB VIII. 167 

Un secteur circulaire ACB peut augmenter jus- 
qu'à devenir égal au demi-cercle; alors le secteur 
sphérique décrit^par sa révolution est la sphère en- 
tière. Donc la solidité de la sphère est égale a sa sur^ 
face multipliée par le tiers de son rayon. 

Corollaire» Les surfaces des sphères élant comme 
les quarrés de leurs rayons , ces surfaces multipliées 
par les rayons sont comme les cubes des rayons. 
Donc les solidités des deux sphères sont comme les 
cubes de leurs rayons, ou comme les cubes de leurs 
diamètres. 

Scholie. Soit R le rayon d'une sphère, sa sur- 
face sera 4 "^ R * j et sa solidité 4 wR' XyR, ouj îp R'» 
Si on appelle D le diamètre, on aura Rrrr-JD, e* 
R^=|D^; donc la solidité s'exprimera aussi par 
J1cXiD^oui7^D^ 

PROPOSITION XVI. 

THBOBSMB. 

La surface de la sphère est à la sur/ace totale 
du cylindre cirœnscrit ( en y comprenant ses 
hases) comme a esta 3. Lés solidités de ces deux 
corps sont entre elles dans le même rapport» 

Soit MPNQ le grand cercle de la sphère , ABCD fig- ^70. 
le qiiarrë circonscrit ; si on fait tourner à la fois le 
demi-cercle PMQ et le demi-quarré PADQ autour 
du diamètre PQ , le demi-cercle décri/a la sphère, 
et le demi-quarré décrira le cylindre circonscrit à 
la sphère. 

La hauteur AD de ce cylindre est égale au dia* 
mètre PQ, la base du cylindre est égale au grand 
cercle, puisqu'elle a pour diamètre AB égale à MN ; 
donc la surface convexe du cylindre ^ est égale à la a^. 4. 



a68 ÇÉOMÉTRIB, 

circonférence du giand cercle multipliée par *»on 
diamètre. Cette mesure est la même que celle dç 

*io. la surface de la sphère* : doù il suit que la sur* 
face de la sphère est égale h la surface convexe 
du cylindre circonscrit. 

Mais la surface de la sphère est égale à quatre grands 
cercles ; donc la surface convexe du cylindre circon- 
scrit est égale aussi à quatre grands cercles : si on y 
joint les deux bases qui valent deux grands cercles, 
la surface totale du cylindre circonscrit sera égale 
à six grands cercles; donc la surface de la sphère 
est à la surface totale du cylindre circonscrit comme 
4 est à 6, ou comme 2 est à 3. Cest le premier point 
quil s'agissait de démontrer. 

En second lieu , puisque la base du cylindre cir- 
conscrit est égale à un grand cercle et sa hauteur au 
diamètre, la solidité du cylindre sera égale au grand 

* I. cercle multiplié par le diamètre *. Mais la solidité de 
la sphère est égale à quatre grands cercles multipliés 

*i6. par le tiers du rayon*, ce qui revient à un grand 
cercle multiplié par j du rayon , ou ^ du diamètre; 
donc la sphère est au cylindre circonscrit comme 
2 est à 3) et par conséquent les solidités de ces 
deux corps sont entre elles comme leurs surfaces. 
Scholie, Si on imagine un polyèdre dont toutes les 
faces touchent la sphère, ce polyèdre pourra être 
considéré comme composé de pyramides qui ont 
toutes pour sommet le centre de la sphère , et dont 
les bases sont les différentes faces du polyèdre. Or 
il est clair que toutes ces pyramides auront pour 
hauteur commune le rayon de la sphère, de sorte 
que chaque pyramide sera égale à la face du po- 
lyèdre qui lui sert de base, multipliée par le tiers 
du rayon : donc le polyèdre entier sera égal à sa 
surface multipliée par le tiers du rayon de la sphère 
inscrite. 



i.ivli£ viii. 269 

On voit par là que les solidités des polyèdres cir» 
conscrits à la sphère sont entre elles comme les 
surfaces de ces mêmes polyèdres. Ainsi, la pro- 
priété que nous avons démontrée pour le cylindre 
circonscrit est commune à une infinité d'autres 
corps. 

On aurait pu remarquer également que les sur. 
faces des polygones circonscrits au cercle sont entre 
elles comme leurs contours. 

PROPOSITION XVII. 

PHOBLÂMB. 

Le segment circulaire BMD étant supposé g^ .j, 
faire une révolution autour d'un diamètre ex- 
térieur à ce segment^ trouver la valeur du solide 
engendré. 

Abaissez sur Taxe les perpendiculaires BË, DF; 
du centre C menez CI perpendiculaire sur la corde 
BD, et tirez les rayons CB, CD. 

Le solide décrit par le secteur BGA = f w . CB. 
AE*; le solide décrit par le secteur DCA = |- ir- * «^• 

CB.AF; donc la différence de ces deux solides, ou le 
solide décrit par le secteur DCB = f w. CB. (AF — 
AE) = } TT . CB . EF. Mais le solide décrit par le trian- 
gle isoscèle DCB a pour mesure 7 w . Cl . EF * ; donc * **• 
le solide décrit par le segment BMD = f ir. EF. 

( CB — CI }. Or dans le tiûangle rectangle CBI 

onaCB*— CÏ = BÏ = ^ BD*; donc le solide décrit 

■ ■■ » 
par le segment BMD aura pour mesure f it. EF. ~ BD y 

oii^i: . BD.EF. 



2J0 GÉOMI^TEiB. 

SchoUe. Le solide décrit par le segment BMD est à 
la sphère qui a pour diamètre BD, comme ^ir. BD. 
ÊF est à j w. BD ,"ou : : EF : BD. 

PROPOSITION XVUI. 



THÉORÈME. 



Tout segment de sphère , compris entre deux 
plans parallèles , a pour mesure la demi^somme 
de ses bases multipliée par sa hauteur, plus la 
solidité de la sphère dont cette même hauteur 
est le diamètre. 

6g. 971. Soient B£, DF, les rayons des bases du segment, 
EF sa hauteur, de sorte que le segment soit produit 
par la révolution de Tespace circulaire BMDFE 
autour de Taxe FE. Le solide décrit par le seg- 

* '7- ment BMD * = 7 w . BD.*EF, le tronc de cône décrit 

♦6. parle trapèzeBDFE*=^iu.EF.(Bi+DFVBK DF)î 
donc le segment de sphère qui est la somme de ces 

deuxsolides=f iu.EF.(aBË+ aDF+2 BE. BF+"bd). 
Biais , en menant 'BO parallèle à EF , on aura DO =: ] 

DF — BE , DO =DF — a DF. BE + BÊ% et par consé- 
quent BD '= BÔ + D0"= ÊF+ DF— a DF x BE+BÊ! 

Mettant cette Taleur à la place de BD dans Texpres- 
sion du segment , et effaçant ce qui se détruit , on 
aura pour la solidité du segment, 

^ ir . EF . ( 3 BÊ V 3 DF + EF ) , 
expression qui se décompose en deux parties ; Tune 

|tr . EF . (3BË + 3DF), ou EF . ^ JLlH±liî!) 
est la demi-somme des bases multipliée par la hauteur ; 



*9.3. 



IIVRE viit. 2yi 

l'autre j-ïu . EF représente la sphère dont EF est le ♦ . . 
diamètre* : donc tout segment de sphère, etc. 

Corollaire. Si l'une des bases est nulle, le segment 
dont il s'agit devient un segment sphérique à une 
seule base ; donc tout segment sphérique à une base 
équimut à la moitié du cylindre de m,ême base et de 
même hauteur, plus la sphère dont cette hauteur est 
le diamètre, 

Scholie général. 

Soit R le rayon de la base d'un cylindre, H sa 
hauteur ; la solidité du cylindre sera ir R* x H , ou 

Soit R le rayon de la base d'un cône , H sa hauteur; 
la solidité du cône sera wR". jH, ou-j7rR*H. 

Soient A et B les rayons des bases d'un cône tron- 
^é, H sa hauteur ; la solidité du tronc de cône sera 
iT:H(A'+B"+AB). 

Soit R le rayon d'une sphère ; sa solidité sera 

Soit R le rayon d'un secteur sphérique, H la 
hauteur de la zone qui lui sert de base ; la solidité du 
secteur sera -| ir R* H. 

Soient P et Q les deux bases d'un segment sphé- 
rique, H sa hauteur, la solidité de ce segment sera 

îi5).H-HH.. 

Si le segment sphérique n'a qu'une base P, l'autre 
^tant nulle, sa solidité sera 7PH + jir H\ 



(• 



# # 



Fia P£S ELEMENTS DE GEOMETRIE. 



fc%^<%%<%^%%/»%^ % ^-v^%^^%,%^ 



NOTES 

SUR LES ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE. 

c 

NOTE L 
Sur quelques noms et définitions, 

vJn a introduit dans cet ouvrage quelques expressions et 
définitions nouvelles qui tendent à donner au langage géo- 
métrique plus d'exactitude et de précision. Nous allons 
rendre compte de ces changements , et en proposer quel- 
ques autres qui pourraient remplir plus complètement les 
mêmes vues. 

Dans la définition ordinaire du parallélogramme reC' 
tangle et du quarré, on dit que les angles de ces figures sont 
droits ^ il serait plus exact de dire que leurs angles sont 
égaux. Car, supposer que les quatre angles d*un quadrila- 
tère peuvent être droits , et même que les angles droits 
sont égaux entre eux , c*est supposer des propositions qui 
ont besoin d*étre démontrées. On éviterait cet inconvé- 
nient et plusieurs autres du même genre, si, au lieu de 
placer les définitions, suivant l'usage, à la tête d'un livre, 
on les distribuait dans le courant du livre, chacune à la 
place où ce qu'elle suppose est déjà démontré. 

Le mot inclinaison doit être entendu dans le même sens 
que celui d'angle ; l'un et l'autre indiquent la manière 
d'être de deux lignes ou de deux plans qui se rencontrent , 
ou qui , prolongés , se rencontreraient. L'inclinaison de 
deux lignes est nulle lorsque l'angle est nul, c'est-à-dire 
lorsque les lignes sont parallèles ou coïncidentes. L'incli- 
naison est la plus grande lorsque l'angle est le plus grand, 
ou lorsque les deux lignes font entre elles un angle très- 
obtus. La qualité àe pencher est prise dans un sens diffé- 
rent; une W^nc penche d'autant plus sur une autre qu'elle 
s'écarte plus de la perpendiculaire à celle-ci. 



aj4 MOTS I. 

£uclide el d'autres auteurs appellent as^z souvent trian- 
gles égaux des triangles qui ne sont égaux qu'en surface, 
et solides égaux des solides qui ne sont égaux qu'en solidité. 
Il nous a paru plus conyenable d'appeler ces triangles om 
ces solides triangles ou solides équivalents , et de réserver la 
dénomination de triangles égaux ^ solides égaux, à ceux qui 
peuvent coïncider par la superposition. 

Il est de plus nécessaire de distinguer dans les solides et 
les surfaces courbes deux sortes d*égalité qui sont diffé- 
rentes. En effet , deux solides ^ deux angles solides , deux 
triangles ou polygones sphériques , peuvent être égaux 
dans toutes leurs parties constituantes , sans néanmoins 
coïncider par la superposition. Il ne parait pas que celte 
observation ait été faîte dans les livres d'éléments ; et ce- 
pendant , faute d'y avoir égard , certaines démonstrations 
fondées sur la coïncidence des figures ne sont pas exactes. 
Telles sont les démonstrations par lesquelles plusieurs au- 
teurs prétendent prouver l'égalité des triangles sphéri- 
ques dans les mêmes cas et de la même manière que celle 
des triangles rectiligncs : on en voit surtout un exemple 
frappant , lorsque Robert Simson (i) , attaquant la démons- 
tration de la prop. xxvni, liv. xi, d'Euclide, tombe lui- 
même dans l'inconvénient de. fonder sa démonstration sût 
une coïncidence qui n'existe pas. Nous avons donc cru de- 
voir donner un nom particulier à cette égalité qui n'en- 
tratnc pas la coïncidence ; nous l'avons appelée égalité par 
symmétrie ; et les figures qui sont dans ce cas , nous les ap- 
pelons figures sytnmétnques. 

Ainsi les dénominations de figures égales y figures sjmmê- 
triques y figures équivalentes y se rapportent à des clioses 
difféi*enles , et ne doivent pas être confondues en une seule 
dénAmîiiation. 

Dans les propositions qui concernent les polygones , les 
angles solides et les polyèdres, nous avons exclus formel- 
lement ceux qui auraient des angles rentrants. Car, outre 
qull convient de se borner dans les éléments aiVL figures les 

(x) Toyez Tonvragede cet auteur, inlitulé : EuclidiêElcmentomm 
Ubritex, etc» Gfnsguof, 1756* 



JfOTS !• ajd 

jpha simples, si cette ezclusioa n'avait pas lieu, certaines 
propositions ou ne seraient pas vraies, ou auraient besoin 
de modification. Nous nous sommes donc réduits à la con- 
sidération des lignes et des surfaces que nous appelons con^ 
vexes ^ et qui sont telles qu'une ligne droite ne peut les 
couper en plus de deux points. 

Nous avons employé assez fréquemment l'expression 
produit de deux ou d'un plus grand nombre de lignes i par 
où nous enteifdons le ^produit des nombres qui repré- 
sentent ces lignes , en les évaluant d'après une unité linéaire 
prise à volonté. Le sen^ de ce mot étant ainsi fixé, il n'y a 
aucune difficulté à en faire usage. On entendrait de même 
ce que signifie le produit d'une surface par une ligne , d'une 
surface par un solide , etc. : il suffit d'avoir établi une fois 
pour toutes que ces produits sont ou doivent être consi«> 
dérés comme des produits de nombres , chacun do l'espèce 
qui lui convient. Ainsi le produit d'une surface par un solide 
n'est autre chose que le produit d'un nombre d'unités su- 
perficielles par un nombre d'unités solides. 

Souvent, dans le discours , on se sert du mot an^ pour 
désigner le point situé à son sommet : cette expression esl 
vicieuse. Il serait plus clair et plus exact de désigner par un 
nom particulier, tel que celui de sommets, les poi4^a4|tués 
aux sommets des angles d'un polygone et d'un pol^èdre^^ 
C*est ainsi qu*on doit entendre la dénomination de sommet* 
d'un polygone et d* un polyèdre dont nous avons fait usage* 

Nous avons suivi la définition ordinaire à.es/igures recti- 
lignes semblables ; mais nous observerons qu'elle contient 
trois conditions superflues. Car, pour construire un poly- 
gone dont le nombre des côtés est /i, il faut d'abord con- 
naître un côté, et ensuite avoir la position des sommets des 
angles situes hors de ce côté. Or, le nombre de ces angles 
est n — 12 , et la position de chaque sommet exige deux don- 
nées ; d'où il suit que le nombre total des données néces- 
saires pour construire un polygone de /i côtés est i +2/2 — 4 9 
ou 2/2 — 3. Mais dans le polygone semblable il y a un côté 
à volonté ; ainsi le nombre de conditions pour qu'un poly- 
gone soit semblable à un polygone donné , est %n — 4* ûr la 
définition ordinaire exige, 1^ que les angles soient égaux 

18. 



a^6 NOTB I. 

cliacuii à chacun, ce qui fait n conditions ; 2^ que le& côtés 
homologues soient proportionnels , ce qui fait n — i condi- 
tions. Il y a donc en tout a« — i conditions , ce qui fait trois 
de trop. Pour obvier à cet inconvénient , on pourrait dé- 
composer la définition en deux autres , de cette manière : 

I** Deux triantes sont semblables , lorsqu'ils ont deux 
angles égaux chacun à chacun, 

a** Deux polygones sont semblables lorsqu'on peut former 
dans Vun et dans Vautre un même nombre de triantes sem- 
blables chacun à chacun et semblablement disposés. 

Mais, pour que cette dernière définition ne contienne 
pas elle-même de conditions superflues , il faut que le 
nombre des triangles soit égal au nombre des côtés du po- 
lygone moins deux ; ce qui peut avoir lieu de deux manières. 
On peut mener de deux angles homologues des diagonales 
aux angles opposés , alors tous les triangles formés dans 
chaque polygone auront un sommet commun, et leur somme 
sera égale au polygone ; ou bien , on peut supposer que tous 
les triangles formés dans un polygone ont pour base com- 
mune un côté du polygone , et pour sommets ceux des dif- 
férents angles opposés à cette base. Dans l'un ou l'autre cas 
le nombre des triangles formés de part et d'autre étant 
71 — 2 ^ les conditions de leur similitude seront au nombre 
de T.n — 4 5 et ^^ définition ne contiendra rien de superflu. 
Cette nouvelle définition étant posée , l'ancienne deviendra 
un théorème qu'on pourra démontrer immédiatement. 

Si la définition des figures rectilignes semblables est im- 
parfaite dans les livres d'éléments , celle des solides polyè- 
lires semblables l'est encore bien davantage. Dans Euclide, 
cette' définition dépend d*un théorème non démontré; dans 
d'autres auteurs elle a l'inconvénient d'être fort redon- 
dante. Nous avons donc rejeté ces définitions des solides 
semblables , et nous leur en avons substitué une fondée sur 
les principes que nous venons d'exposer. Mais , comme il y 
a beaucoup d'autres observations à faire à ce sujet, nous y 
reviendrons dans une note particulière. 

La définition de la perpendiculaire à un plan peut être 
regardée comme un théorème; celle de V inclinaison de deux 
plans a besoin aussi d'être justifiée par un raisonnement; 



NOTE t. ^yy 

plftsienrg antres sont dans le même cas. C*est poarqnoi, en 
conserrant ces définitions suivant l'ancien usage , nous 
aTons en soin de renvoyer aux propositions où elles sont 
démontrées ; quelquefois nous nous sommes contentés d'j 
«jouter un éclaircissement succinct. 

Uangie formé par la rencontre de deux plans , et Vangle 
solide formé par la rencontre de plusieurs plans en un même 
point, sont des grandeurs, chacune de son espèce, aux- 
quelles il serait peut-^étre bon de donner des noms particu- 
liers. Sans cela il est difficile d'éviter l'obscurité et les cir« 
conlocutions lorsqu'on parle de l'arrangement des plans qui 
composent la surface d'un polyèdre. Et comme la théorie 
de ces solides a été peu cultivée jusqu'à présent , il y a moins 
d'inconvénient à y introduire des expressions nouvelles 9 
si elles sont réclamées par la nature des choses. 

Je proposerais d'appeler coin l'angle formé par deux 
plans; V^réte ou faite du coin serait l'intersection commune 
des deux plans. Le coin se désignerait par quatre lettres 
dont les deux moyennes répondraient à Taréte. Alors un coin 
droit serait l'angle formé par deux plans perpendiculaires 
entre eux. Quatre coins droits rempliraient tout l'espace 
angulaire solide autour d'une ligne donnée. Cette nouvelle 
dénomination n'empêcherait pas que le coin n'^eût toujours 
pour mesure l'angle formé par les deux perpendiculaires 
menées dans chacun des plans à un même point de l'arête 
ou intersection commune. 

NOTE II. 

Sur la démonstration de la proposition XIX y 
liv. /, et de quelques autres propositions 
fondamentales!: de lu eréométrie. 



iiy. J[ j Cl. uc qucK^ucù uuucà 

fondamentalesi de lu géométrie. 



La démonstration que nons|donnons dans le texte de la 
proposition XIX, est peut-être la plus simple et la plus 
directe qu'on puisse trouver dans le genre purement élé- 
mentaire; nous espérons qu'elle sera accueillie par les ama- 
teurs de l'exactitude géométrique et qu'elle fera enfin dîs-^ 



%jS WOTE II, 

J)araitre des Siemens rimperfeclîon à laquelle la ih^orie 
des parallèles a été sujette jusqu'à présent. 

Nous saisirons cette occasion de faire quelques nouvelles 
remarques sur la démonstration que nous avions donnée de 
la même proposition , dans la 3*~* édition de cet ouvrage, pu- 
bliée en 1 800 y et dans les éditions suivantes jusqu'à la B^*"' in- 
clusivement ; il est nécessaire pour cela derappelerenpeude 
mots le principe sur lequel cette démonstration était fondée. 

Nous avons prouvé d*abord d'une manière rigoureuse 
que la somme des angles d'un triangle ne peut être plus 
grande que deux angles droits , proposition qui sépare tout 
d'un coup par une différence essentielle, les triangles ree- 
tilignes des triangles sphériques. Cette première partie étant 
établie , il restait à prouver que la somme des angles ne 
peut être plus petite que deux angles droits; or, eomme 
l'excès des trois angles sur deux angles droits, qui a Hen dans 
les triangles sphériques, est proportionnel à i*aire du trn 
angle; de même ledé/iciiy s*il yen avait on dans les triangles 
rectilîgnes , serait proportionnel à l'aire do triangle. Dès» 
lors il est aisé devoir que si on réussite construire, d'après 
on triangle donné, un autre triangle dans lequel le triant 
gle donné soit contenu au moins m fois , le déJUit de ee noor 
veau triangle égalera au moins m fois le déficit do trian** 
gle donné, de sorte que la somme des angles do grand 
triangle diminuera progressivement à mesure que m aog» 
mente, jusqu'à devenir nulle ou négative. Résultat absurde 
et qui prouve que la somme des angles d'un triangle ne 
peut-être moindre que deux angles droits. 

Prenant pour guide ce principe de démonstration qui est 
infaillible, nous avons fait voir que toute la difficulté se 
réduisait à construire^un triangle qui contint au moins deux 
fois le triangle donné ; mais la solution que nous avons don- 
née de ce problême, en appureiice très simple « suppose que 
par un point donné dans un angle moindre que deux tiers 
d'angle droit , on peut toujours faire paf$ev on^ li^ne droite 
« qui rencontre à^^la-^feis W deux côtéf à% i^aqgle^ 

Nous «viens ainsi beaucoup approcha 4^ i^otr^ ^|i^ fq^i^ 
noua ne l'avions pas atteint entièrement 9 puisqfip nçtre dé- 
niouatralion dépendait d'un post^latféff^ qui à, (9u(q forcs 



HOTB II. ^79 

pansait étw nié. (i) C'est cette considération qiiî nous a 
fiih revenir, dans la 9*««ëdltion, à la simple marche d'Euclidc, 
en renvoyant aax notes pour la démonstration rigoureuse* 

En examinant les choses avec plus d'attention nous som- 
»e» resté conyaincn que pour démontrer complètement 
notre postutatum il fallait déduire de la définition de la 
ligne droite une propriété caractéristique de cette ligne qui 
exclût toute ressemblance avec la forme d'une hyperbole 
comprise entre ses deux asymptotes. Voici quel est à cet 
ëgard le résultat de nos recherches. 

Soit BAC un angle donné, et M un point donné au dedans ^g* *74« 
de cet angle; divisez V angle BAC en deux également par la 
droite AD, et du point M menez M? perpendiculaire sur h.'ùi 
Je dis que la droite MP prolongée dans un sens et dans Vautre, 
wencontrera nécessairement les deux côtés de Vangle BAC. 

Car si elle rencontre un des côtés de cet angle, elle ren- 
contrera Pautre, tout étant égal des deux câtés à partir du 
point P; si elle ne rencontrait pas un côté, elle ne rencon- 
trerait pas l'autre par la même raison ; ainsi, dans ce dernier 
cas elle devrait élre renfermée tout entière dans l'espace 
compris entre les côtés de l'angle BAC; or^ il répugne à la 
nature de la ligne droite qu'une telle ligne, indéfiniment 
prolongée , puisse élre renfermée dans un angle. 

En effet, toute ligne droite AB tracée sur un plan , et in- fig. %iS, 
définiment prolongée dans les deux sens , divise ce plan en 
deax parties qui étant superposées coïncident dans toute 
leur étendue et sont parfaitement égales. La partie AMB du 
plan total, située d'un côté de AB, est égale en tout à la 
partie AM'B située de l'autre côté \ car si l'on prend un point 

(i)On voit dans ua artieledu PhihsopkioalmagatintAtxnKTn i8ss, 
qu'un savant géomètre a essayé de perfectionner cttte démonstra- 
fian et cle la rendre indépendante de tout postuiatum ; mais la con- 
tlfuçtioa «mpl»yée£pQur4émQntrer la aeconde partie consiste à 
mener d'vn point donné différentes droites à tous les «ommeta 
^y^e ligne (|i|*op^doit considérer comme polygonale f pour raison* 
né dans l'hypothèse de celui qui nie la proposition : or la çopv^it^ 
de cette ligne , si elle avait lieu , ne permettrait pas de continuer 
'ndéâniment la construction de l'auteur, comme il le faudrait pour 
^exactitude de sa démonstration. 



28o NQTB II. 

fixe G sur la droite ÂB , tout autre point M de la partie 
ÀMB sera déterminé par la distance CM et l'angle ACM; 
prenant donc de l'autre côté un angle ACM' =ACM « et une 
distance CM'=CM, il est évident que les points M et M.' 
auront la même situation dans les deux parties du pl^n^ et 
que ces deux parties étant superposées, les points M et M' 
se confondront en un seul. 

"y Supposons maintenant , s'il est possible ^ qu'une ligne 
droite indéfinie XY soit renfermée tout entière dans uu 
espace angulaire quelconque , par exemple, dans l'angle 
BCM , elle ne pourra que diviser en deux parties égales ou 
inégales la partie du plan comprise dans l'angle BCM; cette 
partie a sa correspondante BCM' située de l'autre côté de BC; 
mais comme outre ces deux parties égales du plan, il y en a 
deux autres renfermées dans les angles égaux ACM, ACM', 
on voit que l'espace angulaire BCM n'est pas la moitié de 
tout le plan ; donc la ligne droite XY qu'on suppose parta^ 
ger en deux portions l'espace BCM, ne pourra partager qu'ea 
deux parties inégales la totalité du plan, cequiestcon^ 
traire à la nature de la ligne droite. 

Par ce principe très simple , non seulement lepostulatum 
qui empêchait notre démonstration d'être rigoureuse, se 
trouve démontré, mais on peut aussi démontrer immédiate* 
ment \e postulatum d'Ëuclide. Ce postulatum se réduit aisé- 
H- ^7^' ment, comme on sait , au cas où l'une des droites AC étant 
perpendiculaire à AB, l'autre droite BD fait avec AB un angle 
ABD moindre qu'un droit. Il s'agit donc de prouver que 
dans ce cas BD prolongée doit rencontrer AC. 

En effet, cela n'était pas, en prolongeant AC vers C; et 
faisazit l'angle ABD'=ABD, la droite CC serait comprise 
tout entière dans Tangle DBD' moindre que deux droits 9 
ce qui est impossible. 

Nous laissons aux géomètres à décider si celte démons- 
tration ne mériterait pas d'être admifte dans les élémens , de 
préférence à toute antre , pour rétablir la marche d'Ëuclide 
devenue entièrement rigoureuse par la suppression de son 
postulatum. 

Nous nous proposons maintenant de faire voir qu'oii 
peut employer l'analyse avec beaucoup d'avantage, pour 



9 TE II» Sl8( 

démontrer rigourensement la proposition XIX et les antres 
propositions fondamentales de la géométrie. C'est ce que 
nous allons déirelopper ayec tout le détail nécessiire, en 
commençant par le théorème sur la somme des trois angles 
du triangle. 

On démontre immédiatement par la superposition, et 
sans aucune proposition préliminaire que iïeux triangles 
sont égaux, lorsqvUls ont un côté égal adjacent à deux 
angles égaux chacun à chacun. Appelons p le c6té dont il 
$'agit, A et B les deux angles adjacents, C le troisième 
angle. Il faut donc que l'angle C soit entièrement déte^ 
miné, lorsqu'on connaît les angles A et B, avec le coté p ; 
car, si plusieurs angles G pouvaient correspondre aux trois 
données A, B,/?^ il y aurait autant de triangles différents 
qui auraient un côté égal adjacent à deux angles égaux , ce 
qui est impossible: donc l'angle C doit être une fonction 
déterminée des trois quantités A, B,/>; ce que j'exprime 
ainsi, C=Ç:(A, B,/>). 

Soit l'angle droit égal à l'unité, alors les angles A, B, C, 
seront des nombres compris entre o et a ; et puisque C= 
?:(A,B,/i)>je dis que la ligne p ne doit point entrer dans 
la fonction f . £n effet , on s^ vu que G doit être entièrement 
déterminé parles seules données A, B ,/>j sans autre angle 
ni ligne quelconque , mais la ligne p est hétérogène avec les 
nombres A , B , G ; et si on avait une équation quelconque 
entre A,B,G,/'^onen pourrait tirer la valeur àep en 
A, B, C; d'où il résulterait que y? est égal à un nombre, ce 
qui est absurde : donc/i ne peut entrer dans la fonction f ^ 
et on a simplement C=:f : (A, B)...«(i) 

(i) On a objecté contre celte démonstration que , si elle était 
appliquée, mot ponr mot, aux triangles sphériques, il en résulte* 
rait que deux angles connus suffisent pour déterminer le troi« 
sième, ce qui n'a pas lieu dans ces sortes de triangles. La réponse 
est que, dans les triangles sphériques, il y a un élément de plus que 
dans les triangles plans , et cet élément est le rayon de la sphère 
dont on ne doit pas faire abstraction. Soit donc r le rayon , alors 
aulieud'avoirC=;f (A,B,/y},onauraC=:f (A,B,/»,r}, ou 

&eBlementG=f ^A,B,^J, en vertu de la loi des homogènes* 



ftSa HaTB xi; 

. Cfitt« fonnultf prouve déjà que , si deux angles d^in 
tvmngie lont égaux à deux angles d*nn autre triangle , le 
ivoïsième doit être égal au troisième ; et , cela pesé , il e$t 
facile de parvenir au théorie que nous avons en vue. 

"6- ï<>9' Soit d^abord ABC un triangle rectangle en A ; du point 
A abaisses AD perpendiculaire sur Thypotcnuse. Les angles 
B et D du triangle ABU sont égaux aux angles B et A du 
triangle BAC ; donc , suivant ce qu-on vient de démontrer, 
le troisième BAP est égal au troisième C. Far la même 
vaison Tangle DAC=b:B, donc BAD + DAC, ou BAC 
:3l»B4--Cl t or Pangle BAC est droit ; donc les deuar anghs 
aigus d*un inangle rectan^e y pris ensemble , valent un 
an^ droit, 

fig. lia. fioît ensuite BAC un triangle quelconque et BC un cAtc 
qni ne soit pas moindre que chacun des deux autres : si 
de l'angle opposé A on abaisse la perpendiculaire AD snr 
BC, cette perpendiculaire tombera au-dedans du triangle 
ABC, et le partagera en deux triangles rectangles BAD, 
PAC : or , dans le triangle rectangle B AD , les deux angles 
BAD, ABD, valent ensemble un angle droit ; dans le trian- 
gle reetangle DAC, les deux angles DAC, A CD, valent 
aussi un angle droit. Donc les quatre réunis, ou seulement 
les trois BAG, ABC , ACB, valent ensemble deux angles 
droits ; donc dans tout triangle la somme des trois angles 
est égale à deux angles droits. 

On voit par-là que ce théorème, considéré a priori ^ ne 
dépend point d*un enchaînement de propositions , et qa'il 
94\ déduit immédiatement du principe de Fhomog^énéité ; 
principe qui doit avoir lieu dans toute relation entre des 
quantités quelconques. Mais poursuivons , et faisons voir 
f|tt*aa peut lirar de la même source les autres théorèmes 
fondamentaux <}« la géométrie. 

Conservons les mêmes dénominations qu^ ci-dessus ^ et 
appelons de plus m le côté opposé à Tangle A^ et r le c^tê 

Qj^t P^ilUl^e Itt w»P»^^7 fi*' H» WHbImï^J» tins» ffif A» B» C, wea 
n^empécha qne v ne se trouvé^ans la fonction 9 , et alors on 
n'es peus plrnsconelure C asf (' A , B ). 



190TX II. ^83 

oppesë à raiigl« B. La quantité m doit être cntiercnent 
déterminée par les ieule$ quanti lés A, B,/r; donc m est 

use fonction de A^ Bf/^^ el — en est une aussi, de sorte 

qu'on peiit faîre^ 3=<|> : (A, B , /? ). Mais —ait un 00»- 

bre, ainsi que A et B; donc la fonction ^ ne doit point 
iwn|«nir la Ugv^e/i, et on a simplemeiit -- = ^ : (A, B), 

ou m:z=:p ^ ; (A, B}» On a donc semblabl^ment nz=z.p ^ ; 
{B,A). 

Sôit maintenant un autre triangle formé arec les mêmes 
angles A, B, C, auxquels soiçnt opposés les côtés m'^ ^ iP*» 
respeçtivçment. Puisque A et B ne changent pas, 01^ aura 
dans ce nouveau triangle m'z=.p'^ (A, B), et n^zzip* ^ l 
ÇB , A). Donc tn;m' :: n : n' ::p :p'. Donc, dans les trian» 
^i équinngles, les côtes opposés auQc angles é^ux son^ 
propçrtionneU, 

De cette proposition générale on déduit comme cas 
ptrticulieir celle c^ue nous avons supposée dans le texte 9 
POUP la démonstration de la proposition XX. En ^ffet» 
les trîapgles AFG ^ AML ont deux angles égaux , chacun à 
chacun , savoir , Tangle A commun , et un angle droit. Donc 
Cjçs triai)glçs sont équiangles \ donc on a la proportion 
AF : AL : : AG : AM , au moyen de laquelle la prop. XX est 
pleinement démontrée. 

I* propo9itiQ9 du quarré de l'hypoténuse e^t » com?n^ 
im sait , ^ne sui^e de celle des triaiigles équiangles. Yoil^ 
donci ïvw pvoppsitioni fondamentales de la géométrie, qell^ 
dea treÎ4 angles d'un triangle , celle des triangles équi^glc^ 
et celle du qnarré de Thypoténuse, qui 4e déduisent tris? 
simplement et très-immédiatement de la considération de^ 
lbiieti«as« Oa p«ut par la mixat voie démqptrer trës-rsnc- 
aînetevsent le^ propositions concerpiint les ^gures senir 
Uablea et les solid^^ #eaib]able«. 

Soit ABCD «A polygone quelcqnqii^; «y^t cboilî im 
eèlé AB, 0CHn9|eb«|e, fonnea autun^ 4« Mfi9ligle#ApÇ| 
ÂBO » me. «HT «nrif l^9a , qu*il y » 4*ltQCles Ç , I) ^ £, etq, 
ra-dih(Kfts $p»t H b«l»e AB=/>î soient ^ isjL S l£# 419^^ 
«Vhf to HPinm^e A9C f^fimVh w^ Çp^ A3 \ f oignit À' f( 



â84 H O T B 1 1. 

B' les deux angles du triangle ABD adjacents an même 
c6t6 AB, et ainsi de suite. La figure ABCDE sera entière- 
ment déterminée , si on connait le côté p avec les angles 
A , B , A', B', A", B", etc. , et le nombre des données sera 
en tout a/i-— 3, n étant le nombre des côtés du polygone. 
Cela posé , un côté ou une ligne quelconque x , menée 
comme on voudra dans le polygone , avec les seules don- 
nées qui constituent ce polygone, sera une fonction de 



X 



ces données ; et comme doit être un nombre, on ponrra 

supposer - =<]* : (A,B, A', B', etc.), o\kx'=zp^ : (A, B, 

A', B', etc.), et la fonction <]» ne contiendra point/?. Si, 
avec les mêmes angles A, B , A' B', etc. et un autre côté 
p'\ on forme un second polygone , on aura pour la ligne j:', 
correspondante ou homologue à a: ^ la valeur .r' =/?' ^ l 
(A, B, A', B', etc. ) ; donc x ix^ \\p \p\ On peut définir 
les figures ainsi construites , ^^«rc^ semblables; donc dans 
les figures semblables les lignes homologues sont proportion- 
nelles. Ainsi , non-seulement les côtés homologues , les dia- 
gonales homologues , mais les lignes terminées de la même 
manière dans les deux figures , sont entre elles comme deux 
autres lignes homologues quelconques. 

Appelons S la surface du premier polygone , cette surface 

est homogène au quarré/?*; il faut donc que —j soit un 

nombre qui ne contienne que les angles A , B , A', B', etc. , 
de sorte qu'on aura S=/?"(p : (A, B, A', B', etc.). Parla 
même raison, si S' est la surface du second polygone» on 
aura S'=/?'*<p : (A, B, A', B', etc.). Donc S : S' :: /»•:/•; 
donc les surfaces des figures semblables sont entre elles 
tomme les quarres des côtés homologues. 

Venons maintenant aux polyèdres. On peut supposer 
qu'une face est déterminée au moyen d'un côté connu y» el 
de plusieurs angles A , B , C , etc. Ensuite les sommets des 
angles solides, hors de cette base, seront déterminés chacun 
par le moyen de trois données , qu'on peut regarder comme 
autant d'angles ; de sorte que la détermination entière du 
polyèdre dépend d'un côté/?, et de plusieurs angles A, B, 
C, etc. dont le nombre varie suivant la nature du polyè« 



NOTfi II. 285 

dre. Cela posé , une ligne qui joint deux sommets , ou , plus 
généralement , toute ligne x menée d'une manière déter- 
minée dans le polyèdre, avec les seules données qui 
constituent ce solide , sera une fonction des données p 



X 



i, B, C, etc. ; et comme - doit être un nombre, la fonc- 

lion égale à - ne contiendra que les angles A , B , C , etc., 

et on pourra supposer xzzip f : (A, B, C, etc.). La surface 
dn solide est homogène à^'; ainsi, cette surface peut se 

représenter par/?' «I* • (-^i ^> ^1 etc.); sa solidité est homo- 
gène à />% et peut se représenter par p* n r (A, B, C, etc.), 
les fonctions désignées par (l» ^^ n étant indépendantes 
de^. 

Supposons qu'on construise un second solide avec les 
mêmes angles A, B, C , etc. , et un côté/)' différent de p * 
nons appellerons les solides ainsi construits solides sem 
hîables; et , cela posé , la ligne qui était/? f : (A, B, C, etc.) , 
ou simplement p (p dans un solide sera // f dans un autre 
la surface qui était/?* ^ dans l'un sera /?'* ^ dans l'autre; 
et enfin la solidité qui était /;* Il dans l'un sera /?'* n 
dans l'autre. Donc , 1° dans les solides semblables les côtés 
ou lignes homologues sorti proportionnels ; a** leurs surfaces 
tont comme les quarrés des côtés homologues; V^ leurs 
solidités sont comme les cubes de ces mêmes côtés. 

Les mêmes principes s'appliquent aisément au cercle. 
Soit c la circonférence et s la surface du cercle dont le 
rayon est r; puisqu'il ne peut y avoir deux cercles inégaux 

décrits du même rayon , les quantités - et -7 doivent être 

des fonctions déterminées de r: mais , comme ces quantités 
sont des nombres , elles ne doivent point contenir dans leur 

expression la ligne r; ainsi on aura -=a, et — = 6, 

a et g étant des nombres constants. Soit c' la circonférence 
et J la surface d'un autre cercle dont le rayon est r; on 

c' s^ 

tara donc aussi -T = a9 et -77 =€. Donc cid xi ni' , et 

' t y : : r' : r'* j donc les circonférences des cercles sont comme 
ks rayons , et leurs surfaces comme les quatrés des rayons. 



i 



aKÔ 9 0fB il. 

Considérant un secteur dont r soU le «ayon et A Tangle 
au centre; soit a; Tare qui termine le secteur, et^ la surface 
de ce même secteur. Puisque le secteur e«t entièrement 
déterminé lorsqu'on connaît r et A , il faut que x et jr 

soient des fonctions déterminées de r et de A , donc '^ et 4 



\ 



X 



sont aussi de pareilles fonctions. Mais - est un nombre, 

ftinsi que «^; donc ces quantités ne doivetit poiM contenir 

r, et elles sont simplement fonctions de A 9 de sorte qu*on 

aura -rrÇ : A, et ^ =<jj : A. Soient a/ et y l'arc et la 

lurface d'un autre secteur dont Tangîe est A et le rayon f'} 
nous appellerons ces deux secteurs secteurs semblables ; et 

puisque l'angle A est égal de part et d'autre , on aura -p- 

v' 

= <p : A , et-^ =^1, : A. Donc or : ^ :: z*:/^, etfty :: ;*• : ^•; 

donc les arcs semblables ou les arcs des secteurs semblables 
sont proportionnels aux ra/çns , et les secteurs eux-mêmes 
sont proportionnels aux quarrcs des rayons. 

Il est clair qu'on prouverait, de la raC>me manière, que 
les sphères sont comme les cubes de leurs rayons. 

On suppose , dans tout ce qui précède, que les surfaces se 
mesurent par Je produit de deux lignes , et les solidités par 
le produit de trois; c'est ce qu'il est facile de démontrer 
aussi par voie d'analyse. Considérons un rectangle dont les 
dimensions sontj? et g ^ et sa surface qui est une fonction, 
de/? et <7, représentons-la par 9: (/>> (7). Si on considère 
un autre rectangle dont les dimensions sont/>-f-/^' et ^^ il 
est clair que ce i^ectangle est composé de deux autres , l'uu 
qui a pour dimensions/? et q , l'autre qui a pour dimensions 
// et q ; de sorte qu'on aura 

Soît/>' ==:/?, on aura ^ {^p, q)=±^(f(^p, q). Sait />'=^ 
il/?, on aura(p(3/>^ q)^<f(p, 7) + ? (4/?, ç)i=3(p 
(/?, q).Soitp' = ^p, OHaura9(4/?, q)z=:(f(p, ç) + 
?(^/^>(?)==49 (j^9 Ç )• Donc en général , i ^ est un nombre 
entier quelconque, on aura 9 (A/», q)=^^ 9 {p, j) Ou 



jroTB II* i87 

9jMl=i(^Zil2..ïl résnle^ de là que îJ^ est une 

P ^p P 

tdle fonction dé^^ qk*elle ne cliange pas en mettant à la 
place de j9 un multiple quelconqtie kp. Dono celte fonction 
€it indépendante de/», et ne doit renfermer qn« f. Mais 

par une raison semblable -^-^ doiç être indépendante 

àeg : donc- ne renferme ni p ni q, et ainsi cette 

quantité doit se réduire à une constante a. Donè on aura 
^ (^p q)isia.p q ; et comme rien n'empéclie de prendre 
ft=:.i , on aura 9 (/?, q) =/> q; ainsi la surface d'un rec- 
tangle est égale au produit de ses deux dimensions. 

On démontrerait, d'une manière absolument semblable, 
que la solidité d*un parallélipipède rectangle dont les di- 
mensions sont/? f q^ r, est égale au produit/? q ràe ses trois 
dimensions. 

Nous observerons, au reste, que la considération dlBS 
fonctions , qui fournit ainsi une démonstration très-simple 
des propositions fondamentales de la Géométrie, a déjà été 
employée avec succès pour la démonstration des principes 
fondamentaux de la Mécanique. Foyez les Mémoires de 
Turin , tome II. 

Enfin, quoique la théorie précédente soit établie sur les 
fondements les plus solides , nous ne devons pas dièstmuler 
qu'elle a été attaquée par M. Leriie , célèbre professêflr 
d'Edimbourg, dans ses Élémens de géométrie, %^^* et 3^"^^ 
éditions ; mais sans entrer dans aucun détail à ce Sujets il 
nous suffira de dire que les objections de M. Leslie ont été 
pleinement réfutées , d'abord par M. Playfair, son ccrrtipé- 
triote, dans YEdimburg Revietv^ tome XX, et ensuite par At. 
Maurice, de l'Académie des sciences de Paris, dans la 
Bibliothèque universelle de Genève, Octobre 18 19. On peut 
voir aussi la discussion de ces mêmes objections, datis 
l'Édition Anglaise de nos élémens donnée par M. £>avid 
Brewster, Edimbourg 1822. 



aS8 NOTE m. 

NOTE III. 

Sur r approximation de la proposition Xf^l ^ 

liseré IF. 

Dès qu'on a trouvé un rayon excédant et un défirent qui 
s'accordent dans les premiers chiffres , on peut achever le 
calcul d'une manière trcs-promple par le moyen d'une for- 
mule algébrique. 

Soit a le rayon déficient et h l'excédant , dont la diffé- 
rence est petite; soient a! et 6' les rayons suivants qui s'en 

déduisent par les formules V-=i\/ ahy a^-=i\/\a. j 

Ce que l'on cherche, c'est le dernier terme de la suite «, fl', 

a", etc. , qui est en même temps celui de la suite h ^V, y^ 

etc. Appelons ce dernier terme j?, et soit ^=«(1-4-10); 

on pourra supposer x'=^a (i4-Pw-|-Q(i)*+ etc. ) , P et Q 

étant des coefficients indéterminés. Or les valeurs de V et a! 

donnent 

6' = û(i-i-^«— >*-Fetc.); 



£t si on fait pareillement 6'=a' ( i -|-a>') , on aura 



0)'=j(«) 



3 a 



co' etc. 



Mais la valeur de x doit être la même , soit que la suite a, 
a', a", etc. commence par a ou par a'; donc on aura 
rt(i-|-P<û-|-Qû>»4-etc.)=a'(T-FPw'H-Qw"+etc.). 
Substituant dans cette équation les valeurs de a* et de 6>' 
en a et (d , et comparant les termes semblables , on en dé- 
duira P=:j, et Qn: — -rï-; donc 

x: 



15 9 



Si les rayons a et b s'accordent dans la première moitié de 

leurs chiffres, on pourra rejeter le terme «»*, et la valeur 

b — a 
précédente se réduira à a:=: «(i -^ j'<ù)zz:a-i 

Ainsi, en faisant <?= i , 1182657 , et &=: i , ia86o63 , od 
en déduira immédiatement .r= i , 128379a. 

Si les rayons a et b ne s'accordent que dans le premier 
tiers de leurs chiffres , il faudra prendre les trois termes de 
la formule précédente ; ainsi en faisant â= i , ia65639 ^^ 
» = i, i32oi499on trouvera x=i, i28379i« 



Il 0TB IT. ftSp 

On pourrait supposer que aetb sonl encore moins près 
l'un de l'autre; mais alors il faudrait calculer la valeur de 
X avec un plus grand nombre de tenues. 

L'approximation de la prop. XIY , qui est de Jacques 
Gregory, est susceptible de semblables abrégés. Nous ren- 
Yoyons à l'ouvrage de cet auteur , intitulé : Fera circuli et 
kyperboiœ quadratura , ouvrage d'un grand mérite pour le 
temps où il a paru. 

NOTE IV. 

Ou Von démontre que le rapport de la circon"^ 
férence au diamètre et son quarré , sont des 
nombres irrationnels. 

Considérons la suite infinie 

a 1 a* I a' 
iH h-- \ 1 5. \ ; h etc. 



dont le terme général est — 



I rt" 



i.a.3.../i 2.z4-i.2-t-a....(z-f-7? • i) 

et supposons que ç : s en représente; la. somme. Si on met 

x+i à la place de 2 , f : (z+i ) sera pareillement la somme 

de la suite 

a i a^ î a* 
i-j 1 — . 1 -. -.-^ctc. 

z-{-\ azH-i.«4-î» a.3 z*-|-t.-s4-a.s4-^ 
Retrancbons ces deux suites, terme à terme, l'une de l'autre» 
et nous aurons f :z — 9: (z + i) pour la somme du reste 
qui sera 

a a* 1 a' 

— I 1 — ^ ■+etc. 

z,z+i z.z-l-i .«-4-a a «,a+i .jB-|-a,x-|-3 

Mais ce reste peut être mis sous la forme 

a , a 1 a* . 

— r"('^ — ; — ^"ô-""; rîH-«tc)> 

z.z-f-i z+a a a+a.a+3 

a 

et alors il se réduit à 9 : f e+ a)* Donc on aura 

z.z+i * 

généralement 

ç:z— ç:(« + i) = — îj--9:(z + a). 

z • Z-f-I 

Divisons cette équation par f : (2+1)9 ^^9 pour simpli- 
fier le résultat , soit.t|> : z une nouvelle fonction de z, telle 

^9 



igo ifôTB IV. 

a 9 : (z + i) , ,^ ^ 
que a» î « rs -♦ > , ^ ; alor» on pourra mettra 

«u Heu de -, r, et^ ^-^— ^ ' au lieu de 

Ç:(«+i) fl 

f : fz-4-ik) 

— ^ ^. La substitution faîte ..on aura 

f: («4-i) 



a 



Mais en mettant successivement dans cette équation z + 1 , 
9 H- îi ) etc. 9 à la placd de s , il en résultera 

^:(z-{-%)= ' -r; etc. 

Donc la valeur de ^ i z peut s'exprimer par la fraction 
continue : 

a 

J> : « = — a 

»•+* ■ a 

«+I + 



«+a + etc. 
Réciproquement cette fraction continue , prolongée à Tin- 

fini , a pour somme ùt i z» ou son é^ale -. — — ^ ; et 

^ ' ^ z 9 :z 

Celte somme, développée en suites ordinaires, est 

a a* 
iH ; h7.— — ; h etc. 

«* a a* 

Soit maintenant zzzz^^ la fraction continue deviendra 

— 4 A 

5+el 

daus laquelle les numérateurs , excq)té le premier , sont 
tous égaux à 4 ^ 9 et les dénominateurs forment la suite 
des nombres impairs i , 3 , 5 , 7 , etc. La valeur de cette 
fractiou continue peut donc aussi s'exprimer par 



NOTS !▼• api 

4 a 16 a* Si a* 
2.3 2.3.4*5 a.3..7 

*^' 4^i Ï6"i^ 64^? 

iH — +r"ô— : H 5 ^+ etc. 

a 2. H. 4 a. 3. ..6 

Rîais ces suites se rapportent à des formules connues , et ou 
sait qu'en représentant par e le nombre dont le logarithme 
hyperbolique est i , l'expression précédente se réduit à 



^Wa I ç-^ Wa 



» \/ai de sorte qu'on aura en général 



^v^«_<j-«v^« 4tf 

— — --. aV^az= — 4rt 

av^^+e-*^* I + --- 4« 

5 + ete. 

De là résultent deux formules principales selon que a est 
positif ou négatif. Soit d'abord 4 a = ;?% on aura 

5 + etc. 

Soit ensuite 4<i= — «% et en vertu de la forranle connue 
.^ — — n^ 1/ — I , tang. X , on aura 

'tang. ar= r" ^ 



5 



7 — etc. 



Celle-ci est la formule qui servira de base à notre démons- 
tration. Mais il faut, avant tout, démontrer les deux 
lemmes suivants. 

Lemhb I. Soit une fraction continue prolongée a Vinfiniy 

n'+etc 
dans laquelle tous les nombres m , n , m' , n' , etc. sont des 
entiers positifs ou négatifs ; si on suppose que les fractions 

19- 



agfk NOTE it« 

m m' m" 
composantes'^^ — r»"^» ®^c» soient tontes plus petites que 
n n' n 

Inanité , je dis que la valeur totale de la fraction continue 

sera nécessairement un nombre irrationnel, 

D*aborfl , je dis que celte valeur sera plus petite que 

Tunitc. En effet, sans diminuer la généralité de la fraction 

continue , on peut supposer tous les dénominateurs n, /t', 

n^ ^ etc. positifs ; or , si on prend nn seul terme de la suite 

m 
proposée , on aura , par hypothèse, — < i. Si on prend les 

n 

deux premiers , à cause de — r< i , il est clair que « H — - 

n . /» 

est plus grand que /z— i : mais /// est plus petit que n; et, 

puisqu'ils sont l'un et l'autre des entiers , m sera aussi plus 

petit que t H ^. Donc la -valeur qui résulte des deux 

termes 

m' 



'' + 3 



n' 



est plus petite que l'unité. Calculons trois termes de la 
fraction continue proposée ; et d'abord , suivant ce qu'on 
vient de voir , la valeur de la partie 



—r m 
n 



sera plus petite que Tunité. Appelons cette valeur u, et il 
est clair que ■ sera encore''plus petite que l'unité; donc 

la valeur qui résulte des trois termes 

m 

— m' 

n 
est plus petite que l'unité .][Continuant le même raisoniic* 
ment, on verra que, quel que soit le' [nombre de termes 
qu*on calcule de la fraction continue proposée , la valeur 
qui en résulte est plus petite que l'unité ; donc la valeur 
totale de cette fraction prolongée a l'infini , est aussi plus 



petite que l'unité. Elle ne pourrait être égale à i*uoitë que 
dans le seul cas où la fraction proposée serait de la forme 

m 



«*' 



jft 4- 1 — — - *•- m 



m -f- 1 — etc. 
dans tout autre cas elle sera plus petite. 

Cela posé, si on nie que la valeur de la fraction continue 
proposée soit égale à un nombre irrationnel , supposons 
qu*e]le est égale à un nombre rationnel , et soit ce nombre 

•--, et A B étant des entiers quelconques; on aura donc 

A 



B m 



A n +fî- //i" 



/i" 'h etc. 

Soient C , D , £ 9 etc. des indctet minées telles qu*on ait 
C ///' 



B «'-» »«'" 



D m" 



If 
"*" '/î'" + etc. 



w'" 



n}" + etc. 

et ainsi a l'infini. Ces différentes fractions continues ayant 

tous leurs termes plus petits que Tunité , leurs valeurs ou 

B C D E , „ . ^ 

somme* -jy-^y-r;,—, etc. seront plus petites que 1 unité, 
A B C 13 

suivant ce qui vient d*étre démontré , et ainsi ou aura 

B<A, C<B, D<C, etc. ; d*oii Ton voit que la suite A, 

B, C, D, £, etc. est décroissante à Tinfini. Mais renchai' 

nement des fracticms continues dont il s'agit donne 

— = C ; d'où résulte C ï=: iw A — w B , 

A n+- 

C m' 

^= 1); d'où résulte D=ot'B — II' C, 

VI 

D «»''«,.,« 

-= E ; d'où resuite E = /n"C — /i" D , 

etc. etc. 



^94 NOTB IV. 

Et puisque les deux premiers nombres A et B sont entiers 
par hypothèse , il s'ensuit que tous les autres C, D, 
E , etc. , qui jusqu'à ce moment étaient indéterminés , sont 
aussi des nombres entiers. Or , il implique contradiction 
qu'une suite indnie A , B , C , D , E , etc. soit à-la-fois dé- 
croissante et composée de nombres entiers , car d'ailleurs 
aucun des nombres A , B', C , D , £ , etc. ne peut être zéro , 
puisque la fraction continue proposée s'étend à ]*infini, et 

ciu'ain.i le, somme, représentée, par 5, S, ?, «te. doivent 

ABC 

toujours être quelque chose. Donc l'hypothèse , que la 

somme de la fraction continue proposée est égale à une 

B 
quantité rationnelle — , ne saurait subsister ; donc cette 

A 

somme est nécessairement un nombre irrationnel. 

Lemme n. Les mêmes choses étant posées , si les fractions 

m m'î m" 

composantes — , , etc. sont d'une grandeur quelcon' 

un' n" 

que au commencement de la suite ; mais qu* après un certain ^ 
intervalle , elles soient constamment plus petites que V unité; 
je dis que la fraction continue proposée , en supposant tou- 
jours qu* elle s* étende à Vinfiniy aura une valeur irrationnelle, 

m'" 
Car , si à compter de — ^ , par exemple , toutes les frac- 

lions--—,—, — , etc. à l'infini, sont plus petites qtae 
7r" n^ n^ 

l'unité , alors , suiyant le lemme I , la fraction continue 



m"' 



n'"+ 



m 



V 



w^ + etc. 
aura une valeur irrationnelle. Appelons cette valeur «a , et 
la fraction continue proposée deviendra 

m 



m' 



w-1— , . m* 
n 



'4-: 



Mais si on fait successivement 



^ î ZT\ t — « > — m; — « » 



fi -|- (o n -f- tù n ■+- *» 



NOTE IV, apS 

il est clair que , tù élant irrationnelle > toutes les quantités 
ttS «"9 o'" 9 doivent Fétre pareillement. Or, la dernière J" 
est égale à la fraction continue proposée ; donc la valeur de 
celle-ci est irrationnelle. 

Nous pouvons maintenant , pour revenir à notre sujet , 
démontrer cette proposition générale. 

Si un arc est commensurahle avec le rayon , sa tangente 
sera incommensurable avec le même rayon, 

Eneffet,,oUlerayoa=:x,etl'arcx=^,met„étant 

n 

des nombres entiers , la formule tït>uvée ci-dessus donnera, 

en faisant la substitution , 

mm 
tang.-.=-- m* 

n 1— ■= — m* 

3/1 -rr— m* 



5/f 



7/ï — etc. 
Or cette fraction continue est dans le cas du lemme II ; car 
il est clair que les dénominateurs 3 /t , 5 /? , 7 /i , etc. aug- 
mentant continuellement , tandis^ que le numérateur //z' 
reste de la même grandeur, les fractions composantes seront 
ou deviendront bientôt plus petites que Tunité , donc la 

Taleur de tang. ^ est irrationnelle ; donc , si l'arc est com^ 

n 

mensurable avec le rayon , sa tangente sera incommen^ 

surahle* 

Delà résulte, comme conséquence très-immédiate, la 

proposition qui fait Tobjet de cette note. Soit ir la demi- 

drcionférence dont le rayon est i ; si]^r était rationnel l'arc 

4 . ~ 

- le serait aussi , et par^conséquent sajtangente devrait être 

irrationnelle : mais on sait , au contraire , que la tangente 

de i*aro -^^st ^ale eu rayon x ; donc % ne peut être ration- 
4 

nel. Donc le rapport deja'^circonférence au [diamètre, es^ 
un nombreyrrationnel (1). 

(i) Celte proposition a été démontrée pour la première fois par 
UmWt, dan» lès Mémoires do Berlin , année i75x. 



^q6 n o t b V. 

11 est probable que le nombre n n'est pas même compris 
ilans les irrationnelles algébriques , c'est-à-dire , qu'il ne 
peut ôtre la racine d'une équation algébrique d'un nombre 
fini de termes dont les coefficients sont rationnels : mais il 
paraît très-difficile de démontrer rigoureusement cette pro- 
position ; nous pouvons seulenient faire Toir que le quarré 
de TT est encore un nombre irrationnel. 

£n effet , si dans la fraction continue qui exprime tang. ^, 
on fait xzzzTÇf k cause de tang. ir = o , on doit avoir 

= 3 — -=- 7C» 

5 — — w» 

9 — etc. 

Mais si 17' était rationnel , et qu'on eût 1^* = — ^ m et n 

étant des entiers , il en résulterait 

D = =— m 

5/1— — m 

7 m 

9«~ — 

1 1 — etc. 

Or , il est visible que cette fraction continue est encore 

dans le cas du lemme II , sa valeur est donc irrationnelle, 

et ne saurait être égale au nombre 3. Donc /e quarré du 

raf?pori de la circonférence au diamètre , est un nombre 

irrationneL 

NOTE Y, 

Oà Von donne la solution analytique de divers 
problèmes concernant le triangle , le quadri- 
latère inscrit , le parallélipipède et la pjrra^ 
mide triangulaire. 

PROBLBME PHEMIBR. 

Étant donnes les trois côtés d'un triangle , trouver sa sur- 
face , le rayon du cercle inâcrit et le rayon du cercle cir^ 
conscrit. 
fig. 1^6. Soient les côtés BC = a , AC = ^ , AB = c ; si du som- 
met A on abaisse la perpendiculaire AD sur le côté opposé 

• 12. 3. BC, on aura * ÂC =^15 + BG — 2BC X BD; donc BD = 



N O T B V. *97 

a'+c'— &' ^^^^^ ^^j^^^ ^^^^^ ÂB — Bd'ou AD'=c* 

/^^^4-^r^--^^• Aa-c- — (g' + c* — ^O' . donc AD 

^ t/[/ia'c' — (g'+c'— »•)•] s^jit s i.ai„ du triangle. 



a a 



onauraS=iBCXAD;donc 

Cme formule peut encore se réduire à une autre fome 
plu» commode pour le calcul logarithmique ; PO« «'» «^ 
faut observer que la quantité 4«' «"— («'+«* — *) *»' 
le produit des deux facteurs a «c +(«*+«'-*')«» » «« T" 
a'-^-c'— 6');lepremier=(«+cy — 6* = («+« + W; 

(a+c-6); le second=6'-C«-c)*=(6+«-'^) (*-« + *)» 

donc on aura -, /. * \ 

S=^\/[(a^b+c) ia+b^c) ia+c-b)] (6+c-«), 

Enfin si ou fait ^±±tf=i', ce qui donne a+b+c=i^P, 
«^^_~y^ac,«+<>- b=zo.p-'^b,b+c-a^^p~M, 
on aura encore plus simplement 

S =V^ (/»•/' — «•/' — b .p — e). 
D'où l'on voit que pour avoir la surface d'un triangle dont 
les trois côtés sont donnés, il faut prendre la denu-somme 
des trois côtés, de celte demi-somme retrancher successive- 
ment chacun des côtés , ce qui donnera trois restes , multi- 
plier ce, trois restes entre eux et par la demi-somme des 
côtés , et enfin extraire la racine quarrée du produit : celle 
racine sera l'aire du triangle. 

Soient maintenant z le rayon du cerele cireonserit au 
triangle , et 1/ le rayon du cercle inscrit dans ce même tri- 
angle, on aura suivant la prop. xxxii, liv. m, 

._lf^ et «= _-i^— = - ; <ïonc en substituant la 
S a + b + c p 

valeur trouvée de S , il viendra 



9 



^{j>.p—a.p~b.p—c) \ P. y 



apS NOTE V. 



PROBLEME II. 



Etant donnés les quatre côtés d*un quadrilatère inscrit , 

troîwer le rayon du cercle , la surface du quadrilatère e 

ses angles. 

ig.i35 . Soient les côtés donnés AB=a , BC=è, CD=c, DA=^' 

et les diagonales inconnues IlC^zx , 'BD=zy , on aura , sui 

X a d~\- b c 

vant le tliéor. 33 , liv. in, arr=«e?+M et -in — ; -n 

y aO'\'Cd 

d'où Ton tire 

Maïs , suivant le problème précédent , le rayon du cercle 

circonscrit au triangle ABC , dont les côtés sont a^b^x^ peut 

absir 
s'exprimer par la formule z z=z „ ' , : : r-r» 

Substituant au lieu de x la valeur qu'on vient de trouver 
«t décomposant le résultat en facteurs , on aura 

^ y r (ac-^bd) (ad-^bc) (ab-^cd) 1 

*'~V |_(û+*4.c— J) (a-^b-i-d^c) (a^c^d-'b) (A+cH-rf— a)J ' 

^abx 

Cela posé , l'aire du triangle ABC = , celle du trîan- 

z 

\cdx 
glfi ADC = ■ ' ; donc Taire du quadrilatère ABCD = 

(û6 + cflQ X 



z 



-^\\/[{ar{-b+c--d) {a^b-hd—c) (a-i-c-^d^) (b+c^d—a)]. 
Et si on fait , pour abréger ^ p-z=z\ (a + ô+cH-^), on 
aura l'aire ABCD =^<^ {^p—a.p—b.p—c.p—d). Enfin pour 
avoir l'un des angles , par exemple , l'angle B , on obser- 

, . , *. a*+ô* — «■. 

vera que le triangle ABC donne cos Bi= ■ ' 

% ab 

substituant la valeur de x el réduisant , on aura cos B =r 

a*+b*—c^ — ^*. ^ ,, . I— cosB ,.^ 

«— ■ '■ , n , . De la on tire — , ou tang.* * B 

^ ab + n cd " I 4- cos B 



HOTB ▼• t99 



ta,g.iB = ,/( ^J;^J ) 



PROBLiMB III. 

Dfl/zj /e quadrilatère ABDC dont les angles opposes B ^g* ^77. 
et C ^o/if droits g étant donnes les deux c6tés AB, AC avec 
l'angle compris BAC trouver les deux autres côtés et la 
diagonale AD. 

Soit AC = 5 , AB = c , et Tangie BAC -= A j si Ton pro- 
longe BD et AC jusqii*à leur rencontre en £, le triangle 
BA£ rectangle en B, où l'on connaît Tangle BAE et le côté 

* c c 

AB ) donnera AE = — *-. j donc CE = ■■ — h. Ensuite 

cos A cos A 

le triangle DCE rectangle en C 9 où Ton connaît le côté 

CE et l'angle CDE = A , donnera CD = CE cot A = 

c—ècos A ^ , , 1 ,, M»,^ ^— ecosA 

— : . On aura donc semblablemcnt BD = — ; 

sin A sin A 

Ce senties faleurs des deux côtés chcrcbés du quadrilatère* 

De - là résulte la diagonale A D = v/ ( A c'+ Dc') = 

/ /, . X'-b cos A .\ i/(**H-c'— aôc cos A) . 

1/ ( h*+{ T--r—) ]^^^ r-T . Mais par 

V \^ ^ sin A ' y siu A 

le triangle BAC on aurait BC = ^/(ô*+c*— aôc cos A). 

Donc la diagonale AD , qui joint les deux angles obliques t 

est à la diagonale B C qui joint les deux angles droits : : i 

:sia A. 

Scholie. La diagonale AD est en même temps le dia- 
mètre du cercle dans lequel le quadrilatère ABDC serait 
inscrit. 

Dans ce eerele on aurait l'angle ABC = ADC , donc en 
abaissant CF perpendiculaire sur AB, les triangles BFC» 
ADC|Sont aeniblables et donnent AD:BC:: AC:FG;: i : 
sin A ; ce qui s'accorde avec le résultat précédent. 



3oo 



MOTB V* 



PROBLÂIIB IV. 



Etant données les trois arêtes d'un paraUélipipèile avec 
les angles qu'elles font entre elles , trouver la solidité du 
parallélipipède, 

'«• *7*- Soient les arêtes SA=/, SBrzrg', SC= A , et les angles 
compris ASB=y , ASC =6 , BSC = a. Si du point C on 
abaisse CO perpendiculaire sur le plan ASB , le triangle 
rectangle CSO donnera CO =: CS sin CSO = h sin CSO. D*ail. 
leurs la surface du parallélogramme ASBP :=zfg sin y. Donc 
si on appelle S la solidité du parallélipipède ST, on aura 
S ^=^fgh sin a sin CSO. Il reste à trouver sin CSO. 

Pour cela du point S comme centre et d*un rayon = i y 
décrivez une surface spliérique qui rencontre en D , £ , F, G 9 
les droites SA , SB , SC , SO ; vous aurez un triangle D£F 
dans lequel Tare FG est perpendiculaire sur £D , puis- 
que le plan CSO est perpendiculaire sur ASB. Or le 
triangle DE F, où l'on a les trois c6tés D£ = 7, DF=: 

^ __ , „ cos € — COSocCOSv . „ 

6» EF=a, donne cos E=s . . , et siil£:= 

sin a sm y 

^/ ( I — cos* a — cos* € — cos* y -|- a cos a cos 6 cos y 

sin a sin y 
Ensuite le triangle rectangle ËFG donne sin OF ou sin CSO 
r= sin E sin £F=sin a sin £• Donc S=:fgh sin a sin y sin £. 
Ou 

S=^-A^/(i— cos* a — cos* e— co$*y+2COS a cos 6 COS y). 
Dans cette expression la quantité sous le radical est le 
produit des deux facteurs sin a sin y -f- côs 6 — cos a cos y et 
sin a sin y— cos 64-cos a cos y. Ite premierscos 6~cos (a-hy) 

zzz a sin 2 ï sin i » le second^ittos («— yV— cos € 

a a 

=:2asinî — '■ ?sin ï • Donc la solidité cherchée 



= W^ %/ j **» ^*"» ^"û — ! — sm — î — I . 



itoTii V. Soi 

PEOBLâxB Y. 

Les mêmes choses étant données que dans le prohlitne 
firéeédent , trouver Pexpression de la diagonale qui joint 
iieux sommets opposés. 

Soit la diagonale de la base SV-zzz et la diagonale fi j. 178. 
chercbée ST r= « ;. le triangle ASP dans lequel ces SAP 
= — cos Y , donnera «'=/* -f-g^ + a/^cos y ; pareillement 
k triangle TSP dans lequel cos TPS=— cos CSP, don- 
nera 11' :=z*+ A' 4-a^ cos GSP. Il ne s*agit plus que 
d'ayoir le cosinus de Tangle CSP ou de Tare FH : or 
dans le triangle sphérique £ F H , on a cos F H = 
cos £F cos £H + sin KF sin £H cos £; substituant les 

« «w, « cos 6 — cos a cos Y .. . , 

valeurs EFzzra et ros E j= ; : i , il viendra 

sin a sin y 

«.. «„ sin EH , 

CosFH:=cos «cos EH H : (cos g — cos a cos y):= 

sin Y 

*in EH cos 6 sin (y —EH), cos a sin EH cos 64-sin DHcos x. 
sin y sin y sin y 

Donc Oikz cos FH , ou ikhz cos CSP = ^h cos g. 

% sin EH , s sin DH , _ , . , ^ 

— : \-^n cos a. — : . Mais dans le trianc^le BSP 

sin y sm Y ° 

^^ SP sin BSP ^^ SP sin BPS , , 

ona BP = -.-^jjP~etBS = -^j^^^, ce qui donne 

< sin EH - s sin DH ^ 

— : =:Aet — : z=zg. Donc ^hz cos CSP=: a/% 

%\n y sm y 

cos 6+ a ^A cos «• Donc enfin le quarrë de la diagonale 
cberchée : 

u* =/'+£* + h' +^/g coé y + a/// cos g-f-a^/i cos ot. 

Corollaire. L'angle solide A est formé par les arêtes 
f, g, à, faisant entre elles deux à deux les angles aoo^—y , 
2co^~-$, a; ainsi il suffit de cbanger les signes de cos y et 

cos 6 dans Texpression de SE pour avoir celle de AM, 
Faisant de même pour les deux antres diagonales , on aura 
les valeurs de leurs quarrés comme il suit : 






•3oa ifOTB y. 

ST=/*+^+^*4-a/^cosy + a/'A cos^ + ^gh cosoi 
AM=:f* 4-^4- h* — i/g cos Y — 2fh cos ^ + 2 ^ ^ cos « 
BN=/*+^+A" — ay ^ cos y + a/^ cos g — a^Acosa 
CP==/'+^+^*+ay^co8 Y — a/^ cos é — a^Àcoia 

De là on lire St'+ AM + BN*+ CP*= 4/" + 45^+ 4 A'. 
Dpnc, 4^ns tout p€treUlélipipède f la somme des qu€UTésdes 
quatre diagonales est égale à la somme des quarrés des 
douze arêtes. Ce théorème remarquable et analogue à cdoi 
* 14. 3. qui a lieu dans le parallélogramme'^, pourrait se déluire 
cor. immédiatement de ce dernier. Car au moyen des parallélo- 
grammes SCTP , ABMN , on a 

ST*-f- CpV= a se + a SP* 

ÂM + BN*= a BM + a ÏB* 
Ajoutant ces deux équations et observant qu'on a SC=6M 

et SP + ÂB*= aSiVaSB*, il viendra ST*+ ÂmV 

BW + CP*= 4 si + 4 SB V 4 se" 

PROBIiÂMB VI. 

Étant données les trois arêtes qui aboutissent à un mém 
sommet d'une pyramide triangulaire ^ et les trois angles 
que ces arêtes forment entre elles , trouver la' solidité de la 
pyramide. 

fig. 278. Soit S ABC la pyramide triangulaire proposée, dans 
laquelle on connaît les arêtes SA=y, SB=:^, SCzrzh^ 
et les angles compris ASBs^y , ASC=:g , BSC = a« Si 
sur les arêtes SA , SB , SC , données de grandeur et de 
position , on décrit le parai lélipipède S T , la pyramide 
qui est le tiers du prisme triangulaire BSANMC sera le 
sixième du paraUélipipède ST. Donc en appelant P la soli- 
dité de la pyramide, on aura , d'après le probL xv , 
P=i/^A ^/(i"— cos*a — cos*€-— cos*Y+a cos a ces 6 cosy ) 

OU P = l'fghr'lèin^- — — sin ^ — ^ 



tt -l Y 6 , Y K c ul 
sm ' sin — " 



froïB V. 3o3 

PaOBtSMB VII. 

Etant donnés les six côtes ou arêtes d*unê p/ramide tri" 
angulaire j, trouver sa solidiâé. 

Si Ton Gonserre les mêmes dénominations que dans le fig*^?^' 

problème précédent , et qu*on fa»se de plus BC =:/^, 

p^a* A" * 

CA=^, BAmA' , on aura cos y = " , cos 6 =: 

^, • cos a = . Substituant ces va- 

leurs dans la formule trouvée , et faisant pour abréger 

on aura la solidité demandée 
P=TrV/(4/*«^ À"— /*F'— ^G*— À*H*+FGH). 

Dans l'application de ces formules on observera que/^, 
^ , A' , désignent les cètés d'une même face ou base , et 
fi gi ^y^^ trois autres arêtes , qui aboutissent au sommet, 
leur disposition étant telle que / est opposée kf^ g k g 
ethk hl. 

SchoUe, Scût A la somme des quatre triangles qui com- 
posent la surface de la pyramide , soit r le rayon de la sphère 
inscrite ; il est aisé de voir qu'on a P= A X j r; car on peut 
concevoir la pyramide décomposée en quatre autres , qui 
auraient pour sommet commun le centre de la sphère , 
et pour bases , les différentes faces de la pyramide. On a 

3P 
donc le rayon de la sphère inscrite r-ziz—, 

»EOBZ.âKB Tllt. 

Zet mêmes choses étant données que dans le problème FI, 
trouver le rayon de la sphère circonscrite à la pytamide. 

Soit m le centre du cercle circonscrit au triangle SAB 9 fig. 279. 
MO la perpendiculaire menée par le point M sur le plan 
èAB ; soit pareillement IR le centre du cercle circonscrit 
au triangle SAC, NO la perpendiculaire élevée par le 
point N sur le plan SAC. Ces deux perpendiculaires situées 
dans un même plan MDN perpendiculaire à SA , se ren- 
contreront en un point O qui sera le centre de la sphère 



3o4 NOTB V. 

circonscrile ; car le point O , comme appartenant à a per- 
pendiculaire MO , est à égale distance des trois poiiils S, 
B » A ; et ce même point , comme appartenant à la per- 
pendiculaire NO , est à égale distance des trois points 
S , A , C ; donc il est à égale distance des quatre points S, 
A 9 B y C. 

On peut imaginer que le point M est déterminé dans le 
plan SAB , au moyen du quadrilatère SDMH , dont les 
deux angles D et H sont droits , et où Ton a SD:=^/', 
SH = 7^, et ASBzn-Y» Donc on aura (d'après le pro- 

-ijo^— — — /cos Y 

biètne m ) , D M = — — ^ ; semblablement on aura 

' iin y 

sm ^ 

Appelons D l'angle MDN qui mesure l'inclinaison des 

deux plans SAB , SAC ; dans le triangle sphériquc dont 

a, g , <f , sont les côtés, D sera l'angle opposé au côté a , et 

, . cos a — cos 'Y cos 6 
ainsi on anra cos D = : ~ , de sorte que 

sm y sm e 

l'angle D peut être supposé connu. 

Cela posé, dans le quadrilatère OMDN dont les deux 
angles M et N sont droits , cl où l'on connaît les deux 
«ôtés MD, DN et l'angle compris MDN=D , on aura 

par le problème m, le quatre de la diagonale OD = 

DmVdN — aDMxDNcosD . , 

■ . , ^ . Ensuite dans le triangle 

sin* D ^ 



OSD rectangle en D, on aura SO = OD + SD: c'est la 
râleur du quarré du rayon de la sphère circonscrite. 

Si on fait la substitution des valeurs de D M , D N et 
ensuite celle des valeurs de cos D et de sin D , afin d'avoir 
immédiatement l'expression du rayon SO, par le moyen 
des données du problème vi , on trouvera pour résultat : 

SO=ri\/ *( — 2/A(co8^— cosacoiy)— a^A(co8«— cosy cosgU 
\ I — co8»a — cos» g — C08 *y-|-acosacosgcos ) 



NOTB VI. 3o5 

NOTE VI. 

Sur la plus courte distance de deux droites non 
situées dans le même plan. 

Soient AB , CD , deux droites données , non situées dans le H- '^^°- 
même plan , dont il s*agit de trouver la plus courte distance. 

Suivant AB faites passer deux plans perpendiculaires 
entre eux qui rencontrent CD Tun en C , Tautre en D ; des 
points C et D abaissez CA et DB perpendiculaires sur AB ; 
dans le plan ABD menez DE pafCllèle et AE perpendiculaire 
à BA , ce qui formera le rectangle ABDE ; dans le plan CAE 
joignez C£ et menez AI perpendiculaire à CE \ enfin dans le 
plan CDË menez IK parallèle à DE jusqu'à la rencontre de 
CD en K , faites AL=IK et joignez KL ; je dis , i° que la 
droite KL est peq)endiculaire à-la-fois aux deux droites 
données AB, CD; a° que cette même droite KL est plus 
courte que toute autre qui joindrait deux points des lignes 
AB , CD , et qu'ainsi KXi , ou son égale AI , est la plus courte 
distance demandée. 

En effet, i^ les trois droites AB, AC, AE étant par 
construction perpendiculaires entre elles , Tune d'elles AB 
est perpendiculaire au plan des deux autres ; donc AB 
est perpendiculaire à AI ; d'ailleurs Kl est parallèle à DE , 
et DE à AB , donc Kl est parallèle à AB , et puisqu'on a fait 
AL=KI, il s'ensuit que la figure AIKL est un rectangle. 
Cela posé , l'angle AIK est droit ainsi que AIC , donc la 
droite AI est perpendiculaire au plan KIC ou CDE; doiic 
sa parallèle KL est perpendiculaire au même plan CDE, 
et par conséquent est perpendiculaire a CD. Donc, i** la 
droite KL est perpendiculaire à-la- fois aux deux droites 
AB, CD. 

a" Soit M un point quelconque de la droite CD ; si par 
ce point on mène MN parallèle à DE ou à AB , la distance 
du point M à la droite AB sera égale à AN , puisque l'angle 
BAN est droit. Or on a AN > AI ; donc AI est la plus courte 
distance des lignes données AB, CD. 

Soient les perpendiculaires CA=:a et DB=AE=:6, 

20 



3o6 nOt» vîi. 

on aura CE=\/ («" + 6* ) ; et parce que Taire du triangle 

ACE s'exprime également par | AC X AE et par ^ CExAI, 

^^ ACxEA ab ^, „ 

on aura AI= — --i =. — r~r — rrr» C est 1 expression 

CE \/(« +^*) 

de la plus courte distance des lignes données* 

Si en même temps on fait la distance AB = c, et qu'on 

appelle A Tangle compris entre les deux lignes données, 

c'est-à-dire l'angle CDE, compris entre la ligne CD et une 

parallèle DE à la ligne AB , le triangle CDE rectangle en Ë 

^ I>E ^ c 
donnera cos CDEzn •—-=- , ou cos A= — -, : --. 

CD' v/(«* + ** + c*); 

car on a CD = CE + ED = «• + ô* + c' . De là on tirerait 

. . . \/ {a*+b') ^ . c 
aussi sin A = — - — : 7- -r- et cot A rr — --^ ^ 

NOTE VIL 

Sur les polyèdres symmétriques , 

C'est pour plus de simplicité que nous avons supposé 
dans la dcf. 16, liv. VI, que le plan auquel lès polyèdres 
symmétriques sont rapportés, est le plan d'une face : on 
pourrait supposer que ce plan est un plan quelconque, 
et alors la définition deviendrait plus générale, sans qu'il 
y eût rien à changer à la démonstration de la propos. 11, 
par laquelle nous avons établi les relations mutuelles des 
deux polyèdres. On peut aussi prendre mie ide'e très-juste 
de la manière d'être de ces deux solides, en regardant l'un 
des deux comme l'image de l'autre formée dans un miroir 
plan, lequel tiendra lieu du plan dont nous venons de 
parler. 

NOTE VIII. 
Sur la proposition XXVy liseré FIL 

Ce théorème qu'Euler a démontré le premier dans les 
Mémoires de Pétersbourg, année 17 58, offre plusieurs 
conséquences qui méritent d'être développées. 

1^ Soit a le nombre des triangles , h le nombre des qua- 



irol!ii Yiii. 3o7 

drilatères^ c le iiombi*e des pentagones, etc. qui composeitl 
la surface d'an polyèdre ; le nombre total dés fkt:es sera 
a-f-ôH-c-l-£;?+elc., et le nombre total de leurs c6tés sera 
3a+ 4Ô+ Sc+6d-\-' etc. Ce dernier nombre est double de 
celui des arêtes , ptiisque là même arête appartient à deut 
faces ; ainsi on aura 

aA=3fl~f-4ft+5c+6ff-|-fetc. 
Et puisque, suivant le théorème dont il s*agit, S-f-H = A 
4-2 , on en tire 

2S = 4+« + 2Ô+3c?+4t/+etc. 
Une première remarque que fournissent ces valeurs , c'est 
que le nombre des faces impaires a -f- c+e -f- etc. est tou- 
jours pair. 

On peut faire pour abréger co = ô + ac-f- 3^ -f- etc., tt 
alors on aura 

' S=a-f.^H-h4a). 

Ainsi dans tout polyèdre on a toujours A >4 H, etS> 
% -h4 H ^ où il faut observer que le signe > n'exclut pas Téga- 
lité, attendu qu'on pourrait avoir a) = o. 

Le nombre de tous les angles plans du polyèdre est s A, 
celui des angles solides est S , de sorte que le nombre moyen 

des angles plans qui forment chaque angle solide , est iA. 

Ce nombre ne peut être moindre que 3 , puisqti'll faut 
an moins trois angles plans pour former un angle solide; 
ainsi on doit avoir n A > 3S, le signe > n'excluant pas 
Fégalité. Si on met au lieu de A l;t S leurs valeurs en 
Hetoi, on aurâ3H-f-ft)>6-f-4H + |-<i), ou3H>i2-t-w. 
Remettant les valeurs de H et co en a , 6 , c , etc. , il en 
résultera 

3<i-4-aft+<î> 14 +« + a/-f- 35^-1- etc. 

d'où Totl voit que a, b, c, ne peuvent pas être zéro à la 
fois , et qu'ainsi il n'existe aucun polyèdre dont toutes les 
faces aient plus de cinq côtés. 

Pttisqu'dli a H > 4 + j ct) , la substitution dans les valeurs 
de S et de A donnera S>4+|<«), et A>6-+-(o. Mais en 
même temps on a <o< 3H — i à ; et de là il résulte S < 2H — 4, 



3o8 IfOTB VIII. 

et A < 3H — 6 , où Ton se souviendra que les signes > et 
< n'excluent pas VégaMté. Ces limites ont lieu généralement 
dans tous les polyèdres. 

a** Supposons 2A>4S, ce qui convient à une infinité 
de polyèdres*, et nommément à ceux dont tous les angles 
solides sont formés de quatre plans ou plus , on aura dans 
ce cas H > 8 -f- 0) , ou , en faisant la substitution , 

a>S'{-c-{-%d-{-^e + etc. 
Donc il faut que le solide ait au moins huit faces triangu- 
laires ; la limite H > 8 ~Ho donne S>6-|-<d,etA>2 -4-coia. 
Mais on a en môme temps (o < H — 8 ; et de là résulte S < H 
— 2, A<2H — 4' 

3° Supposons 2A> 5S, ce qui renferme entre autres 
polyèdres ceux donc tous les angles solides sont au moins 
quintuples , il en résultera H > ao+ 3 Ct> , ou 

a>2o + 2^-|-5c-4-8 ^+ etc. 
Et on aura en même temps S>i2-|-2Ct), etA>3o-f- 5'co; 
enfin de ce que o) < j (H. — 20) , on tire les limites S < 
f(H— 2),A<|(H— 2). 

On ne peut supposer 2A = 6S; car on a en général 
aAH-2 0)+i2 = 6S; donc il n'y a aucun polyèdre dont 
tous les angles solides soient formés de six angles plans ou 
plus ; et en effet la moindre valeur qu'aurait chaque angle 
plan, l'un portant l'autre , serait l'angle d'uu triangle équi- 
latéral, et six de ces angles feraient quatre angles droits, 
ce qui est trop grand pour un angle solide. 

4^ Considérons un polyèdre dont toutes les faces soient 
triangulaires , on aura (t)=:o , ce qui donnera A r^zl-H, et 
S = 2 -f- V H. Supposons en outre que tous les angles solides 
du polyèdre soient en partie quintuples , en partie sextu- 
ples ; soit/7 le nombre des angles solides quintuples, q celui 
des sextuples , on aura S =/? + 7 et a A = 5/? + 6q, ce qui 
donne 6S — 2 A=/? : mais on a d'ailleurs A=4 H, çt S=: 
2-I-7H; donc/> = 6S — 2A=i2. jyonc si un polyèdre a 
toutes ses faces triangulaires^ et que ses angles solides soient 
en partie quintuples , en partie sextuples, les angles solides 
quintuples seront toujours au nombre de 12. Les sextuples 
peuvent être en nombre quelconque : ainsi , en laissant q 
indéterminé, on aura dans tous ces solides $=12 + 9, 
H=ao -|-ag, A=3o +3^. 



iroTB viiî. Sog 

^ous terminerons ces applications par la recberclie dti 
nombre de conditions ou données nécessaires pour déter- 
miner un polyèdre; question intéressante, et qu'il ne parait 
pas qu'on ait encore résolue. 

Supposons d'abord que le polyèdre soit d'une espèce dé- 
terminée y c*cst-à-dire qu'on connaisse le nombre de ses 
faces, le nombre de leurs côtés individuellement, et leur 
disposition les unes à l'égard des autres. On connaît donc 
les nombres H , S , A , ainsi que a^ ^ , c^d^ etc. ; il ne s'agit 
plus que d'ayoir le nombre de données effectives , lignes ou 
angles, par le moyen desquelles le polyèdre peut être cons- 
truit et déterminé. 

Considérons une des faces du polyèdre que nous pren- 
drons pour sa base. Soit n le nombre de ses côtés ; il faudra 
2/2 -— 3 données pour déterminer cette base. Les angles 
solides hors de la base sont au nombre de S -^ /i ; le som- 
met de chaque angle exige trois données pour sa détermi- 
nation; ainsi la position de S— -/i sommets exigerait 3S— • 
3/t données, auxquelles ajoutant les %n — 3 de la base, 
on aurait en tout 3S — « — 3. Mais ce nombre est en gé- 
néral trop grand , il doit être diminué du nombre de con- 
ditions nécessaires pour que les sommets qui répondent à 
une même face soient dans un même plan. Nous avons 
appelé 72 le nombre de côtés de la base, appelons de même 
n\ 72", etc. les nombres de côtés des autres faces. Trois 
points déterminent un plan ; ainsi ce qui se trouvera de 
plus que 3 dans chacun des nombres n* ^ /2", etc. donnera 
autant de conditions pour que les différents sommets soient 
situés dans les plans des faces auxquelles ils appartiennent, 
et le nombre total de ces conditions sera égal à la somme 
(«'_ 3 ) 4- ( /î''_ 3 ) + (;2'"_3) + etc. Mais le nombre des 
termes de cette suite est H — i , et d'ailleurs n + n*-\-n^ 
-|-6tc. = aA : donc la somme de la suite sera 2 A — n^ 
5 (H — I ). Retranchant cette somme de 3S — n — 3 , il res- 
tera 3S— aA-|-3H — 6, quantité qui, à cause de S+Hz=: 
A+2 , se réduit à A. Donc le nombre de données nécessaires 
pour déterminer un polyèdre , parmi tous ^eux de la même 
espèce , est égal au nombre de ses arêtes. 

Remarquez cependant que les données dont il s'agit ne 



3lO NOTE ¥111. 

doivent pas être prises au hasard parmi les Ug».e| et les 
angles qui constituent les éléments du polyèdre ; car , quoi^ 
qu'on eût autant d'équations que d'inconnues » il pourrait 
se faire que certaines relations entre les quantités connues 
Tendissent le problème indéterminé. Ainsi il semblerait, 
d'après le lliéoréme qu'on Yieal de t|:ouver, que la connais- 
sance des arêtes seules suffit en général pour déterniiner un 
polyèdre; mais il y a des cas où cette connaissance n'est 
pas suffisante. Par exemple, étan| donné un prisme non 
triangulaire quelconque , on pourra forn^er pne infinité 
d'autres prismes qui auront des arêtes égales et placées de 
la même manière. Car, dès que la base a plus de trois côtés , 
on peut , en conservant les côtés , changer les angles , et 
donner ainsi à cette base une infinité de formes différentes » 
on peut aussi changer la position de l'arête longitudinale 
du prisme par rapport ;iu plan de la base , enfin on peut 
combiner ces deux changements l'un avec l'autre ; et il eU 
résultera to^jours un prisme dont les arêtes ou côtés n'au- 
ront ps^s changé. D'qù Ton voit que les arêtes seules ne 
suffisent pas dans ce cas pour déterminer le solicle. 

Les données qu'il convient de prendre pour déterminai 
un solide , sont celles qui ne laissent aucune indétermîoa- 
l" tion, et qui ne donnent absolument qu'une solution. £t 
fig. 98x* d'abord la base A3CDË sera déterminée entre autres ma- 
i^ières , si on connaît le côté Afi, avec les angles adjacents 
BAC > ABC , pour le point C ; les angles 9AD , ABD , pour 
le point D , et ainsi des autres. Soit ensuite M un point dont 
il faut déterminer la position hors du plan de la base ; ce 
point sera déterminé, si , en imaginant lai pyramide MABC, 
ou seulement le plan MAB, on connaît les angles MAB, 
ABM , et l'inclinaison du plan MAB sur la ba&e ABC. Si 
ou détermine , par )e moyen de trois données pareille la 
position de chacun des sonunets du polyèdre bo?s du plan 
de la base , il est clair que le polyèdre sera déterminé abso- 
lument et d'une manière unique ) de sorte q^e deux polyè- 
dres construits avee les mêmes données sueront nécessaire- 
ment égaux ; ils seraient cependant symmétriques l'un de 
l'autre, s'ils étaient construits de différents côtés du pl^ 
de la base. 



iroTB VIII. 3i| 

Xi n'est pas toujours nécessaire d'avoir trois données 
pQi^r déterminer chaque sommet d'un polyèdre ; car si 
ie point M doit se trouver sur un plan déjà déterminé dont 
l'intersection avec la base soit FG , il suffira , après airoir 
pris FG à volonté, de connaître les angles MGF, MFG; 
ainsi il faudra une donnée de moins. Si le point M doit se 
trouver sur deux plans dcja détermina , ou sur leur inter- 
section commune MK qui rencontre le plan ABC en K, on 
connaîtra déjà le câté AK, l'angle AKM , et l'inclinaison du 
plan AKM sur la base ; il suffira donc d'avoir pour nouvelle 
donnée l'angle MAK. C'est ainsi que le nombre de données 
nécessaires pour déterminer un polyèdre absolument et 
d*nne manière unique , se réduira toujours au nombre de 
ses arêtes A. 

lie <:ôté AB et un nombre A— i d'angles donnés déter- 
minent un polyèdre; un autre côté à volonté et les mêmes 
angles détermineront un polyèdre semblable. D'où il suit que 
le nombre de conditions nécessaires pour que deux polyèdres 
4e la même espèce soient semblables^ est égal au nombre des 
arêtes moins un* 

La question qu'on vient de résoudre serait beaucoup plus 
simple si on ne connaissait pas l'espèce du polyèdre , mais 
seulement le nombre de ses angles solides S. Déterminez 
alors trois sommets à volonté par le moyen d'un triangle 
où il y aura trois données ; ce triangle sera regardé comme 
la base du solide , ensuite les sommets hors de cette base 
seront au nombre de S — 3 ; et la détermination de chacun 
d'eux exigeant trois données , il est clair que le nombre 
total de données nécessaires pour déterminer le polyèdre , 
seFa3-|-3 (S — 3), ou 38— -6. 

Il faudra donc 3 S — 7 conditions pour que deujj: polyè- 
dres qai ont un égal nombre S d'angles solides soient sem- 
blables entre eux. 

NOTE IX. 

Sur les polyèdres' réguliers. (Voyez V appendice 

au livre VII. ) 

pTous nous sommes attachés dans la proposition II de cet 
appendice à démontrer l'existence des cinq polyèdres régu- 



3ia HOTB IX. 

lîers, a*est-à*dire, la possibilité d'arranger un certain nombre 
de plans égaux de manière qu'il en résulte un solide uniforme 
dans toute son étendue. Il nous a paru que dans d'autres 
ouvrages on suppose cet arrangement existant^ sans trop 
en rendre raison ; ou bien on ne le démontre , comme a 
fait Euclide , que par des figures compliquées et difficiles 
à entendre. - 

Le problème de déterminer l'inclinaison de deux faces' 
adjacentes du polyèdre, et celui de déterminer les rayons 
des sphères inscrite et circonscrite, sont réduits dans les 
problèmes III et IV à des constructions fort simples ; mais 
il ne sera pas inutile d'appliquer à ces mêmes problèmes le 
calcul trigonométrique qui fournira d'ailleurs de nouTelles 
propositions, 
ng. «aa. Soient âf, b, c, les trois angles plans qui composent l'angle 
solide O , et soit proposé de trouver l'inclinaison des plans 
où sont les angles a et 6, oii décrira du centre O le trian- 
gle sphérique ABC , dans lequel on connaîtra les trois côtés 
BC=:a, ACnzè, AB==c, et il faudra trouver l'angle C 
compris entre les côtés a et b. Or, par les formules con- 

cos ^*'~~cos o cos b 

nues , on a cos C = : : — ; . Celte formule appli- 

siA a sm b 

quée aux cinq polyèdres réguliers , va nous faire connaître 

l'inclinaison de deux faces adjacentes dans chacun de ces 

solides. 

fig. 243. Dans le tétraèdre , les trois angles plans qui composent 

l'angle solide S, sont des angles de triangles équilatéraux; 

soit donc la demi -circonférence ou l'arc de 200* =17, on 

^ cosû — cos* a 
aura a zz: b z=: c zr: r«f; donc cos C = ■ = 

sm'a 

cosa(i— cosû) cos « 

- ^ =: ; mais on sait que cos t if 

I — cos* a i+cosa * 

== -y , donc cos C = 7. 
"' *^* Dans V hexaèdre ou cube , les trois angles plans qui for- 
ment l'angle solide A, sont des angles droits; ainsi on a 
a=i&=c=~iv,etcosaz=o, donc cos C=ro. Donc l'angle 
de deux faces adjacentes est un angle droit, 
«g. «45. j^^j^^ V octaèdre , si l'on fait a = DAS == | tt , ^ = DAT 

«-.* mAO i ^ COS ^ ir^cos*T ir 

=yir, czisTASsciiT, onauracosCs î-: i— 

sm • -yir 



HOTB IX. 3l3 

Or, cos^ir -= o, cos jir =7, sin 71f=-j v^3 ; donc cos C=: 
— j. D'où l'on voit qne l'inclinaison de^ faces de l'octaèdre 
et l'inclinaison des faces du tétraèdre sont deux angles snp- 
pléments l'une de l'autre. 

Dans le dodécaèdre , un angle solide est formé de trois fig. %lfi, 

RDglcs plans égaux, chacun, à l'angle d'un pentagone 

régulier; ainsi, en faisant arz^zzrcurfir, on aura 

. cos« . . . I — \/5 

cos C = ; mais cos f « = — sin -jî^- ir = — ^ 

I 4- ^os a 4 

^ ï — V^ ï . ^ ^ ^ 

donc cos €=•= r = — — ^>Mn C=—- ri «l tang C:= 

« * 

i>a/i# Vicosaèdre , il faut faire c = C B' D' = {■ ir , a = fig> 347. 
^= C B' A' = j ir , et on aura cos C = 



cos-jir— cos' jir 



sm" Y ir 



-^^^! — j—^ i= — ^; donc sîn C = |. Telles sont les 

expressions très-simples par lesquelles on détermine l'indi- 
naison de deux faces dans les cinq polyèdres réguliers. Mais 
nous remarc[uerons qu'on aurait pu les comprendre dans 
une seule et même formule. 

£n effet , soit n le nombre de c6tés de chaque face« m le ^g* ^^* 
nombre d'angles plans qui se réunissent dans chaque angle 
solide ; si du centre O et d'un rayon = i , on décrit une 
surface sphërique qui rencontre en/? ^ ^y r, les lignes OA> 
0C,OD, on aura un triangle sphérique/^^r^ dans lequel 

■ 

on connaît l'angle droit r, rangle/?= — , et l'angle ^= — ; 

m n 

on aura donc • par les formules connues , cos g rz=z —, — ^, 

sin^ 

Mais cos q r= cos GOD = sin CDD = sin f C 9 C dési- 

cos— 
• ' m 

gnant l'angle CDE; donc sin-;G=:— — — . Formule gêné» 

sin — 
n 

nie ^, appliquée snccessÎTement aux cinq polyèdres, 
donnerait les mêmes valeurs de cos G on de x — a tin* 7 G 



3l4 IfOTB IX. 

qu'on a trouTées par une autre voie ; pour cela , il faut subs- 
tituer, dans chaque cas , les valeurs de met n, savoir : 

Tétraèdre , Hexaèdre , Octaèdre, Dodécaèdre, Icosaèdre. 
mzzz 3,3,4 9 3 ,5. 

/| z;z^ 3,49^, 5 ,3. 

Le même triangle sphérique pqr, d'où Ton vient de 
déduire Tinclinaison de deux faces adjacentes , donne 

CO TT W 

cos pq = cot /? cot g , OU — - = cot — cot — . Donc , si on 

OA m n 

appelle R le rayon de la sphère circonscrite au pc^yèdre, 

et r le rayon de la sphère inscrite dans le même polyèdre, 

on aura — =: tang — tang — ; d'ailleurs, en faisant le côté 
r m n 

AB:=:a^ on a CA = , «t par conséquent R* =r*-|- 

. w 
sm — 

n 

-î . Ces deux équations donneront pour chaque polyèdre 

sin*- 

les valeurs àes rayons R et r des sphères circonscrite et 



inscrite. On a aussi , en supposant G connu ^r-m^a cot 



it 



n 



ic 



tang 4 C et R = -j « tang — tang j C. 

m 

Dans le dodécaèdre et Ticosaèdre , on voit que le rapport 

iz a la mémç valeur tang — - tang —. ponc , si R est le même 

r 3 5- 

pour tous les deux , r sera aussi le même \ c'est-à-dire , que 
si ces deux solides sont inscrits dans une même sphère , ils 
seront aussi circonscrits à une même sphère, et viceversd, 
Lfi même propriété a lieu entre l'hexaèdre et l'octaèdre, 

R 

puisque la valeur de — est, pour l'un et pour l'autre, 

. 5 4 

Remarquons que les polyèdres réguliers ne sont pas les 
sçuU solides qui soient eompris sous des polygones réguliers 
égaux ^ «ar» û on adosse par uixe face «oinmime dl^u^ Kiir 



tr^èdres réguliers égaux , il en résultera au solide compris 
sous six triangles égaux et équilatéraux. On pourrait encore 
former un autre solide avec dix triangles égaux et équilaté- 
raux; niais les polyèdres réguliers sont les seuls qui aient en 
ipéme temps les angles solides égaux. 

NOTE X. 
Sur l'aire du triangle sphérique. 

Soil I le rayon de la sphère, n la demi-circonférence d*un 

grand cercle; soient a, b, c, les trois côtés d*un triangle 

sphériqiie ; A » B , C , les arcs de grand cercle qui mesurent 

les angles opposés. Soit A + B+C — ir = Sy suiviiut ce 

qui a été dénfontré dans le texte *y Taire du triangle sphé- * ^^i 7* 

rique est égale à Tare S multiplié par le rayon , et ainsi 

est représentée par S. Or, par les analogies de J^eper, 

on a : 

A-f-B C a — b a + b 

tang :cot — ::cos :cos— — ; 

a a a a 

de là , tiraqt la valeur de tang ^ ( A+B) ^ on ea déduira 
aisément celle de tang (tAH-7B+-jC)== — cot 7S : on 

^urîiaiiisi 

cot r fl cot-J-ft-H cos C 

cotiS= 2 r-^ , 

sinC 

formule très - simple qui peut servir à calculer Taire d*un 
triangle aphérique lorsqu'on connaît deux côtés a, b, et 
Tangle compris G. On peut aussi en déduire plusieurs con- 
séquences remarquables. 

i^ Si l'angle C est constant , ainsi que le produit 

a b 

cot — cot — , Taire du triangle sphérique représentée par S, 

% a 

deBieur«ra constante. Donc deux triangles CAB, GD^, iig.aSa. 
qui ont un apgle égal C » seront équivalents , si on a 
tang-i GA:tang^ CD: : tang^^ CEaang^ CB, o^est^inlire, si 
les tangentes des moitiés des côtés qui comprennent Tangla 
égal , sont récâproquement pooportionnelies. 

a^ Pour faire sur le côté donné CD et avee le viânse 



3l6 NOTE X. 

angle C, un triangle CD£ équivalent au triangle donne 
CAB , il faut déterminer CE par la proportion : 

tang4 CD : tang-i CA : : tang^ CB : tang^ CE. 
3° Pour faire avec l'angle du sommet C un triangle isos- 
cèle DCE équivalent au triangle donné CAB, il faut 
prendre tang-j CD, ou tangf CE, moyenne proportionnelle 
entre tangj CA et tang^ CB. 

cot^a cot-j ô-f-cosC 



4** La mcme formule cot-^Sm 



sin C 



peut servir à démontrer d'une manière très -simple la pro- 
position XXVI du livre VU ; savoir, que de tous les trian- 
gles sphériques formes avec deux côtés donnés a et 6, le 
plus grand est celui dans lequel Tangle C compris par les 
côtés donnés , est égal à la somme des deux autres angles 
A et B. 

fig.a83. Du rayon OZ = i décrivez la demi- circonférence VMZ , 
faites l'arc ZX = C, et de l'autre côté du centre prenez 
OPincot-j-a cot-j b; enfin joignez PX et abaissez XY per- 
pendiculaire sur PZ. 

PY 
Dans le triangle rectangle PXY on a cot P =:——•=: 



col 7 a cot-j b -f- cos C 
sin C 



donc P = Y S ; donc la surface S 



sera un maximum y si l'angle P en est un. Or, il est évident 
que si on mène PM tangente à la circonférence , l'angle 
MPO sera le maximum des angles P, et alors on aura MPO 
= MOZ-^4 ''^- Donc le triangle sphérique, formé avec 
deux côtés donnés , sera un maximum si on a ~ S = C 
•^7ir, ouCs=:A+B,ce qui s'accorde avec la proposition 
citée. 

On voit en même temps , par cette construction , qu'il 
n'y aurait pas lieu à maximum si le point P était aa-dedans 
du cercle , c'est-à-dire , si l'on avait cot 7 a cet-; 6 < i. 
Condition d'où Ton tire successivement cot 7 a < lAng^b, 
tang (i^ — ■î<»)<*ang7Ô,7ff — 7^<t ^> «' cnfinic< 
a-i-bfCe qui s'accorde encore avec le scbolie de la même 
proposition. 



NOTB X. 3l7 

PROBLin I. Trouver la surface d'un triangle sphdrique 
par le moyen de ses trois côtés. 

Pour cela , il faudra dans la formule 

cot-j^acotl^+cosC 

COt -r O HZ ; 

sinC 

substituer les Taleurs de sin C et cos C exprimées tna,bf c: 

cos c — cos a cos b 

or , on a cos C = : : — ; et cot ^ a cot 4- ^ = 

sin^sin^ 

I + cos a I + cos b , , , , , 

— ; . : — ; — ; de la resuite : 

sm a sm b 

r, , ^» » . IL i-i-cosa + cos^ + cosc 
cos c •+■ cot Y « cot 7 6 =r • ; : . 

sin a sin b 
Ensuite la Taleur de cos C donne 

, a+^-f-<: , a {-b^^c 

a sin sm 

^ cos c— cos («+6; a a 

i + cosC= : r^ — ^= -, :-— 

sm a sm o sm a sm b 

. a+c — b . b-^-c-^a 

, ,- a sm ■ sm — — 

^ cosr^ — b) — cosc a a 

I — cosC= ^ . \ ==: ; ^ 

sin a sin b sin a sin b 

Multipliant ces deux quantités entre elles et extrayant la 

racine du produit , on aura 

^/ . a-^M-c . «4-^c . a-irc—b . aj^^^N 
a|/( sm sm sm sm*^^ *' J 

8inC = : : — 7 . 

sm a sm b 
Donc enfin 

I -f- cos « + cos è+ cos c 

C0tiS2=- 



a|/{ sm 



(. a-HH-c . a-Hf—c . a-i-c^b . H-<i— <?> 
sm sm sm — sin ) 

a a a a / 

Cette formule résout le problème proposé , mais on peut 

parvenir à un résultat plus simple. 

Pour cela reprenons la formule 

colYûcotift+cosC 

COlvS= -r-y; , 

sm la 

nous en tirerons d*abord i+cot*^S^ ou 

1 cot '^a cot'T^-hacotjgcotl^cos C+ i 

sin MS"^ »in^C 



3i8 irotB t. 

Or, la valeur de cos C donne a cot { a cot -J è cos C = 

co4 c — cos a cos b » , ^ 

: : ; — ; mettant dant le numérateur, au 

lieu de cos c , cos a , cos b , leurs yaleurs i -— a sin* •; c ^ 
I — a sin* Y « , I — a sin' t è , et réduisant , on aura 

-, ^ sin*7fl + sin*i6 — sin^^c 

a cot 4- a cot -J- 6 cos C= r-r; r-i — , ■ — a. 

sm 7 fl sin* 4 o 

I — sin*rtf I — sin*T^ 






On a d'ailleurs co t*-^ a. cot* -f ^=3. , , . ,., 

sin*^a sia*^b 

I — sin*^a — sin* 7 6 



sin*4-« sin* ^b 



4-1* Donc, ,en substituant ces va- 



, I I — sm*~c . . 

leurs, on aura-: — t7:'=-- : t—. — xi ce qUi donne 

' sin*^S sin*|:asin*iôsin*C ^ 

. ^ ^ sin^asinY^sinC 

sm 70 = , et , en remettant la valeur de 

cos 7 c 

sin C , on a 

/ . a-^-b+c , a-\-b—c . a-^c—b , b-{-c—a\ 

v/[ sm sm sm sm ) 

. » c V a a a a / 

a cos Y ^ cos 7 b cos 7 c 
Formule commode pour le calcul logarithmique. 

Si on multiplie celle-ci par la valeur de cot 7 S, il en 
résultera 

i+cosa+cos^4-cosc cos*^rz-|-cos*-îô-fcos*.jO<« 

cos 7 ft ^:^ i^^ 

4cos7£icos^d'Cos7C a cos 7 a cos ~o cos 7(7 

Nouvelle formule qui a Tavantage d*étre composée de ter- 
mes rationnels. 

I — cos ~ S 

De là on lire encore : — , ou 

sm 7 S 

I — cos * 7«— cos • 7 />— tos * 7 c+a co4 7 « co* -î* cos 7 c 
tang|S= — : — ; 7—^ —, \ ^' 

\/[ sm sm — ■■ sm sm 

V ^ ^ * ^ a y 

Or, le numérateur de cette expression peut se décompoMr 
en facteurs, comme on l'a fait pour une quantité sem- 
blable, note y, problème IV \ on aura ainsi: 



(îs=vr 



troTB X. 3i9 

. tt-^-h+â . K-f-* — c , a+c — b , b+c — a 

A 8in -s m s m ■ ■ ■ fci n 

tanffxS= 1 ; z : • 

i/[ 5in 5in sin tm — ) 

va a a a / 

Maisona— -:i^=:\/( — . , ' , )=V/ ri^glp); 
}/ sinp \ a sin |/? cos -/? / 

donc enfin 

a-^b-^ a-^b^-^-c «-H? — b b \ c a\ 
Qg tang ; tang ; tang ; j 

•V 4 A. 4 4 / 

Cette formule très-élégante est due à Simon Lhuillier, 

P&OBLim II. Etant donnés les trois côtés BG =a , AC=b, ^g- ^84. 
âB = c, déterminer la position du point ï, pâle du cercle 
circonscrit au triangle ABC. 

Soit l'angle ACI = ^^ et Tare AI — CI=BI=<p; dans 

les triangles GAI , GBI , on aura par les formules connues 

cos 9 ^ cos ^ cos 0) I — cos6 sine 

coi3:= \ ^ = :— — cot9=— rCOtç, 

sinosmf sin 6 i-f-coso 

,^ . I — cos a ^ cos(C — jr) 

cos (C — a:) = : cot 9. Donc ^ -^, on 

sm a * cos .r 

. ^ (i+cos*)(i — cosa) _ . 

cos C + sin G tang x = -^^ : — ^ ^. « i-; substi- 

sm a sm ù 

tuant dans cette équation les valeurs de cos G et sin C 

exprimées en a, b , c, et faisant, pour abréger, 

Mz=:v/(i — cos* a — cos* b — cos*c+a cos « cos ^ cos c), 

_,, , i+cos6 — cosc— costf _ , 

I on en déduira tanff x =: , formule 

I • M 

qui détermine l'angle AGI. On peut observer qu'à cauSc 

des triangles isoscèles AGI, ABI, BGI, on a ACI = 

; 7(C4-A— B);onauraitdemémeBGI=^(B+G — A), 

! BAI=ii ( A + B — G). De là résultent ces formules remar- 

I quables : 

, . _ ^, i+cos©'^eos€i---cosd 
; tangi(A+G — B)=— i: 



tang^(B + G — A) = 



M 
i + cosâ — cos 3— cos c 



3a» NOïB X. 



ungi(A+B- c)= '-±^2if:z:f2if=£2iL. 

M 

auxquelles on peut joindre celle qui donne cot ^ S , et qui 
peut se metti'e sous la forme : 

1 / A M -D , ry\ ^ COSn COS^ COSC 

tangi-(A+BH-C)= ^ . 

La yaleur de tang x qu'on vient de trouver, donne 

. , I a(i+cos6)(i— cos<:)(i-costf) 
I + tang* X ou = -^^ ^-^ — ^^ : i 

i6 cos • T ^ sin * T c sin * ~ €1 i 

; donc 



M " cos ar 

4 cos ~ b sin 7 c sin ~ a 



M 



• Mais de réqualion 



1 — cos ô , _ 

cos «= ï — cot © =: lang ~ cot ©, on lire 

sm o * ' 

tang ib 4 sin ^ a sin -j 6 sin 7 <: 

^^""^ ^ ~ ^lôll* ' ^"""^ ^ ~ M 

a sin ^ rt sin 7 è sin 7 c 



i/( sm sm sin sm J 

Va a a a y 

Paobléme III. Déterminer sur la suif ace de la sphère la 
ligne sur laquelle sont situes tous les sommets des triangles 
fie même base et de même surface. 

£g aS5. Soit ABC Tun des triangles sphériques dont la base 
commune est AB=:c, et la surface donnée A + B + C — 
ir =: S. Soit IPK une perpendiculaire indéfinie élevée sur 
le milieu de AB \ ayant pris IP égal au quadrant , P sera le 
pôle de Tare AB, et Tare PCD mené par les points P, C 
sera perpendiculaire sur AB. Soit ID=/7> CD=7; les i 
triangles rectangles ACD, BCD , dans lesquels on a AC =^, 1 
'RC^za, AD=jw + tC, BD:z=y? — 7C, donneront cos «=: 
cos q cos (/? — 7^)» COS 6= cos q cos (/? + 7 c). Mais on 
a trouvé ci-dessus : 

I + cos <i + cos ô -f- cos c 

cot - S = ■ ; 

sm a sm b sm C 
substituant dans cette formule les valeurs cos a+cos^=r 



H 0TB XI*. 321- 

a cos q cos /» cos 7^,1 4-cos c=: a cot * ~ c , sin ^ sîn C :=: 
$in c sin B = a sin 7 c cos ~ c sin B ; on aura 

cos I c-f cos/y cos ^ 
siD asinjc sinB 
D'ailleurs dans le triangle rectangle BCD, on a encore 

. ^ . j »,c COS7C + COS/>COS^ 

sm a sm B= sm q ; donc cot 78 = ; — ■ r t 

su •; c tm ^ 

on cos p cos ^ =r cot 7 S sin 7- c sin 9-— cos \c; c'est la rela- 
tion entre y et ^ qui doit déterminer la ligne sur laquelle 
sont situés tous les points C. 

Ayant prolongé IP d*une quantité PK=jr^ joignes K€ 
et soit KCrrijr; dans le triangle PKC, où Ton a PCs= 
■L^.»^ et l'angle KPC=ir— /?, le côté KC se trouvera 
par la formule cos K€=cosKPC sin PK sin PC + cosPK 
cos PC , ou 

cos y = sin q cos .r — sin x cos q cos p ; 
dans laquelle substituant au lieu de cos q co% p sa valeur 
cot -7 S sin ~ c sin ^— cos 7 c , on aura 
cos r=:sina:cos7"C+*inç (cos x — sin ^ cot 7 S sin fc). 
De là on voit que siFon prend cos.r- — sinor 001-7 S sin -J-css:©, 
ou cot X =z cot 7 S sin ^c , on aura ces j z= sin x cos 7- c ^ et 
ainsi Ja valeur de j deviendra constante» 

Donc si après avoir mené Tare IP perpendiculaire sur le 
milieu de la hase AB , on prend au-delà du pôle la partie 
PK telle que cot PK = cot -7 S sin 7 c^ tous les sommets des 
triangles qui ont la m^nc base c et la même surface S ^?, 
seront situés sur le petit cercle décrit du point K comme 
pol« à lai distance KG telle que cos KC = sin PK cos 7 c» 

Ce beau tbéoréme est du à LexelL (Voyez le tome Y^ 
part. 1 des nova Jeta Petropolitana, ) 

NOTE XL 
Sur la proposition III, livre FUI. 

Cette proposition peut être démontrée plus rigoureu- 
sement en la ramenant aux lemmes préliminaires, de la 
manière suivante. 

Je dis d'abord que la surface convexe terminée par les 
arêtes AF, BG, et par les arcs AuB, F.rG, ne saurait fig. ^sâ. 

ai 



3ââ îfôtfi tt. 

être t^lnsi petite que Id tectangle ABGF, pai'tie côrtelpott- 
dante de la surfiace du prisme inscrit. 

En effet , soit S la sntface convexe dont il s'agit , et soit, 
s'il est possible , le rectangle ABGF ou ABx AF=:S4-M, 
M étant une quantité positive. 

Prolongez la hauteur AF du prisme et du cylindre jus- 

qu*à une distance AF' égale à n fois AF , n étant un 

nombre entier qudconque; si l'on prolonge en même temps 

le cylindre et le prisme « il est clair que la surface eonvexe 

S' comprise entre les arêtes AF', BO', contiendra n fois la 

surface 8; de sorte qu'on aura S':±r/t$ , et parce que 

n X AFs=:AF', on aUra ABxAF's=/iS + /iM = S'+/iM. 

Or n étant un nombre entier à volonté et M une surface 

donnée, On peut prendre n de manière qu'on ait /t M plus 

grand que le double du segment A^/B , puisqu'il suffit pour 

aAttB 
cela de faire n> — rr — ; donc alors le rectangle ABX AF' 

ou la surface plane ABG'F' serait plus grande que la sur^ 
face enttloppante , composée de la surface convexe S' et' 
de deux segments circulaires égaux An B, F'^G'. Or, au 
contraire , la seconde surface est plus grande que la pre- 
mière, suivant le premier lemme préliminaire; donc, i® on 
ne peut avoir S < ABGF. 

Je dis en éecond lieu que la même surface convexe S ne 
saurait être égale à celle du rectangle ABGF. Car suppo- 
sons, s'il est possible, qu'en prenant A£=:AB, la sur- 
face convexe AMK soit égale au rectangle AFK£ ; par un 
point quelconque M de l'arc AM£ , menez les cordes AM , 
ME , et élevez MN perpendiculaire sur le plan de la baie. 
Les trois rectangles AMNF, MËKN, A£KF, ayant même 
bauleur , sont entre eux comme leurs bases AM , M£ , A£. 
Or on a AM -f- ^^ > A.E , donc la somme des rectangles 
AMNF , MËKN est plus grande que le rectangle AFKE. 
Celui-ci est équivalent par hypothèse à la surface convexe 
AMK, composée des deux surfaces partielles AN^ MK, 
Donc la somme des rectangles AMNF, MEKN est plus 
grande que la somme des surfaces convexes correspondantes 
AN , MK. Donc il faudra que l'un au moins des rectangles 
AMNF , MEKN soit pins grand que la surface «lonvexe 



HOTB XII. 3si3 

correspondante. Cette conséquence est contraire à la pre- 
mière partie déjà démontrée. Donc, a® la surface convexe 
S ne saurait être égale à celle du rectangle correspondant 
ABGF. 

Il suit de là qu'on a S>ABGF, et qu'ainsi la surface - 
convexe du cylindre est plus grande que celle de tout 
prisme inscrit. 

Par un raisonnement absolument semblable » on prou- 
vera que la surface convexe du cylindre est plus petite qtie 
celle de tout prisme circonscrit. 

NOTE XII. 
Sur V égalité et la similitude des polyèdres. 

On trouve à la tête du XP livre d'Euclide, les défini- 
tions 9 et lo ainsi conçues : 

9. Deux solides sont semblables , lorsqu*ifs sont compris 
sous un même nombre de phms semblables chacun à 
chacun, 

10. Deux solides sont égaux et semblables, lorsqu*ils 
sont compris sous un même nombre de plans égaux et 
semblables chacun à chacun. 

L'objet de ces définitions étant un des points les plus 
difficiles des éléments de géométrie, nous i'examinerona 
avec quelque détail, et nous discuterons en même temps 
les remarques faites à ce sujet par Robert Simson dans son 
édition des éléments , pag. 388 et suiv. 

D'abord nous observerons avec Robert Simson que la 
définition 10 n*cst pas proprement une définition , mais 
bien un théorème qu'il faudrait démontrer ; car il n'est 
pas évident que deux solides soient égaux par cela seul 
qu'ils ont les faces égales; et si cette proposition est vraie, 
il faut la démontrer soit par la superposition, soit de toute 
autre manière. On voit ensuite que le vice de la défini- 
tion 10 est commun à la définition 9. Car, si la définition 10 
n'est pas démontrée , on pourra croire qu'il existe deux 
solides inégaux et dissemblables dont les faces sont égales ; 
mais alors, suivant la définition 9 , un troisième solide qui 
aurait les faces semblables à celles des deux premiers serait 
semblable à cbacun d'eux, et ainsi serait semblable à deui 

ai. 



3*24 N O T E X 1 ]^ 

corps de différente forme, conclusion qui implique contra- 
diction , ou du moins qui ne s'accorde pas avec Tidée qu'on 
attache naturellement au mot semblable. 

Plusieurs propositions des XI* et XII* livre d'EuclIde 
sont fondées sur les définitions 9 et lo^ entre autres la 
proposition XXVIII , livre XI , de laquelle dépend la me- 
sure des prismes et des pyramides. Il semble donc qu'on 
pourrait reprocher aux éléments d'Euclide de contenir un 
assez grand nombre de propositions qui ne sont pas rigou- 
reusement démontrées. Mais il y a une circonstance qui 
sert à affaiblir cette inculpation , et qu'il ne faut pas 
omettre. 

Les figures dont Euclide démontre l'égalité ou la simili- 
tude en se fondant sur les définitions 9 et 10, sont telles y 
que leurs angles solides n'assemblent pas plus de troîs angles 
plans: or, si deux angles solides sont composés de trois 
angles plans égaux chacun à chacun , il est démontré assez 
clairement dans plusieurs endroits d'Euclide que ces angles 
solides sont égaux. D'un autre côté, si deux polyèdres ont 
les faces égales ou semblables chacune à chacune, les angles 
solides homologues seront composés d'un même nombre 
d'angles plans égaux , chacun à chacun. Donc, tant que les 
angles plans ne sont pas en plus grand nombre que trois 
dans chaque angle solide , il est clair que les angles solides 
homologues sont égaux. Mais , si les faces homologues sont 
égales et les angles solides homologues égaux , il n'y a plus 
de doute que les solides ne soient égaux; car ils pourront 
être superposés , ou au moins ils seront symmétriques l'un 
de l'autre. On voit donc que l'énoncé des définitions 9 et 
10 est vrai et admissible, au moins dans le cas des angles 
solides triples, qui est le seul dont Euclide ait fait usage. 
Ainsi le reproche d'inexactitude qu'on pourrait faire à cet 
auteur, ou à ses commentateurs, cesse d'être aussi grave, 
et ne tombe plus que sur des restrictions et des explications 
qu'il n'a pas données. 

U reste à examiner si l'énoncé de la définition 10, qui 
est vrai dans le cas des angles solides triples , est vrai en 
général. Robert Simson assure qu'il ne l'est pas, et qu*on 
peut construire deux solides inégaux qui seront compris 



4 

NOTS Xlf. $23 

soiis un même nombre de faces égales chacune à chacune 
Il cite, à l'appui de son assertion, un exemple qu'on peat 
généraliser ainsi. 

Si à un polyèdre quelconque on ajoute une pyramide, 
en lui donnant pour base une des faces du polyèdre ; si crr 
suite, au lieu d'ajouter la pyramide, on la retranche, en 
formant dans le polyèdre une cavité égale à la pyramide» 
on aura ainsi deux nouyeaux solides qui auront les faces 
égales chacune à chacune, et cependant ces deux solides 
Seront inégaux. 

II n'y a aucun doute sur l'inégalité des deux solides 
ainsi construits; mais nous observerons que l'un de ces 
solides contient des angles solides rentrants : or, il est 
plus que probable qu'Ëuclide a entendu exclure les corps 
irréguliers qui ont des cavités ou des angles solides ren- 
trants, et qu'il s'est borné aux polyèdres convexes. En 
admettant cette restriction , sans laquelle d'ailleurs d'autres 
propositions ne seraient pas vraies , l'exemple de Robert 
Simson ne conclut point contre la définition ou le théorème 
d'Ëuclide. 

Quoi qu'il en soit , il résulte de toutes ces observations que 
les définitions 9 et iod'Ëuclide ne peuvent être conservées 
telles qu'elles sont. Robert Simson supprime la définition 
des solides égaux , qui en effet ne doit trouver place que 
parmi les théorèmes; et il définit solides semblables ceux 
qui sont compris sous un même nombre de plans sembla- 
bles , et qui ont les angles solides égaux chacun à chacun. 
Cette définition est vraie , mais elle a l'inconvénient de 
contenir bien des conditions superflues. Si on supprimait 
la condition des angles solides égaux , on retomberait dans 
l'énoncé d'£uclide , qui est défectueux en ce qu'il suppose 
la démonstration du théorème sur les polyèdres égaux. 
Pour éviter tout embarras, nous avons cru à propos de 
diviser la définition des solides semblables en deux parties: 
d'abord nous avons donné la définition des pyramides 
triangulaires semblables , ensuite nous avons défini solides 
semblables ceux qui ont des bases semblables , et dont les 
sommets homologues hors de ces bases sont déterminés par 
des pyramides triangulaires semblables chacune à chacune. 



32^ noTB XII. 

Cette défiiiitioii exige pour les bases , en les supposant 
triangulaires , deux conditions , et pour ehacun des somi- 
mets hors des bases , trois conditions ; de sorte que , si S est 
le nombre des angles solides de chacun de^ polyèdres , la 
similitude de ces deux polyèdres exigera a + 3 (S— ^•S) 
angles égaux de part et d*autre^ou 3$*— 7 conditions; 
et aucune de ces conditions n'est superflue ou comprise 
dans les autres. Car nous considérons ici deu^ polyèdre^ 
comme ayant simplement le même nombre de sommets ou 
d'angles solides ; alors il faut rigoureusement , et sans en 
omettre une, les 3 S — 7 conditions pour que les deux 
solides soient semblables ; mais si on supposait avant tout 
qu'ils sont de la même espèce l'un et l'autre , c'est-à-dire 
qu'ils ont un égal nombre de faces , et que ces faces compa- 
rées chacune à chacune ont un égal nombre de côtés , cette 
supposition renfermerait des conditions dans le cas où il 
y aurait des faces de plus de trois côtés, et ces conditions 
diminueraient d'autant le npmbre 3 S — 7 , de sorte qu'au 
lieu de 3 S — 7 conditions il n'en faudrait plus que A- — i î 
sur quoi voyez la note viii. On voit par là ce qui donnç 
lieu à la difficulté de poser une bonne définition des solides 
semblables ; c'est qu'on peut les considérer comme étant 
de la mén|.e espèce , ou seulement comme ayant un égal 
nombre d'angles solides. Dans ce dernier cas toute diCflcult^ 
est écartée , et il faut que les 3 S -^7 conditions renfermées 
dans la définition soient remplies toutes pour que les solide^ 
soient semblables , et on en conclura à plus forte raison 
qu'ils aoi^t de la même espèce. Au reste , notre définition 
étant complète , nous en avons déduit comme théorème la 
définition de Robert Simson. 

On voit donc qu'il est possible de se passer , dans les élé« 
ments, du théorème concernant l'égalité des polyèdres j 
mais, comme ce théorème est intéressant par lui-môme, 
on sera bien aise d'en trouver ici la démonstration , qui 
servira à compléter la théorie des polyèdres (i). 

(i) La démonstration que nons donnona ici est, à qnelqnes dév** 
loppcmeats près, la même qne M. Gauchy a présentée à Flnatitnt 
qn x%i%f fit qu'il a décoa verte en partant de quelqaea idées qui 



90TB XIX. 327 

La queation qu'il faut esaminer» e$t de savoir si, eu 
faisaul varier les incUoaisons des plans qui composent la 
surface d'un polyèdre convexe donné , on peut former uu 
second polyèdre convexe, compris sous les mômes plan^ 
polygonaux , assemblés entre eux dans le même ordre. 

Nous observerons d*abord que , s*il y a un second polyèdre 
qui satisfait à la question, ce ne peut pas être le polyèdre 
symméfrique du polyèdre donné , puisque dans ces deux 
polyèdres les plans égaux sont disposés dans un ordre in- 
verse autour des angles solides correspondants. Ainsi la 
considération dés polyèdres S3rmmétriques doit être en^ 
tièrement écartée de Tobjet dont nous nous occupons. 

Noua observerons, «n second lieu, que si le polyèdre 
donné contient un on plusieurs angles solides triples , ces 
angles sont de leur nature invariables , puisque la connais- 
sanee de trois angles plans suffit pour déterminer les in- 
clinaisons mutuelles de ces plans , lorsqu'ils sont réunis en 
angle solide. On peut donc supprimer dans le solide pro- 
pesé toutes les pyramides triangulaires qui forment les 
angles solides triples (i); et si le nouveau polyèdre qui 
résulte de cette suppression , offre encore des angles solides 
triples , on pourra de même les supprimer, et ainsi succès- 
sivenrent , jusqu'à ce qu'on parvienne à un polyèdre dont 
tous les angles solides n'assemblent pas moins de quatre 
angles plans chacun. £n effet, si le solide proposé i>eut 
changer de figure par des variations quelconques dans les 
inclinaisons de ses plans , ce changement ne peut avoir lieu 
sur les p3^amîdes triangulaires retranchées, et il devra 
s'opérer tout entier sur le polyèdre restant après la sup-- 
pression de toutes les pyramides triangulaires. Nous ne 
nous occuperons donc dans ce qui suit, que des polyèdres 
dont tous les angles solides assemblent au moins quatre 
angles plans* 

Cela posé, soit $ l'un (|uelconque des angles solides du ^S->'^* 

avaient été proposées poar le même objet dans la première édition 
de ces Eléments, pag. 3^7 et sui?. 

' (i) Si nue mémo arête était commune â deux angles solides triples, 
on ne sappiimeralt dans la première opération qn*an de ces angles. 



fig. a36. 



SaS NOTE XII. 

polyèdre, el soit décrit, du sommet S comme centre, une 
surface sphérîque dont l*intersection avec les plans de 
l'angle solide formera le polygone sphérîque ABCDEF. Les 
côtés de ce polygone AB, BC , etc. servent de mesure aux 
angles plans ASB , BSC , etc. et sont par conséquent inva- 
rîables ^ quant aux angles A, B, G, etc. du p^olygone, cha- 
cun d'eux est la mesure de l'inclinaison de deux plans ad- 
jacents de l'angle solide : ainsi l'angle B est la mesure de 
l'inclinaison des plans ASB, SBC, que nous appellerons, 
pour abréger , inclinaison sur V arête SB ; de même l'angle C 
es-t la mesure de rin<;linaison sur l'arête SC , et ainsi de 
suite. 

Nous pourrons donc juger des changements de figure de 
chaque angle solide S, par ceux du polygone sphérique 
ABCDEF, dont les côtés sont constants , et dont les angles 
varient d'une manière quelconque, pourvu que le polygone 
ne cesse pas d'être convexe. Or , dans ces polygones , les 
signes des variations sur les angles offrent des lois assez 
remarquables, que nous allons exposer dans les deux 
lemmes suivants. 

LE M MB I. 

Tous les cotes cTun polygone spliérique AB , BC, 
CD, DE, étant donnes ^ a V exception du dernier AF ^ 
si l* on fait varier Vun des angles B , C , D, E , opposés 
au côté AF, les autres étant constants ^ je dis 'que le 
côté AF augmentera si P angle augmente y et quHl dimi' 
nuera si P angle diminue. Dans tous les cas y on suppose 
que le polygone est convexe avant et après son change^ 
ment de, figure. 

Supposons d'abord qu'on fasse varier l'angle B , les trois 
autres C , D , E , étant constants , si l'on joint BF, la figure 
BCDEF n'éprouvera aucune variation, et BF sera constant. 
On aura donc un triangle spliérique ABF, dont les côlés 
AB , BF, sont constants , et dans lequel l'angle ABF varie 
d'une même quantité que l'angle ABC du polygone , puisque 
la partie FBC reste constante. Or, par les propriétés con- 



NOTE XII. 329 

nues (1) , on sait que le côté AF augmentera si Tangle ABF 
augmente , et qu'il diminuera s! l'angle ABF diminue. 

Supposons maintenant que l'angle C Tarie, les troif 
autres B , D , £, étant constants ; si on tire les diagonales 
AC , FC , il est visible que ces diagonales demeureront 
constantes 9 ainsi que les angles ACB, FCD; on aura donc 
encore un triangle sphérique ACF , dont les côtés AC, CF, 
sont constants, et dans lequel Tangle ACF varie de la même 
quantité que l'angle C du polygone ; d'où l'on conclura de 
même que le côté AF augmentera si l'angle C augmente 1 
et qu'il diminuera si l'angle C diminue. 

Il est évident que le même raisonnement peut s'appli- 
quer à la variation de l'un ou l'autre des angles D et £ , et 
qu'il aurait également lieu pour tout autre polygone sphé- 
rique de plus de trois côtés. Ainsi la conclusion sera , dans 
tons les cas , conforme à l'énoncé de la proposition, si tou- 
tefois le polygone est convexe avant et après son change- 
ment de ligure. Cette restriction est nécessaire , car si 
l'angle £ , par exemple, diminuait jusqu'à ce que le point F 
tombât sur la diagonale A£, alors AF serait un minimum; 
et si, à compter de ce point, on continuait de diminuer 
l'angle £, il est visible que le côté AF augmenterait au 
lien de diminuer; mais, dans ce dernier cas, l'angle AF£ 
deviendrait un angle rentrant , et le polygone cesserait 
d'être convexe. 

Corollaire. Les mêmes choses étant posées, si plusieurs 
des angles opposés au derniev côté AF augmentent, et 
qu'aucun d'eux ne diminue , le côté AF augmentera néces- 
sairement par l'effet de toutes les variations réunies. Le 
contraire aura lieu, si plusieurs des angles opposés au 
côtéAF diminuent, et qu'aucun d'eux n'augmente. 

Car , si par Teffet de l'augmentation ou de la diminution 
simultanée, les angles A, B, C, etc. du polygone doivent 
élre changés en A', B', C, etc. on pourra passer successive- 
ment du polygone proposé à celui qui ne contient qu'un 
angle varié A'; de celui-ci au polygone qui ne contient que 

(1) Cette proposilion se démontre de la in^me manière que la 
proposition X , liv. I, pour les triangles rectilignes. 



330 NOTB XII. 

les deux angles variés Â! et B', et ainsi de suite. Or, dans 
chacun de ces passages » rappUcation de la proposition es^t 
manifeste, et conduit toujours au même résultat* 



■• 



LEMME II, 



Etant donné un polygone sphérique coni^exe dont les 
eétés sûfU constants f et qui en a plus de trois, si on /ait 
varier les angles tTune manière quelconque, sans ce* 
pendant que le polygone cesse d^étre com^exe; si on met 
ensuite le signe -^^ au sommet de chaque angl-e qui 
augmente , le signe — au sommet de chaque angle qui 
diminue y et qu^on ne mette aucun signe aux angles qui 
demeurent constants ; je dis qu^ en faisant le tour du 
polygone, on devra trouver au moins quatre change" 
ments de signe d^un sommet au sommet suivant. 

£r effet, i^ si n est le nombre des angles du poljgone, 
il ne pourrait y avoir n — a angles consécutifs , qui aug* 
mentent tous à^la-foîs , ou dont lea uns augmentent et les 
autres restent constants ; car si Tun ou l'autre de ces ca« 
avait lieu, il s'aisuivraitt par le corollaire du lemme pré- 
cédent , que le côté du polygone qui est opposé à ces n — % 
angles, augmenterait; ce qui est contraire à rhypotbèse 
que tous les côtés du polygone sont constants. Par une 
raison semblable, on ne pourra supposer que n — % angles 
consécutifs diminuent tous à-la-fois, ou que quelques-uns 
diminuent, les autres restant constants. Donc, dans la série 
de n — a angles consécutifs , il devra y avoir au moins un 
changement de signe ; à plus forte raison ce changement 
devra-t-il être observé dans la série des n angles consécu*- 
tifs , lorsqu'on fera le tour entier du polygone. 

of Les variations dans les angles du polygone ne peuvent 
être telles, qu'elles offrent seulement une série de signes+, 
et une de signes -^«y de sorte qu*il n^y ait que deux change- 
ments de signe dans le tour entier du polygone, 
fiff. 287. ^^^ soient, par exemple. A, B, C, les trois angles mar- 
qués du signe -{-, et D, £, F, G, les quatre marqués du 
signe — (cette hypothèse comprend celle où il y aurait un 



nombre de tignes moindre dan» chaque «érie, à rauon de 
rinvariabilité de quelques angles). Si la figure représentf 
l'état initial du polygone , la diagonale GD devra augmen- 
ter lorsqu'on augmentera tous les angles A, B, C ^ ou seule- 
ment quelques-uns d'eux; mais la même diagonale GD, 
eomœe appartenant an polygone GFED, dont les autres 
c6tés sont constants 9 devra diminuer en même temps que 
]es angles F et £, on au moins rester constante, si de^ 
quatre angles D, £, F> G^ il n'y a que D et G, ou seule- 
ment l'un d'eux qui diminue; donc l'hypothèse dont il 
s'agit ne saurait avoir lieu; donc la variation des angles 
ne peut être telle , qu'elle offre seulement deux séries, Tune 
de signes + 9 Tautre de signes •<— . 

3^ Il est encore impossible qu'en faisant le tour do poly« 
gone, on ne trouve que trois séries alternatives de signes -f- 
et de signes — ; car, dans cette hypothèse, la première et 
la troisième série seraient de même signe, et se suivraient 
immédiatement, de sorte qu'elles ne formeraient qu'une 
seule série ; d'où l'on voit qu'il n'y aurait réellement dans 
le tour du polygone que deux séries, Tune de signes -|-, 
l'autre de signes — ; ce que nous avons démontré impos- 
sible. 

Donc enfin, les changements de signe qu'on trouvera 
en faisant le tour du polygone , doivent être au moins au 
nombre de quatre. 

Corollaire. Ce que nous venons de démontrer pour les 
polygones sphériques, s'applique immédiatement aux angles 
solides dont ces polygones sont la mesure. Ainsi, étant 
donné un angle solide convexe^ qui assemble plus de trois 
angles plans ^ si on fait varier les inclinaisons sur les arêtes 
d'une manière quelconque , telle cependant que V angle 
solide ne cesse pas d*étre convexe ; si ensuite on met le 
signe + ou le signe — sur chaque arête, selon que t in- 
clinaison sur cette arête augmente ou diminue, et qu*on 
ne marque dt aucun signe les arêtes sur lesquelles Vincli- 
naison reste constante y je dis qu'en faisant le tour de 
t angle solide, on devra trouver au. moins quatre change^ 
ments de signe dune arête à la suivante. 

Au moyen de cette proposition et du théorème d'£uler 



i 



33a NOTE xn, 

• a5, 7. sur les polyèdres % nous pouvons maintenant démontrer 
le théorème suivant dans toute sa généralité. 



TRBORBME. 



Etant donné un polfèdre convexe ^ dont tous les 
angles solides assemblent plus de trois angles plans y il 
est impossible défaire varier les inclinaisons des plans 
de ce solide y de manière a produire un second polyèdre ^ 
qui serait formé avec les mêmes plans disposés entre eux 
de la même manière que dans le polyèdre donné. 

Pour démontrer cette proposition, il faut distinguer 
deux cas , selon qu'on faic varier les inclinaisons sur toutes 
ks arêtes , ou seulement quelques-unes de ces inclinaisons. 

Premier cas. 

Supposons qu*on fasse varier à-la-fois les inclinaisons 
sur toutes les arêtes , et soit N le nombre total des chan- 
gements de signe qu'on trouvera d'une arête à la suivante, 
en faisant le tour de chaque angle solide. 

On a vu dans le lemme II , que le nombre des change- 
ments de signe ne peut être moindre que quatre pour 
chaque angle solide. 

Donc si on appelle S le nombre des angles solides, ou 
aura N > 4 S , le signe > n'excluant pas régalité. 

J'observe maintenant que deux arêtes consécutives d'un 
angle solide appartiennent toujours à une face du polyèdre, 
et n'appartiennent qu'à une seule; donc le nombre total des 
changements de signe observés sur les arêtes consécutives 
de chaque angle solide, doit être égal au nombre total de 
changements de signe observés sur les côtés consécutifs de 
chaque face; car il n'est aucun changement de signe dans 
un système qui ne réponde à un pareil changement dans 
i'îutre. 

Or, pour chaque face triangulaire, le nombre des chan- 
gements de signe ne peut être plus grand que deux ; car en 
faisant rentrer sur elle-même la suite + — +, ou la suite 
, on n'obtient que deux changements de signe. 



NOTB XII. 333 

Pour chaque face quadrangulaire, le nombre des chan- 
gements de signe est de quatre au plus , ce qui est éyident* 

En général, si le nombre des c6tës d'une face est pair, 
= 2/19 le plus grand nombre des changements de signe 
qu'on puisse trouver en faisant le tour des côtes, est an; 
ce qui aura lieu lorsque les c6tés portent alternatiTement 
îes signes -+• et — . 

* JUais si le nombre des c6tés -d'une face est impair» 
= 2 /? 4- j y le plus grand nombre des changements de 
signe sera a/i seulement, parce qu'en donnant alterna ti- 
vement aux côtés les signes + ^^ — 9 le premier et le der- 
nier auront nécessairement le même signe; ce qui fait un 
changement de moins qu'il n'y a de eûtes» 

Cela pose, soit a le nombre des triangles, b le nombre 
des quadrilatères, c le nombre des pentagones, etc. qui 
composent la surface du polyèdre donné , il résulte de ce 
qu*on vient de dire, que le nombre total des changements 
de signe observés en faisant le tour de chaque face, ne 
pourra excéder si a sur les faces triangulaires, J^b sur les 
faces de quatre côtés, 4 c sur celles de cinq côtés , 6^ sur 
celles de six côtés. Donc on aura : 

N<2€i-h/|*-f-4c-f.6r/+6e-f- 8/H-8^ + etc. 
Soit À le nombre des arêtes du polyèdre, et II celui de ses 
faces, on aura : 
aA= 3«+ 4^+ 5c-f-6rf4- 7^ + 8/+ 8^+ etc. 

H=: «-4-6 + c + i/+éf-J-y-|-^+ etc. 

Mais, suivant le théorème d*£uler,, S + H = A + a ; donc 

4S = 8 + 4^ — 4H,eten faisant les substitutions : 

4S == 8 + afl + 4^ + 6c + 8c? + lotf + etc. 

Comparant cette valeur à la limite trouvée ci-dessus, on 

en tire : 

N<4S — 8. 

Mais on ne saurait avoir à-la-fois N>4SetN <4S — 8 

donc il est iinpossible que les inclinaisons sur les arêtes du 

polyèdre varient toutes à-la -fois, sans détruire la cohé* 

rence des plans qui forment la surface du polyèdre. 

Second cas. 
Supposons maintenant que les inclinaisons sur les arêtes 



334 NOTE XII. 

ne varient pas toutes à'-la-fois , et <fli*il y en aît quelqncs- 
nnes qui demeurent constantes, 
fig. 204. g^j^ Yi une de ces arêtes, on pourra imaginer qu'elle 
soit supprimée, et que les deux faces adjacentes FIG, 
EFIH, se réunissent en une seule non plane terminée 
par le contour déforme invariable EFOIH. Appelons S', H' 
et A' ce que deviennent les nombres S, H et A, après la 
suppression d'une arête , nous aurons H' = H — i , et 
A' :=: A — x ; d'ailleurs on a S' = S , puisque le nombre 
des angles solides est le même dans les deux solides; 
donc on aura S'-t-H' — A'arS + H — A = a. D'oùl'on 
voit que le théorème d'Ëuler a encore lieu dans le nouvean 
solide qui contient une arête de moins, et une face de 
moins, puisque deux faces se sont réunies en une seule 
non plane. 

Si de ce second solide on retranche encore l'une des 
arêtes sur lesquelles l'inclinaison reste invariable, la sup- 
pression de cotte arête occasionera de nouveau la réunion 
de deux fkces contigucs en une seule; et on prouvera de 
même que le théorème d'Euler a encore lieu dans le troi- 
sième solide qui résulte de la suppression de deux arêtes. 

On peut continuer à supprimer tant d'arêtes qu'on vou- 
dra , pourvu que cette suppression n'entraîne celle d'aucun 
angle solide ; et le théorème d'Euler aura toujours lieu dans 
le solide restant : c'est aussi ce qu'on peut voir directement 
et généralement^ en examinant la démonstration que nous 
avons donnée du théorème d'Euler; en effet, cette démons- 
tration ne suppose pas que les faces da polyèdre sont 
planes ; elle aurait également lieu , quand même ces faces 
seraient terminées par des contours non situés dans les 
mêmes plans; elle suppose seulement que chaque contour 
soit représenté , suivant notre construction , par un poly- 
gone sphérique, et que la somme des surfaces de ces poly- 
gones soit égale à la surface de la sphère. Et il n'est pas 
même nécessaire que tous ces polygones soient convexes; 
il suffit que chacun d'eux puisse être regardé comme la 
somme de plusieurs polygones convexes ; ce qui arrivera 
toujours, lorsque, par la suppression de plusieurs arêtes 
appartenant au polyèdre donné « plusieurs facea planes se 



HotB XI t. 335 

r^tmtronl en une seule non plane; car alors le polygone 
spliérîqne qui représente celle-ci , sera composé de la somme 
des polygones sphériques convexes qui représentaient les 
faces planes supprimées. 

Venons maintenant an cài où la suppression des arêtes 
sur lesquelles llnclinaisoYi ne rarie pas , entraine celle d'un 
ou de plusieurs angles solides, soit parce que les inclinai-^ 
sons sur toutes les arêtes, dans cbacun de ces angles, sont 
inyariables, soit parce que ces inclinaisons ne pourraient 
Tarier que sur trois arêtes seulement, et qu'alors elles 
seraient nécessairement constantes. 

Supposons d'abord qu'on ne supprime qu'un angle 
solide , et soit m le nombre des faces de cet angle , ou le 
nombre d'arêtes qui aboutissent à son sommet. En sup- 
primant l'angle solide dont il s'agit , on supprimera en 
même temps m arêtes , et les m faces formant l'angle solide 
se réduiront à une seule ; donc , si on appelle S', A', H'^ ce 
que deviennent les nombres S, A, H, après la suppression 
d'un angle solide-, on aura S' = S — i,A' = A — iw» 
F = H — (/w— i).DelàontireS'+H' — A'=SH-H— 
A=a : donc le théorème d'£uler a encore lieu dans le 
nonyeau solide. 

Il est clair maintenant qu'on peut supprimer tant d'angles 
solides qu'on voudra du polyèdre donné , et que le théorème 
d'Ëuler aura toujours lieu dans le polyèdre restant; car en 
supprimant les angles solides un à un, on a successivement 
différents polyèdres , dont deux consécutifs rentrent dans 
le cas que nous venons d'examiner. 

Donc en général, si du polyèdre proposé on supprime 
toutes les arêtes sur lesquelles l'inclinaison ne varie pas • 
soit que par cette suppression le nombre des angles solides 
reste le même, ou qu'il devienne moindre, le polyèdre res- 
tant satisfera, toujours au théorème d'Ëuler, c'est-à-dire 
qu'en appelant s y h, a^ les quantités qui jjour ce polyèdre 
correspondent aux quantités S, H, A, du polyèdre pro- 
posé , on aura s -\' h — <i:=sS-hH — A= a. 

Mais dans ce dernier solide, les inclinaisons sur les arêtes 
devront varier toutes à-la-fois, puisqu'on a supprimé toutes 
les arêtes sur lesquelles l'inclinaison ne varie pas ; donc ce 



336 NOTB XII. 

solide rentre dans le premier cas; donc a variation simul- 
tanée de toutes ces inclinaisons ne saurait avoir lieu sans 
dénaturer le solide. 

Donc enfin un polyèdre convexe quelconque ne peut être 
changé en un autre polyèdre convexe qui serait compris 
sous les mêmes plans polygonaux, et disposés dans le même 
ordre les uns à Tégard des autres. 



FIN DES NOTES, 



■"■^«^•^ ^*** * *^^^« ^ »^ ^ ■»■'■■■■■■■■■■ ■ i | t^^*~~^~"** ^ -^J^r^.^^J%[^^^;v^f^.xfU 



TRAITE 



DE 



TRIGONOMÉTRIE. 



J_jA Trigonomëtrie a pour objet de résoudre les tri- 
angles, e'est-à-dire, de déterminer leurs angles et 
leurs côtés pai* le moyen d^un nombre de données 
suffisant. 

Dans les triangles rectilignes il suffit de connaître 
trois des six parties qui les composent, pourvu que 
parmi ces parties il y ait un côté. Car si on ne donnait 
que les trois angles, il est visible que tous les triangles 
semblables satisferaient à la question. 

Dans les triangles sphériques trois données quel- 
conques, angles ou côtés, suffisent toujours pour dé- 
terminer le triangle, parce que dans ces sortes de tri- 
angles on ne considère pas la grandeur absolue des 
côtés , mais seulement leur rapport avec le quadrant 
ou le nombre de degrés qu'ils contiennent. 

Dans les problèmes annexés au livre II, on a déjà 
vu comment les triangles rectilignes se construisent 
au moyen de trois parties données ; les proposi- 
tions XXIV et XXV du livre V donnent également 
une idée des constructions par lesquelles on pourrait 
résoudre les cas analogues des triangles sphériques. 
Mais ces constructions , qui sont exactes en théorie , 
ne donneraient qu'une médiocre approximation dans 
la pratique ( i ) ) à cause de l'imperfection des instni- 

(i)^Ii faut distinguer en effet les figures qui ne servent qu'à 
diriger le raisonnement pour la démonstration d'un tbéor^me ou 

29 



338 9RIftO!fOMéTmiB, 

ments dont elles exigent Femploi : on les appelle des 
méthodes graphiques, lje% méthodes trigonométriques, 
au contraire, indépendantes de toute opération mé-* 
canique, donnent les solutions avec tout le degré 
d'exactitude qu'on peut désirer : elles sont fondées 
sur les propriétés des lignes app^Iàe^ sinus fCdeinus, 
tangentes, etc., au moyen desquelles on est parvenu 
à exprimer d'une manière très-simple les relations qui 
existent entre les côtés et les angles des triangles. 

Nous allons d'abord exposer les propriétés de ces 
lignes et les principales formules qui en résultent ; 
formules qui sont d'un grand u$age dans toutes les 
parties des mathématiques , et qui fournissent même 
à l'analyse algébrique des moyens de perfection- 
nement. Nous les appliquerons ensuite à la résolu- 
tion des triangles rectilignes et à celle des triangles 
sphériques. 

Division de la Circonférence, 

I . Jusqu'à ces derniers temps les géomètres s'étaient 
accordés à diviser la circonférence en 36o parties 
égales appelées degrés , le degré en 60 minutes, la 
minute en 60 secondes^ etc. Ce mode présentait 
quelques facilités dans la pratique , à cause du grand 
nombre de diviseurs de 60 et de 36o : mais il était 
réellement sujet à Tinconvénient des nombres com- 
plexes , et il nuisait souvent à la rapidité du calcul. 

Les savants , à qui on doit l'invention du nouveau 
système des poids et mesures, ont pensé qu*îl y aurait 
un grand avantage à introduire la division décimale 
dans la mesure des angles. En conséquence ils ont 

• 

lâ fiolatîon d*tifi problème , des fîgtires que Ton construit pottr 
conl^aitre quelques-unes de leurs dimensions. Les premières sont 
toujours supposées exactes ; les secondes %. si oUes ne sopit pas 
ttucées exftctement ^ donneront des résultats f««iii{|« 



TJtiaOHOlIBTJLI*. 339 

rc{[«rdé oomme unité principale fe quart de circon« 
férence ou le quadrant, mesure de Tangle droit, et 
ilfl ont divine cette unité en 100 parties égales appe- 
lées degrés y le degré en 100 minutes , et la minute en 
xoo secotidesn 

Nous emploierons désormais la nouyelle division 
ou la division décimale de la circonférence; ce* 
pendant comme les tables trigonométriques, calculées 
suivant cette division , ne sont pas encore assea gé« 
néralemçnt répandues 1 nous aurons soin d'ajouter 
dans les exemples , les résultats que donnent les caU 
culs faits. suivant lanoienne division, ou la division 
sexagésimale de la circonférence. La différence ne 
tombe jamais sur la valeur des côtés, mais seulement 
sur la valeur ou plutôt sur Texpression en degrés des 
angl^ et .des arcs. 

u. Les degrés, minutes et secondes se désignent 
respectivement par les caractères ^9 '9 '' : ainsi Tex* 
pression 16° 6' 75" représente un arc ou un angle de 
16 degi^és 6 minutes 7$ secondes. Si on rapportait ce 
même arc au quadrant pris pour uuité , il s^expri- 
nierait par o, 160675. On voit en même temps que 
l'angle mesuré par cet arc, est à Tangle di*oit *: 
160675 : loooooo, rapport qu'on ne déduirait pas 
aussi facilement des expressions données par l'an- 
cienne division de la circonférence. 

I^es arcs et les angles sont exprimés indistinc- 
tement dans le calcul par des nombres de degrés^ 
minutes et secondes. Ainsi nous désignerons l'angle 
droit ou le quadrant par 100^, deux angles droits 
ou la demi - circonférence par aoo^, quatre angles 
droits ou la circonférence entière par 4oo^j ainsi de 
suite, 

lu. Le complément d'un angle ou d'un arc est 00 
qui reste en retranchant cet angle ou cet arc de xoo» 
Ainsi un an^l^ de a5<> 4p' a pour complément ^ 

a2. 



340 TRIGOHOHéTRIB. 

74<> 60' ; un angle de 12® 4' 62" a pour complément, 
87095' 38". 

En général, A étant un angle ou un arc quelcon- 
que, loo^ — A est le complément de cet angle ou de 
cet arc. D'où l'on voit que, si l'angle ou l'arc dont il 
s'agit est plus grand que 100^, son complément sera 
négatif. C'est ainsi que le complément de 160*" 84' 10" 
est — 600 84' 10". Dans ce cas, le complément, pris 
positivement , serait la quantité qu'il faudrait retran- 
cher de l'angle ou de l'arc donné , pour que le restée 
fiit égal à loo». 

Les deux angles aigus d'un triangle rectangle valent 
ensemble un angle droit : ils sont donc compléments 
Fun de l'autre. 

IV. Le supplément d'un angle ou d'un arc est ce 
qui reste en ôtant cet angle ou cet arc de 200°, valeur 
de deux angles droits ou d'une demi-circonférence. 
Ainsi A étant un angle ou un arc quelconque , 
200* — - A est son supplément. 

Dans tout triangle, un angle est le supplément de 
la somme des deux autres , puisqiie les trois ensemble 
font 200®. 

Les angles des triangles, tant rectilignes que sphé- 
riques , et les côtés de ces derniers , ont toujours leurs 
suppléments positifs ; car ils sont toujours moindres 
que 2000, 

Notions générales sur les sinus y cosinus, 

tangentes y etc. 

g j V. Le sinus de l'arc AM , ou de l'angle ACM , est 
^ la perpendiculaire MP abaissée d'une extrémité de 
l'arc sur le diamètre qui passe par l'autre extrémité. 

Si à l'extrémité du rayon CA on mène la perpen- 
diculaire AT jusqu'à la rencontre du rayon CM pro- 
ongé, la ligne AT, ainsi terminée, s'appelle la /a/^- 
gente , et GT la sécante de lare AM ou de l'angle ACM. 



TEiaONOMiTRIB. 34l 

Ces trois lignes MP, AT, GT, dépendantes de 
l'arc AM, et toujours déterminées par Tare AM et 
le rayon , se désignent ainsi : MP = sin AM , ou 
sin ACM, AT = long AM, ou tang AGMTG, = 
sec AM , ou séc AGM. 

VI. Ayant pris l'arc AD égal à un quadrant, si 
des points H et D on mène les lignes MQ, DS 
perpendiculaires au rayon GD^ Tune terminée à ce 
rayon, l'autre terminée au rayon G M prolongé; les 
lignes MQ , DS et GS seront pareillement les sinus ^ 
tangente et sécante de Tare MD, complément de 
AM. On les appelle, pour abréger , les cosinus , cotan^ 
gente et cosécante de l'arc AM, et on les désigne 
ainsi : MQ=:co5 AM, ou cos AGM, DS=:co^ AM, 
ou cot AGM , GS = casée AM , ou coséc ACM. En 
général, A étant un arc ou un angle quelconque, on a 
cos A = sin (loo® — A), cocAz=tang ( ioo<* — A), 
coséc A = séc ( it)0** — A). 

Le triangle MQG est, par construction, égal au ^8« '• 
triangle GPM , ainsi on a GP = MQ ; donc dans le 
triangle rectangle GMP , dont l'hypoténuse est égale 
au rayon, les deux côtés MP, GP sont le sinus et le 
cosinus de l'arc AM. Quant aux triangles G AT, GDS, 
ils sont semblables aux triangles égaux GPM, GQM, 
et ainsi ils sont semblables entre eux. De là nous 
déduirons bientôt les différents rapports qui existent 
entre les lignes que nous venons de définir ; mais au-> 
paravant il faut voir quelle est la marche progressive 
de ces mêmes lignes , lorsque l'arc auquel elles se 
rapportent augmente depuis zéro jusqu'à 2oo<>.' 

Tii. Supposons qu'une extrémité de l'arc demeure 
fixe en A , et que l'autre extrémité , marquée M , par- 
coure successivement toute l'étendue de la demi- 
circonférence depuis A jusqu'en B dans le sens ADB. 

Tx)rsque le point M est réuni en A, ou lorsque 
^^ AM est zéro , les trois points T , M , P , se con- 



34t tkigonomAtrib. 

fotident avec le point A ; d'où Ton voit qm le sinus 
et la tangente d'un arc zéro sont %érù^ et que le 
cosinus de ce même arc est égal au rayon , ainsi que 
sa sécante. Donc en désignant par R le rayon du 
cercle, on aura 

JJ/l 0=3=0, m«g^0r=0,€05 0=:R, 5€CO=B.^ 

Viu. À mesure que le point M s'avance vers D^ 
le sinus augmente, ainsi que la tangente et la se* 
eante ; mais le cosinus , la cotangente et la cosécant» 
diminuent. 

Lorsque le point Itl se trouve au milieu de AD, 
ou lorsque l'arc AM est de 5o^ , ainsi que son corn* 
plément MD, le sinus MP est égal au cosinus MQ 
ou CP, et le triangle GMP, devenu isoscèle, donne 
la proportion MP : CM :: i : v^ 2, ou sin 5o^ : R:: 

i:V^a. Donc stn 5o^=cos 5oo= — =^Rv^a. Dans 

ce même cas le triangle CAT devient isoscèle et égal 
au triangle CDS ; d'oit l'on voit que la tangente de 
5o^ et sa cotangente sont toutes deux égales au rayon , 
et qu'ainsi on a umg 5 o<* = cot 5o<* =1 R. 

IX. L'arc AM continuant d'augmenter, le sinus 
augmente jusqu'à ce que le point M soit parvenu en 
D : alors le sinus est égal au rayon, et le cosinus est 
aéro« On a doncsin 100** =:R eicos loo'^^o ;et l'on 
peut remarquer que ces valeurs sont une suite de 
celles que nous avons trouvées pour les sinus et 
cosinus de l'arc zéro ; car le complément de 100^ 
étant zéro, on a sin 100^ = cos o^z='R. excos i9ç^ ^s, 
sin o** == o. 

Quant à la tangente, elle augmente d'une majoiére 
très-rapide à mesure que le point M s'approdbe de 
D; et enfin lorsqu'il est parvenu ei^ ï)» il n'existe 
plus proprement de tangente, parce que les ligaes 
AT , CD , étant parallèles , ne peuvent se rencontrer 
C'est ce qu'on exprime en disant que la tangente '^ 
100^ est infinie, et on écrit tang ioo<>= 8. . 



Le compilent de ioo« étant zéro , on a iong o = 
eot X009 et cor o =2: ^o/i^ ioo<». Donc coe o ::=oo et 
eorioo^sso. 

X. Le point M continuant k avancer de D vers B , 
les sinus diminuent et les cosinus augmentent. Ainsi 
on Yoit ijue Ta^ AM' a pour sinus M' P\ et pour 
cosinns M'Q ou GP'. Mais Tare M'B est supplément 
de AM', puisque AM'+ M'B est égal à une demi» 
circonférence ; d'ailleurs si Ton mène M 'M parallèle 
à AB) il est clair que les arcs AM, BM', compris 
entre parallèles, seront égaux, ainsi que les perpen- 
diculaires ou sinus MP, M'P'. Donc le sinus d*un arc 
ou d'un angle est égal au sinus du supplément de 
cet arc ou de cet angle. 

L'arc ou l'angle A a pour supplément aoo<> — A: 
ainsi on a en général 

sin A:sssin (ao©®*— A). 
La même propriété s'exprimerait aussi par l'équation 
sin ( 100^ + B ) s: im ( ioo<»— *B ) , B étant l'arc DM 
ou son égal DM\ 

xi« Les mêmes arcs AM', AM, qui sont suppléa 
ments l'un de l'autre, et qui ont des sinus égaux, 
ont aussi les cosinus égaux GP', CP ; mais il faut 
observer que ces cosinus sont dirigés dans des sens 
différents. Cette différence de situation s'exprime 
duE» le calcul par l'opposition des signes : de sorte 
que si on regarde comme positifs , ou affectés du 
signe +, les cosinus des arcs moindres que ioo<*^ il 
faudra regarder comme négatifs ou affectés du signe 
»*-, les cosinus des arcs plus grands que iôo<>. On aura 
donc en général 

cùs A = — cas ( aôo<» — A ) , 
Ott cof (ïooo*4-B ) z^^^cos ( loo® — B ) ; c'est*à-dire, 
que le cosinus d^un arc ou d'un angle plus grand que 
xxxfi est' égal au cosinus de son supplément, pris 
négmiin^m^nt* 



III. 



344 TaïQOirOMiTEIB. 

Le complément d'un arc plus grand que loo^ 
étant négatif ^ , il n'est pas étonnant que le sinus de 
ce complément soit négatif; mais pour rendi*e cette 
vérité encore plus palpable, cherchons Texpression 
de la distance du point A à la perpendiculaire MP. 
Si on fait l'arc AM = a;, on aura CP =^co5 ^^ et la 
distance cherchée AP = R — cos x. La même for- 
mule doit exprimer la distance du point A à la 
droite MP , quelle que soit la grandeur de l'arc AM, 
dont l'origine est au point A. Supposons donc que le 
point M vienne en M', en sorte que a: désigne l'arc 
AM', OR aura encore en ce point AP' = R — cosx; 
donc cos a: = R — AP'=: AC— AP'=— CP'; ce qui 
fait voir que cos x est alors négatif; et parce que 
CP' = CP = cos ( aoo° — x) ^ on a cos x = — cos 
( 200° — x)^ comme on l'a déjà trouvé. 

On voit par-là qu'un angle obtus a le même sinus 
et le même cosinus que l'angle aigu qui lui sert de 
supplément, avec cette seule différence que le cosinus 
de l'angle obtus doit être affecté du signe — .Ainsi 
on a sin iSo^ = sin 50°=^ Rw^a, et cos i5oo= — 
cos 5o^= — ^Rv^2. 

Quant à l'arc ADB égal à la demi* circonférence, 
son sinus est zéro^ et son cosinus est égal au rayon 
pris négativement ; on a donc sin aoo<>=o , et cos 200^ 
2= — R. C'est aussi ce que donneraient les formules 
sin A z=:sin aoo® — A) , et^co5 A=: — cos (200<> — A) , 
en y faisant A = 200^. 

XII. Examinons maintenant ce que devient la 
tangente d'un arc AM' plus grand que ioo<>. Suivant 
la définition , elle doit être déterminée par le con- 
cours des lignes AT, CM'. Ces lignes ne se rencon- 
trent point dans le sens AT, mais elles se rencontrent 
dans le sens opposé AV ; d'où l'on voit que la tan- 
gente d'un arc plus grand que ioo<> est négative. 
D'ailleurs , si on obsei*ve que AV est la tangente de 
^^ Tare AS supplément de AM' (puisque NAM' est une 



Tai€oiroHiT&iB. 345 

demi«!circonfëreiice ) , on en conclura que la tangenaa 
d'un arc ou d'un angle plus grand que loo^ est égale 
à celle de son supplément, prise négatwement , de 
sorte qu'on a 

tang A = — tang (aoo^ — A) 
Il en est de même de la cotangente représentée 
par D S', laquelle est égale, et en sens contraire à 
DS cotangente de AM. On a donc aussi 

cor A=: — cet ( aoo® — A ). 
Les tangentes et les cotangentes sont donc négatives, 
ainsi que les cosinus, depuis loo^ jusqu'à aoo*'. Et, 
dans cette dernière limite , on a tang aoefi = o et cot 
aoo<>= — cotozzsi' 



xiii. Dans la trigonométrie il n*y a pas lieu de consi- 
dérer les sinus , cosinus , etc. , des arcs ou des angles plus 
grands que 200^ ; car c*est toujours entre o et aoo^ que sont 
compris les angles des triangles tant rectilignes que sphé^^ 
riquesy et les côtés de ces derniers. Mais dans diverses 
applications de la géométrie , il n'est pas rare de considérer 
des arcs plus grands que la demi-circonférence, et même 
des arcs comprenant plusieurs circonférences. Il est donc 
néceisaire de trouver l'expression des sinus et cosinus de 
ces arcs , quelle que soit leur grandeur. 

Observons d*abord que deux arcs égaux et de signes 
contraires AM , AN , ont des sinus égaux et dé* signes 
contraires MP , PN , tandis que le cosinus CP est le même 
pour l'un et pour l'autre. On a donc en général 

siti ( — «)=— tf«iar 

formules qui serviront à exprimer les sinus et cosinus des 
arcs négatifs. 

Depuis o^ jusqu'à 100^ les sinus sont toujours po^^tifs , 
parce qu'ils sont situés d'un même côté du diamètre AB; 
depuis aoo^ jusqu'à 400^ les sinus sont négatifs, parce qu'ils 
sont situés de l'autre côté de ce diamètre. Soit ABN ' = jr 
un arc plus grand que aoo^, son sinus P'N' est égal à PM 

sinus del'arc AM:=:ar — aoo®; donc on a en général 

sin «=— «>(«— aoo^. 



846 TmtcoNOttS'rmiB* 

Cotte formule donnerait les sirau entra aoo^ et 400*^ an 
mpyen des sinus entre o^ et aoo° ; elle donne en particnliec 
fin liQO^:^^^fin 200^== o; il est évident en effet que si 
un arc est égal à la circonférence entière, les dfux extré- 
mités se confondent en un même point , et le sinus se réduit 
à zéro. 

Il n'est pas moins évident que , si à un arc quelconque 
AM on ajoute une ou plusieurs circonférences , on retom- 
bera exactement sur le point M , et Tare ainsi augmenté 
aura le même sinus que Tare AM ; donc si C désigne une 
drconféreiice entière ou 400** , on aura 

sm X = sin ( C -^x ) r= sin ( a C-i-a? )= sin ( ^ C \-x ) etc. 
La même chose aurait lieu pour les cosinus , tangente ^ etc. 

Maintenant, quel que soit Tare proposé a; ^ il est facile de 
voir que son sinus pourra toujours s'exprimer, avec un 
signe convenable, par le sinus d'un arc moindre que 100^. 
Car d'abord on peut retrancher de Tare x autant de fois 
400** qu'ils peuvent y être contenus; soit le reste /-, on 
aura sin xzzzsiny» Ensuite si/ est plus grand que 200** , on 
fera y = 200** -|- z , et on aura sinj = — sin z. Tous les cas 
sont donc réduits à celui où Tare proposé est moindre 
que 200**, et comme d'ailleurs on a sin (ioo*^ + a:)=r 
sin (100° — x) , il est clair qu'ils se réduisent ultérieurement 
au cas où l'arc proposé est entre zéro et 100**. 

XIV. Les cosinus se réduisent toujours aux sinus en vertu 
de la formule cos A=zsin{ 100** — A) , ou, si l'on veut, 
de là formule cos lizzzsin (100** + A); ainsi ^ sachant éva- 
luer les sinus dans tous les cas possibles , on saura de même 
évaluer les cosinus. Au reste, on voit directement par la 
figure que les cosinus négatifs sont séparés des cosinus po- 
sitifs par le diamètre D£ , en sorte que tous les arcs dont 
l'extrémité tombe à gauche de D£ ont un cosinus positif « 
tandis que ceux dont l'extrémité tombe à droite ont un 
cosinus négatif. 

* , Aihsi de o** à 100** les cosinus sont positifs ,de 100^ à 3oo° 
ils sont négatifs , de 3oo^ à 400^ ils redeviennent positifs; 
et après une révolution entière, ils prennent les mêmes 
valeurs que dans la révolution précédent , car on a aussi 
èos ( 400** -f- j: ) =: cos X, 



rftiQovolinRiB. 34^ 

D*après Ces eK^cètians » il Mt aité de Toir qaè Itft tiniu 
et cosinus des arcs moltipies du quadrant , ont les yaleurs 
suivantes : 



sin o® — o 


nViioo^s=:R 


<w ô**=R 


COS 100^X30 


tin aoo^3=o 


jri/t3oo''=3rr-R 


coraoo^^— »R 


cas ^oo9:szo 


sim «oe^'ccro 


sim Soo^'rzR 


co/400® — R 


ces 5oo®_o 


Hfî 600^-^0 


«/i 700**=— R 


coj6oo**=— R 


cof 700^=0 


fM Soo^:c=o 


sin 900® =R 


cor 800® =R 


COS 900^ .-.Q 


etc. 


etc» 


etc. 


etc. 



En général i désignant un nombre entier quelconque» on 



aura : 

tin a^. 100^ := o, 
tt7ï(4 Â+ 1). 100® = R 
tin{ik — î). ïoo*=: — R 



COS ( a A + I ) . loo** = o 

COS 4^.1 00® = R 

coj (4 ^ 4- a). ioo*=:«^-R 



Ce que nous venons de dire des sinus et cosinus nous dis*^ 
pense d'entrer dans aucun détail particulier sur les tangen- 
tes, cotangenies , etc., des arcs plus grands que aoo*^; car les 
valeurs de ces quantités et leurs signes sont toujours fuciles 
à déduire de celles des sinus et cosinus des mêmes arcs, ainsi 
qa*on le verra par les formules que nous allons exposer. 

Théorèmes et fbrmules concernant les sinus ^ 
cosinus f tangentes y etc. 

xy* Le sinus d*un arc est la moitié de la corde 
qui soiiS'tend un arc double. 

Car le rayon CA, perpendiculaire à MN, divise fig.c. 
eft deux parties égales la corde MN et Tare sous* 
tendu MAN ; donc MP , sintié de l'arc MA , est là 
moitié de la corde MN qui sous-tead l'arc MAN, 
double de MA. 

La corda qui sous-tend la sixième partie de la 

cîroonfërence est égale au rayon ; donc sin 

ou itn 33^ j=:~R, c'est-à-dire que le sinus du tiers 
de Tanglè droit est égal à la moitié du rayon. 

XVI. Lequarré du sinus d'un arc plus le quarré 
de son cosinus est égal au quarré dix rajron, de 



348 V&I GOHOKÉTaiB. 

sorte qu'on a en général sin ' A -+- ces'' A=R * ( i ). 

Cette propriété résulte immédiatement du triangle 

rectangle CMP, où l'on a MP+CP=CM' 

Il s'ensuit qu'étant donné Je sinus d'un arc on 
trouvera son cosinus, et vice versd, au moyen. des 
formules cos A = ± v/ ( R ' — sin ' A ) , sin A m: ± 
\/ (R* — cos^ A). Le double signe de ces formules 
vient de ce que le même sinus MP répond à deux 
arcs AM, AM', dont les cosinus CP, CP' sont égaux 
et de signes contraires , comme le même cosinus 
GP répond à deux arcs AM , AN , dont les sinus 
MP , PN sont pareillement égaux et de signes con- 
traires. 

Ainsi, par exemple, ayant trouvé sin 33^^=r-iR, 
on en déduira cos 33^^ ou sin 66^f = l/" (R * — :^R * )= 
^^|R»=iR»/3. 

xvri. Etant donnés les sinus et cosinus de 
Varc A , on peut trouver les tangente , sécante , 
cotangente et cosécante du même arc au moyen 
des formules suivantes : 

. Vi sin K , . R * >A R cos A 

taiig A = r- , sec A = ri cot A= r— 

^ cos A cos A sm A » 

cosec A = r— , . 
sin A 

En effet les triangles semblables GPM, G AT, GDS, 

donnent les proportions : 

GP:PM::GA:ATouco5A:5mA::R:/a7ig^A=5^^ 

^ cos A 

CP : CM :: GA : GT ou co5 A : R :: R : séc A=. ^^ 



cos A 



TV cos A 

PM;GP.::GD:DSou5mA:cosA::R:co^A=~r-v- 

sm A 

PM : CM :: CD ! es ou 5Î>i A : R :: R : coséc A= ^ ' 



sin A 



(i) On désigne ici par 5m* A le quarré de sin A , et semblable* 
ment par eus* A le quarré de cos A. 



TRieOROXliTEIB. 349 

d'où l'on tire les quatre formules dont il s'agit. On 
peut observer au reste que les deux dernières for* 
mules se déduiraient des deux premières en mettant 
simplement ioo«> — A au lieu de A. 

Ces formules donneront les valeurs et les signes 
propres des tangentes , sécantes , etc. pour tout arc 
dont on connaîtra le sinus et le cosinus; et comme 
la loi progressive des sinus et cosinus , selon les diffé- 
rents arcs auxquels ils se rapportent, a été sufifisam« 
ment développée dans le chapitre précédent, il ne 
reste rien à désirer sur la loi que suivent semblable* 
ment les tangentes, sécantes, etc. 

On peut confirmer aussi par leur moyen plusieurs résul- 
tats qui ont été déjà obtenus relatiTemciit aux tangentes » 
par exemple, si Ton fait A=:=ioo^, on aura ^iVi A=:R , et 

cos A=:o, donc tang ioo^= — , expression qui désigne 

une quantité infinie ; car R' divisé par une quantité très< 
petite, donnerait un quotient très-grand ; donc R* divisé 
par zéro donne un quotient plus grand que toute quantité 
finie. Et parce que zéro peut être pris avec le signe -f- ou 
avec le signe-—, on aura la valeur Ambiguë iang ioo^= 

db 00. 
Soit encore A=aoo® — B, on aura sin A=:«Vï B, et 

cas Azzz'^cos B; donc to/ig' ( 200 — B ) =: =1— 

— cosB 

R si/i B 



z^z^^tang B , ce qui s'accorde avec Tart. xii. 



co^B 

XVIII. Les formules de l'article précédent, com- 
binées entre elles et avec Téquation sin * A -4- cos * A 
=1^ R ' , en fournissent quelques autres qui méritent 
attention. 

On a d'abord R' + tan^^ A = R" H- — J— ^ 

R* (sin* A4-CO** A) R* , ^^ 

cos* A cos* A^ ^ 

z=zséc^ A, formule qui se déduirait immédiatement 



350 TJkI«0]f01fB1Bllll. 

du triangle rectangle CAT$ on aurait de mémei 
par les formules ou par le triangle rectangle CDS) 

Enfin, si on multiplie entre elles les formules 

. K si/i A A B. cas X 1 

tanç A = ^ , coe A = — : — r— , on aura tang A 

R* 
X coi A = R* , formule qui donne col Arrr— ^ — —, 

R* 

et umff A = -• On aurait de même ^at B ==: 

^ cot A 

R* 
g. Donc cot A : coc B . : tang B : uing A ; c'est-à» 

dire , que les cotaiigentes de deux arcs sont en raison 
im'erse de leurs tangentes* 

Cette formule cot A x tang A = R * $e déduirait 
immédiatement de la comparaison des triangles sem* 
blables CAT, CDS, lesquels donnent AT;CA:: 
CD :DS, ou tang A : R :: R : cot A. 

XIX. Etant donnés les sinus et cosinus de deux 
arcs ^eth^ on peut déterminer les sinus et co* 
sinus de la somme ou de la différence de c^ 
ai'CS) au moyen des formules sui^^antes : 

f , . sin a cas h + sin h cos a 
sin \^a + b) z=z ^ — — 

f , ^ sin a cos b •— sin b cos a 

sm ( a — ~ i^ ) ^am ■ ■ ■ j . u i h ^.» i.» 



cos ( a + i ) = 



R 
cos a cos b — sin a sin b 



I. 



R 
cos a cos b -\- sin a sin b 



cos (a — b) = 

fig. a Soit le rayon AC = R , l'arc AB = a, l'arc BD=i, 
et par conséquent ABD = a + ^. Des points B et D 
abaissez BE, DF, perpendiculaires sur AC ; du point 
D menez DI perpendiculaire sm* BG , enfin du point I 
menez IK perpendiculaire et IL parallèle à AC. 

Les triangles semblables BCË, ICK donnent les 
proportions 



*Ki««iiOHâcmi>. 3Si 

CB : CI :: BE : IK ou R : C05 i :: iw a : IK=?^^^?^ 

CB:CI::CE:CKouR:coii::co5a:(X=5îLÎL£^ 

E 

Les triangles DIL , CBE , qui ont les o6tés perpendH 

culaires chacun à chacun , sont semblables et donnent 

les proportions 

CB:DI::CE:DLouIV,:ii/i*::coia:DL=^^^^ 

CB:DI::BE:ILouR:jm*::5ma:IL===^^^î^^^ 

Mais on a 

IK + DL=DF=j/7i (a + ft), et CK — IL=:CP=i 

cos (a + J). Donc 

. / , V sin a cos b + sin b cos a 
sm (a + 6)= — g 

/ , X cos a cos b — sin a sm b 
CQS \a-\'U) = ■ ■ ♦ 

Il serait fecile de déduire de ces deux formules Us 
valeurs de sia (a-*-i)et de co5 (a-^6); mais on 
peut les trouver directement par la même figure. Vm 
effet, si on prolonge le sinus DI jusqu'à ce qu'il ren* 
contre la circonférence en M, on aura BMr=:BD.= ft^ 
et MI=:ID=z5i>i b. Par le point M menez MP perpen- 
diculaire et MN parallèle à AC; puisque MI = DI, on 
aura MN = IL, et IN=DL. Mais on a IK— IN= 
MP=^/« {a—b)y etCK + MN=CP = coj (a—*); 

donc 

. , , V sin a cos b — sin b cos a 
sm [a — b) = ^ 



cos (a — i ) = 



R 

cos a cos b + sin a sin b 



* • 



B 
Ce sont les formules qu'il s'agissait de démontrer* 

On poùiteit eraindce que la démonstration précédente 
ne fût pas asses générale^ parce que la figure qn'cm a suivie 
•nj^se k» arcs « et b, et ménM a-^à plus petits qtlÉ 



35à TEI60N0MBTR1B. 

xoo^. Mais d'abord la démonstration s'étend sans peine au 
eas où a et 6 étant plus petits que loo^, leur somme a-^-b 
est > loo^. Alors le point F tomberait sur le prolongement 
de AGy et le seul changement à faire dans la démonstration, 
«erait de prendre cos (a + ^ ) =— * CF ; mais comme ou aurait 
en même temps CF=:IL — ^'CK, il en résulte toujours 
coj(fl + ^) = CK — IL, ou R cos (a+6) zzz cos a cos 6 
— sm a sin b. 

Supposons maintenant que les formules 

R sin ( « + ô ) =: sin a cos b + sin b cos a 
R cos ( a + ô) =: cos a cos b — sin a sin b 
soient reconnues exactes pour toutes les valeurs de a et 
de 6 , moindres que les limites A et B , je dis qu'elles auront 
encore lieu lorsque ces limites seront loo^ + A et B. 
En effet, on a généralement, quel que soit l'arc ;r, 
sin ( loo** -f- j:) = cos X 
cos ( I oo^ + a:) = — sin .r. 
Ces équations sont manifestes lorsque x est < loo**, et on 
s'assure aisément qu'elles ont lieu pour toutes les valeurs 
de iT, au moyen de la fig. x8, où MM" et WVi!" sont 
deux diamètres perpendiculaires entre eux , et où l'on peut 
prendre successivement pour x les valeurs AM, AJDM', 
ADBM", ADB£M'", ou ces valeurs augmentées de tant de 
circonférences qu'on voudra. 

Cela posé , soit x'izz.m + by on aura 

sin ( \OQ^ '\- m-\-b')z=i cos (/?i + ^) 
coj (ioo** + m-|-è)= — sin{jn-\'h). 
Mais, suivant l'hypothèse, on connaît les valeurs des se- 
conds membres , tant que m tlb n'excèdent pas les limites 
A et B; donc dans cette même hypothèse on aura : 
R sin ( loo® + m + ^ ) =r cos m cos b — sin m sin b» 
R cos ( I oo** + 171 + 6 ) = — sin m cos b — cos m sin b. 
Soit loo** -|- m = /i , puisqu'on a sin ( loo® -f- //i ) = cos m 
et cos (loo^ + mzrz-'^sin m), il en résultera cos m znsin a 
et sin 173 =r -« cos a; donc en faisant cette substitution 
dans les équations précédentes, on aura : 

R sin {a + b)'=nsina cos b+côs asinb 

"Rcos {a + b)-rz cos a cos b-^sin a sin b. 

D*où Ton voit que ces formules , qui n'étaient démontrée! 



xaiGONOMBTmifi. 353 

d'abord que dans les limites a < A, 6 < B, le sont mainte- 
nant dans les limites plus étendues a < loo^ + A , 6 < B. 
Mais 9 par la même raison , la limite de b pourra élre re- 
culée de loo^, ensuite celle de /i, ce qui peut se continuer 
indéfiniment; donc les formules dont il s'agit ont lieu, 
quelle que soit la grandeur des arcs a et b. 

UaLve a étant composé de la somme des deux arcs a — b 
ttX. b , on aura, d'après les formules précédentes , 

R sin a = sin {a — 6) cos b + cos (a — fc) sin b 
R cos a = cos (a — ^) cos b — sin (a — ô) sin b. 
Et de celles-ci on tire : 

R sin ( a-— ^ ) = sin a cos b — sin b cos a 
R cos (a — è) = cos a cos b •+- sin a sin b , 
formules qui auront encore lieu pour toutes valeurs de a 
et de b. 



;• Si dans les formules de Tarticle précédent on 
fait 6=:=/»^ la première et la troisième donneront 

a sin a cos a cos* a — sin* a 
Sin aa= ^ , cos a tf = • 

Celles-ci serviront à trouver le sinus et le cosinus 
d^un arc double , lorsqu'on connaît le sinus et le 
cosinus de Tare simple. C'est le problème de la du- 
plication d'un arc. 

Réciproquement pour diviser un arc donné a en 
deux parties égales , mettons dans les mêmes for- 
mules ^ a à la place de a^ nous aurons 

a sin V a cos \ a cos* \ a — sin * ^ a 
Sin a= ^ , cosa= — = ^. 

Or, puisqu'on a lout-à-la-fois cos ' -j a4- jm' \a-= R* 
et cos* *^ a — sin* {■ a=R cos a, il en résulte 
co5*^a=7R'+7Rco5aet5m'ia=^R'— ^Rco5tf, 

donc 

sin{ a= \^ C-R'— iR cos a) 

cos'; a=2 y' (^R' -hfR c05 a). 

Ainsi, en faisant a=ioo'', ou cos a=o, on a 

sin 5o®=coj 5o<>=:l/vR*=Rv/'ïJ ensuite si l'on 



354 THIGONOMBTUIB. 

fait a=5o^y ce qui donne cor a=R|/-;, on aura 
sin 25o=R»/(^— ^»/i) , et cos 25o=R \/{^L^^y 

XXI. On peut aussi avoir les valeurs de sin^ a et cos^ a 
exprimées jiar le moyen de sin a y ce qui sera utile dans 
beaucoup d*occasions ; ces valeurs sont : 

cosi a=^y/lB.' -^Ksin a) + ^]/lR* — lisin a). 
En effet , si on élève la première au quarré , on aura sin * ^a 

=-jR' — ^"Rcosa; on aurait de même co^^ T<ï=7R*+Tft 
cos a, ce qui s'accorde avec les valeurs précédentes de 
sin^ a et cos\ a. Il faut cependant observer que, si cos a 
était négatif, le radical V^ (R* — R sin a) devrait être pris 
avec un signe contraire dans les valeurs de sin^ à et cos\a, 
ce qui changerait Tune dans l'autre. 

xxiï. Au moyen de ces formules , il est facile de déter- 
miner les sinus et cosinus de tous les dixièmes du qua- 
drant. 

Et d'abord soit sin 2o*=ar, 2.r sera la corde de 40% ou 
le côté du décagone régulier inscrit; or ce côté est égal 
au plus grand segment du rayon divisé en moyenne et 
*5, 4. extrême raison *; donc si on fait le rayon égal=^ i , on aura 
1 :2a::: 2.r:i — 2ar. Delàontire4-^'=i— 2a:, ouar*-f-Y.ic=:J-; 
donc (;r4-i)*=:-J+^=^; donc .t:H-|=|^^5, et enfin 
X ou sm 20*=j(— i+i/S). 

6 — 2|/5 



Celte valeur , élevée au quarré , donne ««' 20*= 



16 



1 0-4-21/5 
donc I — fi/t' 20", ou coj* 20 =— ' — - — . Mais eos^a^^in^a 

10 

_ . , . . « o 4 + 41/.5 1+1/5 

:^cos 2 rt , donc cos 40 ou sin 00 s=i . ■ . lu ■. " .*■ » ■ . ■ , 

10 4 

Maintenant, si dans les formules du n^ xxi on fait Rzr i, 
« = 20", et f //2 «=7( — I +|/5), on en déduira 

sm io"=f\/(3 + î/5) — Jv/(5— i/5) 
cos io'=fi/(3 + v^5)-f.fv/(5— i/5). 

Si ensuite on fait dans les mêmes formules azr$o*^ et 
fin «r:=r~ ( I -f-l/S) , on aura 



TRIGOHOMBTRIB. 355 

sin 3o'=-iv/(5 + \/5)— :Jv/^(3— v/^5) 

Avec ces Taleurt et celles qu*on connaît dcja de sin 5o, 
et de sin loo', on peut former le tableau suivant : 



stH G* ^s:cos i oo* 3= o. 



sÎH to^'sszcQs 90*=^i/(3+|/5)~^v^(5— i/5) 

sin ao* = coj 8o'=j( — i -4-^/5) 

sin 3o'=coj 70*=rfï/'(5-f-»/5)— i^|/(3— v/5) 

sin /|0*=:coj 6o'z=ij[/^{^io — av^5) 

sin 5o*=cojf 5o*=:jV/a 

ji/ï 6o*=cof 4o*=t(ï + ^^5) 

J//Î ^o'—cos 3o*=|ï/(5 + v/5) + i\/(3 — v/5) 

«« 8o'z=«o# ao*=|i/(io+a\/'6) 



stn ioo''zzzcos o^^^i. 



Ces valeurs peuvent se simplifier encore , puisqu'on a 
l/(^+l/6)==ii/io+it/aet|/(3-j/5)=^V/'io— 4|/a; 
d'où l'on voit qu'en regardant comme connues ^ a , ^^ 5 et 
^ lo, il ne reste que quatre extractions de racines quarrécs 
à faire pour avoir les valeurs des sinus et cosinus de tous 
les arcs multiples de lo**. 

xxiii. ^ous tirerons de ces formules deux conséquences 
remarquables, i^ Puisque usin 4o* est la corde de 8o*, ouïe 
côté du pentagone régulier inscrit , ce côté=7^/(i o— aj/ô), 

10— ai/^6 
son qnarré r= ■ Le côté du décagone régulier 

4 

=r 2j//i ao*=r|( — i+v/5),son quarré=j(6 — .a\/'5)jor 

^(lo — a^/'5) = iH-j(6 — a v/5). Doncia somme faite dn 
(juarré du rayon et du quarré du côté du décagone, est égale 
au quarré du pentagone régulier inscrit, 

a^ Entre les sinus des divisions décimales impaires du 
quadrant y on a cette relation 

sin QOt'-i-sin 3o°+«/i to*=isin 5o*+.«/i 70*, 
et les divisions paires donnent semblablement sin 60"=: 
4in ao*+4^. Mais ces formules ne sont que àts cas particu- 
lier», et op peut démontrer que x étant un arc d'un nombre 
qaekonqîie de degrés , on a 

«3. ' 



356 TRIGONOMÉTRIE. 

En effet , la formule sin {a + b) -{sin (a — b) = a sin a cos b . 

donne 

sin ( ao* +:p) + sin ( ao*— ar ) = a sin ao* coj -f 
sin ( 60* + a:) + j//i (60° — a? ) = a «Vt 60" co.r .r. 

Donc, puisqu'on a sin 60*— ^//i ao* = -i-, et eos x zzz 

sin (loo"* — ^), ces deux équations retranchées Tune de 

Tautre, donneront 

«/i(6o'-|-a;) -|-f//i(6o*-<c)— «/2 (ao'+^t)— ««(ao*— jr)r=:^z/i(ioo* — x\ 

Formule d'où Ton tire l'équation des divisions impaires en 
faisant .r=:io*, et; qui en général peut servir à la vérifica- 
tion des tables de sinus. 

xxiY. Si dans les formules première et troisième 
de Farticle xix, on fait b:=:%a,on aura 

* 9 sin ^ a cos a-^ cos ^ a sin a . cos % a cos a — sin^sina 
Sin 6 azzz cos6a= = • 

Substituant dans celles-ci , au lieu de sin 2 a et 
cos 2a y les valeurs trouvées dans l'article xx, et 
simplifiant les résultats au moyen de Féquation 
sin* a -f- cos^ a = R' , on aura 



5m 3 a = 3 sia a^ 



3 



^ sin* a 



cos o a= — jTi — *— • ô cos a. 

Ces formules qui servent à la triplication des ares, 
peuvent servir aussi à opérer leur trisection ou 
division en trois parties égales. En effet, si on fait 
sin 3 û==:c et sin a=ix, on aura pour déterminer x 
l'équation c R* = 3 R* a: — 4 ^'- D'où l'on voit que le 
problème de la trisection de l'angle, considéré analy- 
tiquement, est du troisième degré. 

Si dans les mêmes formules de l'article xix, on 
fait successivement b=Z a^ b=4 ^^ etc., on aura 
les sinus et cosinus des arcs 4 ^^ ^ ^^ etc. ; c'est-àrdire, 
en général, les sinus et cosinus des multiples de a^ 
Réciproquement les formules qui servent à la multi- 
plication des arcs, donneront les équations à résou- 
dre pour diviser un arc donné en parties égales, 



VEIGOHOKiT&IB. 357- 

c*est-à-dire, pour déterminer sin a ou cas a, lors« 
qu'on connaît sin na et cos n a. 

XXV. Développons encore les valeurs de sin 5 a et cos Sa, 
et pour cela prenons les fonnules 

, . ^ ^ sin 3 a cos a a + cos 3 a sin a a 

sm (3g+ag) "— * ■ 

^ ^ R 

cos 3 £1 cos na — sin 3 a sin a /7 

Si on 7 substitue les valeurs dëja trouvées art. xx et xxiv, 
on aura , après les réductions , 

, ^ „ . '^osin* a iSsin'a 

sin5a:=z5sina'~' — 1 ^^ 

R" R* 

^ ^ ao cos^ a i6 cos^ a 

cos 5 a = 5 cos a — '- — r^ 1 — • 

R* R* 

D'où Ton voit que le problème de la quintisection de Tangle 
serait du einquième degré, et ainsi des autres divisions par 

les nombres premiers 7 , 1 1 9 i3 , etc. 

» 

XXVI. Soit proposé pour exemple de trouver la valeur 
de sin i* approchée jusqu'à quinze décimales, ce qui peut 
être utile pour la construction des tables de sinus. L'ex- 
pression de sin 10°, trouvée n® xxii, étant réduite en déci- 
males dans la supposition de R=i, donne sin io*=:o. 
1 5643 4465o 4oa3 1 ; de là on tire, par la formule du n^ xxi, 
sin S'^z^o. 07845 90957 a7845. 

Soit maintenant sin i^zzix, il faudra, pour avoir x, 
résoudre 4'équation 

i6x^— aoa?*+5a?=i:o.07845 90957 a7845. 

Si, pour abréger, on fait le second membre =:c;^ on aura 
à-pcu-prcs Sx — ao or' =c, etar=jc-h4(yc)*. Or jczzz 
0.01569 18191 et 4 (7 <?)^ =0.00001 5456; donc on a, pour 
première approximation, or =0.01570 7 a7 5, valeur qui 
n'est en erreur que dans la huitième décimale. Pour en 
avoir une plus exacte, soit :&= 0.01570 73 -^Xf ^^ aura, 
en substituant dans l'équation proposée , et négligeant le 
quarré et les autres puissances de^, 
o.0784590094a49a7+4.985aoi 7^X=o.0784590957a7845 ; 
d'où Ton tirej^ = 0.0000000173 1 18307 , et 



36d TiLiGDlroiiiiSTiiifi. 

xonsin i**=o.oi67o ^3i73 118107. 
Du sinus de i** ou 100^, on dêdiiirait semblablefileiit lè| 
sinus dé 5o\ de 10', dé 5', et enfin celui dé i'. 

xxTii. Les formules de Tarticle xix fournissent 
un grand nombre de conséquences, entre Ijesqtielles 
il suffira de rapporter celles qui sont de Fusage le 
plus fréquent. On en tire d'abord les quatre sui- 
vantes : 

sin a cos b=i^V\sin {a+b) 4- |R5in (a-*-i) 
sin b cos azin^^sin (a-f-i) — ^Yisin (a — h) 
cos a cos 6=^Rco5(a — b) +\Kcos {a + b) 
sinasin i=t^Rcotj (a*— i) — \Vicos (a + t) 

lesquelles servent à changer un produit de plusieurs 
sinus ou cosinus, en sinus et cosinus linéaires ou 
multipliés seulement par des constantes. 

xxYiii. Si dans ces formules on fait a + b^^pf 
a — i^ = 7> ce qui donne a-=i^ — *•» b^a^ — 2-^ on 
eu déduira 

sinp + sinq=z—sin\{p + q) cos\{p — q) 

11 

sinp—sinq=z ~ sini{p-^q) cos^ {p + q) 
cosp+cosq = '^ cos^(j}+q)cos T^]{p — q) 
ces q—cospz=: — sin^{p+q) sin\{p — q). 

Nouvelles foiinules qu'on emploie souvent dans les 
calculs trigonométriques pour réduire deux teimei i 
un seul. 

xjux. Enfin , de ces dernières on tire encore par 
la division , et ayant égard à ce que -î^ ï^ JS3K-ù.=2 

*^ — • celles qui suivent : 
coi a' ^ 



sùtp+sin q _ sin^{p+q )co s^ip—q) _ tang^(j}+q) 
$inp — sin ^ "^ «wf (/?-h^ ) sin\ (/? — q) tang\ (/? — 7) 
sinp -^sm g s\n\ {p^q) t ang^ ( p + 7 ) 
cos P +COS q <iOSx{p + q) H 

#iH/> «^ #in y eos\ {p — q) cot^{ p'^q ) 

cos q'^coip ««tC/^ — 7) ^ 

sinp — sin q _ sin\ {p ^ q ) _ tangjr(p — q ) 

cosp -^-cos q cos^ (^p -^q) R 

sin p--^ sin q cos^ ip + q) ^^i(p + q) 

cas q-'^cosp sin r i P "^ q ) ^ 

cosp 'i-corq _ cos^ {p-H ) . gQy7(/»"^) _ co/7(/y-H) 
casq — cosp sin^(p + q) sin^^p—q) tangi{p^) 
sin {p + q) _ ^iini{p+q)cos\{p-{-q) _ cosi(^P'\^) 
sin p + sinq a sin^ (/H-^ ) cos^ {p — q) cos^ {p — q) 

sin (p+q ) a sm^ {p^q) cos^(,P+q) ^i^ {P+1 ) 
sinp'-^in q % sin^ (/? — q) cos\ (p H -5) sin^ (/i — q) 

Formules qui sont Texpression d'autant de tliéorémes. 
De la première il résulte que la somme des sinus de 
deux arcs est à la différence de ces mêmes sinus, 
comme la Uuigente de la demi^somme des arcs est à 
la tangente de leur demi-^différence. 

XXX. 9k on fait bzrza ou ^ = dans les formules 
des trois articles précédents , on aura les résultats 
qui suiyent : 



cos* « = 7R*-4--;Rcojaa 
sin* a = ^R* — ^Vicos%a 



R -4- cofp 



^cos' îp 



R ^ cos p = 



R 

a#//i* y/> 
R 



^ sin^pcos^p 

SUtp= jj^ 

sinp tang^p 

R+ cosp "" R 



COt^p 



36o T&lGONOXiTRIZ. 

sinp cot^p R 

R — cosp'^ R tangip 

R -4- coj/> cot* ip R* 

R — cosp R' f^ng^ ip 

XXXI. Pour déyelopper aussi quelques formules 
relatives aux tangentes , considérons l'expression 

tanff (a+b -= -r r>-^ dans laquelle la subs- 

*^ ^ cos (a-|-6) ^ 



titution des valeurs de sin (a + b) et cos (<» + ^ )) 

donnera 

, , . R ( sin a cos h + sin h cos a ) 

tang (a + b) :=:-^ , . . -* 

^ ^ ' cos a cos h — «71 b sm a 

^ , cos a tanga . , cos h tans h 

Or on a 51/1 a =: ^ — ^— et sut b t= — — ^ — ^—* 

substituant ces valeurs et divisant ensuite tous les 
termes par cos a cos b^ on aura 

°^ ^ R* — tangatangb 

C'est la valeur de la tangente de la somme de deux 
arcs . exprimée par les tangentes de chacun de ces 
arcs \ on trouverait de même pour la tangente de leur 
différence 

tang{a-b)=. ^^i'-'^ '^- ^"B b\ 

^ ^ ' T^* '■\- tang a tang b 

Soit &==:a, on aura pour la duplication des arcs 
la formule 

a R* tanff a 

d^où résulterait 

R» R* , 

cotnaziz = — itangaz=:^cota — ^tanga. 

tangua iitanga 

Soit & = a a, on aurait pour leur triplication la 
formule : 



^ '^*—^tang a tangua ' 



v&iGOHOiiiTais, 36t 

dans laquelle si on substitue la valeur de iang a a , 
on aura 

tans 3 az=. — ^, ^- -s — . 

^ R' — 3 /a/f^* a 

XXXII. Le déreloppement des formules trigonomëtri- 
qnes , considéré dans toute sa généralité , forme une bran- 
che importante de Tanalyse , sur laquelle on peut consulter 
Texcellent ouvrage d'Euler , intitulé : Introductio in anal, 
lnf,y ou sa traduction par M. Labey. Nous croyons ce* 
pendant devoir démontrer encore les formules qui servent 
à exprimer le sinus et le cosinus en fonctions de Tare , 
formules dont la connaissance est supposée dans la note ▼ 
et qui d*aiUenrs sont nécessaires pour la construction des 
tables. 

£t d'abord , supposant le rayon = i , ce qui n'altère pas la 
généralité des résultats, on a la formule cos^ A+xûi* A= l, 
dont le premier membre peut être regardé comme le pro- 
duit des deux facteurs imaginaires cos A -fv^ — < ^<^ -A. et 
cos A.'^ \/^ I sin A. Si on multiplie ensemble deux fac- 
teurs semblables cos A+v^ — i sin A, cos B-f-|/^— i sinB^ 
le produit sera cos A cos B — sin A sin B + (^'^ A cos B + 
sin B cos A)v^ — i , et il se réduit par conséquent à la forme 
cos (A+B) + 1/"— I sin ( A+B) 9 laquelle est semblable à 
chacun des facteurs. On a donc en général 

(<»*A4-v/~i-»'/2A)(co*B+^/— i««B)==cojf(A+B)4-v^--i«»(A+^ 

et il est remarquable que la multiplication de ces sortes de 
quantités s'exécute en ajoutant seulement les arcs , ce qui 
est une propriété analogue à celle des logarithmes. On en 
conclura successivement 

(rox A -4- V^— 1 sin A) (cas A+^/^isin A^=i:co#a A+v/— i /in a A 
{cos A H- 1/— I sin A) (cos a A-h {/"^ism a A) = cos 3 A-H/— i sin 3 A 
co/A+v/— uwA) (ccv3A-hV^— x««3A)=:c<w4A.-H/— XX1/14A 

etc. 
Le premier produit est égal à {cos A+ v^-— x /i/i A)*» le 
second est égal à (cos A+^^- x sin A) '; et ainsi de suite. 
Donc en général , n étant on nombre entier quelconque , 
on aura 

(co* A + ^— I «it A)*=co#«A+v/'— X sin iiA. 



36ft TBIQOnOMST&IB. 

De là rëiultê , en changeant le signe de v/^-— i , 

(^cos A — i/" — I sin A)'*= cos n A — y' — i sin /t A , 

et de ces deux équations qui sont une suite Tune de l'autre, 
on déduira les valeurs séparées de sin /i A et cos n A, savoir: 

COÈ n A=^ (coj A-hi/ — i «/i A)'*-f 7(00* A — \/ — i sii^L 

sin isrA= — : — (c(wA-4-i/~i sinAY — / (cor A-i/— i sinkf 

xxxiit. Si, on veut exprimer les mêmes quantités en 
séries , il faudra développer par la formule du binôme 
{cos A + ^ — I sin A)'*, ce qui donnera 

ccw" A + -cox'»-— A «« A1/-.1— ^^.^^coy*^' A sin^k 
I ^ i.îà 

n »n-'^t»n—^ ■, , ». « » > . '*•'* — i.ti'— a./i— 3 _ ^ * « <« ! 

— r — co/" ' Aj?«'Ai/-iH = cof""* A«rt*A+elCi ! 

i.a.3 '^ i.a3.4 

Et cette quantité étant la valeur de cos n A-|-|/— i sin /lA, 
^ on égalera séparément la partie réelle à cos /i A » et la partie 
imaginaire à 1/ — i sin n A. On aura donc 

èosnA=cos^A. cos'*^*Asin*A \ r cos'^'^*Àsia*k'^ 

x.a i.à.3.4 ] 

sin nA=zn co/^'^^Asin A- "'""^'*"" cos^ — * A sin 'A + etc. ! 

i.a. 3 I 

I 

m 

séries dont la loi est facile à saisir , et au moyen desquelles | 
on trouve le sinus et le cosinus d'un arc multiple de A, 
d'une manière beaucoup plus prompte que par les opëit- 
tiôns indiquées art. xxiv. 

kxxiv. Puisqu'on a j-m A == cos A tang A , ct% sériM 
peuvent se mettre sous la forme 

4 «./ lî./l— I ,, /î./l— 1./2 — 2.71-^3 , A 

êotmLxiCQis Ai i— - — ^— /a/»*AH • "v ' rtf/B»^A*-êtc. 

\ i.a 1.21.3.4 / 

iriiiiA±:tO^A( ^tangk^^ r — tang^L+étc. j 

\i i.a.3 / 

Soit/i = — , on aura, en substituant cette valeur et 
conservant cependant le fttetettt è»^ A , 



TRIGOirOMiTBIB. 36S 

(ar.a?— A tang^K j:.a>-A.x— aAup— 3A tnng^Â. \ 

1-= — I -— -j etc. I 
i.a A* i.a.3.4 A* / 

i/**«=iroj"A(— — 5 '—71 h etc.) 

\i A i.a.3 A* / 

Dtns ces fommlet on peut prendre A à volonté ; stipposoBl 

A très petit, alors — — sera très-peu diffèrent de l'unité, 

parce que la tangente d'un arc très-petit est presqu'égale 
à l'arc, Cependant , tant que Tare n'est pas nul , on a 

tangA>JL (i) ou ^~— > i ; on a en même temps 

A>«/i A(a); donc— f- < -rV»^^ — I" < Z:rk' ^* 
^ ' A sin \ A cos A. 

Ift on TOÎt que le rapport ^^ est toujours compris entré 

«A. 

les limites i et . Soit A==:o, on aura cos A= i ; donc 

co^ A 

M^itque ^^" ■ est compris entre i et ■ ■ ■ ■ , il fSaudrtt qu'on 
A cos II 

ait exactement — 1— = i. I)onc en faisant A=:o , on aura 

A % 

/ a:" X* X* \ 

x=cos^ki I 1 — ^ a / o , r z ?+^^^-J 

\ i.a i.a.3.4 i.a.3«4«»»6 / 

««X=:C«MP*Al JP tH ^ ^ e CtC.J 

\ z.a.3 i.a.3.4*d / 

Il reste à yoir ce que devient cos^ A , lorsque A diminue 

1 

de pltts en plus, et devient enfin zéro. Or on 1 -^ ; ■ = 

séc* Kz=zi+ tang* K.\Aonc cos lL:=i{i+tang* K) " , d«nc 
coi'h^U+tang^k) •=! — tang* Il+ —téng^kr-^e. 

(1) à!S Mt pin* grand cfae AM» parce que 1« kriaugle JLtC «at aa iee- fig. t. 
Uur ACM : : AtX4 AC 2 iMX t AC : : AT : AM. 

(il) iM art ^!itt t^aAd qûé «P, ipétee ^t^a Ttrt «AU Mt t»l«ii JHaé 
que sa corda MN. 



COS 



1 



364 TRIGONOMixaiB. 

Substituant au lieu de n sa valeur---) on aura 

JL 

cos^lL=i — A ? 1 — — A\ — ?: etc. 

a A* a. 4 A* 

Si l'on imagine maintenant que A diminue de plus en plus, 
X restant la mâme , la valeur de co^'' A approchera de plus 

tang'A. 
en plus de Tunité; enfin, si l'on fait A=oet — ^ — =i, 

on aura exactement cos'^ Ar=:i . Donc on a les formules 



X* X* X* 

cosxzzzi 1 1— \ p— --j-etc. 

i.a i.a.3.4 i.2.3.4*5«o 

x' X* 

sinxi^x --^ — etc. 

I .a. 3 I .a.3. 4*^ 

par lesquelles on pourra calculer le sinus et le cosinus d'un 

arc dont la longueur est donnée en parties du rayon pris 

pour unité« 

XXXV. Ces mêmes valeurs peuvent être exprimées d*une 
manière succincte , par le moyen des exponentielles. Pou 
cela , il faut se rappeler que e étant le nombre dont le loga- 
rithme hyperbolique est i , on a 

z z* a»* z* 

I 'i.a i.a.3 i.a.3.4 
Si , dans cette formule , on fait «=xv/-— i, il en résoltert 

-,., , x\/^i X* x*v/— I x^' x^V — I 
c*v^— '=i+_ î- 1 1 1 -—etc. 

I i.a i.a.3 i.a.3.4 i.a.3.4*^ 
On aurait semblablement en changeant le signe de V — i 

C ^""'=1 I 1 ^ ^cU. 

I i.a i.a.3 i.a.3.4 x*a. 3.4*5 

De là on tire 

■. — T — _ + — etc. 

a i.a i.a.3.4 



e«*^— I ^— «v^— I ar* X* 



— ete. 



av^-~i i.a.3 i.a.3.4*£^ 

séries dont les seconds membres sont les valeurs trouTées 
pour cos X et sin x. Donc on a 



TAIGOVOHiTRIE. 365 

^1/— .^^—«v^— , ^v^— ._^— «v^—. 

COS X = 1 «/l X = 



d où Ion tire — • r — =• — i. =\/-— i/a/iFx. 

^y^ — '-^e*— *^ — ' cosx ® ' 

formiile dont on a fait usage , note iy. 

Les mêmes fonnules donnent tf^^ — » =coj ;r-|-v^—i sinx 
""**^ — i=cafar— v^ — isin x; donc, en divisant Tune 

«,»/• - cas a:+ v/ — I «Vï ar 

MT lautre • on aura e*'^ * = : — = 

COS a?— v^ — 1 «71 » 

i+V/-^i tangx , , . - _ , 

2— , ou en prenant les logaritiimes de chaque 

I — v/— 1 tangx 

membre* ax\/ — i =log.( )• Maison 

\ I — \/ — I tangx/ 

sait que log. f j = «+-a* + r»* + elc. ; mettant 

donc v/ — ' 1 t^^ ^ ftti lieu de 2 , et divisant de part et 
d'autre par a \/ — i , on aura 
x-=ztangx — j tang^ ar-f-J tang^ x^^^tang ' «+ etc. 
Formule très-simple qui sert à calculer l'arc par sa tan- 
gente, lorsque celle-ci est plus petite que Tunilé* 



xxxTi. Pour appliquer les formules précédentes à la 
détermination du sinus et du cosinus d*un arc donné en 
degrés et parties de degré , il faut avoir la longueur de cet 
arc exprimée en parties du rayon , ou , ce qui revient au 
môme, il faut avoir le rapport de cet arc au rayon. Or, le 
rayon étant i , la demi -circonférence ou l'arc de aoo* 
= 3. 14159 a6535 89793a, Soit ce nom bre=ir, la lon- 
gueur de Tare — «>. 100^ sera——. — -;donc si on fait dans les 

formules précédentes x = — . — , qu'ensuite on remette 

n % 

la valeur de 17 , et qu'on calcule les coefficients jusqu'à seize 
décimales , on aura les formules suivantes : 



366 



TaiOONONBVHIB, 



stn\ — • loo" j= 
1.57079 63a67 948966 
—0.64596 40975 062463 



m 
n 
m 

n 

m 
-^0.07969 26262 461670 — j 



>o.oo468 17541 353187 



m 



n 
m 



+0.0001604411 847874-— 



n 



.. m 



—0.00000 35988 43a352 — j. 

„^ m* 
-f-0.00000 ooDOQ 217292 — 



— -0.00000 00006 6d8o35 



m 



n' 
-f-o. 00000 00000 060669 — T 

m' 
«^0.00000 00000 000438 — 

/2* 



m 



-f-O.OOOOO 00000 000003— — 



n 



cos 



(-J.ioo-)-. 



1. 00000 00000 000000 



w 



— 1. 23370 o55oi 361698 — - 



+0.25366 95079 010480 — j 



m 
n 



4 



m 



—0.02086 34807 633530—7 

n 

m* 

+0,00091 92602 748394 — j 



m 



I* 



— 0.00002 S2020 4a373i — - 



m 



1 1 



+0.00000 04710 874779—7; 



.00000 ooo63 866o3i 



m 
n 

M 



>4 



>4 



+0.00000 00000 656596— j- 



m 



II 



-O.OQOOO 00000 005294—77 

n 



m 



%• 



+0.00000 00000 oooo34— - 

n 



Les sinns et cosinus àe^ arcs depuis séro jusqu'à 5o*, 
comprennent les sinus et cosinus des arcs depuis 5o* jusqu'à 
100*; car on a sin (5o°+z)=co.f (5o° — z) et cos (5o*+s)= 
sin ( 50"* — z). Donc , dans les formtiles qui donnent les 

valeurs de sm — 100 et cos — 100 , on pourra toujours 

/i îi 

supposer — < -^ ; de sorte que les séries seront tellement 
n 

convergentes , qu'il n'en faudra jamais calculer qu'un petit 

nombre de termes , sur-tout si on n*a pas besoin de fausau- 

coup de décimales* 



TRIGONOMÉTRIE. 367 

Si on fait succcssiYement — = — , — , — , —, —, on 

» 10' 10* 10» 10' to^ 

troiiTcra les rësoluts suivants : 

fin 10® = cos 90® = o. i5643 446^0 4o23i 
sin ao^ s: cas 80^ = o. 80901 69943 74947 
sin Zo** =: cos 70^ = o. 4^399 04997 39647 
tin 40^ == cos 60^ :^ o. 68778 SaSaa 92478 
sin 5o^ = cû^ 5o^ == o. 70710 67811 86648 
sin So^ = cos 40** = o. 80901 69943 74947 
sin 70** = cos 3o** = o. 89100 65a4i 88368 
sin 80^ = cos ao^ = o. 96105 6616296164 
sin 90"" = cos lo** = o. 98768 8340696138 
sm 200^ =r cOif o^ = 2.000000000000000 

lesquels s'accordetit arec les formules algébriques du n^ aa« 

171 I 

On trouvera pareillement , en faisant — = , la même 

n 200 

valeur de sin 2*, qu'on a trouvée n^ 26 ; et la grande facilité 

avec laquelle on parvient a ces résultats , est une preuve de 

Texcellence de la méthode. 

De la construction des tables de sinus. 

XXXV22. Les savants utiles à qui on doit la j)remière con- 
struction des tables de sinus, ont fondé leurs calculs sur des 
méthodes ingénieuses 9 mais dont rapplication était fort 
pénible. L'analyse a fourni depuis des méthodes beaucoup 
plus expéditives pour remplir cet objet ; mais les calculs 
étant déjà faits , ces méthodes seraient restées sans appli- 
cation , si rétablissement du système métrique n*eùt fourni 
ToccasioD de calculer de nouvelles tables conformes à la 
division décimale du cercle. 

Pour donner une idée des méthodes qu'on peut suivre 
dans la construction des tables, supposons qu*il s'agisse de 
calculer les sinus de tous les arcs de minute en minute 
depuis 2 minute jusqu'à 20000 minutes ou 200 degrés; nous 
ferons le rayon=:2 , Tare d'une minute = a^ et d'abord il 
faudra trouver le sinus et le cosinus de l'arc a avec un 
grand degré d'approximation. 

Le rayon étant 2 , on sait que la demi-circonférence ou 
Tare de 20®o=? 3,24169 26635 897982; divisant ce nombre 



368 TRIGONOMÉTRIE. 

par2oooo,onararcde i ' oua=o.oooi570796 8267948966, 
valeur exacte jusque dans la vingtième décimale. Quand on 
arc est très-petit, son sinus est sensiblement égal à Tare, 
ainsi on a à très-peu près sin a=o.ooot5 70796 82679 
48966. Afais cette valeur est déjà en erreur à la treizième 
décimale, laquelle n'est que le dijLième clnffre significatif. 
Pour en avoir une plus exacte , le moyen le plus simple est 
de recourir aux formules de l'art. 86 , dans lesquelles , si on 

fait— = , on aura immédiatement , par les deux on 

n loooo 

trois premiers termes de chaque série ^ 

sin az=o.oooi^ 70796 82088 525568 
cof a = 0.99999 99876 62994 52400 5258 
valeurs exactes jusqu'à la vingtième décimale pour le sinus, 
et jusqu'à la vingt-quatrième pour le cosinus. 

XXXVIII. Connaissant le sinus et le cosinus de l'arc d'une 
minute désigné par a , pour en déduire successivement les 
sinus de tous les arcs multiples de a ^ on fera dans les for- 
mules de l'art. 22 ,/? = jc + a , ^ =.r — a. La première et la 
troisième donneront par cette substitution , et en faisant 
toujours R=i , 

sin (j;H-a) = 2 cos a sinx-^^sin [x — a) 
cos (;r-|-<i) = û cos a cos X — cos(^x — a). 
Il résulte de ces formules que si on a une suite d'arcs en 
progression arithmétique , dont la différence soit a , leurs 
sinus formeront une suite récurrente dont l'échelle de 
relation est '^cosa, — 1, c'est-à-dire, que deux sînas 
consécutifs A et B étant calculés , on trouvera le suivant C, 
en multipliant B par 2 cos a, X par- — i , et ajoutant les 
deux produits , ce qui donnera C = 2 B cos a — A. Les co- 
sinus des mêmes arcs formeront également une suite récur- 
rente dont l'échelle de relation est 2 cos a ^ -~ i : on aura 
donc successivement , 



sin o: 
sin a\ 

sin la : 



o 

\sina 

2 cos a sin a 



sin 8a = 2 cos a sin 2a ^sin a 
sin 4^=2 cos a sin 8a -^sin 2a 
li>i 5a =;= 9 cof a sin t^a^sin 8a 



cos = 1 

cos az:z.cosa 

cos 2a =: 2 cos a cos a— i 

cos 8a = 2 cos a cos "xa^cos a 

cos 4a = 2 cos a cos Za^cosw 

cos 5a = 2 cos a cos 4a— cox3a 

«te. 



TRieOMOltliTtttS. i6() 

Xxxix» Il ne s*agit plus que d'exécuter les opérations in- 
diquées 9 eu substituant les Taleurs de sin a et cos a. Si on 
vent construire des tables de sinus avec lo décimales , il 
suffira de prendre les valeurs de un a et cos a approchées 
jusqu'à 16 décimales, savoir: 

xi/i â=:o.oooi5 70796 3io335 
co^ = 0.99999 99876 629945 

mais comme cos a diffère très*peu de l'unité , il 7 a un moyen 
d'abréviation dont il faut profiter. Soit A = a ( i — cos a)z=z 
0.00000 00^46 7401 10 9 on aura a carazT^*— X-, ce qui 
donnera , 

sin (^x-\'a)'^^sinx:=zsinx''^sin (j? — a)— ^ sin x 
cos(x'\-a)'-^cosxz^cosx'^cos (ar — a) — Xr cosx. 

Pour avoir le terme sin (^+et) il suffit d'ajouter au terme 
précédent /maria différence sm (^x-{-a)~^sinxy laquelle 
sera toujours très-petite : or cette différence est , suivant 
la formule , égale à une différence semblable déjà calculée 
sin X — sin (^x — a ) ,moins le produit de sm x par le nombre 
constant X*. Cette multiplication est donc la seule opération 
un peu longue qu'on ait à faire pour déduire un sinus des 
deux précédents; mais il faut observer 1^ quel'on n'a be- 
soin de connaître le produit que jusqu'à la seizième déci- 
male , ce qui donnera fort peu de chiffres à calculer; a^ que 
ces multiplications peuvent être abrégées beaucoup en for- 
mant d'avance les produits du nombre constant 2467401 10 
par I , a , 3 j usqu'à 9 ; car , par ce moyen , on aura immé- 
diatement les produits partiels qui résultent des différents 
chiffres du multiplicateur sut a: ^ et il ne restera plus qu'à 
faire Taddition de ces produits , en se bornant toujours à 
la seizième décimale. 

Les mêmes procédés devront être suivis dans le calcul des 
cosinus; et, lorsqu'on aura prolongé l'une et l'autre série 
jusqu'à 5o*, la table sera complète. 

XI.. Il est nécessaire, nous le répétons , de calculer les 
sinus avec 16 décimales, c'est-à-dire avec cinq ou six dé- 
cimales de plus qu'on n'en veut avoir réellement , afin 
d'être assuré que les erreurs , qui peuvent se multiplier 
dans le cours de Sooo opérations , n'influeront cependant 

a4 



ijO TEIOONOMÉmilS. 

pas sur la dixième décimale des dernier» résultats. Le calcul 
fait , on retranchera les décimales superflues ot on ne con* 
servcra dans la table que dix décimales. 

Au reste , quand il s'agit d'exécuter tant de calculs , on 
doit cherclier à yérifier les résultats aussi souvent qu'il est 
possible. Dans l'exemple que nous avons apporté d'une 
table calculée de minute en minute , il serait nécessaire de 
calculer préalablement les sinus et cosinus de degré en de- 
gré , ce qnl fera , de îoo termes en loo termes , une vérifi- 
cation très-tttile. Or, )[>i()ur calculer les sinus de degré en 
degré 9 on a lés fotmiiles et les valeurs qui suivent : 

sin (ar+i*) — sinx^sin a;— ««(i*— i*) — hsinx 

CQS (a!î+ 1°) — cosxzzzLcosx'^-'^cosi^X'^^ i*)~^hcosx 

sin 1° =0.01570 73173 11820 676 

cos 1^ = 0.99987 663a4 S1660 699 

A=ià(i — cof i*)=o, 00024 67350 36678 80a 

Les sinus calculés de degré en degré se vérifieront eux- 
mêmes de dix en dix par les valeurs déjà connues de sin 10% 
sin ao" « etc. £nfin lorsque la table entière est construite , 
on peut encore la vérifier de tant de manières qu'on voudra 
par l'équation 
sin(^i09*'--ai)^n(iko*—'x)+sin{iko*'+x)===si^n{6o^^xyi-sin^^ 

xLi. Les sinus , tels qu'ils résultent des calculs que nous 
venons d'indiquer, sont exprimés en parties du rayon, et 
oh les appelle sinus naturels ; mais on a reconnu dans la 
pratique , qu'il y a beaucoup d'avantage à se servir des loga* 
rithmes des sinus , au lieu des sinus eux-mêmes ; en consé- 
quence la plupart des tables ne contiennent point les sinus 
naturels , mais seulement leurs logarithmes. On conçoit cpie 
les sinus étant calculés , il a été facile d'en trouver les loga- 
' rithmes; mais comme la supposition du rayon = i rendrait 
négatifs tous les logarithmes des sinus , on a préféré de 
prendre le rayon = 1 0000000000, c'est-à-dîre , qu'on a mul- 
tiplié par 1 0000000000 tous les sinus trouvés dans la sup- 
position du rayon := I. Far ce moyen le rayon on sinus de 
100**, qui se rencontre fréquemment dans les calculs, a 
pour logarithme 10 unités, et il faudrait que les angles 
fussent beaucoup plus petits qu'on ne les rencontre dAus la 



TRIGOHOMliTAIB* Sjl 

pratique, poiir que leurft «inus eusieat des logarithmes 
négatifs. 

Les logarithmes des sinus étant trouvés , on en déduit 
très-aisément les logarithmes des tangentes par de simples 

soustractions; car, puisqu on a^wt^^i^zr:— — *^, il s ensuit 

COS X 

îog,, tang ^= lo + log» sin x-~»log, cos x. Quant aux loga- 
rithmes des sécantes, ils se trouveraient d*une manière 

R* 

encore plus simple, à Taide de TéquatiOn sec, x = 

cos X 

C'est parce qu*on peut y suppléer si facilement qu'on n'in- 
sère dans les tahles que les logarithmes des sinns et ceux deé 
tangentes. 

U resterait k expliquer Tespèce d'interpolation dont on 
se sert, soit pour trouver les logaritlimes des sinus et tan*- 
gentes des arcs qui contiennent des fractions de minute, 
soit pour trouver Tare qui répond à un logarithme donne 
de sinus ou de tangenle , lorsque ce logarithme tombe entre 
deux logarithmes des tahles. Mais pour ces détails on ne 
peut mieux faire que de consulter l'explication dont les 
tables sont toujours accompagnées. 

Principes pour la résolution des triangles 

rectilignes. 

XLii. Dans tout triangle rectangle le rayon 
est au sinus (Vun des angles aigus ^ comme V hy- 
poténuse est au côté opposé à cet angle. 

Soit ABC le triangle propose rectangle en A ; du fig- 3. 
point C, comme centre, et du rayon CD, ëgal au 
rayon des tables, décrivez Tare DE (|ui sera la me- 
sure de l'angle C ; abaissez sur CD la perpendiculaire 
EF qui sera le sinus de l'angle C. Les triangles CBA, 
CEF «ont semblables et donnent la pt'oportion CE : 
EF ;t ce : B A ; donc 

R:^mG::BC:BA. 

24. 



Sjà TRIGONOMÉTRIE > ^ 

xtin. Dans tout triangle rectangle le rayon 
est h la tangente d'un des angles aigus ^ comme 
le côté adjacent à cet angle est au côté opposé. 

Ayant décrit l'arc DE, comme clans l'article pré- 
cédent , élevez sur CD la perpendiculaire DG qui 
sera Ja tangente de l'angle C. Par les triangles sem- 
blables CDG , CAB , on aura la proportion CD : DG 
::CA : AB; donc 

R : txing C :: CA : AB. 

XLiv. Dans un triangle rectiligne quelconque 
les sinus des angles sont comme les côtés opposés. 
fig. 4. Soit ABC le triangle proposé , AD la pcrpendicu 
laire abaissée du sommet A sur le côté opposé BC , 
il pourra arriver deux cas : 

lo Si la perpendiculaire tombe au - dedans du 
triangle ABC , les triangles rectangles ABD , AGD 
donneront , suivant l'art, xlii , 

R:««B::AB:AD 
Rr^mC :: AC : AD. 
Dans ces deux proportions , les extrêmes étant 
égaux , on pourra , avec les moyens , faire la pro- 
portion 

sin C : sin B :: AB : AC. 

H-^' a<* Si la perpendiculaire tombe hoM du trmngle 
ABC, les triangles rectangles ABD, ACD donne- 
ront encore les proportions 

R:«/î ABD:: AB:AD 

R:jmC :: AC:AD: 

d où l'on déduit sin C : sin ABD : AB : AC. Mais 

l'angle ABD est supplément de ABC ou B ; donc 

sin ASD=isin B; donc on a encore 

sin C : sin B :: AB : AC. 
XLv. Dans tout triangle rectiligne le cosinus 
d'un angle est au rayon , comme la somme clés 
quarrés des côtés qui comprennent cet angle 



RBCTILIGIf s. 373 

moins le quan*é du troisième côté^ est au double 
rectangle des deux premiers côtés; c^est-à-dire 
qu'on a : 

C05 B:R :: ÂB + BC— ÂC*: a AB x BC, ou cos B = 

j. ÂB+BC— AC* 
^ TÂFxBC 

Soit encore abaissée du sommet A la perpendi- 
culaire AD sur le côté BC : 

1** Si cette perpendiculaire tombe au*dedans du trian- ^5* * • 

gle, on aura*ÂC = ÂB + BC— aBCxBD; donc BD ''*•'• 

ÂB+BC— ÂC* 



aBC 



-. Mais dans le triangle rectangle ABD , 



on a R : sin BAD : : AB : BD; d'ailleurs Fangle BAD 

étant complément de B , on a 5i>» BAD = c<?5 B ; donc 

n V Rn 
eos'Rzzzz — — — , ou en substituant la valeur de BD, 

„ „ ÂB + BC— ,ÂC.* 

cos B=RX —t; î^TT^-- 

a AB X BC 

a" Si la perpendiculaire tombe au-dchors du trian* H- ^• 
gle, on aura ÂC=ÂbVbC + 2BCxBD*; donc BD * «33. 

= -^ , pp ' ' ' Mais dans le. triangle] rectangle 

BAD , on a toujours sin BAD , ou cos ABD ■=: — 7= — 1 
et Vangle ABD , étant supplément de ABC ou B , on 
a* cosBz=z — cos ABD = — — ; donc en sub- * »'. 

AB 

stituant la valeur de BD, on aura encore 



— » 



cosB = Kx^^'^'l^~^^' 

aAfiX BC 

XLvi. Soient A, B, C, les trois angles d*nn* triangle 
quelconque; a, b, c, les cAtës qui leur sont respec- 
tivement opposés, ou aura, $iiivan( cotte dernière 



Sy4 TUlOOHOlABTaiB 

proposition cos B = R. . Le même principe 

% a c 

étant appliqué à chacun des deux autres angles, don- 

6* -h c* — a* 
nera semblablement cos A =^ R. , , cos C 

9^ b c 

a^^b' — c* 
= R.— 



a a 6 

Ces trois formules suffisent seules pour résoudre tous 
les problèmes de la trigonométrie rectiligne ; rar étant 
données trois des six quantités A^BjCya, é^c^ona par 
ces formules les équations nécessaires pour déterminer les 
trois autres. Il faut par conséquent que les principes déjà 
exposés , et ceux qu'on pourrait leur ajouter y ne soient 
qu'une conséquence de ces trois formules principales. 

£n effet , la valeur de cos B donne 

_ ia*c^—(a*+c*^b*y R' 
sin* B=R*— cof*B=ïl*.-î ^ — . ■ ■> . t> = 

f atf' ô' + aa*c*-|-aA*c*-^a* — b^ — c*); donc 

sin B R ^ , , . , . . V 

Le second membre étant une fonction de a, b, c, dans 

' laquelle ces trois lettres entrent toutes également, il est 

clair qu'on peut faire la permutation de deux de ces lettres 

, . . sinB sin A sinC 

à volonté, et qu amsi on aura — r — z=— •= , ce qui 

bac 

est le principe dn n^ xlit. Et de celui-ci se déduiraient 
facilement les principes des nos xui et xi.iii. 

XLVii. Dans tout triangle rectiligne la somme 
de deux côtés est à leur différence^ comme la 
tangente de la demi-somme des angles opposés 
à ces côtés, est à la tangente de la demi-diffe^ 
rence de ces mêmes angles. 

Car de la proportion AB : AC :: sin C : sin B, on 
fig 4 et5. lire AG + AB : AC— AB : : sin B + sin C : sin B~sin C. 



RBCTILIGNS. ^75 

Mais, d'après les formules de Tart. xxix/on a 

—«.„,. . ^ B-4-C B— C 

sin n+sin C :sin B — sinC:: tang — • — : t€mg — . — : 

donc 

• B-l-C B — C 
AC + AB : AC— AB :: tang — - — : tang ; 

ce qui est le principe énoncé. 

Avec ce petit nombre de principes , on est en 
état de résoudre tous les cas de la trigonométrie 
rectiligne. 

Résolution des triangles rectangles, 

xiiYiii. Soit A Tangle droit d^un triangle rectan" 
gle proposé, B et C les deux autres angles; soit a 
Phypotémise, h le côté opposé à Tangle B, et r le 
côté opposé à Pangle G. Il faudra se rappeler que 
les deux angles B et G sont compléments Tun de 
l'autre , et qu'ainsi , suivant les différents cas , on 
peut prendre sîn C=rcoj B, sin B:=:coi C, et pareil- 
lement tàng B=co^ C, tang G=cor B. Gela posé, 
les différents problèmes qu'on peut avoir à résoudre 
sur les triangles rectangles se réduiront toujours aux 
quatre cas suivants. 

VESMIBA CAS. 

xLTx. Étant donnés V hypoténuse a et un côté 
h , trouver le troisième côté et les deux angles 
aigus.. 

Pour déterminer l'angle B , on ^ la proportion * * ^^^^ 
a : & :: R : sin B. Connaissant l'angle B, on connaîtra 
en même temps son complément loo® — B=C; on 
pourrait aussi avoir G directement par la proportion 
fl : ft :: R : cos C. 

Quant au troisième côté c , il peut se trouver de 



3^6 THIGONOHETHIB 

deux manières. Après avoir trouvé l'angle B, on 
•xmi. peut faire la proportion* Il : cot B :\ b :c, qui don- 
nera la valeur de c; ou bien on peut tirer directe- 
ment la valeur de c^ de Téquation c"=a'— i* qui 
donne c:=z\/ (a" — i") , et par conséquent 

log C'=z\lQg {a + h) 4-7/0^ {a — h). 



DEUXIEME CAS. 



L. Étant donnés les deux côtés h et c de V angle 
droit j trouver V hypoténuse a et les angles, 
•xi.111. On aura l'angle B par la proportion * c : i :: R : 
tang B. Ensuite on aura 0=100** — B. On trouve- 
rait aussi G directement par la proportion bien 
R : tang C. 

Connaissant l'angle B , on trouvera l'hypoténuse 
par la proportion 5«>î B : R :: i : « ; ou bien on peut 
avoir a directement par l'équation fl = l/(è*+i?') ; 
mais cette expression , dans laquelle b^ + c* ne peut 
se décomposer en facteurs, est peu commode pour le 
calcul logarithmique. 



TROISIEME CAS. 



Li. Etant donnés Vhypoténuse b, et un angle 
B , trouver les deux autres côtés b et c. 

On fera les proportions R : 5/irz B : : a : ^ , R : cos B : : 
a : Cy lesquelles donneront les valeurs de b et c. Quant 
à l'angle G, il est égal au complément de B. 

QUATRIEME CAS. 

LU. Etant donné un côté b de V angle droit ^ 
avec Vun des angles aigus ^ trouver Vhypoténuse 
et Vautre côté. 

Connaissant l'un des angles aigus on connaîtia 
r^Lutre, ainsi op peut supposer connus le côté b^ et 



RBCTILIGRB. iyj 

Tangle opposé B. Ensuite, pour déterminer a et c, on 
aiua les proportions 

^m B : R .: b:a,K: cotB :: b:c. 

Résolution des triangles rectilignes en 

général. 

Soient A, B, G, les trois angles d^un triangle rectiligne 
proposé, et soient a^ (^ c^ les côtés qui leur sont res. 
pectivement opposés : les différents problèmes qui 
peuvent avoir lieu pour déterminer trois de ces quan. 
tités par le moyen des trois autres , se réduiront tou* 
jours aux quatre cas suivants. 

PaSMISR CAS. 

LUI. Etant donnés le côté a et deux des angles 

du triangle, trouver les deux autres côtés b et c. 

Les deux angles connus feront connaître le troi« 

sième, ensuite on trouvera les deux côtés b et i; pai* 

les proportions "^ , * «ut. 

•in A. i sinU \: a : b. 
sinA : sinC :: a : c. 

DBUXIÈMB CAS. 

Liv. Etant donnés les deux côtés a e^ b , avec 
V angle A opposé à l'un de ces côtés ^ trouver le 
troisième côté c et les deux autres angles B et C. 

On trouvera d'abord Tangle B par la proportion 

a : & :: sin A : sin B. 

Soit M l'angle aigu dont le sinus = , on 

pourra 9 d'après la valeur de sin B, prendre ou B=M 
ou B=200^ — M. Mais ces deux solutions n'auront 
lieu qu'autant qu'on aura à la fois l'angle A aigu et 
b>a. Si l'angle A est obtus , B ne saurait l'être , 



iyS TaiGONOMBTRlB 

ainsi il n^y aura qu'une solution; et si A étant aigu 
on a ( < a j il n'y aura non plus qu'nnjd solution^ 
parce qu'alors, on a M < A , et qu'en faisant B = 
200° — ^^M , on aurait A + B > 200<> , ce qui ne peul 
avoir lieu. 

Connaissant les ançles A et B , on en conclura le 
troisième G. Ensuite on aura le troisième côté c par 
h proporiioB 

sin A : sm G *: a : c. 

Ou peut aussi déduire c directemeut de l'équatiou -— - 

A>+c»,-a* ., bcosa^ / è*sm*k\ 

= ^bc ' ^^^^^^^' '="r"±^(,^^ W^} 

Biais cette valeur ne peut se calculer par logaritlimes qa'aa 
moyen d'un angle auxiliaire M ou B , ce qui rentre dans 
la solution précédente. 

TROISIÈMB CAS. 

LV. Etant donnés deux côtés ^eth as^ec r angle 
compris C , trouver les deux autres angles A et 
B et le troisième côté c, 

Gonnaissant l'angle C, qn connaîtra la somme des 
deux autres angles A + B = 200® — G et leur demi- 
somme^ (A+ B) = loo^-'^-^C. Ensuite on calculera 
la demi-différence de ces mêmes angles par la pro- 
xLvii. portion* 

a+b\€h^b::tang^{h. + ^) ouco^^C : tang\{k — ^B) 
oii l'on suppose a>b et par conséquent A > B. 

Ayant trouvé la demi-différence | ( A — B) , si on 
l'ajoute à la demi-somme 7 ( A + B) , on aura le plus 
grand angle A ; si au contraire on retranche la depu- 
différence de la demi- somme, on aura le plus petit 
«angle B. Gar, A et B étant deux quantités quelcon- 
ques^ on a toujours 

A = i(A + B)-hi(A-B) 
B = i(A + B)— i(A~B) 



ABCTII«IG1IB. 379 

Les angles A et B étant connus , pour ayoîr le troi- 
sième côté Cy on fera la proportion 

sin A : sin G :: a : c. 

LYi. n arriTe souvent dans les calculs trigonométrîques 
qae deux côtés a et b sont connus par leurs logarithnies ; 
alors pour ne pas être obligé de chercher les deux nombres 
correspondants , on cherchera seulement l'angle (p par la 
proportion b: a y B.: tangf^. L'angle f sera plus grand que 
5o**, puisqu'on suppose fl > ôj retranchant donc 5o^ de f 
on fera la proportion R : tang ((p — 5o** ) :: cot^ C : tang 
i-(A— B), d'où Ton déterminera comme ci-dessus layaleur* 
de 7(A — B), et ensuite celles des deux angles A et B, 

Cette solution est fondée sur ce que tang (f -~ 5o^ ) £s 

R* taTègfù — R* tangue? , «R ^ « ^ 

^-^ 2 , ortang^=: etm/ig^5o® = R; 

B^-^tangfftang^^ b 

Vi(a—b) 
àonctang((f — 5o^)=:— ^ -i donca + d:a — b :: R; 

tang{ff—So^) :: cotiC:tangi{A — B). 
Quant au troisième côté c , il peut se trouver directa- 

. ^^*C a^+b*—c* . 

ment par léquation = » qiu donne est 

R ol ab 

t/ fa* 4-.^*— j . Mais cette valeur n'est pas com- 
mode à calculer par logarithmes , à moins que les nombres 
qui représentent a^b^ et cos C , ne soient très*simples« 

n est à remarquer que la valeur de c peut aussi se mettre 
sous ces deux formes : c=: 

\/ ^{a^y+iab^\^y/ ^{a+by-^+{a^by^ 

ce qui se vérifie aisément au moyen des formules sin*^ C = 
iR» — iR cosC, coj'|C=7R*+tï^ <^o^ Q- C«* valeurs 
seront particulièrement utiles, lorsque l'angle C étant très- 
petit, ainsi que a — 6, on voudra calculer c avec beaucoup 
de précision. La dernière fait voir que c serait l'hypoténuse 

sin - C 
d'un triangle rectangle formé sur les côtés (a-}-ô) — -^ — 



38o TAIGONOMBTllIB 

et (a — b) — - — ; et c'est ce qu'on peut aussi trouver par 

une construction fort simple, 
fig* 6. Soit CAB le triangle proposé dans lequel on connaît les 
^ deux côtés CBziza, CA.-=ib^ et l'angle compris C. Du point 
C comme centre et du rayon CB égal au plus grand des deux 
côtés donnés , décrivez une circonférence qui rencontre en 
D et £ le côté CA prolongé; joignez BD, B£, et menez AF 
perpendiculaire à BD. L'angle DB£ inscrit dans la demi- 
circonférence sera un angle droit , ainsi les lignes AF , B£, 
seront parallèles , et on aura la proportion BF : A£ : : DF : 
AD ::co^ D:R. On aura aussi dans le triangle rectangle 
DAF, AF :DA :: sin D:R. Substituant donc les valeurs 
DA=DC+CA=«H-6, A£=CE— CA=€z— 5,D=tC, 
on aura 

_ {a+b)sin^C ^^_ (a—b)cosiC 

R ' R * 

Donc en effet le troisième côté AB du triangle proposé 
est l'hypoténuse du triangle rectangle ABF , dont les côtés 

sont (^a + b) et (/i— ^) — - — . Si dans ce même 

R R 

triangle on cherche l'angle ABF opposé au côté AF, et 
qu'on en retranche l'angle CBD=~C, on aura l'angle B 
du triangle ABC. De-là on voit que la résolution du trian- 
gle ABC, dans lequel on connaît les deux côtés a et bel 
l'angle compris C , se» réduit immédiatement à celle du 
triangle rectangle ABF, dans lequel on connaît les deux 

sm^C 
côtés de l'angle droit , savoir : AF z=z{a + b) — —- et 

cos — c 
BF=(a — b) — -^ — • Ainsi, par cette construction, on 

pourrait se passer de la proposition du n® 47* 

QUATRIÈME CAS. 

Lvii. Etant donnés les trois côtés a, b,c, trou* 
s^er les trois angles A , B , C. 

L^angle A , opposé au côté a, se trouve par la for- 



nEGTILIGRB. 



38 1 



mule coj A=R. — — , et on dëterminera sem- 

hlablement les deux autres angles. Mais on peut ré- 
soudre ce même cas par une formule plus commode 
pour le calcul logarithmique. 

Si on se rappelle la formule R* — R cos A = 
2 sin^ ^ A, et qu'on y substitue la valeur de 

cos A, on aura a stn - A=R . •- = 

a bc 

H. «'-(^r _p. (^ + ^-0(^-^ + Donc 

^ b c ^ bc . 

$in \ A=R y/ f i — 1- i-i -I— Z j . Soit, pour 

abréger, ^ (a + ft + c)=/;, ou aH-A-f-c=2/;, on 
anraa+& — c=z^p — !xc,a — b+c==2p — a&;donc 



Formule qui donne aussi la proportion 

bc:{p—b){p — c)::K':sin*iA 

et qui est facile à calculer par logarithmes. Con- 
naissant le logarithme de sin ^ A, on connaîtra { A 
dont le double sera Tangle cherché A. On pourra 
faire de même par rapport à chacun des deux autres 
angles B et G. 

Il y a d*autres formules également propres à résou- 
dre la question. Et d'abord la formule R* + R cos A := 

1 cas* ^ A dorme CM* i IL=R\^~^ — — = R\ 

i^ b c 

{b + cy — a* _. (b + c — a) {b^c^a) . 

^ ^ =: R' . -i j-r • Mats en 

il bc h bc 

faisant toujours a-h b+c:=z%p , on a &+<^-— ^ ^V'*^^^^ 

donc 



^,.=B^(y^). 



l 



%. " 



/• 



38a TRIGOnOMéTRtB 

Cette valeur étant eusTiite combinée avec celle de sin\X 
donnera un€ autre formule, car ayant tang^A=Z' — ' 



co#T A 



> 



on en tire 



V P'P — a J 

Exemples de la résolution des triangles 

rectilignes. 

' LViii. Exemple I. Supposons qu'on veuille avoir 
la hauteur d'un édifice AB , dont le pied est ac- 
cessible. 

Ayant mesuré sur le terrain, supposé à-peu-près 
de niveau, une base AD qui ne soit ni très-grande ni 
très-petite par rapport à la hauteur AB, on placera 
en D le pied du cercle ou de l'instrument quelconque 
avec lequel on doit mesurer l'angle BCE formé par 
la ligne horizontale CE parallèle à AD , et par le 
rayon visuel CB dirigé au sommet de l'édifice. Sup- 
posons qu'oti ait trouvé AD ou CE = 67. 84 mèti*ed 
et l'angle BCE =45° 64'; pour avoir BE, il faudra 
résoudre le triangle rectangle BCE dans lequel on 
ccmnaît l'angle C et le côté adjacent EC. Ainsi, 
d'après le cas iv, on fera la proportion R : tang^,^^ 64' 
:: 67.84 :BE. 

L. tangi^f?6fi' , . . . . 9.9408263 
L. 67 . 84 •«••••• f 1.83x4856 

Somme — /og^R=: .... 1.7718121 

Ce logarithme répond à 69. i3o, ainsi on a BE=: 
Sp*». i3. Ajoutant à BE la hauteur de l'instrument 
CD ou AE que je suppose i™. 12, on aura la hau- 
teur cherchée AB=6o™. ab'. 
Si dans le même triangle BEC on veut connaître 



ABCTILKINB. 383 

rhypoténtise fiC, on fera la proportion cos 4^^ 64' 

:R:: 67.84:80 

L. K + L. 67.84 ... . i3.83i4858 
L. ca*45'64' 9.877^784 

Différence i .95451074 = L. BC. 

Donc BC=89«>. 993. 

N, B. Si Ton ne voyait que le sommet B de Tédifice ou 
' dn lieU quelconque dont on veut connaîtra la hauteur, on 
déterminerait la distance BC comme il sera dit dans 
l'exemple suivant : cette distance et Tangle connu BC£ 
suffisent pour résoudre le triangle rectangle BC£ , dont le 
côté B£ augmenté de la hauteur de Finatrument , sera la 
hauteur demandée. 

Lix. Exemple IL Pour avoir sur le terrain la dis- 6g. ft. 
tance du point  à un objet inaccessible B , on me- 
surera une base AD et les deux angles adjacents 
BAD , ADB. Supposons qu'on ait trouvé AD = 
588°». 45, BAD= ii5^ 48' fit BDA = 4o« 8% on en 
conclura le troisième angle ABD=44° 44' 5 c*^ pour 
avoir AB , on fera la proportion sin ABD : sin AX)\\ 
: : AD : AB. 

L. AD 2.7697096 

L. sm ADB 9.7699689 



Somme a. 5^9678 



5 



L. nn ABD 9.8o8o3i4 

L. AB 2.7316471 

Donc la distance cherchée AB= SSg™. 07 

Si , pour un autre objet inaccessible G , on a 
trouvé les angles CAD = 39^ 17' , ADG=:r 132° 83', 
on en conclura de même la distance AG= X20!2^. Z^. 

Lx. Exemple III. Pour trouver la distance entre g» g, 
deux objets inaccessibles B et G , on déterminera AB 
et AC , comme dans l'exemple précédent , et on aura 
en même temps l'angle compris BAG = BAD — 



384 TIlIGOJVOMlitHIB 

DAC (i). Supposons qu'on ait trouvé AB=539™. 07,^ 
AG=i202™. 3a, et l'angle BAC=.y6^ 3i';pour 
avoir BG , il faudra résoudre le triangle BAC dans 
lequel on connaît deux côtés , et Tangle compris^ 
Or , d'après le troisième cas , on a la proportion^ 

B -4- f i> f* 

AC -4- AB : AC — AB :: uing : umff , ou 

174» «39 ' 663. a5 :: ta7ig6i^S4' ^ : tang-^^^^^^ 

L. 663 • aS 2.8216773 

L./«/^6i'84'^. .... 10.1654748 

Somme ia.9871521 

L. 1741*39 3.2408960 

B— C 

"L* tang 9.7462561 

2 

Donc -m^= 32* 37', 8 

2 

B + C 

Mais on a — - — = 61* 84', 5 

2 

Donc B = 94* 22', 3 

et C = 29' 46 ' . 7 

Maintenant, pour avoir la distance BC, on fera la 
propoition sin B : sin A :: AC : BG, ou 

sm 94^22'. 3 : sin 76^ 3i ' : : 1202". 32 : BC 

L. 1202. 32 3.0800200 

L» sin 'jG* 3i' 9*9692099 

Somme • 13.0492299 

L. f//i 94'' 22', 3 9*99^^096 

L. BC 3.o5io2o3 

Donc la distance cherchée BG=ii34"'- 66* 



(i) Il poarraJt arriver qoe les quatre pointi A , B, G , D 9 ne fostent 
pas dans an même plan ; alors Tangle BAC ne serait plas la difierenea 
entre BAD et DAG| et il faudrait avoir, par une mesure directe) la 
valeur de cet angle : k cela prèS| l'opération serait la même. 



RSCttLIGNÉ. 385 

txi. Exemple lY. Trois points A, B, G, étant 6g. g. 
donnés sur la carte d'un pays , on propose de déter- 
miner la position d un quatrième point M, d^oii on au- 
rait mesuré les angles AMB, AMC; les quatre points 
étant supposés dans le même plan. 

Sxxr AB décrivez un segment AMDB , capable de 
Tangle donné BMA ; sur AG , décrivez pareillement un 
segment AMG capable de Fangle donné AMG; les 
deux arcs se couperont en A et M , et le point M sera 
le point requis. Gar les points de Tare AMDB sont les 
seuls d'où Ton puisse voir AB sous un angle égal à 
AMB ; ceux de Tare AMG sont les seuls d'où l'on puisse 
voir AG sous un angle égal à AMG; donc le point M, 
intersection de ces deux arcs, est aussi le seul d'où 
Ton puisse voir à la fois AB et AG sous les angles 
AMB, AMG. Il s'agit maintenant de calculer trigono- 
métriquement la position du point M, d'après cette 
construction. 

Soient les données AB=:a5oo"*, ACzzryooo"' 
BC = 9ooo«, AMB=:3oo 80', AMG = 1210 40, 
Dans le triangle ABG , où Ton connaît les trois 
côtés , on déterminera l'angle BAG *' par la formule * Lvir. 

5i«'tA=R . -^ ;aoulontire2/o£^5m4-A= 

* a5oo.7ooo ° ■ 

19.9384483, Zcg^5i/i^A=g.969224ï , 7 A:=76®3i ' . 5, 
et enfin A=i52<> 63'. Tirez le diamètre AD et joi- 
gnez DB ; dans le triangle BAD rectangle en B 
on aura le côté BA = 25oo, et l'angle opposé BDA 
==BMA = 3oo 80'; d'où résulte l'hypoténuse AD 

= ■ T>T^A =5374™» 6. Tirant de même le diamètre 

sin BDA. ' 

AE et joignant GE, on aura un triangle rectangle 
GAE dans lequel on connaît le côté AG = 7000 , et 

25 



386 TRIGOlfOMETIilB 

l'angle adjacent G AE = AMG — i oo«> = a i « 4o ' î U'oîi 

l'on conclura AE= ;rri;=74i5™. 

cos C AE ' 

Maintenant si l'on tire MD et ME , les deux angles 
AMD, AME, étant droits, la ligne DME sera 
droite. Il reste donc à résoudre le triangle DAE dans 
lequel la ligne AM, dont il faut déterminer la gran* 
deur et la position, est perpendiculaire à DE. Or, 
dans ce triangle on a les côtés donnés AD = 5374*6, 
AE=74i5, et l'angle compris DAE=iBAC + GAE 
— DAB=: io4° 83 ' . De-là on conclura l'angle ADE= 
56** pS' ; et enfin par le triangle rectangle DAM on 
aura AM=::4i90«». 83. Cette distance et l'angle BAM * 
•=zii*i^ 27' déterminent entièrement la position du 
point M, 

Nota, Si on \eut calculer les mêmes exemples au moyen 
des tables construites suivant l'ancienne division du cercle, 
il faudra changer comme il suit l'expression àA% angles 
donnés ou calculés; du reste toutes les valeurs logarith- 
miques et celles des côtés resteront les mêmes. 

Exemple i. Angle donné BCE = 4i° V 33". 6, ou sîm- 
plementBC£:=4i"4' '^^^y cardans ces sortes d'opérations, 
quelques secondes de plus ou de moins dans les angles» 
n'inQuent pas sensiblement sur les distances qu'on veut 
déterminer. 

Ex. II. Angles donnés BAD = io3** 55' 55". a , BDA= 36® 
4' 19". a, ABD=39« 59' 45". 6, C AD=35*^ i5' xo", 8, 
ADC=ii9**3a' 49". a. 

JE'^tr. III. Angle donné BACc=:68® 40' 44''. 4, 
Angle conclu i^(B+C)=;55® 39' 37". 8. 
Angles calculés J (B — C) = a9^ 8' a4". 7 
Br=:84*' 48' a". 5, C=a6** 3i' i3". i. 
Ex. IV. Angles donnés AMB = a7'' 43' la", AMC = io9® 
i5' 36", Angles calculés A=i37* aa' i". a, DAE =94® 
ao' 49",a^ BAM = ioi^ a' 34". 8. 



8PBBRIQ1TS. 387 

Principes pour la résolution des triangles 
sphériques rectangles. 

Lxii. Dans tout triangle sphérique rectangle^ 
le rayon est au sinus de P hypoténuse y comme 
le sinus d^un des angles obliques est au sinus du 
côté opposé. 

Soit ABC le triangle sphérique proposé , A son û%. to. 
angle droit , B et G les deux autres angles que nous 
appellerons angles obliques , et qui cependant pour- 
raient être droits l'un ou l'autre, ou tous les deux ; je 
dis qu'on aura la proportion R : sin BG : : sin B : sin AG. 

Du centre O de la sphère, menez les rayons OA^ 
OB , OC ; prenez ensuite OF égal au rayon des tables , 
et du point F menez FD perpendiculaire sur OA ; la 
ligne FD sera perpendicidaire au plan OAB, puisque, 
par hypothèse^ l'angle A est droit , et qu'ainsi les deux 
plans OAB , OAC sont perpendiculaires entre eux. Du 
point D menez DE perpendiculaire sur OB , et joignez 
EF; la lig^ae EF sera aussi perpendiculaire sur OB, 
et ainsi l'angle DEF mesurera l'inclinaison des deux 
plans OBA^ OBG, et sera égal à l'angle B du triangle 
ABC. Cela posé dans le triangle DEF rectangle en D^ 
on a R : sin DEF :: EF : DF ; or l'angle DEF=B, et 
puisque OF=R, on a EF— ^m E0F=5i/i BC , DF= 
sin AC. Donc R : 5m B :: sin BC : sin AG, ou 

R : sin BC :: sin B : sin AC. 

Si on appelle a l'hypoténuse ou le côté opposé à langle 
droit A , î le côté opposé à l'angle B , c le côté opposé 
à l'angle G , on aura donc 

"Kisina ,: sin B : sin b .: sin G : sin c, 

ce qui fournit déjà deux équations entre les parties du 
triangle sphérique rectangle. 

25, 



38d TRIGOIVOMETAIE 

Lxiif . Dans tout triangle sphérique rectangle 
le rayon est au cosinus d'un angle oblique , 
comme la tangente de Vhypoténuse est à la 
tangente du côté adjacent à cet angle. 

fig. lo. Soit toujours ABC le triangle proposé rectan-* 
gle en A, je dis qu'on aura R ; cos B :: tang BC : 
tang AB. 

Car en faisant la même construction que ci-dessus, 
le triangle rectangle DE F donne la proportion 
R : cos DEF :: EF : ED. Or on a DEF = B, EF== 
jm BC, OE=:co5 BC , et dans le triangle OED 

rectangle en E , on a u E = ~ = 

rr— ^^ — ; donc R : cos B :: sin BC : 

MX 

COS BC tang A B R f/>2 BC . -» « 
î;— ^ ••" TTTT • tûJiff AB, ou ennn 

R : cos B :: tang BC : taiig AB. 
Si on fait comme ci-dessus BC:=a et AB = c 
on aura R : cos B :: tang a : tang c ^ ou cos B = 

"Rtariffc tanffccota • * • • i« 
^2—= ~- Le même prmcipe appli- 

que a 1 an£:le L , donnera cos ti = — = 

* ° ' tang a 

tang b cot a 

R 

LXïv. Dans tout triangle sphérique rectangle 
le rayon est au cosinus d'un côté de l'angle 
droit f comme le cosinus de l'aittre côté est au 
cosinus de l'hypoténuse. 

fig. xo. Soit ABC le triangle proposé rectangle en A^ je 
dis qu'on aura R : cos AB :: cos AC : cos BC. 

Car la construction étant la même que dans les 
deux propositions précédentes , le triangle ODF 
rectangle en D , où l'on a l'hypoténuse OF = R, 
on aura OD = co5 DOF = co5 AC; ensuite le 



sPHiaiQUE. .38^ 

triangle ODE rectangle en E , donnera O E = 

ODcojDOE cos AC cos AB ,, . t i 
= . Mais dans le tnan- 

gle rectangle OEF, on a Q'E = cos BC ; donc 

^ ^ cos A C co.f A B . . 

cos B ti == =r 1 ou , ce qui revient au 

même , 

R : cos AC :: cos AB : co5 BC. 

Ce troisième principe s'exprime par Téquation 
R cos a = cos b cos c; il n'est pas susceptible d'en 
iournir une seconde , comme les deux précédents , 
parce que la permutation faite entre b et c n'apporte 
aucun changement à l'équation. 

Lxv. Au moyen de ces trois principes généraux ^ 
on en peut trouver trois autres nécessaires pour la 
résolution des triangles sphériques rectangles. Ces 
derniers principes pourraient se démontrer direc- 
tement, chacun par une construction particulière; 
mais il est préférable de les déduire des trois premiers 
par voie d'analyse , ainsi qu'on va le faire. 

T , . , ^ Ksin b i-. R f^ng b 
Les équations sin B= — : , cos ti = 2_ 

* . sin a tang€i 

, , ,. . . cos C tan^ b sin a 

donnent par leur division . .^ ==: — r—r* = 

*■ sin Js j^in o tanfç a 

cos a / . , . . , . . X cos c ^^ 

— -- = ( suivant le troisième principe ) ■. Un 

a donc ce quatrième principe 

sin B : cos C : : R : cos c , 
duquel résulte aussi par la permutation des lettres 
sin C : cos B : : R : cos b. 

Le premier et le second principe donnent 

. T» R «'' b -^ R taug c 1 1 X j ' 1 • 

sin B : = — : , cos B = 2— • de la on déduit 

sin a ^ tanga 

sin B tans[ B sin b tans: a R sin b 

ou 2 3::^ Ë — z=, = 

cos B R sin a tang c cos a tang c 

f » j • •^ • • \ ^^ sin b 

( en vertu du troisième principe) , = 

^ * f ' i^os b cQs ç tangc 



3pO ffaiGONOMRTRIB 

^^ , Donc on a pour cinquième principe l'ëqua- 

sin c 
tion tang B = — r-^- , ou 1 analogie 

R : /^fl/ïg" B :: sin c : to/ig" J ; 
d'où résulte aussi par la permutation des lettres : 

R : tang G :: sin b : tang c. 
Enfin ces deux formules donnent tang B tang C = 

îlff^iJ^^lf zzz —^ = (en vertu du troi- 

sin b sin c cos b cos c 

R* 
sième principe) • Donc R* = cos a tangB tang- C , 

ou cot B co^ C = R C05 a , oli 

tang B : co^ G :: R : cos a. 

C'est le sixième et dernier principe : il n'est pas 
susceptible de fournir une autre équation , parce que 
la permutation entre G et Bn'y produit aucun chan-* 

gement. 

Voici la récapitulation de ces six principes dont 
quatre donnent chacun deux équations ; 

I. R sin b = sin a sin B | R sin c = sin a sin G 

II. "KtangbzzztangacosC^ 'Rtangc:=ztangacos'B 

III. R cos a = cos b cos c , 

IV. R cos B = sin C cos b , R cos C = sin B cos c 

V. R tang b = sin c tang B , R tangc =:sin b tang C 

VI. R cos a-^z. cot B cot C, 

Il en résulte dix équations contenant toutes les rela-^ 
tions qui peuvent exister entre trois des cinq éléments 
B, C, a^ &^ c; de sorte que deux de ces quantités 
étant connues avec Tangle droit, on connaîtra immé- 
diatement la troisième par son sinus , son cosinus, 
sa tangente ou sa cotangente. 

Lxvi. Il eât à remarquer que lorsqu'un élément 
sera déterminé par son sinus seulement , il y aura 
deux valeurs de cet élément, et par conséquent deux 
triangles qui satisferont à la question. Car le même 



siniu qui convient à un angle ou à un arc, convient aa^si 
k son supplément. Il n'en est pas de même lorsque 
l'élément inconnu sera déterminé par son cosinus , sa 
tangente ou ésl ootangente. Alors on pourra décider. 
par le signe de cette valeur , si l'élément dont il 
s'agit est plus grand ou plus petit que 100** ; l'élément 
sera plus petit que ioo<^, si son cosinus , sa tangente 
ou sa cotangente a le signe + ; il sera plus grand que 
100^ , si l'une de ces lignes a le signe — . On pourrait 
aussi établir sur ce sujet des préceptes généraux qui 
ne seraient que des conséquences des six équations 
démontrées. 

Par exemple, il résulte de l'équation R cos a = 
cos b cos Cj que les trois côtés d'un triangle sphérique 
rectangle sont tous moindi-es que loo^ , ou que des 
trois côtés deux sont plus grands que 100" , et le troi- 
sième moindre. Aucune autre combinaison ne peut 
rendre le signe de cos b cos c pareil à celui de cos a, 
comme cette équation l'exige. 

De même l'équation R tang c = sin b tang G , où 
sin b est toujours positif, prouve que tang C a tou- 
jours le même signe que tang c. Donc dans tout 
triangle sphérique rectangle un angle oblique et le 
côté qui lui est opposé , sont toujours de la même 
espèce; c^est-à^ire , sont tous deux plus grands ou 
tous deua: plus petits que loo^* 

Résolution des triangles sphériques rectangles. 

txvn. Un triangle sphérique peut avoir trois angles 
droits, et alors ses trois côtés sont de 100'^; il peut 
avoir deux angles droits seulement, alors les côtés op- 
posés sont tous deux de ioo<>, et il reste un angle avec 
le côté opposé qui sont mesurés l'un et l'autre par le 
même nombre de degrés. Ces deux sortes de triangles 
ne peuvent, comme on voit, donner lieu à aucun pro- 
blème; on peut donc faire abstraction de ces cas parti- 



392 TRIGONOMÉTRIB 

culiers , pour ne considérer que les triangles qui ont 
1U1 angle droit seulement. 

Soit A Pangle droit, B et C les deux autres angles 
quon appelle angles obliques, soit a Thypoténuse 
opposée à l'angle Â, ^ et c les côtés opposés aux 
angles B et C. Etant données deux des ciuq quantités 
B,C,a^i&^c^la résolution du triangle se réduira 
toujours à l'un des six cas suivants. 



PREMIER CAS. 



Lxvm, Etant donnés V hypoténuse a et un 
côté b , on trouvera les deux angles '^ et Q et 
le troisième côté c par les équations 

. T» R sin b ^ tans h cot a R cos a 

sin B = —1 , cos G = — 2^=; , cos c =: v- • 

sina ^ R - cQgb 

L'angle C ne peut laisser aucune incertitude, non plus 

que le côté c; quant à l'angle B , il doit être de même 

espèce que le côté donné b. 



DEUXIÈME CAS. 



Lxix. Etant donnés les deux côtés de Sangle 
droit h et c^ on trouvera Vhypoténuse a et les 
angles là et C par les équations 

cas b cos c R tang b R tans c 

R ' ^ sine ^ ^ sinb 

Il n'y a dans ce cas aucune ambiguïté. 

TROISIÈME CAS, 

Lxx. Etant donnes Vhypoténuse a et un angle 
B, on aura les deux côtés h et cet Vautre angle 
Cpar les équations 

. - sinasinB tangacosB cosaiangB 

sin 0= ^ . ytanffcz=. , cotÇ= ^ 

R ' ® R ' R 

Les éléments c et C sont déterminés sans ambiguïté 

par ces formules ; quant au côté b,il sera de même 

espèce que l'angle B. 



SPBÉBIQUE. 393 

QUATRIÈME CAS. 

Lxxi. Etant donné le côté de V angle droit b 
avec l^ angle opposéB, on trouvera les trois autres 
éléments sl^ cet Cpar les formules 

R sin b f^^ b cot B . _ R cos B 

sm a = — r-— ,sinc:=: ^ , «/i C = , ' 

sm B R cos b 

Dans ce cas^ les trois éléments inconnus sont déter- 
minés par des sinus ^ ainsi la question est susceptible 
de deux solutions. Il est évident en effet que le trian- 
gle ABC et le triangle AB'C sont tous deux rectan- %•««« 
gles en A, ont tous deux le même côté AC = ft et le 
même angle opposé B = B', Au reste, les valeurs 
doubles doivent se combiner de manière que c et 
C soient de la même espèce; ensuite l'espèce de c et 
b détermine celle de a par Tinspection de la formule 
cos b cos c=R cos a g mais la valeur de a se déter- 
minera directement par Téquation sin a = — r-çr^ 

* ■* sin B 

GIirQUXEMB CAS. 

Lxxii. Etant donné un côté de V angle droit b 
avec V angle adjacent C , on trouvera les trois 
autres éléments a, c, B^ par les formules 

cot b cos C sin b tangC _ cos b sin C 
cotaz=z ~ , tangczzz ^ , co^B=. • 

Dans ce cas il ne peut rester aucune incertitude sur 
l'espèce des éléments inconnus. 

SIXIEICE CAS. 

Lxxiii. Etant donnés les angles obliques B et 
C , on trouvera les trois côtés a , b , c , par les 
or mu les 

cot B cot C R cos B R cos C 

cos a — I ^ , cos b =. , cos c -^zz ■■ 

R ' sînC ^ sin h 

Et dans ce cas il ne reste encore aucune incertitude* 



394 TAI60KOM3BTRIB 

REMARQUE. 

Lxxiv. Le triangle sphérique dont A, B, G, sont 
les angles, et a^ &^ c les côtés opposés, répond tou- 
jours à un triangle polaire dont les angles sont sup- 
pléments des côtés a, i^^ c, et les côtés suppléments 
des angles A , B , G ; de sorte que si on appelle 
A', B', G', les angles du triangle polaire, eta', h* ^ c', 
les côtés opposés à ces angles , on aura 

A' = 200® — a, B'= 2000— é^ G'=:200° — c 

a' = 2oo° — A, ft' = 2oo<»' — B, c' = 20o° — G. 
Gela posé , si un triangle sphérique a un côté a égal 
au quadrant , il est visible que l'angle correspondant 
A^ du triangle polaire sera droit, et qu'ainsi ce trian« 
gle sera rectangle. Donc les deux données qu'on doit 
avoir, outre le côté de loo^ , pour résoudre le triangle 
proposé, serviront à trouver la solution du triangle 
polaire, et par suite celle du triangle proposé* On 
pourrait tirer de là des formules semblables aux pré- 
cédentes pour résoudre directement les triangles 
sphériques qui ont un côté de ioo<>* 

Un triangle isoscèle se partage en deux triangles 
rectangles égaux dans toutes leurs parties , ainsi la 
résolution des triangles sphériques isoscèles dépend 
encore de celle des triangles sphériques rectangles, 
^s-ia* Soit ABC un triangle sphérique^ tel que le$ deux 
côtés AB , BG soient suppléments Tun de l'autre ; si 
on prolonge les côtés AB , AG jusqu'à leur rencontre 
en D , il est clair que BG et BD seront égaux comme 
étant suppléments d'un même côté AB ; d'ailleurs il 
est visible que les parties du triangle BCD étant con- 
nues, on connaît celles du triangle ABG qui est le 
reste du fuseau AD , et vice versa. Donc la résolution 
du triangle ABG^ dans lequel deux côtés font en- 
semble 200<^, se réduit à celle du triangle isoscèle 
. BGD , ou à celle du triangle rectangle BDË qui est la 
moitié de CDD. 



SPHi&IQOB. 39S 

Lorsque les deux cAtés AB , BG , sont suppléments 
l'un de l'autre, il faut que les angles opposés AGB, 
BAC , soient aussi suppléments l'un de l'autre ; car 
BCD est^upplément de BGA ; or BGD=:Dn=A. Donc 
on ne peut avoir a + c = aoo<', sans aroir en même 
temps A + C=z= aoo<> , ce qui est réciproque. 

De là on Toit que la résolution des triangles sphé- 
riques rectangles comprend , i^ celle des triangles 
sphériques qui ont un côté égal au quadrant ; a^ celle 
des triangles sphériques isoscèles; 3^ celle des trian- 
gles sphériques dans lesquels la somme de deux côtés 
est de aoo®, ainsi que celle des deux angles opposés. 

Principes pour la résolution des triangles 
sphériques en général, 

LxxY. Dans tout triangle sphérique les sinus 
des angles sont comme les sinus des côtés opposés* 

Soit ABG un triangle sphérique quelconque , je dis %. i3. 
qu'on aura sin B^: sin G :: sin AG : sîn AB. 

Du sommet A abaissez l'arc AD perpendiculaire 
sur le côté opposé BC, les triangles rectangles ABD 
AGD donneront les proportions 

sin B : R :: sin AD : sin AB 
R : sin G :: sin AG : sin AD, 

Multipliant ces deux proportions par ordre et omet- 
tant les facteurs communs , on aura 

sin B : jm G :: sin AG : sin AB. 

Si la perpendiculaire AD tombait au dehors du triau^ Sg. 14. 
gle ABG, on aurait les deux mêmes proportions 
dans l'une desquelles sin G désignerait sin AGD 
mais comme l'angle AGD et l'angle AGB sont sup 
pléments l'un de l'autre , leurs sinus sont égaux . 
ainsi on aurait toujours sin B : j//i G :: sin AG : sin 
AB. 



396 TlllGÛNOHBTRIB 

Soient a,b,c,\es côtés opposés aux angles A , B , CI , 
chacun à chacun, on aura, suivant cette proposition, 
sin A : sin a :: sin B : sin b :: sin C : sin c; ce qui 
docine la double équation : 

sin A sin B sin C 

sin a sin b """ sin c 

Lxxvi. Dans tout triangle sphérique le cosinus 
(Vun angle est égal au quarré du rajon multi- 
plié par le cosinus du côté opposé , moins le 
produit du rayon par les cosinus des côtés adja- 
cents y le tout divisé par le produit des sinus de 
ces mêmes côtés : c'est-à-dire qu'on a pour Van- 

- 1 é^ R*cofc — '^cosacosb 

sle C, par exemple y cos C = : 7 • 

On aurait semhlahlement pour les deux autres 

, . R" cos a — R cos h cos c 

anémies, cos A = ; — : , et cos B = 

^ sm h sin c 

R' cos b — R cos a cos c 

V 

sin a sine 

^g*«^« Soit ABC le triangle proposé dans lequel on fait 
BC = a, AC = ô, AB = c. Du point O, centre de 
la sphère, tirez les droites indéfinies OA, OB, OC; 
prenez OD à volonté, et par le point D, menez DE 
dans le plan OC A et DF dans le plan OCB, toutes 
deux perpendiculaires à OD, lesquelles rencontrent 
en E et F les rayons OA, OB, prolongés; enfin 
joignez EF. 

* L'angle D du triangle EDF est par construction 

a mesure de Fangle -que font entre eux les plans 

OCA, OCB, ainsi Tangle EDF est égal à l'angle C 

du triangle sphérique ACB : or dans les triangles 

♦«T. DEF, OEF, on a* 

cos E DF DE+DF— Ëf' 

Il ~ aDE.PF 



cas EOF QË+QF— ÊF* 

5 ~ aO£.OF 

Prenant dans la seconde la valeur de E F, et la 
substituant dans la première, on aura 

cos EDF DE + DF — OE--OF-haOE.OF 



R 



R "" aDE.DF 

Or ÔÊ — DË = 6D'et ÔF— DF = dD\ on a donc 

vnw OE.OF.cwEOF — Ôd'.R. 

cos 11. D F = 

DE.DF 

Il ne s^agit plus que de substituer dans cette équation 
les valeurs relatives au triangle sphérique : or on a 

EDF = C, EOF = AB = c, ^ = ^ 



DE sin DOE 
R OF R R CD co^DOE 



sm b' DF sin DOF ~ sin a' DE ~ sin DOE 
cos b OD cos DOF cos a y^ 
stn b' DF sin DOF sm a 

R* cos c — ' R cos a cos b 



cas C =. 



sin a sm b 



Ce principe , qui , étant appliqué successivement 
aux trois angles , fournit trois équations , suffit pour 
la résolution de tous les problèmes de la trigono* 
métrie sphérique : il a, par rapport aux ti'iangle 
sphériques, la même généralité que le principe de 
l'art. xLV) par rapport aux triangles plans. En effet 
puisqu*on a toujours trois éléments donnés par le 
moyen desquels il faut déterminer les trois autres, 
îl est clair que ce principe donne les équations né- 
cessaires pour résoudre le problème; équations qu'i| 
appartient à l'analyse de développer ultérieurement 
pour en tirer, suivant les différents cas, les formules 
les plus simples et les mieux adaptées au calcul loga- 
rithmique. 



u_ 



dp8 TRIGONOMÉTRIE 

LxxYii. Puisque le principe dont nous parlons est 
absolument général , il doit renfermer tous les autres 
principes relatif» aux triangles sphëriques , et notam- 
ment le principe du n^ lxxv. C'est ce qu'il est facile 

de vérifier, 

-,«.,,. . ^ R" cas c "^ K cas a cos b 

En effet requation cos G z=: ; r— ; 

^ sin a stn a 

donne R* — cos* C ou sin^ C = 

Si*sin*asin*lh-'R*cos*a car * 0+ aR' cos a cos b cosc^'R*cos*c 

stn* a sin*b 

Or stn* a sin* i == ( R* ~ cos* a) (R* — cos* b) = 
R* — R* cos* a — R* cos* b + cos* a cos* b. Donc en 
substituant et extrayant la racine , on aura 

.» r \/^^^--Vi*cos*ar^Vi*cos*b-'l^*cos*c+lL2icosacosbcosc\• 

stn y^—finaiinb ^ 

Soit pour abréger Z=: 
1/ ( R* — R* cos* a — R* cos* b — R* cos* c + 2 ISicosa cosbcosc\ 
on aura donc 

. ^ RZ sinC RZ 

Sm G=-: :— 7, ou 



sin a sin b' sin c sin a sin b sin c 

Les valeurs de cos A et de cos B donneraient sem* 
blablement 

sin h. RZ sinU RZ 

sin a ""^ sin a sm b sin c^ sin b sin a sin b sin c 

car la quantité Z ne change pas, lorsqu'on fait la 
permutation entre deux des quantités a^ b, c; donc 
sin A sin B sin G . ^ . . 1 

on a — T— == — :— r = — T — % ce gui est le principe du 

sm a sin b sm c * r r 

n® LXXV. 

Lxxviii. Les valeurs que nous venons de trouver 
pour cos C et sin C, peuvent servir à trouver les 
angles d'un triangle spliérique dont on connaît les 
trois côtés ; mais il existe d'autres formules plus com- 
modes pour le calcul logaritlimique. 

En effet , si dans la formule R* «^ R co^ G r^ 



fttBB&IQVB« 399 

a sin^^Cj on substitue la valeur de ooi G, on aura 

a sitt*^ G tos G cos a cos b^sin a sin 6-*-R<ror c 

R' *"" R «n a sinb 

Le numérateur de cette expression se réduit à 
R. C05 (a — i) — R tos c; or, d'après la formule 
R coj ^ — R cosp:=z^sin{ (p+q) sin^ {p — 9)*, ou 
trouve R COI (a — i) — Rco5C=;a ^11^ (c — b + a) 
sirij (c — a+b)i donc 



*xzTin. 



««» C 



sin asm b 



ii^C=:R»/V'' 



ou sini Li=R K ' 

f sin a sin b 

Il est évident qu'on aurait des formules semblables 
pour exprimer sin^A. et sin^^^ par le moyen des 
trois côtés a, b, c. 

Z.XXIX. Le problème général de la trigonométrie 
sphérique consiste , comme nous Tavons déjà dît , 
à déterminer tix>is des six quantités A , B , C , 
a, b, c, par le moyen des trois autres. Il est né- 
cessaire, pour cet objet, d'avoir des équations entre 
quatre de ces quantités, prises de toutes les manières 
possibles ; or , six quantités combinées quatre à 

6.5 
quatre ou deux à deux, donnent — ^ ou i5 combi- 
naisons, ainsi il y aura quinze équations à former; 
mais si on ne considère que les combinaisons essen- 
tiellement différentes , ces quinze équations se rédui- 
sent à quatre. 

En effet, on a, i<> la oonibinaison abcAj qui 
comprend, par la permutation des lettres, abcAj 
a bcB^ abcC; 

20 La combinaison a&AB, d'où résultent *ab AB, 
bcBG, acACi 



400 TRIGONOIIBTEIB. 

3" La combinaison ab AG^ qui coinprend(les six 
nbAG^ abBG, acAB, acBC, icAB, bcAG; 

4^ Enfin, la combinaison aÂBC, qui comprend 
les trois aÂBG, bABG, cABC. 

II y a donc en tout quinze combinaisons, mais 
il n'y en ar que quatre essentiellement différentes. 

- , , . . R' cos a — R CQS b cos c, 

Lxxx. L équation cos A= r— 7 — . - 

* sin à sm c 

représente déjà la première combinaison abc A et 

celles qui en dépendent. 

Pour former l'équation qui répond à la combi- 
naison abAB^ il faut éliminer c des deux formules 
qui donnent les valeurs de cos A et cos B ; mais l'éli- 
mination a déjà été faite (lxxyii), et le résultat est 
sin A. sin B 



sin a 



sm è* 



La troisième combinaison se forme de la relation 
entre a, b, A^ G\ pour cela^ ayant les deux équa- 
tions 

cos A sin b sin c = R* cos a — R cos b cos c, 
cos G sin b sin a = R* cos c — • R cos b cos a, 

on en éliminera d'abord cos c, ce qui donnera R cos A 

sin c + cos G sin a cos i& = R cos a sin b : mettant 

1 11*1 1 • ^'/z A ^2^ C 

ensuite dans celle-ci la valeur sinc=z r— 7 — , on 

smiL 

aura pour la troisième combinaison 

cot A sin G + cos G cos b =r cot a sin b, (i) 

( I ) Poar retenir aisément cette formule et la retronver an besoîa 
▼oici ane règle de Mnémonique : 

1^. Avec nn cÀté a et Tangle oppQsé A, 
Avec nn autre coté b et Tangle adjacent C, 

formez Tcquation fictive cota cotA^z lotb cotQ, en observant de 
mettre les petites lettres avant les grandes. 

d® Multipliez de part et d*autre par sin b sin C , en supposant 
le rayon R i^ i , vous aorrz 



Enfin, pour avoir la relation entre A, B, G, a^ 
j'observe que dans Téquation précédente le terme 

. , n *^^^ -n *i^ B , 

cot a sm 6=R cos a. --: — = R cos a -r-^ : donc • 

en midtipHant cette équation par sin A^ on aura 
R cos A sin C=:^cosasinB — sin A cos C cos b. 

Si dans cette équation on permute enti*e elles les let- 
tres A et fi , ainsi que ae% b^ on aura 
R cos B sin C ==: R cos b sin A -^ sin B cos G cos a. 
Et de ces deux-ci on tire, en chassant cos b^ 

'R.''cosAsinG+T\.cosBsinCcosCz=cosasinBsin^ G. 
Donc enfin 

R' cosA + RàosB cos C 

cos a = . p . ^ . 

* • • < sm B stn C 

C'est la relation cherchée entre A, B^ G^ a, ou la 
quatrième des équations nécessaires pour la résolu- 
lion des triangles sphériques. 

^ Lxxxi. Cette dernière équation entre A, B^C, a, 
oifre une analogie frappante avec la première enlre 
a, fr^ c, A : et on peut rendre raison de celte ana- 
logie par la propriété des triangles polaires ou sup- 
plémentaires. En effets on sait que le triangle dont 
les angles sont, A^ B, G , et les côtés opposés a^b^ c, 
répond toujours à un triangle polaire , dont les côtés 
sont Oloo^ — A, aoo^ — B,aoo^ — G, et les angles 
opposés aoo®— -a, aoo° — i, aoo°— -c. Or le prin- 
cipe de l'article lxxvi étant appliqué à ce dernier 
triangle , il en résulte 



eota tinh cot AsinC ^Hcos ^ cos C. 
3* Dans le premier membre y sépares les petites lettres des grandes, 
en mettant à celles-ci le signe — tous aares Téquation Traie 

col a ii 5 -— cof A /i/i C =: coj ^ C05 C , 
UqnéDe étant homogène aart Uen, m^me sans sopposer K = t. 

a6 



4o% TRIOOlfOMBTEIB. ^ 

. „ . Il»ciw(aoo**-A>-Rcoj(îioo®-*B)co*(too^-i»C); 
cas (iïoo — «)= r-7 ô — pv » / z — n\ 

ce qui se réduit à 

R' coj A + R cos B cos C 

cos a = ^ . ^ « 

stn B sm C ' 

ainsi que nous Pavons trouve par une autre voie. 

Cette formule résout immédiatement le cas où 
Ton veut déterminer un côté par le moyen de trois 
angles ; mais , poiu* avoir une formule plus com* 
mode pour le calcul logarithmique, on substituera 

cos CL 

la valeur de cos a dans l'équation i — — rp- =^ 

zsin*ia . , stn*\a 

— ^i-, ce qui donnera— HT— = ••.»•• 

mB«/iC-cojBcojC-RcojA — Rco^(B-f-C) -^^co#A 

A ji/i B^m c 21 stnBsifi G 

Et parce qu'on a en général^ Rcoj/? +Rco3^^=: 

2 cos^ {p + ç) cos ^ {p — ^ ) , cette équation se 

réduit à 

sin* {a — cosi {A + n + C) cos i {B -f~ C — Yi 

R' «Vi B .«/i C 

oîi il faut observer que le second membre, quoi- 
que sous une forme négative, est néanmoins tou- 
jours positif. Car on a en général sin (x — ioo<*) = 

= — cos X donc 



sin X cos 100"-— cos t. sin îoo* 



R 



-cosk (A-^B+.C)=5m(^^±l^tJE_,oo*) 

quantité qui est toujours positive, parce que A + B 
■+• C étant toujours compris entre 200° et 600®, Tan- 
gle^(A + B + C) — ioo« est compris entre xéro et 
!ioo<» ; d'ailleurs cm |^ (B -f- C — A) est toujours po- 
îtif, parce que B-f-G — A ne peut pas surpasser 
200° ; en effet dans le triangle polaire le côté 200® 
**- A est plus petit que U ftomme de» deia «utrw 



iFBJBRIQim. 4^3 

aoo** — B, aoo® — C; donc on a aoo*>— A < 4oo^ — B 
— C, ou B + C — A<20oo. 

Etant ainsi assuré que le résultat sera toujours 
positif) on aura, pour déterminer un ci)té par lo 
moyen des angles, la formule 

/ A+B+C B+C— A 

51/î î a =; R y/ < a a 

( /f/i B sin C 

i.xxxn. Avant daller plus loin, nous remarquerons 
que de ces formules générales , on peut déduire celles 
qui concernent les triangles sphérîques rectangles, 
Pout cet cflet , on fera A= ioo<* , tant dans les quatre 
formules principales que dans celles qui en dérivent 
par la permutation des lettres. Et d'abord Téquation 
cùs A sin b sin c = R* cos a — R cos b cos c, donnera 
par cette substitution 

B.C0S a=cos b cosc. (x) 

Les dérivées de l'équation générale ne contiennent 
point A, et ainsi ne donnent aucune relation nou* 
velle dans le cas de A= loo». 

L'écruation -^ — := — r, donne dans le cas de 

^ sin a sin b' 

A=iooo, 

R sin'B , . 

= -^—7. (a) 

stn a sin b \ / 

Et la dérivée -: — = , donnerait é^lement 

sin a sin c o 

•=^ — — ; mais celle-ci est elle*meme une dérivée 



sin a sin c 

de l'équation (a). 

L'équation cot A sin C + cos C cos b = cot asinb ^ 

donne dans le cas de A^=: 100^, cos C coà b=:coâ a 

sin by où 

cos C tang a = R tang J. (3) 

La dérivée cot C .w/x A + coi A cos b'mcotc sin by 

donnç dan3 le même cas, R cpcCzszcot c sin b, on 

Ti lanff czizsin b tang G. (4) 

26, 



4o4 TRIGONOMBTAIB 

Enfin la quatrième équation principale sin B sin G 
cos a = R*co5 A+ B- cos B cos G, et sa démëe sin A 
^ÂwGco^&sR'coiB+RcosAcosGy donnent dans 
le cas de A= loo^, sin B sin G cos a:=z ficos B cas G 
et sin G cos £=R cos B, ou 

co^ B cot G = R cos a, (5) 

sin G cos J = R cos B. (6) 

Ge sont les six équations sur lesquelles la résolution 
des triangles rectangles est fondée. 

Lxxxiii. Nous terminerons ces principes par la 
démonstration des Analogies de Néper, qui servent 
à simplifier plusieurs cas de la résolution des triangles 
sphériques. 

Par la combinaison des valeurs de cos A et cos G 
exprimées en a, b, c, nous avons déjà obtenu 
*Lxx. l'équation* 

R cos A sm c = R cos a sin b — cos G sin a cos ft. 
Gelle-ci donne par une simple permutation : 

Rcos B5wc=Rcos (sma— -cosG sinb cos a. 

Donc en ajoutant ces deux équations, et réduisant, 
on aura 

sin c (cos A-f- cos B) =: (R — cos G) sin (a + &)• 



«. . . sin c sin a sin b 

Mais pmsque -:— ?; = -t-- r = -^~iîi on a 
*■ ^ sm C sm A sm B ' 

sine (^sin K + sin'Q)z=.sin G {sin a-\- sinb) 
et sine {sin A— smB)=sm G (sin a — sinb). 

Divisant successivement ces deux équations par la 
précédente, on aura 

sin A.+sin B sin G sin a + sinb 

cas A -|- cos B B. — cos C sin {a+b) 
sin K-^sin B sin G sin a^-^sin 

co^A+cofB R — cosC* sin^a-^-b) 

Et en réduisant celles - ci par les formules des arti« 
clés XXIX et xxx , il viepdra 



sPHBaïQUB* 4o5 

Donc étant donnés les deux cAtés a et b avec l'angle 
'compris C, on trouvera les deux autres angles A et B 
par les analogies, 

cos^ (a + *) :cos^ (a — b):: co^^C : tang^ (A + B) 
smj{a+b):sin^(a — b) :: cot^C:tangi(A — B), 

Si on applique ces mêmes analogies au triangle po- 
laire du triangle ABC, il faudra mettre aoo<> — A, 
200® — B, aoo** — aj 20o9 — b, 200® — c, à la place 
de a, b, AyBj C^ respectivement, et on aura pour 
résultat ces deux analogies 

C0J7 (A + B) icosi (A — B) :: tang^citang^ {a + b) 
«/iv(A+B):jmj(A — B) :: tang^c:cang{{a — i), 

au moyen desquelles, étant donnés un côté c et les 
deux angles adjacents A et B^ on pourra trouver les 
deux autres câtés à et b. Ces quatre proportions sont 
connues sous le nom à^ Analogies de Népen 

Résolution des triangles sphériques en 

général. 

La résolution des triangles sphériques comprend 
six cas généraux, que nous allons développer suc* 
cessivement* 

PRBMIBR GA.S. 

Lxxxiy . Etant donnés les trois côtés a , b , c , 
on troussera un angle quelconque y par exemple ^ 
r angle A opposé au côté a , par la formule : 



&»iA=Ilv^ 



sm 



sm sin 



sin b sin c 



406 TBIGONOMBTAIJB 

é 

OSUXIÈMB G4.S. 

Lxxxv. Étant donnés deux côtés a e^ b ax^ec 
r angle A opposé à Vun de ces côtés, trouver le 
troisième côté c et les deux autres angles B et C» 

i^ L'angle B se trouvera par réquation sitiHz:^ 

sîn A sin b 
sin a 

a® Pour avoir l'angle C , il faut résoudre l'équation 
cot A sin C + cos C cos b::^cot a sin t. 
Soit pris pour cet effet un angle auxiliaire 9 de ma* 

niere qu on ait tang ? = —^ — , ou cot A == 

é*os b cof O 

. ^ ; cette valeur de cot A étant substituée dans 

sin Ç ' 

co^ b 

l'équation à résoudre, donne --: — 5 {cos ? sin G + 
5//» 9 <?(7f G } ;= cûf a ^^ 6^ d'où Ton tire 

sm (C + 9) = — ^. 

Par cet artifice, on voit que les deux termes inconnus 
dans réquation proposée se. réduisent à un seul, d'où 
il est facile de tirer l'angle C. 

3» Le côté c se trouvera par l'équation 

sin a sin G 
SinC==. :: — 7 • 

sin A. 

On peut aussi le déterminer directement par la ré« 
solution de l'équation ; 

R cos b cos c H- cos A sin b sin p == E* cos a. 

n «. • . . , R coj ô «fi 9 

Pour cet effet, soit co5 A 5i/i 6ss ■ ■» ■ ■ ^ ■■, ou 

' cas 9 

cos II iang b 
tang 9 = g — 2—^ on aura 

— rr (cos c cos <f + sin c sin 9) = R o&s «. Donc, en 
cos<f ^ ^ ^^ ' 

cherchant d'abord l'auxiliaire 9 par l'équation tang 9 



•tKBftlQVB* 4<>7 

cas A tangb i a ^ i«^ 

:=: ^ , on aura le coté e par léquation 

C05 (C — 9)= r— ^. 

^ ' cot b 

Ce second caa peut aroir deux solutioiu , ainsi qu« 

le cas analogue des triangles rectiiignes. 

TAOISIKMB CAS. 

LxxxYi. Étant donnés deux côtés z eth avec 
r angle compris C, trouver les deux autres angles 
A et B et le troisième côté c. 

i« Les angles A et B se trouvent par ces deux 
équations 

A col a fin b — cm C cos b 

sin C 

n cot b sin a '— - cos G cos a 
CùlB = :-— . 

dans lesquelles les seconds membres pourraient être 
réduits à un seul terme, au moyen d'un auxiliaire; 
mais il est plus simple, dans ce cas, de se senrir des 
analogies de Néper, qui donnent 

A— B ,^ sînUa—b) 

^ a ■ gfni(^a + b) 

iang—^z=^cot^L. ^^^^^^y 

a^ Connaissant les angles A et B, on pourra cal» 
culer le troisième côté c par Téquation sin c:=z 

sin a» — Tf mais pour déterminer c directement i on 

a l'équation 

R* cos czzzsin a sin b cas G+ H cos a cos b. 

Soit prif Teuxiliaire 9^ de manière qu'on ait $in b 
coiCszzc^p iang^^ ou long y= ^ , on 

aura 

cos b , ^ 

COS o=z 'COS (a— «pj. 



4o9 TEIGOVOMSTaiB 

Q.XrATRIBMB CAS. 

Lxxxvii. Étant donnés deux s angles A e^ B 
avec le côté adjacent c , trouver les deux autres 
côtés a e^ b, et le troisième angle C. 

i^ Les deux côtés a et b sont donnés par les for- 
mules 

cot A sin B + cos B cos c 



cota = 



cot i = 



sm c 

cot B sin A + cos A coj c 
sin c ' 



mais on peut les calculer plus facilement par les 
analogies de Népçr, savoir : 

. À-t-B . A — B , fl — ft 
sm :sm iitang\citang 



cos 



B 



ICOS 



A — B 



y.umgjcztang 



2 

a-\-b 



2^ Connaissant a et ^^ on trouvera G par Té^a- 

• • ^ sin c sin A . • . 

tion sut G = ■: mais on peut aussi trouver 

sm a * 

G directement par l'équation 

R' COS C = COS c sin A sin B — ► R cos A cos B» 

Soit pris Fauxiliaire ?, de manière qu'on ait 

• w « -V -V cosctanffB 
cos c sm B^=cosB coù<f^ on cot fz=, ^ ^ , 

oji aura 

co^ C = co* B . — ^. ^' > 

Ce cas et le précédent ne laissent aucune indéter* 
mination. 

CIIVQITIEIIE CAS. 

. Lxxxviii. Étant donnés deux angles k et H 

avec le côté a opposé à l'un de ces angles 9 trou-- 
ver les deux autres côtés h^ c^ et le troisième 
angle G. 



i^ Le cAtë b se trouyera par Féquation sm 6 = 
j fil B 
sm A. • 

a^ Le côte c dépend de l'ëquation 

cot a sin c — cos B cos c=:cot A sin B. 

c •* ^ i>^^' ? ^ /h cosB tans a 

Soit co^ a =cos B . * ou fa/zg^ Ç = =r — 2- 

stn<f ^ ^ R , on 

cos B , . ^ . *v \ M A . « 

aura . ^ (suie cos 9 — <?^^ c 5w Ç ) z=co^ A 5m B ; 

donc 

3o L'angle G 5e trouvera par la résolution de 
Féquation 

cos a sin 'B sin G — R cos B coj G = R* cos A. 

Soit pour cet effet cos a sm B = :— - — - , ou 

-^ w/i 9 ' 

cw a tang B coj B , . ^ ^ 

tôt 9 = -— ^ — , on aura -r-rr {sut G co5 9 — 

R ««9 

cos G jm 9 ) = R cos A ; donc 

• ,^ ^v COI A ««9 

5m (G — 9) = ^. 

^ * ' cos B 

Ce cinquième cas est, comme le second, susceptible 
de deux solutions, ainsi que cela a lieu dans le cas 
analogue des triangles rectilignes. 

SIXIEME CAS. 

Lxxxix. Etant donnés les trois angles k^ B, 
C, on trouvera itn côté quelconque ^ par exem- 
pky le côté opposé à V angle A , par la formule 

\ sma sm C / 

On peut remarquer que de ces six cas généraux 
les trois derniers pourraient se déduire des trois pre- 
I miers, par la propriété des triangles polaires : de 
' sorte qu'à proprement parler , il n'y a que trois cas 



4lO TEIOONOHiTRIB 

différefits dans la résolution générale des triangles 
sphériques. Le premier cas se résout par ime seule 
analogie, comme les triangles rectangles; le troisième 
se résout d'une manière presque aussi simple, au 
moyen des analogies de Néper. Quant au second, 
il exige deux analogies ; et d'ailleurs, il admet quel- ' 
quefois deux solutions, tandis que le premier et le 
troisième n'en admettent jamais qu'une. 

XG. Pour distinguer dans le second cas si, pour des 
valeurs particulières données de A^ a^ b, il y a deux 
fig. i6. triangles qui satisfont à la question ou seulement un; 
supposons d'abord l'angle A<ioo<>, et soient pro- 
longés les deux côtés AG, AB jusqu'à ce qu'ils se 
rencontrent de nouveau en A'. Si on prend Tare AC 
< 100^ et qu'on abaisse CD perpendiculaire sur AB, 
lés côtés AD, CD du triangle rectangle AGD, seront 
tous deux plus petits que loo^, la ligne CD sera la 
distance la plus courte du point C à l'arc AB, et en 
prenant DB '=: DB , les obliques CB ', CB seront égales 
et d'autant plus longues qu'elles s'écarteront plus de , 
la perpendiculaire. Soit AC = ^^ CB=za, on voit 
donc qu'un triangle dans lequel on a A< ïoo<>, b< 
loo^^ et a<b,a, nécessairement deux solutions AGE, 
AC6'; mais si, en supposant toujours A «t A plus 
petits que loo^, on a a > &^ alors le point B' passerait 
au-delà du point A, et il n'y aurait quWe solution 
représentée par ABC. 

Soit ensuite AC' > loo®, si on absiisse la perpendi- 
culaireG'D'surABA',onaurademômeG'D'<A'C', 
et l'arc G'B'" mené entre D' et A', sera >C'D' cl 
> C'A'; donc si on fait AG' = *, G'B" x= C'B'"=fl, 
on voit que la supposition A< ioo*> et b> loo^ don- 
nera deux solutions si a + b< aoo^, et n'en donnera 
qu'une si a+b> 200^^ parce qu'alors le point B" 
passerait au-delà de A'. Discutant de la même manière 
le cas où l'angle A est> xoo^, on pourra établir sim 



les ffjMipftIue» qui détamineat si, dans k <m ii, U 
qn^on ftdmel deux solutions ou n*eu adm^c qu^une* 

or ôi*>* une solution. 

A<ioo,6<ioo 1^^^ deux solutions. 

A Ê. A ( <H-^ > *oo** une solution. 

loo ,6> loo' I fl_|.^< aoo** deux solutions. 

A ( û+-^ > *®^** deux solutions. 
A>OOo'',ô< loo*» I ^^< aoo* unesolution. 

o ( ^ > ^ deux solutions. 

A > I oo , ô > 1 00 I ^ ^ ^ une seule solution. 

« 

' il u*j «on qo'aaa aolatioa «î on • ▲:= loo^, toit 0^èf 
loit a+ ^s^aoo^ Il y en tan deas: si. on a ^:= xoo^. 

xcx. Cos mêmes résultats peuvent s'appliquer au 
cas cinquième par la voie du triangle polaire y et on 
en tirera les symptômes suivants , qui feront connattre 
si pour des valeurs données de  , B , a , il y a deux 
triangles qui satisfont à la question , ou s'il n'y en a 

^'un. 

on ûi-A.<B unesolution. 

«>ioo ,B^ioo J^^B deux solutions. 

e •» a S A-f-B ^ îàoo* une solution. 

« > 1 oo , B < loo I ^^B ^ aooMcux solutions. 

m^ ,*.«» u. ,^o ( A+B<2ooMeuxsolutions. 

• <jOo,B>ioo j^4.B>200« unesolution. 

• < Ioo^B< ioo« \^<l ^^"^ solutions- 

(A>B unesolution. 

n n'y aura qu'une lolutiou ti Tune des épiMtéê luiTantet a lieu azzioo? 
i^» A4-B=Laoo*. Il y en aura deux ti B=too*. 

xcii. Dans tous les cas , pour écarter les solution^ 
inutiles ou fausses, il faut se rappeler, !<> que tou^ 
angle ou tout côte doit être plus petit que aoo^ ; 

a^ Que les plus grands angles sont opposés aux 
plus grands côtés , en sorte que si on a A > B , il faut 
qu'on ait aussi a>b, et vice versa. 

Exemples de la résolution des triangles 

sphériques. 
XGiii. Exemple I. Soient O, M, N trois points ^S* <^« 
situés dans un plan incliné à l'horizon; si de ces 



4ia TRIGOKOMBTRIB 

trois points on abaisse les perpendiculaires OD , M m, 
N 7i, sur le plan horizontal DEF, les objets situés en 
O , M , N devront être représentés sur le plan hori- 
zontal par leurs projections D^m^ n, et Fangle MON 
par mH n. Cela posé , étant donné Tangle MON , et 
les inclinaisons de ses deux côtés OM , ON sur la 
verticale OD , il s'agit de trouver l'angle de projec- 
tion m D n. 

Du point O comme centre et d'un rayon = i , 
décrivez une surface sphérique qui rencontre en 
A , B, G, les côtés OM, ON et la verticale OD^ vous 
aurez un triangle sphérique ABC , dont les trois côtés 
sont connus ; on pourra donc déterminer l'angle G 
égal k jnD n par la formule du premier cas. 

Soit par exemple, l'angle MON= AB=64« 44' 60"; 
l'angle DOM=AC= 98^ 12', et l'angle DON=^C= 
io5° 4^% on aura par la formule citée 

sin 28** 57' 3o" sin 35^ 87' 3o" 

«V-C=:R** ' • 

• sin 98^ la' sin io5^ 4^' 

Valeur que Von calculera ainsi : 

L. sin 28** 57' 3o^. .9.6373956 L.singS"^ 12'... 9.9998 106 

L. sin 35® 87' 3o".. .9.7276562 L.W/zio5®42'... 9.9984242 

somme + 2 LE.. 39.365o5i8 19-9982348 

19.9982348 

^"L.sin^C 19.3668170 

T • x/^ ^ftQ/ «K i ^C = 32**4'7o".5 

I'-«'*^C 9.6834085 pc=64 94i 

Donc l'angle 64** 44' 60 '% mesuré dans un plan in- 
cliné à l'horizon, se réduit à 64° 9' 4^ 'S lorsqu'il est 
projeté sur lé plan de l'horizon. 

Ce problème est utile dans l'art de lever les plans, 
lorsque les points qu'on veut déterminer sont situés 
à des hauteuris sensiblement différentes au-dessus d'un 
même plan horizontal. 



8PHB&IQOB. 4l3 

xciv. Exemple II. Connaissant les latitudes de deux 
points du globe, et leur dilFérence en longitude , 
trouTer leur plus coxirte distance. 

On imaginera un triangle sphérique ACB formé 
par le pôle boréal G, et les deux lieux  et B dont il 
s'agit; dans ce triangle on connaîtra langle au pôle 
ACB y qui est la différence en longitude des deux 
points A et B, et les deux côtés compris AC, CB, 
qui sont les compléments des latitudes des points A 
et B. On déterminera donc le troisième côté AB par 
les formules du cas m. 

Soient , par exemple , A et B les observatoires de 
Paris et de Pékin ; la. latitude boréale de Tun de ces 
lieux est de 54^ 26' 36", celle de l'autre est de 44^ 
33' "jV ^ et leur différence en longitude est de 126^ 
80' 56". Ainsi ou aura 

a= 45«73'64'' 

&= 55 66 27 

C=ia6 80 56. 

D'après ces données on aura pour déterminer c, 

1 i. 1 ^ cos C tang b 

les formules tang Ç = — ^— , cos c = 

cos b cos (a-F^(ù) , ... -, - 

^^ ^, dont voici le calcul 

cos ç 

'L.cosC. • • • 9.61143S2 

là^tangb. . . . 10.0776707 

'L.tang^. . • • 9.689x059 
Uangle f que donnent les tables par le moyen de ce 
logarithme - tangente est a8^ 94' ^3". Mais il faut 
observer que cos G est négatif, et qu'ainsi tanff ^ 
étant négatif, on doit prendre 9 = — 28*^ 94' a3% ce 
qui donnera a — 9 = 74^67' 87". Cela posé, en ob- 
servant c[ue cos ( — ^)z=zcos ^^ on achèvera ainsi le 
calcul 



4t4 THIOON OKiVRlE 

L. co* («— Ç) . • 9.5880938 
L. cos b 9.8071953 

19.3952891 
L. cos 9 9.9534823 

L. cos c. . . * . . 9.4418068 

Donc la distance cherchée c = 8a^ z6' oS". Cette 
même distance peut s'exprimer en myriamètres par 
Sa 1 .605 ; car un niyriamèti*e est la longueur d'un 
arc de dix meutes, et un mètre est celle d'iui arc 
d'im dixième de seconde. 

xcy. Exemple III. Pour donner un exemple du 
ras cinquième , proposons-nous de résoudre le trian- 
gle sphérique dans lequel on connaît les deux anglei 
A = 78° 5o' , B= 54° o' , et le côté opposé à l'un 
d'eux a:ii=99^ ao' 17". Au moyen de ces donnât 
on trouve d'après le tableau de l'art, xci , qu'il na 
doit y avoir qu'une solution, parce;qu'on a touti 
la fois a < 100°, B < 100° et A > B. Voici le calcul de 
cette solution. 

i^ Le coté b se trouvera par la formule sin b:^ 
sin B 

$ITI a -r— r* 

sin h. 

L* sin a. *•••., •• 9*9999^59 

L. j/ti B 9.8751256 

10 — L. ^2/1 A o.o25a525 

la, sin h 9.9003440 

Ce qui donne i=58** 5o' 14" ou son supplément 
i4i° 49! 86" ; mais puisque l'angle B est < A, il faut 
que le côté b soit < a^ ainsi la première valeur est la 
seule qui puisse avoir lieu» 

a<> Pour avoir le côté c on doit faire tùng f =i 
cos B tang a . , _ . iahff B sin <ù 

tang B cot A sin 9 



"W»» 



$PHBRIQ1I8. 4xS 

L- sin ? 9*9999^^^ 

L. co^B. ^ - . 9.8204063 L. roii^B — LR 0.0S47193 
L. tang a^'LR 1.9016731 "L, cot A 9.5^55236 

L. tang^ .... 11.7220794 L. «« (c— ?). . 9.6001649 
? = 98'*79' a8".8 c — 9 = 26** 7' 70". 5. 

Ici on a encore le choix de prendre pour c — 9 ki 

▼alpur a6° 7' 70". 5 , ou son supplément 173*^ 92' 29" . 5 j 

mais en prenant cette seconde valeur , on aurait 

c > 200^, ainsi il faut s en tenir à la première, qui 

donne r:= 124^ 8i' gg^. 3. ^ 

3^ Enfin , pour calculer directement langle G y 

I 1 r 1 ^1 cos a tans B 
nous prendrons les formules cot y = ' ■ , 

» , ^ IV cos A. sin (L 
^ ^^ cos B 

'L'9in^ 9-9999565 

L. cos a. • • • • • 8.0982928 L* cos A 9.62027 ix 

L. /a/^ B -— * L R 0.0S47193 L. R — Lco^B. 0.1796937 

II* cot ^ 8.i53oi2i L. sin (C — <j;) 9.6998211 

4, =99*» 9' 45" .5 C — 4, = 33^ 40' 54". 5 

* • &9 9 4^ '5 
C=i32 5o o «G 
On n'a pas pu prendre pour C — ^ le supplément 
de 33^ 4o' ^4"* 5, parce qu'il aurait donné pour G 
une valeur plus grande que 200*^. Ainsi on voit qu'en 
effet le problême proposé n'est susceptible que d'une 
solution. 

Nota, Si on fait usage de Pancîcnne division dtt cercle 
pour le ^calcul de ces exemples, les angles donnés ou cal- 
cules seront exprimés comme il suit : 

Exemple 1, Angles donnés. MON = 58® o' 5'*. * . . i 
DOM=88°i8'28",8, DON = 94'' 82' 4o",8. Angle cal- 
culé C = 67^' 4 1' 4", 9. 

Ex, IL Angles et côtes ||4i donnés. •a**9'46* , . . * 
bsuM" 5' 47", C=ï 14"* 7' 3o", Côtéconclu. c=73**46'4o'. 

i?x. III. Angles et côtés donnés. A=70°39', B=48'36', 
«=.89' 16' 53",5. Angles et côtés calculés. />rr 52 39'4"5, 
i?s 121^20' 16", 6, C=^ U9' i5' 0". 



4t6 TRIGONOMliTKIB. 



APPENDICE 

Contenant la résolution de dwers cas particuUe) 

de la Trigonométrie. 

xcYi. X^À résolution des triangles , telle qu*on vient 
)*exposer , ne laisse rien à désirer du c6té de la généralit 
Il est néanmoins quelques circonstances où l'on peut , ay« 
avantage , substituer des solutions particulières aux soin 
tions générales , soit pour abréger les calculs , soit pour 
rendre les résultats plus exacts et plus indépendants d 
l'erreur des tables. Nous allons résoudre quelques-uns d 
ces cas particuliers , en choisissant ceux qui sont de Tusag 
le plus fréquent , ou qui conduisent aux formides les pli^ 
remarquables. 

Nous continuerons de désigner par A , B , C , les 
du triangle proposé , rectiîigne ou spbérique , et par 
les côtés qui leur sont respectivement opposés. Nous sup 
poserons de plus le» rayon des tables = i , ce qui n'altè 
])as la généralité des résultats. Les angles A, B, C, son 
exprimés dans le calcul , soit par les degrés ^ soit par le 
longueurs absolues des arcs qui les mesurent , ces arcs étan 
pris dans le cercle dont le rayon est i . Si un angle ou 
arc or est très-petit, on pourra mettre, au lieu de sin x e 




x^ 



cos j?, leurs valeurs en séries ; savoir : sin x=jc -r + t\R. 



a;» 



cosx-rz^x + etc. ; mais alors x doit être exprimé en 

parties du rayon. Un arc étant trouvé en parties du rayon, 
pour avoir sa valeur en minutes , il faut le multiplier 
par le nombre de minutes compiises dans le rayon; ce 

nombre est — = 6366.1977237 , et son loj^aritluiM 
= 3.80388012297, 



VRIGOHOIIBTRIB. 4^7 

$ I. Des triangles rectiUgnes dont deux angles sont 

trés-petîts. 

xcYii. Supposons que les angles A et B soient très-petits 

et ])ar suite C très-obtus , on pourra faire sîn A=A— j-A' 

sin B=B-iB% et «/i C = x«/i(A+B)=: A+B~f (A+B)*] 

Si donc on connait le côté c avec les angles adjacents A et 

B , on trouvera les deux autres côtés par les formules // = 

csinA , csinB 

> *= "^"Tl — ivC » l«»<pie"C»f «n substituant les 



sin{X-hBy «/i(A-hB) 

valeurs précédentes et réduisant , deviennent 

cA / îiAB + B*\ 

'' = A+bC'+ 6 ) 

et de là résulte a+b — <;=•; c AB* Ces valeurs sont exactes^ 
aux termes près qui contiennent quatre dimensions en A 
etB. 

xcvni. Supposons en second lieu qu'on donne les deux 
côtés aetbj avec Tangle compris €=17—0,0 étant très- 
petit. On aura d*abord c*=a*+6*+aa6 cos =«'+**+2rt/> 

(x_^0')= (« + *)"—«* 6*; donc 

a 
Ensuite l!angle A se trouvera par l'équation sinA.^=:-smC^ 

c 

-sin 0» d'où l'on tire , en substituant la valeur de c et celle 
c 

V-*- {a+by 'TJ' 

aft ah(a — V) 6' 

DoncA=:*i>iA+i«/i*A= ; + - ,s/ *7r' De là 

a^b («+&)* 6 

on déduirait la valeur de B en permutant entre elles les 
lettres a et b; mais A étant connu , on a immédiatement 
B^O"' •^*Si est donné en minutes , pour avoir A exprime 

a; 



4l8 TRIGONOMBTRIB. 

aussi en minutes , il faudra , dans les formules précédentes , 
substituer, au lieu de A et Q, les rapports—»— , R étant le 
nombre de minutes comprises dans le rayon. On aura ainsi 

aô r b{a-^b) /eyi 

^~^Hh3L' "*"6(iH-6)* VRy J 
xcix. Pour donner un exemple de ces formules , soit a = 
looo*^, 0=2400'", C=i99°3a'ouô=68' onauraiH-^^^= 

ijooooo /"l^y^^.oj^g^g^ d'où 0=3399'", 962194. En- 
3400 \'^y 

suite on a par une première approximation A =—— =ao', et 

B = 6 — A = 48'; mais la formule entière donne A= 20 ' 

[a4ooXi4oo/68\2l ,00^ 

B=:48'. 0001 io54 ) valeurs qui doivent être exactes jusque 
dans la dernière décimale. 

§.11. Résolution du troisième cas des triants reetiUgnes 

par la voie des séries, 

c. Etant donnés les deux côtés a et ^ et l*angle compris C, 
pour trouver Fangle B, on a la proportion b\a w sin B : 
sin (B + C), laquelle donne a sin 'Rzrzb {sin'R cos C -|- 

T> . ^x . '^''*B bsinC _. , 

cos B sin C), et par conséquent -■ = 7 ;;. Si dans 

cos B a — o cos C 

celte équation on met à la place des sinus et cosinus leurs 

*Axxv. valeurs en exponentielles imaginaires * , on aura 

■ ■■ ' ~ ' ' ^ — »»» I II » I II ^^— • 

d'où l'on tire 



a — be 



Piennni les logarithmes de chaque membre et développant 



TBIGOlfOMBTBlB. J^ly 

le second en série d*après la formule connue L (a — 0:);= 



X X* X* 



Ua : — r — r — etc., on aura 

a a a* 3 «' 

Donc en divisant par a y/ — i , et observant que e^^^' * _ 
e~~'*^^'^' = av/— 1 «Vi/w C, on aura 

a an* 3 a' 4 a* 

C'est la valeur de Tangle B , exprimée en parties du rayon, 
par une suite dont la loi est très-simple , et qui sera d'au- 
tant plus convergente que b sera plus petit par rapport à a 
La valeur qu'on vient de trouver doit satisfaire aussi à 

a + é 

réquation to/i^(B+?C)= ^iang^CyOrn est la m^e 

a — o 

a~6 
que tang^ ( A -— B ) = cor 7 C , et qui ne diffère que par 

, . , ,,. . sinB bsinC 

la forme, de 1 équation — =r 



cox B a^-^bcosC 

Cl. L'angle B étant connu, on aura le troisième angle 
A=aoo** — B — C. Quant au troisième côté c , il dépend de 
l'équation c*::=:a' — nab cos C4-^% laquelle donne par l'ex- 
traction de la racine, 

b* b* 

c=za — bcotC-A sin* CH -sin'CcosC — etc. 

%a aa 

Mais cette série n'a pas une marche régulière, et ne peut pas 
être continuée à volonté. Au contraire, on peut trouver une 
série fort simple pour la valeur du logarithme hyperbolique 
de c. En effet, il est facile de voir que la quantité a* 2ab 

cojC+^»"=:(a— *e^^-"0 (a— ber-^^^-^y^ car le produit 
développé de ces deux facteurs donne 

a*— ab {e^^-^^+e-^^-^)-{^b* , ou a^—^abcosC^b\ 
On adoncc' = (a— ôe^^—O (a—be—^^—^); 
prenant les logarithmes de chaque membre , il viendra 

2.7- 



4a^0 f HIOOltOHlSTRIB. 

Donc en réduisant de nouveau à Taidc de la formule, 
4-e =z a cos m C, on aura 

b ** ^' 

Lc=La— cof C COS2C — -r — 'COsôC — etc. 

aa* 3a 

série non moins élégante que celle qui donne la valeur de 
B: il faudra multiplier les termes algébriques par le module 
0.4342944^ 9 si on veut que les logarithmes soient ceux des 
tables ordinaires. 

$• III. Résolution du troisième cas des triangles sphcnques 

par la voie des séries^ 

cii. On a fait voir dans le paragraphe précédent que là 
valeur de x tirée de Téquation tang xzz: tang^ C , 

peut s'exprimer par cette série 

n , ^ n* ^ '** • « ^ 

«=4 CH sinC-i sinikC + 'z — rfi3C+eto. 

m a /» o m* 

Or dans un triangle spliérique où Ton connaît les deux 
côtés a et 6 et Tangle compris G , on a par les analogies de 
Lxxxvi. Néper *. 

cet-— ^-^-^—— tangue 

sin^a cos^ b + cos^a sîn^ b , ^ 

t=z — * — ^tow-C 

sm^acosjb — cos^asin^b ' 

coi——- r= — j—- — r tang^ C 

a cos\^2^ — 7^J 

cos-^ aci*s^b '-^sin j^asm^b 

= , n r-; TT ^^Vi C 

cos-ucosjb+sin-asm^b 

Donc, en vertu de la formule précédente et supposant 
toujours ^><i, on aura 



TRIGONOMliTAtl. 4^t 

= ioo°— |C ^.i- sin C ^ * xiVt a C 

a tting^ a a /a/?^* 7 a 

— sm 3 C— etc. 

3 tang^ i a 

A+B ^ - tang^b tang* ^ b 

a cot~a a cof • -J a 

+ ^ ^ * sin 3 C — etc. 
3co^'ia 

Suites dont la loi est très-simple , et qui seront d'autant plus 
convergentes que b sera plus petit. La première est tou- 
jours convergente , puisqu'on suppose b<ia; la seconde le 
sera aussi , si on a tang \b< cot^ a , ou a + ^ < 200^. Elle 
serait divergente et fausse si on avait a+6>aoo^, mais ce 
cas peut toujours s'éviter ; car la résolution du triangle 
BCA dans lequel on aurait CA + CB>aoo^, se réduit tou- fig. it, 
jours à celle du triangle A'C B' dans lequel on a C A' + 
CB'<aoo®. Au reste, la seconde série est dans sa plus 
grande convergence , lorsque a et b sont tous deux très- 
pctits; alors le troisième côté c est très- petit aussi, puis- 
qu'on doit avoir c< a + ^9 et le triangle sphérique diffère 
très-peu d*un triangle plan ; dans ce cas Texcès de la somme 
des trois angles sur deux angles droits , s'exprime ainsi : 

A4-B+C-aoo**z=i tang^ a tang ^ b sin C- 1 tang* \ a tang^ \ b sin a C 

+T t^^g^ iatang* ^ bsin 3 C — etc. 

cm. Pour trouver le troisième c6té c du triangle proposé, 
on a réquation cos czzzcos a cos b -\- sin a sin b cos C , de 
laquelle il est aisé de déduire les deux suivantes : 

sin*\czzsin*^acos *\ b^2sin{a cos^b coslasin^ b cos C+cos^^^ sin^-^b 
cos* j€:=:cos*^acos*^b'HiCos{acos^bsin^asinibcosC-\'Sin*{a sin*^ 

Par la forme de ces valeurs on voit que sin j c peut être 
regardé comme le troisième côté d'un triangle rectiligne 
dans lequel on aurait les deux côtés connus sin 7 a cos 769 
cos 7 a sin 7 & et l'angle compris C ; de même cos 7 c est le 
troisième côté d*un triangle rectiligne , dont deux côtés 
seraient cos^ a cos ^b^sin^a sin 7 6 et l'angle compris aoo^ 
— C. Donc on a par la formule trouvée pour les triangles 
rectilignes • 



4aa 



TRIOONOMSTEIB* 



iog sin^û:=zlog{sin\acos{b)J^^^^cosC^ iflîËiLLcojaC — etc. 

tangua ^tang*^a 

logcosic=iog(^cas\acos\bW^!^cosC^^^^^^àLcos':LC+^^ 

cot^a %coC^a 

H est à remarquer ultérieurement que comme chacun des 
triangles rectilignes dont nous venons de parler peut se 
résoudre par le moyen d'un triangle rectiligne rectangle ^ 
On peut directement réduire la résolution du triangle sphé- 
rique proposé à celle d*un triangle rectiligne rectangle» 

On trouve par ce moyen que sin^c est Thypoténuse d'un 
triangle rectangle dont les côtés sont sin{ (a+^) sm^C et 
sin 4- (o — b) cos ^ C. De même cas ^ c est l'hypoténuse d'un 
triangle rectangle dont les côtés seraient cor v (<*— ^) cas ^ C 
et cos f (tt+6) sin ^ C. 

De plus , si on appelle M Tangle qui dans le premier trian- 
gle est opposé au côté sin \ {a — ^) cos^ C , et dans le second, 
N Tangle opposé au côté cos \ {a—b) cos \C^\\ résulte des 

analogies de Néper qu'on aura =M,et =:N ou 

n -a» A-|-B ^_ . , A A-f-B 
st aoo"— W ; savoir : = N si a + 6>< aoo" , et 

— aoo^ — N si « + Ô>200**. Donc dans tout triangle sphé- 
tique où l'on connaît deux côtés a et 6 et l'angle compris C, 
on peut trouver directement chacune des quantités -*- c, 

A + B A — B 

■>■ , , par la résolution d'un triangle rectiligne 

rectangle où l'on connaît les deux côtés de l'angle droit. 
Il résulte aussi de là qu'après avoir trouvé l'angle M ou 

A— B , ^ , „ sin^{a — b) , . 

paf la formule tangaizzz —, — --7 — cot ^ G , on 

a sm^ {a-^b) 

peut calculer le troisième côté par la formule sin t esc 

sin ^ (a — b) cos -J C sin 4 {«-h^) «« 4 C 

sin M cos M 

19, B. Les formales trouvées dans ce paragraphe a*appliqueroiit 
âîsëment k la résolation da cinquième cas des triangles sphériques, 
puisque celnî-cî peut se rapporter au troisième par la propriété da 
triangle polaire. 



VRIOONOMBTAIZ» 4^3 

J. lY. Résolution d'un triangle sphérique dont deux côtés 

sont peu différents de loo**. 

GIT. Soient atlb les deux côtés donnés peu différents 
de loo^, on propose de déterminer l'angle C par le moyen 
des trois côtés <z , 6 , c. 

Si les côtés a elb étaient exactement égaux à loo^, on 

aurait C=c; donc <i et 6 différant très-peu de loo^, Tangle 

C aura pour mesure un arc très-peu différent de c. Soit a = 

ioo®-f-a, 6 = ioo**-f-6, C=:c+j:; si on substitue ces va- 

_ _,- . ^ cos c — cosacosb 

leurs dans 1 équation cos C = : :; — ; 9 on aura 

sin a sm b 

, ^ cos c — sin oLsin Ç ^^ , . ^ . 

cos (c-f-x) zn . Mais puisque a et 6 sont 

^ ' cosùL cos g 

supposés très-petits , on peut en négligeant seulement les 

termes où a et g montent au quatrième degré, faire 

ot* € 
«Il a sin 6 â=: a6 « cos % cos 6 ï:= i -- — — , ce qui donnera 

cos c ' a. 6 

co*(c+Ar)r=: P-; — —'^=:{i + ifi.'+\V)cosc — aZ 

Or, en négligeant le quarrédeo?, on a cos (c+-a?) = co^ c — 
X sin c; donc 

jp x^ ■ ^ 1 'iii » 

sin c 

Et puisque ^r est du second ordre par rapport à a et g , on 
Toit qu'il n'y a de négligées dans cette valeur que les'quan« 
tîtés du quatrième ordre. Soit ^(jx+i) tn/i,- (a— 6) =: q^ 
ou a=/7+<7, ê=/>-'<7, on aura sous une forme plus simple 

fi^cosc\ fi-\-cosc\ 

x=p [ — : )-!7H ' A—p^tang^cq^cot^c. 

\ sine y \ sine y 

Cette valeur est exprimée en parties du rayon ; mais comme 
dans la pratique /? et q sont données en secondes, si l'on 
vent que x soit exprimé aussi en secondes , Ll faudra faire 

x = ^tang^ c— — cot^ c, 
R étant le nombre de secondes contenues dans le rayon j 



4^4 T^IGONOMÉTRIB. 

nombre dont le logarithme = 5 . 8o388oi. Connaissant j?, 
on aura Tangle cherché C =c+^. 

La formule que nous venons de trouver est utile dans les 
opérations géodésîques pour réduire à l'horizon les angles 
observés dans des plans inclinés; elle est plus expédilive et 
demande des ^tables moins étendues que la formule du cas 
premier des triangles sphériques , dont nous avons donné 
un exemple (n** 93). Cependant, si les élévations ou dé- 
pressions a et ê étaient de plus de a ou 3 degrés , il serait 
plus sûr de se servir de la méthode générale. 



§• V. Résolution des triangles sphériques dont les cotés sont 
tf^S'petits par rapport au rayon de la sphère. 

cv. Lorsque les côtes a^ 6 , c , sont très-petits par rap- 
port au rayon de la sphère , le triangle proposé est peu 
différent d*un triangle rectiligne ; et , en le considérant 
comme tel , on peut en avoir une première solution appro- 
chée , mais on néglige de cette manière Texcès de la somme 
des angles sur 200®. Pour avoir une solution plus appro- 
chée , il faut tenir compte de cet excès , et c'est ce qu'on 
peut faire très-aisément , au moyen d'un principe général 
que nous allons démontrer. 

Soil r le rayon de la sphère sur laquelle est situé le trian- 
gle proposé , si l'on imagine un triangle semblable tracé sur 
la sphère dont le rayon est i , les côtés de ce triangle seront 

a b c 

, cos - — cos - cos^ 

abc r r r , , 

- » - j -> et on aura cos A = . Mais puisque 

r r r b c 

sm -s in - 
/• r 

r est fort grand par rapport à a y b^ c, on aura d'une 

., , , . ^ ^ ^* 

manière très - approchée * cos -= i— 1 -r -. j 

^^ r ar* a.3.4r* 

b b* b^ c c* c* 

COS-^^l --Î » COS'-JIZl j-i , 

r %r* a.3.4r* r ar* a.3.4r* 

. * * b' . c c c» ^ ^ . 
sm - =— -— - , «m ^ = -— -. Substituant ces 



valeurs dans Të^piation précédente, et négligeant les termes 
de plus de quatre dimensions en a » 6 , c , on aura 





JL = 


b' 




a' 


a* 


_*♦— 


c* 


*• 


c* 


cas 


F 


a4r« 




4 





bc/^ b^ c*\ 



b*+c* 
Multipliant les deux termes de cette fraction par i »|> 

et réduisant , on aura 

cor A=: r 1 . 

^bc %ibcr* 

Soit maintenant A' Tangle opposé au côté tf , dans le trian- 
gle rectiligne dont les côtés seraient égaux en longueur aux 

b*+c*—a^ 

trcs a^ byc; on aura cos A^= et 4 b*c*sin*Â/ 

2 oc 

= aa* 6' + aa* c* -h a^* c* — «^ — 6*-=- c*. Donc 

cor A=: cof A' — rn sin^ A'. 

or* 

Soit A = A'4- X , on aura en rejetant le quarré de jt^ 

bc 
cos A= cos A'— X sin A', d'où Ton voit que ar=— w/î A'; 

• b c 
et puisque x est du second ordre par rapport à - et ~ , il 

s'ensuit que ce résultat est exact aux quantités près du 
^atrième ordre. On aura donc 

bc 
K = lL'+-T-'SÎnàJ. 

Mais 7 bc sin A' est Taire du triangle rectiligne dont a^b^c 
sont les trois côtés , laquelle ne diffère pas sensiblement de 
celle du triangle sphérique proposé. Donc, si l'une ou l'autre 

tL CL 

aire est appelée a • on aura As:^ A'H- r— ; , ou A'=A— r— . 

3 /■• 3r* 

On aurait semblablement B'=:B-x^ , C = C — ^^^ et 

il en résulte A'-hB'+C ou aoo® = A+B-hC— 4» On 

r 



4^$ TRIGOROXBTAIB. 

peut donc considérer — comme étant Texcès de la somme 

r* 

des trois angles du triangle sphérique proposé sur deux 

angles droits. Cela posé , on a ce théorème remarquable qui 

réduit la résolution des triangles sphériques très«petîts , à 

celle des triangles rectilignes. 

Etant proposé un triangle sphérique dont les côtés sont 
très'petils par rapport au rayon de la sphère , si de chacva 
de ses angles on retranche le tiers de Vexcès de la somme des 
trois angles sur deux droits , les angles ainsi diminués pour- 
ront être pris pour les angles d'un triangle rectiligne y dont 
les côtés sont égaux en longueur à ceux du triangle sphé- 
rique proposé ^ ou eu d*autres termes : 

Le trian^ sphénque très-peu courbe dont les angles 
Sont A , B , C , et les côtés opposés a , b , c , répond toujows 
a un triante rectiligne qui a les côtéî de même longueur 
Siyh , c, et dont les angles opposés sont A— j 6 , B — y 6, 
C — j e , 6 étant Vexcès de la somme des angles du trtangU 
Sphérique proposé sur deux an^es droits, 

cvi. L*exces e ou — , qui est proportionnel à l'aire du 

triangle , peut toujours se calculer a priori par les données 

du triangle sphérique considéré comme rectiligne. Si deux 

côtés b ^ Cy sont donnés avec Tangle compris A , on aura 

Taire CLzzi-^b c sin A.; si on donne un côté a et les deux 

_ ,, ^ ^ ,. . sin B sin C 

angles adjacents B , C , on aura laire a =r 7 tf • "r-rs — rr' 

sin (B-f-C) 

ot 
Ensuite on aura 6 = — R , R étant le nombre de secondes 

r* 

Comprises dans le rayon , et de cette manière £ sera exprimé 
en secondes. 

Pour appliquer ces formules aux triangles tracés sur la 

surface de la terre , considérée comme sphérique (i) , il 

(1) Dans les opéra tionè géodésiques les triangles sont le pins son- 
rent formés entre trois stations inégalement éloignées dn centre de 
là terre; mais » par des rédactions couvenables , 011 iabâtitiM au 
triangles observes les triangles qui résultent de la projection des sta- 
tiima sur une même snrface sphérique perpendiculaire à la directioa 
de la pesanteur. 



TRicon okbtuib, 4^7 

faudra supposer que les côtés a, b^ c, ainsi que le rayon de 
la terre r sont exprimes en mètres. Or, puisque le quart 
du méridien 7 TT rest égal à looooooo mètres, on en conclut 
logrz=z6. 8o388oi ; d*un autre côté le rayon R exprimé en 
secondes, a pour logarithme 5,8o388oi . Donc si au loga- 
rithme de Taire a exprimée en mètres quarrés, on ajoute 
le logarithme constant 2. 196 119, et qu'on retranche dix 
unités de la somme, on aura le logarithme de l'excès 8 
exprimé en secondes. 

Connaissant e on retranchera ou on supposera retranché 
y 8 de chaque angle du triangle sphérique proposé, et alors 
dans le triangle rectiligne formé par les côtés a , b , c , elles 
angles A' = A' — je,B' = B — 18, C'=C — 7 8, on aura 
les données nécessaires pour en déterminer toutes les par- 
tics. Ainsi on connaîtra en même temps celles du triangle 
sphérique proposé. 

, cvti. Exempte^ Soient donnés Tangle C et les deux côtés 
a et b, savoir: 

C=i23'^ 19' 99' .a3 
iog a z=: 4* 5891 5p3 
log 6=4. 5319271 

la quantité i a b sin C qui représente l'aire de triangle ^ 
aura pour logarithme 8.78055, à quoi ajoutant 2.19612, 
on an ra /<og 6 =£0.97667, partant 8 =9". 48 et 78 = 3''. 16. 
Cela posé » il faut résoudre le triangle rectiligne dans lequel 
en a les deux côtés a et b comme ci-dessus ^ et l'angle 
compris C'= ia3° 19' 96"' . 07. Pour cet effet, nous sui- 
vrons la méthode du n^ 56 , 

«».... 4.589 1 5o3 tang (9 — 60 *^ ) 8.887839a 

b 4.5219271 cot^ C 9.8381 1 10 

fa/i^ç. .. 0.0672232 A' — B' 

tang 8.7259502 

ç= 54^ 90' 74". 7a A^- 30 3^3^. ,. 

ioo^iCr_Bi 5998 .o3 ^ ^ ^ ^^ ^^ '^^ 

Icr=3Mo I .97 a;+b' ^33^^, ^^ 

A' = 41 78 41 • a4 
B' s 35 j 62 • 70 



4^8 TatCONOMÉTlllB. 

Il reste à déterminer le troisième coté c, ce qui se fera par 

a sin C 
reqnation c z=z — : — —- 

sm A: 

a 4'589i5o3 

sin A' • • • 9' 7854893 

différence 4>8o366io 4«8o366io 

sin C • ' • 9 -9705008 sin B'» • • 9*7182661 

logczzi,, 4*7741618 iog b =z 4*^219271 

Donc dans le triangle spliérique proposé, les éléments qu*il 
fallait trouver sont : 

A = 41*78' 44" .40 
B = 35 1 65 .86 
/o^c=: 4 •7741618, ouc=5945i™ a56. 

y. B, La méthode donnée dans ce paragraphe peat servir aussi k 

fig. t6. résondre les triangles dans lesquels deax côtés seraient très-^pea diil'é* 

rents de aoo** et le troisième très-petit. Car en prolongeant les grand' 

côtés A'C, A'B, on aura cin triangle sphérique BGA, dont les trois 

côtés seront très -petits. 

§, VI. Des triangles sphériques dont deux angles sont 

très-aigus. 

fig* 17' GYiii. Soit ABC le triangle sphérique proposé dans lequel 
A et B sont deux angles très-aigus , soit LMN son triangle 
polaire, de sorte qu'on ait MN= aoo'— A et LNacsaoo* — B. 
Si on prolonge les arcs ISM , NL, jusqu'à leur rencontre en 
K, il est clair qu'on aura KM=:A , et KL=B, le triangle 
LKM aura donc ses côtés très-petits , et il sera dans le cas 
d'être résolu par la méthode du paragraphe précédent. 
Soient A', B', C, les trois angles et a\ &', d les trois côtés 
du triangle LKM , on aura 

A'=:MLK = « «' = K]VI = A 

B' = LMK=ô //=LK=B 

C = LKM = aoo**-- c c' = LM = aoo*'— C. 

Donc trois éléments connus dans le triangle ABC en don* 
néront trois dans le triangle LKM , et par conséquent trois 
aussi dans le triangle rectiligne auquel le triangle LKM 



TRIGOHOMBTRIB* 4^9 

peut être ramené : or celui-ci étant résolu , on aura la 
solution du triangle LKM , et de là celle du triangle pro- 
posé ABC. 

c«. Soit par exemple, A=3®', Brza** et le côté adjacent 
c=i5o**, les données du triangle LKM, ou plutôt A'B'C% 
seront a' = 3®, i» ' = a** , et l'angle compris C ' = 5o** Par 
le moyen de ces données, on trouve Texcès sphérique 8 

= r = 333 ".21 , et le tiers de c étant retranché 

B. 

de G', le reste sera 49^ 98' 88". 93. Il faut donc résoudre 

un triangle rectiligne dans lequel on a les deux côtés a'z=: 

Boooo", 6'=:2oooo%etrangle compris C''=49** 98' 88".93. 

On trouvera lès deux autres angles A"=io3° 64' 86". 33, 

B"i=46*>36' a4". 75, etle troisième côté c'=aia44''-35; 

ajoutant doncyC aux angles A" etB" du triangle rectilignev 

afin d'avoir les angles A ' , B' du triangle spliérique, on aura 

pour la solution cherchée 

A' =a= io3°65'97".4o 

B' = A= 46 37 35 .8a 

C = aoo® — c'rz: 197 87 55 .64 

S- "VII. Du polygone régulier de diûs-scpt côtés, 

ex. Nous terminerons ces applications du calcul trigono- 
métrique en donnant , d*après l'excellent ouvrage de Gauss 
cité page i la, la manière d'inscrire le polygone régulier de 
17 côtés par la simple résolution des équations du second 
degré. 

aoo® 
Soit Tare = 9.» je dis d'ahord qu*on aura l'équation 

cojÇ+cojSÇ-H»* 59-^0*79+^0^ 9?-4-coi' 1 1 9-4-tfOJ 1 39+caf i 59=:t« 

Car si on appelle le premier membre P , et qu'on multiplie 
tous ses termes par a cos 9; qu'ensuite on change chaque 
produit de^deux cosinus en cosinus d'arcs simples d'après 
la formule : 

a cosJLeos'B:z=.cos{k+'Q)+cos(^K — B) 

on aura 

\Vcos^f=:=.i'\-%cos%^+%cosl^^+iLCos&^ +aco*i49+<^<^iS9 



43o TRIGONOMÉTRIE. 

Or puisque 179= 200* , on a cos a Ç =: cos[ aoo* — 1 5 <p) = 
— coj i 5 Ç , eof 4 ? = c<>s (aoo* — i3 ç )= — cos i3 ç, et 
ainsi de suite jusqu'à co/ 16 ç=r — ro^ Ç. Donc 

ouaPcojÇ=:i +C05Ç — aP,ou aP(i+cof 9);=i-i-cof9* 
Donc P =T- 

Cela posé, je partage la somme des termes qui composent 
P en deux parties , savoir : 

X = cos 3 ç + cos 5 Ç + cos 7 Ç + cos 1 1 ç 
y =i cos ^ + COS ^^ + cos i3 ç -f- roj i5 ç. 

J'aurai donc d'abord ^ +/=^; je multiplie ensuite les 
quatre termes de x par les quatre termes de ^, et chan- 
geant les produits de cosinus en cosinus d'arcs simples^ 
j'obtiens, toutes réductions faites, 

X y=i a ( C05 a 9 + coA- 4 9 4- cof 6 9 ... + cos i6 9 ) 
ou X y-z^L — a {cas 1^^ + cos iZ ^ -{- cos 11 9 ... -f. co^ ç ) 
ou en&n a: /• = — i. 
Au moyen de ces équations on trouve 

Maintenant si Ton partage de nouveau les sommes x Gi y 

chacune en deux parties, savoir; 

x-=:s-\-t xz=u-^z 

s ==:cos^^ + cosS<f « =s: <?oj 9 + cos i3 9 

tzzzcosT^-^-cosix 9 z:=zcosgf'^cos i59, 

on trouvera sembablement 

De sorte qu'on pourra déterminer les quatre nombres s,tf 

u,z, h Taide de deux nouvelles équations du second degré 

EnQn connaissant cos 9 -h cos i3 9= u et cos 9 cos i3? 

= ï-(cojï2 9H-cof i4 9}=-i(coj3 9+co*5 9)=s-i^, 

on obtiendra , par une quatrième é(|uation du second degré, 
la valeur de cos 9 9 et de là celle du côté du polygone pro- 
posé , laquelle est a f//2 9 ou a j/ ( i — cos ' 9 j. 

Quant à la méthode qui a dirigé le partage de ces di- 
verses équations, elle tient à une théorie très ^délicate, 
fondée sur l'analyse indéterminée, et dont il faut voir le 
développement dans l'ouvrage même de Gauss, ou dans 



TaiGOlVOMÉTEIB. 4^1 

V Essai sur la théorie îles nombres, deuxième édition. On y 
trouvera la démonstration complète de ce théorème très- 
beau et très-général : 
« Si le nombre n est premier , et que n — - i résulte du 

I produit des facteurs premiers a* 3 5 , etc. la division 
« du cercle en n parties égales pourra toujours se réduire 
« à la résolution de a équations du deuxième degré , ^ du 
t troisième , y ^^ cinquième , et ainsi de suite. » 



FIN. 



TYPOGRAPHIE DE FIEMIN DIDOT FBiaSSy 
ECEf JACOB, N** 56. 






l' » 



i4 



ndre Elémens de Géonvétrie^ FI. 1 . 





» » •«*••%■!■-■ 



ndre ^lAnvens de/ GcoTnétrie/ Pt. 2. 




K.\ 



^w^^ 



OF 



V. 



éprendre £léinens.de Oéométrie^ PI. 3 




' \ 



f 



S3 



} < 




/ 



\ 



^ 



t^//> 




1 



lendre Elémens tU' Gtomdirie PI. 4 



8$ 




€ 



OF 



ïh 




jr 



^iO 



'y 



J 



Legeadre E/emens de &tométrieJ?l, S. 




^' 



■'7\ 



»^^ f 



\ 



egcndre Elémens de^ Géontetrie^ PL g . 








i) - 




' ■ OF 



étendre Elémens leyGéomMrie^Pl.Ji. 




.\ 



Vî 



JF 



Leiçendre Elémens de- Géométrie. IPL i3. 






r 



cendre JElànens de^ Géométrie^ Tl. j.3. 






''.y^ 



r'yi 



■ 1 



Legendre Tri^noméiri^ PI, 24. 







^^ 



> ■; 



5 

l 
i 



:» 






' ml